Black Hole Physics - Die Physik Schwarzer Löcher Wintersemester 2005/06 Dr. Kurt Sundermeyer

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1 Black Hole Physics - Die Physik Schwarzer Löcher Wintersemester 005/06 Dr. Kurt Sundermeyer inoffizielle Vorlesungsmitschrift abgetext von Steffen Gielen Freie Universität Berlin Letzte Änderung: 6. Februar 006 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 Spezielle Relativitätstheorie und Minkowski-Geometrie 3.1 Lorentz-Invarianz Minkowski-Raum Relativistische Physik Allgemeine Relativitätstheorie I: Äquivalenzprinzip Schwaches und starkes Äquivalenzprinzip Bewegte Bezugssysteme und Gravitation Geodätengleichung Gravitations-Rotverschiebung Prinzip der Allgemeinen Kovarianz Riemann-Geometrie Differentialgeometrie/Überblick Tensor-Algebra und Tensor-Analysis Riemannscher Krümmungstensor Isometrien von Riemann-Räumen Allgemeine Relativitätstheorie II: Gravitodynamik/Geometrodynamik Herleitung der Feldgleichungen Struktur der Feldgleichungen Kosmologische Konstante Λ Schwarzschild-Metrik Schwarzschildsche Lösung der Vakuumfeldgleichungen Geodäten in der Schwarzschild-Metrik Geodäten massiver Objekte Null-Geodäten Schwarzschild-Geometrie Gravitationskollaps Sterngleichgewicht Zentraler Kollaps Die No-Hair -Familie Schwarzer Löcher 68 9 Rotierende Schwarze Löcher Kerr-Metrik Geodäten in der Kerr-Geometrie Penroses Prozess, Christodoulos Irreduzible Masse, Hawkings Flächentheorem Thermodynamik Schwarzer Löcher Thermodynamik Schwarzer Löcher

3 Einführung Geschichte: 1916 Schwarzschild 1935 Wurmlöcher, Neutronensterne 1939 Einstein gegen Schwarze Löcher, Oppenheimer dafür 1961 Chalatnikow/Lifschitz: Krümmungs-Singularitäten resultieren aus ideal kugelsymmetrischer Massenverteilung 1964 Singularitätstheoreme Penrose, Hawking) 1968 J. Wheeler Schwarzes Loch Kardinal) 1974 Hawking Radiation Thermodynamik Schwarzer Löcher), Informationsverlustparadox 1984 Beweis No-Hair Theorem 1990er Nachweis supermassiver Schwarzer Löcher Spezielle Relativitätstheorie und Minkowski- Geometrie.1 Lorentz-Invarianz.1.1 Galilei-Invarianz 3

4 K bewege sich gegenüber K gleichförmig v const.) x = x vt, t = t Newtonsches Gesetz F = m b = m d x dt, F = F Galilei-Relativitätsprinzip: Die Newtonschen Gesetze gelten in allen Inertialsystemen gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssystemen)..1. Lorentz-Invarianz Postulate der Speziellen Relativitätstheorie: 1. Die Naturgesetze sind in allen Inertialsystemen gleich.. Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen die gleiche. Zum Zeitpunkt t = t = 0 werden bei x = x = 0 Lichtsignale in positive x- und x -Richtung ausgesendet x ct = 0, x ct = 0, x ct = λx ct ) Lichtsignale in negative x-/x -Richtung x + ct = µx + ct ) Ax Bct = x, ct = Act Bx Der Koordinatenursprung x = 0 hat im Koordinatensystem K die Geschwindigkeit v = x t 0 = Avt Bct = Av Bc)t, B = A v c x = Ax vt), t = A t v ) c x 1 x = A )x + vt 1 ), t = 1 v c A ) t + v 1 v c x ) c Nutze Symmetrie x x, t t Lorentz-Transformation Es gilt x = A = 1 A 1 ), A = 1 v c 1 v c 1 x vt); t 1 = 1 v c 1 v c x c t = x c t t v c x ) x + y + z c t ist invariant. Bei Galilei-Transformationen sind x + y + z und t jeweils invariant.) 4

5 Experimentelle Nachweise der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Isotropie mit Genauigkeit ) Unabhängigkeit vom Bezugssystem mit Genauigkeit ) Zeitdilatation mit Genauigkeit ) Die Werte in Klammern sind Genauigkeiten, die von den OPTIS-Experimenten bis 010 erreicht werden sollen. Längeneinheiten werden heute mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit definiert, deshalb hat diese per Definition den Wert c = m s.. Minkowski-Raum..1 Definition Ein Minkowski-Raum ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, die global die Standardmetrik η αβ ) = hat. Wenn die Koordinaten des Minkowski-Raumes x α = x 0, x 1, x, x 3 ) sind, sind Abstände gegeben durch ds = α,β η αβ dx α dx β = dx 0 ) + dx 1 ) + dx ) + dx 3 ) Mit x 0 = ct, x i ) = x: ds = d x c dt.. Lichtkegel und Eigenzeit ds kann positiv, negativ oder Null sein. ds = 0 d x dt = c ds < 0 d x dt < c ds > 0 d x dt > c masselose Objekte massive Objekte Tachyonen, ausgeschlossen 5

6 Gilt für einen Vektor a α ) ηαβ a α a β < 0, so heißt a α ) zeitartig. timelike ) Ein Vektor b α ) mit η αβ b α b β = 0 heißt Nullvektor, ein Vektor c α ) mit ηαβ c α c β > 0 heißt raumartig spacelike ). Dies sind Lorentz-invariante Eigenschaften. Weltlinien: Die Eigenzeit τ ist definiert über c dτ = ds = η αβ dx α dx β =: η αβ dx α dx β Hier wurde die Summenkonvention von Einstein eingeführt. Für die Standardmetrik erhält man c dτ = c dt d x ) 1/ = 1 v ) 1/ c }{{ c dt, dτ = 1 γ dt } =γ 1..3 Poincaré-Transformationen Frage: Welche Koordinatentransformationen lassen ds = η αβ dx α dx β invariant? Antwort: Poincaré-Transformationen x α = Λ α βx β + a α, a α = const. Dabei ist offensichtlich Λ α β = x α x β 6

7 Die Poincaré-Transformationen bilden eine Gruppe. Die Metrik transformiert sich gemäß Λ α β η αγ Λ γ δ = η βδ αγ Eine Untergruppe der Poincaré-Transformationen ist die sogenannte reine proper ) Lorentzgruppe, die besteht aus den Poincaré-Transformationen mit a α = 0, Λ 0 0 1, det Λ α β) = +1, mit der Untergruppe der Lorentz- Boosts mit Geschwindigkeit v = v 1, v, v 3 ): Λ 0 0 = γ, Λ i 0 = Λ 0 i = γ v i c, γ 1 Λi j = δ ij + v i v j v, ) 1/. wobei γ = 1 v c Beispiel Für v = v, 0, 0) ergibt sich: ct = x 0 = Λ 0 αx α = γct + v c x), x = Λ 1 αx α = γvt + x), y = y, z = z...4 Lorentz-Tensoren 1) Lorentz-Skalar Ein Lorentz-Skalar S ist invariant unter Lorentz-Transformationen Beispiel: ds = η αβ dx α dx β bzw. dτ S S = S ) kontravariante Lorentz-Vektoren Ein kontravarianter Lorentz-Vektor v α transformiert sich gemäß Beispiel: Koordinanten x α v α v α = Λ α βv β 3) kovariante Lorentz-Vektoren Ein kovarianter Lorentz-Vektor u α transformiert sich gemäß u α u α = Λ β αu β Dabei ist Λ als Matrix das Inverse von Λ. Bemerkungen: i) Das Produkt eines kontravarianten Lorentz-Vektors mit einem kovarianten Lorentz-Vektor ist ein Skalar: v α u α = Λ α βv β Λ γ αu γ = δ βγ v β u γ = v β u β = v α u α ii) Falls v α kontravariant ist, so ist v α = η αβ v β kovariant. iii) Hinweis: v α = a, b, c, d) v α = a, b, c, d) 7

8 iv) Die partielle Ableitung Gradient ) ist ein kovarianter Lorentz-Tensor xβ...) = x α x α x β...) = Λβ α...) xβ Für partielle Ableitungen gilt die Konvention...),α := α...) :=...) xα 4) Lorentz-Tensoren Ein Lorentz-Tensor T αβγ... λρσ... transformiert sich gemäß Beispiel:.3 Relativistische Physik.3.1 Relativistische Mechanik T αβγ... λρσ... = Λ α α Λβ β Λ γ γ... T α β γ... λ ρ σ... Λλ λ Λ ρ ρ Λ σ σ... η αβ = Λ γ αλ δ βη γδ Vierergeschwindigkeit Die Dreier -Geschwindigkeit v = d x dt ist nicht-tensoriell kein Lorentz- Vektor) u α = dxα dτ ist ein kontravarianter Lorentz-Vektor. x 0 = ct; dτ = 1 γ dt uα ) = γc, v) η αβ dx α dx β = c dτ η αβ dx α dτ η αβ u α u β = c d.h. Vierergeschwindigkeit ist zeitartig. dx β dτ = c Viererimpuls p α = mu α, m Ruhemasse Skalar) Also p 0 = mγc = E c, pi = mγv i, explizit ergibt sich E = mc relativistische Energie, p = m v 1 v c 1 v c relativistischer Impuls Für kleine Geschwindigkeiten, v c γ = 1+ 1 v +..., E = mc c }{{} Ruheenergie + 1 mv }{{} +..., p = m v Newton-Impuls) kin.energie 8

9 Bilde p p = p α p α = m u α u }{{ α } = m c p α = η αβp β ) c Es ergibt sich die Massenschalenbeziehung p + mc) = 0 bzw. ) E + p + mc) = 0, E = mc ) + c p) c { E mc + p m cp für p mc für p mc Viererkraft Dreierkraft F = m d x dt = d p dt ) f α = dpα dτ.3. Relativistische Hydrodynamik i) Motivation Relativistische Mechanik beschreibt Geschwindigkeit etc. eines einzelnen Teilchens. Ansammlung von Teilchen, Fluid Flüssigkeit, Gas oder Staub) ist charakterisiert durch makroskopische Größen Geschwindigkeitsprofil v x, t) Dichte ρ x, t), Druck P x, t) Viskosität, Temperaturgradient Wärmefluß ) In der Astrophysik werden typischerweise ideale Fluide betrachtet. Für diese gibt es keine Viskosität und keinen Wärmefluß. Definition: Eine ideale Flüssigkeit besitzt an jedem Punkt eine Geschwindigkeit v so, dass ein Beobachter, der sich mit dieser Geschwindigkeit mitbewegt, die Flüssigkeit um sich herum als isotrop ansieht. Für ideale Flüssigkeiten gelten die Euler-Gleichungen. ii) Euler-Gleichungen Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement m: m d v dt = F Mit der Massendichte m V schreibt sich dies als = ρ und der Kraftdichte F V ρ d v dt = P 9 = grad P = P

10 Ferner d v dt = v t + v x x }{{} t v x + v y y t + v z z t } {{ } v ) v ) v ρ + v ) v = P t Euler-Gleichungen Zusätzlich gilt die Massenerhaltung Kontinuitätsgleichung) dρ dt = 0 ρ t + ρ v) = 0 iii) Lorentz-invariante Formulierung Tensorschreibweise) Da die Euler-Gleichungen quadratisch in den Geschwindigkeiten sind, betrachte den Tensor M αβ = ρu α u β mit u α Vierergeschwindigkeit. Betrachte die Divergenz von M αβ : ˆM β = α M αβ ˆM 0 = α M α0 = 0 M 00 + i M i0 = 0 ρu 0 u 0 ) + i ρu 0 u i ) im nicht-relativistischen Grenzfall gilt γ = 1, d.h. u = c, v), dann ) ρ ˆM 0 = c 0 ρ + c i ρv i ) = c t + ρ v), d.h. die Kontinuitätsgleichung lautet ˆM 0 = 0. Entsprechende Rechnung ergibt ) v ˆM i = 0 ρu 0 u i ) + j ρu j u i i i ) = ρ + v )v + v i 0 ˆM t }{{}, 0 also die linke Seite der Euler-Gleichung. iv) Betrachtung des Druckterms rechte Seite der Euler-Gleichung) Es gilt df i = j P ij da j Druck Fläche=Kraft ) Für ideale Flüssigkeiten gilt im jeweiligen Ruhesystem eines betrachteten Teilchens die Isotropiebedingung P ij ) = P P P ) P αβ 0 P 0 0 = Vierertensor 0 0 P P 10

11 Das Flüssigkeitselement bewegt sich im ruhenden) Laborsystem mit der Geschwindigkeit v. Es gilt x α = Λ α β v) x β, wobei Λ α β v) ein Lorentz- Boost ist. Da P αβ ein Tensor ist, gilt Explizites Ausrechnen ergibt Konsequenz: P αβ = Λ α γ Λ β δ P γδ P αβ = P c η αβ + u α u β) T αβ F D = M αβ P αβ = P c η αβ + P + ρ)u α u β liefert mit α T αβ F D = 0 im nicht-relativistischen Grenzfall die Hydrodynamik..3.3 Relativistische Elektrodynamik Maxwell-Gleichungen Gauß-System) div E = 4πρ, rot B = 1 c Die Lorentzkraft E t + 4π c j 1); rot E = 1 B c t, div B = 0 ) F = q E + v B) 3) ist invariant unter Lorentztransformationen! Tensorschreibweise 0 E 1 E E 3 F αβ E = 1 0 B 3 B E B 3 0 B 1 E 3 B B 1 0 Damit lauten die Gleichungen 1) F αβ,α = 4π c J β ; J β = cρ, j) ) F αβ,γ + F βγ,α + F γα,β = 0 3) f α = q c F β α u β ; f α = f 0, γf }{{} ) Leistung Die Gleichungen ) werden gelöst durch den Ansatz F αβ = α A β β A α mit dem Viererpotential A α = φ c, A), d.h. E = grad φ t A, B = rot A Bemerkungen: 11

12 i) E, B haben keine koordinatenunabhängige Bedeutung. ii) Der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik ist T αβ EM = F α γ F βγ 1 4 ηαβ F γδ F γδ Er enthält Poynting-Vektor und Maxwellschen Spannungstensor der klassischen Elektrodynamik. 3 Allgemeine Relativitätstheorie I: Äquivalenzprinzip 3.1 Schwaches und starkes Äquivalenzprinzip Äquivalenz von träger und schwerer Masse F = m t x, mt träge Masse statisches homogenes Gravitationsfeld Falls m s m t : F = m s g, m s schwere Masse x = ms m t a) Körper unterschiedlicher Beschaffenheit haben unterschiedliches Fallverhalten. b) Pendel gleicher Länge und unterschiedlicher Zusammensetzung haben verschiedene Schwingungsdauern im Verhältnis ) 1/ ms m t m s = m t gilt mit hoher experimenteller Evidenz! bis auf < nachgewiesen, STEP-Experiment ?) soll Genauigkeit ermöglichen) Alternative Formulierung: Der Effekt der Gravitation kann für ein homogenes statisches Gravitationsfeld wegtransformiert werden. i) Betrachte System aus N Massenpunkten m n Kräfte F nm = F x n x m ) im Schwerefeld: ) g m n xn = m n g + n F nm x n x m ) ii) Gehe in ein frei fallendes Koordinatensystem x = x 1 gt, t = t x n = x n g, x n x m = x n x m m n x n = n F nm x n x m) 1

13 3.1. lokale) Äquivalenz von Beschleunigung und Gravitation Äquivalenz gilt nur lokal, da i.a. das Schwerefeld nicht homogen ist. i) Fallende Gegenstände nähern sich einander an. ii) Gezeitenkräfte Für x R ist mẍ = m z = G mm z, z = R + x GM R ) = g GM m R + xr + x = GM m R x R + x R mẍ = mg x R + x R = mg 1 x ) R Daraus resultiert ein Unterschied der Gravitationskräfte F F 1 = mẍ ẍ 1 ) = mg R x 1 x ), F 1 = F + mg d R d = x x 1 ) Konsequenz: schwaches Äquivalenzprinzip d.h. Äquivalenz von Beschleunigung und Gravitation gilt nur in kleinen Raum- Zeit-Bereichen Starke Äquivalenz An jedem Punkt innerhalb eines Gravitationsfeldes kann man ein lokales Inertialsystem so wählen, dass in einer genügend kleinen Umgebung dieses Punktes die Naturgesetze die gleiche Form annehmen wie in einem nicht beschleunigten Koordinantensystem in Abwesenheit von Gravitation. heißt auch Einsteinsches Äquivalenzprinzip ) Diskussion von unterschiedlichen Formen des Äquivalenzprinzips: Cinfolini/Wheeler, Gravitation and Inertia 13

14 3. Bewegte Bezugssysteme und Gravitation 3..1 Koordinatenwechsel und Trägheitskräfte i) Betrachte Massenpunkt, der sich geradlinig-gleichförmig bewegt. Es gibt ein Inertialsystem mit Koordinaten x α ), in dem gilt d x α dτ = 0 1), c dτ = η αβ dx α dx β ) ii) Gehe in ein beliebiges anderes Koordinatensystem x ) Koordinatentransformation xx ) 1) besagt 0 = d dτ dx α dτ dx α dτ Multipliziere mit x λ x, es gilt x λ x α α x α x = δ λ µ µ = xα dx µ x µ dτ ) = xα d x µ x µ dτ + x α dx µ dx ν x µ x ν dτ dτ dx µ d x λ dτ + Γλ µν dτ dx ν dτ }{{} T rägheitskraft = 0, wobei Γ λ µν = x λ x α Christoffelsymbole/affine Zusammenhänge { } λ Γ λ µν = alte Notation) µν Gleichung ) ergibt mit der Metrik Es gilt c dτ = η αβ x α x α x µ x ν xβ dx µ x µ x ν dx ν = g µν dx µ dx ν g µν = η αβ x α x µ x β x ν Γ ρµν = g ρλ Γ λ µν = 1 g x ρµ,ν + g νρ,µ g µν,ρ ) = α x β ) η αβ x ρ x µ x ν 3.. Beispiel: Zentrifugal- und Corioliskräfte Kräftefreie Bewegungen im Koordinatensystem x) d x α dτ = 0 Koordinatentransformation auf Bezugssystem x ), das sich gleichförmig mit Winkelgeschwindigkeit ω um die z-achse dreht: t = t, x = x cos ωt + y sin ωt, y = x sin ωt + y cos ωt, z = z. 14

15 Berechnung der Γ λ µν: Γ λ µν = x λ x α x α x µ x ν Dann sind die einzigen nichtverschwindenen Christoffelsymbole Γ 1 00 = ω c x, Γ 00 = ω c y, Γ 1 0 = ω c, Γ 01 = ω c Eingesetzt in die Bewegungsgleichungen d x λ dτ + dx µ dx ν Γλ µν dτ dτ d x dt ω x ω dy dt = 0, d y dt Klassische Mechanik, Relativbewegungen: hier: b = b 0 = d ω dt = 0 = 0 b = b0 + b + ω v + ω [ ω r ] + ω y + ω dx dt = 0 [ ] d ω dt r 0 = b + ω v }{{} + ω ω r ) }{{} Coriolisbeschl. Zentrifugalbeschl. hier: ω = 0, 0, ω), ω a = ωa, ωa 1, 0), ω ω a) = ω a 1, ω a, 0) Die Metrik im rotierenden System berechnet sich aus x α x β g µν = η αβ x µ x ν, c dτ = g µν dx µ dx ν Für das Beispiel: c dτ = [ 1 ω x + y ) ] c dt +ωy cdt dx ωx cdt dy dx dy dz Gemischte Terme der Form dt dx in der Metrik deuten immer auf ein rotierendes System hin Verknüpfung mit Gravitationsfeld Lokal ist der Effekt der Gravitation in enthalten. g µν, Γ λ µν Gravitation kann nur lokal d.h. nicht global) wegtransformiert werden. Falls man eine globale Koordinatentransformation finden kann, die g µν in η αβ überführt, liegt lediglich eine reine Koordinatentransformation vor. Kriterium dafür, ob eine globale Koordinatentransformation existiert, ist das identische Verschwinden des Riemannschen Krümmungstensors. R µνλρ 0 Das Nichtverschwinden des Tensors ist ein Indiz für einen gekrümmten Raum. g µν ist die Metrik dieses Raumes, Γ λ µν sind die sogenannten affinen Zusammenhänge. 15

16 3.3 Geodätengleichung Geodäten i) d x ρ dλ + dx µ dx ν Γρ µν dλ dλ = 0 heißt Geodätengleichung, da sie für die Metrik g µν die kürzesten Wege beschreibt. λ ist ein sogenannter affiner Parameter d.h. mit λ ist auch λ = αλ + β ein Parameter), physikalisch wählt man λ = τ. ii) Die Geodätengleichung folgt aus dem Extremalprinzip δ B A δl = δ ds! = 0 ds = g µν dx µ dx ν ) B Extremalisieren des Integrals allgemein): A dx g µ dx ν ) 1/ µν dλ =! 0 dλ dλ }{{} L B L = LQ, Q)dλ, A Q = dq dx δl = B A ) L L δq + δ Q dλ = Q Q δl = B A B A L d Q dλ L Q δq + d ) L d δq dλ Q dλ L Q )) δq dλ + L Q δq B A L Q ) ) δq dλ Der rechte Term verschwindet, wenn an den Grenzen δqa) = δqb) = 0 gefordert wird. Nun soll die Variation des Integrals für alle δq verschwinden, es folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen L Q = L Q ) d L dλ Q = 0 Hier ist L = g µν ẋ µ ẋ ν ) 1/ sowie Q = x µ ) und aus L µ! = 0 folgt die Geodätengleichung für die Koordiante x µ. Auch ˆL = g µν ẋ µ ẋ ν liefert die Geodätengleichungen. 16

17 3.3. Beispiel: Geodäten auf der Kugeloberfläche S Die Kugeloberfläche in drei Dimensionen ist definiert durch die Gleichung x + y + z = ρ. Geeignete Koordinaten sind Kugelkoordinaten θ, ϕ: x = x ρ sin θ cos ϕ y = ρ sin θ sin ϕ z ρ cos θ Metrik ist laut klassischer Differentialgeometrie ) E F g ik ) = = x F G,i x,k ) E = ρ, F = 0, G = ρ sin θ x,0 = x θ, x,1 = x ) ϕ Linienelement: ds = ρ dθ + sin θ dϕ ) Lagrange-Dichte hier L = ρ θ + ρ sin θ ϕ Euler-Lagrange-Gleichungen L θ = L ) d θ L dλ θ = ρ sin θ cos θ ϕ! = 0, sin θ cos θ ϕ θ = 0 1) Vergleiche mit Geodätengleichung θ + Γ 0 jkẋ j ẋ k = 0 Γ 0 jkẋ j ẋ k = sin θ cos θ ϕ, Γ 0 11 = sin θ cos θ Euler-Lagrange-Gleichung bezüglich ϕ ϕ + cot θ θ ϕ = 0, Γ 1 01 = cot θ ) Alle anderen Γ 1 jk verschwinden. ) lässt sich integrieren: sin θ ϕ = α ) 1) und ) haben folgende Lösungen: a) θ = π ϕ = α Äquator) b) ϕ = ϕ 0 θ = 0, θλ) = βλ + θ 0 Meridian) Jeder Großkreis auf der Kugeloberfläche ist Lösung der Geodätengleichung Bewegungsgleichungen der Gravitation i) Gemäß Äquivalenzprinzip ist die Gleichung d x λ dτ + dx µ dx ν Γλ µν dτ dτ = 0 die Bewegungsgleichung für ein Objekt im Gravitationsfeld frei fallendes Objekt) 17

18 ii) Ein Objekt bewegt sich in einer gekrümmten Raumzeit genannt Gravitationsfeld ) so, dass es den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten zurücklegt. iii) Newtonscher Grenzfall Betrachte Geodätengleichung für einen Massenpunkt, der sich langsam in einem statischen und schwachen Gravitationsfeld bewegt. langsam im Vergleich mit der Lichtgeschwindigkeit) dτ dt, γ = 1, d x d x c dτ In dieser Näherung reduziert sich die Gleichung d x i dt auf die ersten Terme: statisch : g µν,0 0 dt + Γi 00 c + Γ i dx k 0k dt d x i dt + Γi 00 c = 0 c + Γ i dx j dx k jk dt dt = 0 Γ i 00 = g iµ Γ µ00 = g iµ 1 g µ0,0 + g 0µ,0 g 00,µ ) = 1 gik g 00,k schwach : g µν = η µν + h µν, h µν 1 Ergebnis: Newton: g µν = η µν h µν Γ i 00 = 1 ηik h ik )h 00,k = 1 ηik h 00,k = 1 h 00,i d x i dτ = 1 c h 00,i, mit dem Gravitationspotential φ G. Vergleich: d x dt = 1 c h00 m d x dt = F G = m φ G h 00 = φ G c, g 00 = η 00 + h 00 = 1 + φ ) G c Beispiel: Kugelsymmetrische Massenverteilung φ G r) = GM r, g 00 = 1 GM ) rc dτ = 1 GM ) rc dt d x = 1 R ) M dt d x r mit dem Schwarzschild-Radius 1 1 Schwarzschild, Karl ) R M = GM c 18

19 3.4 Gravitations-Rotverschiebung Die drei Arten von Rotverschiebung a) Dopplerverschiebung aufgrund der Bewegung der Quelle SRT) b) Gravitations-Rotverschiebung aufgrund des Gravitationsfeldes am Ort der Quelle Äquivalenzprinzip) c) Kosmologische Rotverschiebung aufgrund der Expansion des Weltalls ART-Felddynamik) 3.4. Eigenzeit und Zeitverzögerung Für eine Uhr in einer Metrik g µν gilt c dτ = g µν dx µ dx ν ) τ ist die Eigenzeit, d.h. die Anzeige der mitbewegten Uhr. τ wird beeinflusst durch 1. Metrik g µν. Bewegung der Uhr dx µ Spezialfälle A) kein Gravitationsfeld, g µν = η µν Für eine bewegte Uhr ist Eingesetzt in ) ergibt sich dτ = dx i = v i dt, dx 0 = c dt dt v c dt = 1 v c dt t ist die Zeit, die für ruhende Uhren angezeigt wird. relativ dazu bewegte Uhren gehen langsamer relativistische Zeitdilatation B) Gravitationsfeld, ruhende Uhr dx i = 0) B1) statisches, schwaches Feld dτ = g 00 dt g 00 = 1 + φ G c, dτ = 1 + φ G c dτ = dt φ = 0 Dies ist im Unendlichen der Fall, d.h. t ist die Zeit, die eine im Unendlichen ruhende Uhr anzeigt. Je weiter die Uhr von der Massenverteilung entfernt ist, desto schneller geht sie Gravitations-Rotverschiebung dt 19

20 B) Zeitabhängige Metrik Speziell für expandierendes Universum kosmologische Rotverschiebung Gravitations-Rotverschiebung Die Uhren sind hier Atome, die Licht mit definierten Frequenzen emittieren bzw. absorbieren. Annahme: Statisches Gravitationsfeld g µν = g µν r) ruhender Sender bei r S, ruhender Empfänger bei r E dτ i = g 00 r i ) dt, i = S, E) dτ S und dτ E sind die Perioden der Schwingungen: dτ i = 1 ν i, da Gravitationsfeld statisch, Sender und Empfänger ruhen. ν S g 00 r E ) = ν E g 00 r S ), z = ν S 1 = λ E 1 Gravitations-Rotverschiebung ν E λ S Eine tatsächliche Rotverschiebung tritt ein, wenn λ E > λ S, also z > 0. Näherung für schwache Felder g 00 = 1 + φ c, φ c ) [ ν S g 00 r E ) = ν E g 00 r S ) = 1 + φ ) E c 1 φ )] 1/ S = φe 1 + c c φ ) S c. z = φ r E) φ r S ) c = φ c ) z.b. Satellit in Höhe h über der Erde: zh) = R R+h mit dem Erdradius R. Für GPS-Satelliten h = 0000 km) ist z = 4, ) 3.5 Prinzip der Allgemeinen Kovarianz Ein physikalisches Gesetz gilt dann in einem Gravitationsfeld, wenn a) das Gesetz seine Form unter allgemeinen Koordinatentransformationen beibehält b) das Gesetz auch in Abwesenheit von Gravitationsfeldern g µν = η µν, Γ µ λν = 0) gilt. Behauptung unbewiesen) Allgemeine Kovarianz und starkes Äquivalenzprinzip sind äquivalent. In Analogie zu Lorenz-Tensoren in der Speziellen Relativitätstheorie gilt: Eine Gleichung ist invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen, wenn sie eine tensorielle Gleichung ist. 0

21 SRT-Gesetz ohne Gravitation allgemeine KT Rel. Gesetz mit Gravitation Alternative: SRT-Gesetz ohne Gravitation kovariante/tensorformulierung Rel. Gesetz mit Gravitation Vorgriff: Berücksichtigung der Gravitation geschieht durch die Ersetzungen η µν g µν, µ ;µ, d D,... d 4 x g... d 4 x) 4 Riemann-Geometrie 4.1 Differentialgeometrie/Überblick Ausgangspunkt: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Räume der Dimension D) Das sind geometrische Objekte, die lokal wie R D bzw. M D ) beschaffen sind. M steht für Minkowski-Raum). Überdeckung einer Mannigfaltigkeit mit Karten lokal flachen Koordinatensystemen) auf Mannigfaltigkeiten lassen sich definieren Tensoren Ableitungen Lie-Ableitungen) Ableitungskalkül Cartan-Differentialformen) Mannigfaltigkeit affine MF metrische MF erlaubt Paralleltransport ) Γ λ µν erlaubt Abstandsmessung ) g µν Γ λ µν Γ λ νµ Γ λ µν = Γ λ νµ Cartan- Mannigfaltigkeiten Riemann-Geometrie Γ gegeben durch Ableitungen der g µν 4. Tensor-Algebra und Tensor-Analysis 4..1 Riemann-Tensoren definiert über ihr Transformationsverhalten unter allgemeinen Koordinatentransformationen x x 1

22 a) Skalar b) kontravariante Vektoren S x ) = Sx), Bsp. dτ v µ = v ν x µ x ν = vν K ν µ, K ν µ = x µ x ν für Lorentz-Transformationen: K µ ν = Λ µ ν c) kovariante Vektoren u µ = u ν x ν x µ = u νj ν µ Es gilt JµK ν µ λ = δν λ, d.h. als Matrix J = K 1 d) allgemein: Tensor Beispiel: Metrik aber Γ λ µν ist kein Tensor! T µ... λ... = K ν µ K...T... ρ... ν... J ρ λ J g µν = η λρ x λ x µ x ρ x ν = η λρj λ µ J ρ ν Γ λ µν = K λ ρ Γ ρ στ J σ µ J τ ν + K λ ρ j ρ µν }{{} verletzt das T ensorverhalten mit j ρ µν = x µ J ρ ν e) Tensor-Algebra Linearkombinationen von Tensoren gleicher Stufe sind Tensoren, z.b. ist Tensor. α, β Skalare) αa µν λ + βbµν λ = Cµν λ Produkte von Tensoren sind Tensoren, z.b. A µ B λρ = C µ λρ Kontraktion eines Tensors ist ein Tensor 4.. Tensor-Dichten g µν T µν λ = T µ µλ = T λ Motivation: Transformationsverhalten der Determinante der Metrik. g = detg µν ), g µν = J λ µ g λρ J ρ ν, g = gj d.h. g ist i.a. kein Skalar! g heißt Tensordichte Skalardichte). Definition: Eine Tensordichte mit Gewicht W transformiert sich gemäß T µ... ν... = K µ... σ...t σ... ρ... J ρ... ν...j) W.

23 g hat Gewicht -, es gilt g) W/ T µ... ν... ist Tensor! 4..3 Kovariante Ableitung x µ ist Lorentz-Tensor/-Vektor, aber µ ist i.a. kein Riemann- Ableitung µ vektor! Beispiel Ableitung eines kontravarianten Vektors v µ v µ,λ = λv µ = v µ x λ = x µ v µ = x µ x ν vν v ν x ρ x ν x ρ x λ + x µ x σ x ν x σ mit k νσ µ = x K µ ν σ ). Die Ableitung von v µ ist kein Tensor. v µ ;λ := vµ,λ + Γµ λν vν ist ein Tensor! Beweis durch Rechnen und Benutzen der Identität k µ νσj σ λ + K µ σ j σ λρk ρ ν 0. x λ vν = K µ ν v ν x ρ J ρ λ + kµ νσj σ λ v ν u µ;ν = u µ,ν Γ λ µνu λ ist herleitbar aus u µ v µ ) ;λ = u µ v µ ),λ. Für einen beliebigen Tensor ist T µν... σ...;λ = T µν... σ...,λ + Γµ λρ T σ... ρν... + Γ ν λρt σ... µρ Γ ρ σλ T ρ... µν Für die Metrik ist g µν;λ = g µν,λ Γ ρ µλ g ρν Γ ρ νλ g µρ = g µν,λ Γ νµλ + Γ µνλ ) = 0. }{{} g νµ,λ i) Geometrische Bedeutung der kovarianten Ableitung Ableitung = Änderung, z.b. für Funktion f, Änderung in Richtung x α Betrachte Vektor f,α = f x α, f df = x α dxα = fx + dx) fx) dv µ = v µ x + dx) v µ x) = v µ,νdx ν Dies ist kein Tensor, da dx ν Tensor ist dx ν = xν x λ dx λ ), aber v µ,ν nicht. δv µ sei die Änderung von v µ bei Parallelverschiebung um dx Dv µ = v µ x+dx), parallelverschoben nach x) v µ x) = v µ x+dx) δv µ v µ x) = dv µ δv µ δv µ hängt linear von v µ, dx µ ab. Ansatz δv µ = γ µ νλ vν dx λ 3

24 Koeffizienten γ µ νλ sind so zu bestimmen, dass Vektor ist. Eine Lösung dafür ist Dv µ = v µ,λ dxν + γ µ νλ vν dx λ γ µ νλ = Γµ νλ, für Riemannsche Mannigfaltigkeiten affine Mannigfaltigkeiten mit Metrik) ist dies die einzige Lösung. Die totale kovariante Ableitung ist gegeben durch Dv µ = v µ ;λ dxλ ii) Ableitung eines Tensors entlang einer Kurve, hier: Vektor v µ, Kurve x ν s) Änderung von v µ entlang einer Kurve: ist ein Tensor! dv µ ds = dx ν vµ,ν ds? Nein. kein Vektor) Dv µ Ds = dx ν vµ ;ν ds = dvµ ds + Γµ νρv ρ dxν ds Der Spezialfall v µ = dxµ ds D Ds führt auf ) dx µ = d x µ ds ds + dx ρ dx ν Γµ νρ ds ds Dies ist die Geodätengleichung, diese ist also eine Tensorgleichung! 4.3 Riemannscher Krümmungstensor Definition Rijk l = Γ l ij,k Γ l ik,j) + Γ n ij Γ l nk Γ n ikγ l ) nj 4.3. Bedeutung des Riemannschen Krümmungstensors i) Vertauschung von kovarianten Ableitungen v i;j;k v i;k;j = v l R l ijk. ii) Paralleltransport Das Ergebnis eines Paralleltransportes hängt i.a. vom Weg ab. Änderung eines längs einer geschlossenen Kurve parallel verschobenen Vektors v µ ist gegeben durch v l = R l ijkv i dx j dx k v l = 0 R l ijk 0 iii) Globale Flachheit Notwendig und hinreichend dafür, dass eine Metrik äquivalent zu R D oder M D ist, ist 4

25 a) R i jkl 0 b) g ij hat D gleiche Eigenwerte R D ) oder z.b. drei positive und einen negativen Eigenwert mit gleichem Betrag M 4 ) iv) Lokale Flachheit In einem Riemannschen Raum gibt es an jedem Punkt P ein Koordinatensystem mit g P ij = η ij R ilnj P x l x n + Ox 3 ) geodätische Koordinaten, Riemannsche Normalkoordinaten v) Gezeitenkräfte Betrachte zwei benachbarte Geodäten x µ i d x µ i dτ + Γµ νλ x i) dxν i dτ Mit x µ := x µ 1, xµ = xµ + s µ, s µ x µ ist i = 1, )) dx λ i dτ = 0. Γ µ νλ x + s) = Γµ νλ x) + Γµ νλ,ρ sρ + Os ) D s µ Dτ = R µ dxν dx ρ νλρsλ dτ dτ ) Newtonscher Limes Gleichung der Geodätischen Abweichung langsam : dxµ dτ = c, 0, 0, 0), s 0 = 0, dt 1 = dt = dτ ) wird damit zu d s k dτ = R0l0s k l c schwach : g µν = η µν + h µν, h µν η µν R µ νλρ = 1 ηµσ h λσ,ν,ρ h νλ,σ,ρ h ρσ,ν,λ + h νρ,σλ ) R0l0 k = 1 h lk,0,0 h 0l,k,0 h 0k,0,l + h 00,k,l ) statisch : h lk,0 0 R0l0 k = 1 h 00,k,l Es gilt h 0 0 = c φ G s.o.) also R k 0l0 = 1 c φ,k,l, f k = m d s k dt = msl φ x k x l s l =0 Gezeitenkraft Einschub: Gezeitenkraft gemäß Newton) 5

26 A). Gesetz von Newton m d x dt = F x) Newtonsches Gravitationsgesetz: F G x) = Gm j m j x x j ) x x j 3 Mit φ x) = G j m j x x j = G d 3 x ρ x) x x d x dt = φ x) = grad φ x), φ x) = 4πGρ x) B) Betrachte zwei Bahnen x α α = 1, ) d x α dt = φ x α ) Sei x 1 = x, x = x + s, d.h. s = x x 1 In Komponenten falls s x : d s dt = φ x 1 ) φ x ) = φ x) φ x + s) d s i dt d s i dt = φx) x i C) Kugelsymmetrisches Potential = φx) φx + s) x i x i + s i ) φ x i + d s i dt = φ xj x i x j s j =0 φ ) x x i x j s j j =0 φ x) = GM x, x = r; φ xi = GM xi r 3, φ x i x j x j =0 = GM r 3 δ ij d.h. d s i dt = GM r 3 si i.e. Gezeitenbeschleunigung in einem Referenzsystem, dessen Ursprung frei fällt Eigenschaften des Riemann-Tensors A) In D Dimensionen hat der Riemannsche Krümmungstensor D 4 Komponenten D = 4 : 56) Diese Komponenten sind nicht unabhängig; es gibt algebraische und differentielle Nebenbedingungen. 6

27 B) Algebraische Beziehungen R ijkl = g in Rjkl n = 1 [g [ ik,j,l g jk,i,l g il,j,k + g jl,i,k ]+g nm Γ n ki Γ m jl Γ n ilγ m ] jk R ijkl = R klij, R ijkl = R ijlk = R jilk = R jikl R ijkl + R iklj + R iljk = 0 Der Riemannsche Krümmungstensor hat D D 1) 1 algebraisch unabhängige Komponenten. D = 1: R 0000 = 0 D = : eine unabhängige Komponente D = 3: sechs unabhängige Komponenten D = 4: 0 unabhängige Komponenten C) Differentielle Beziehungen Bianchi-Identitäten) Ricci- und Einstein-Tensor Krümmungsskalar: R ijkl;m + R ijlm;k + R ijmk;l 0 R ik = g lj R lijk Ricci-Tensor R ik = Γ l il,k Γ l ) ) ik,l + Γ l ijγ j lk Γl ikγ j lj, R ik = R ki R = g ik R ik Kontrahiere Bianchi-Identität mit g ik und nutze g ik ;j 0 Kontrahiere mit g jl Rjkl;m k k +Rjlm;k + Rjmk;l k = 0 }{{}}{{} R jl,m R jm;l R j j;m + gjl R k jlm;k R l m;l = 0, R ;m R l m;l = 0 Für den Einstein-Tensor G ij = R ij 1 gij R ergibt sich die kontrahierte Bianchi-Identität G ij ;j = Riemannscher Krümmungstensor in D 4 Dimensionen Theorem Cartan, Lovelock) Der Riemannsche Krümmungstensor ist in D 4 der einzige Tensor, der aus dem metrischen Tensor und dessen ersten und zweiten Ableitungen gebildet werden kann. D = 1: R 0000 = 0 Alle eindimensionalen Räume sind intrinsisch flach. 7

28 D = : Riemannscher Krümmungstensor hat nur eine nichtverschwindende unabhängige Komponente R 0101 = r Berechne Ricci-Tensor R ik = g lj R lijk Es ergibt sich R 00 = g 11 r, R 01 = g 01 r, R 11 = g 00 r. Krümmungsskalar R = g ik R ik = g 1 r R 0101 = 1 g R Beispiel Kugel: D = 3: g = detg ik ) = g 00 g 11 g 01 ) g ij ) = ρ sin, R = θ ρ R ijkl = f ijkl g nm, R nm, R) D = 4: R ijkl hat 0 unabhängige Komponenten Penrose schreibt dies so R ijkl = g ijkl g nm, R nm, R) + C ijkl }{{} W eyl T ensor RIEMANN = RICCI + W EY L Im Weyl-Tensor stecken die Gezeitenkräfte. Es gilt g ij = fx)η ij 4.4 Isometrien von Riemann-Räumen Motivation und Definition i) Motivation: Definiere Symmetrien, ohne auf Koordinatensysteme zu referieren und Erhaltungssätze zu generieren. ii) Definition: Eine Koordinatentransformation x x heißt Isometrie der Metrik g µν, falls g µνx ) = g µν x ) Konsequenz: Betrachte Transformationsverhalten des Tensors g µν g µνx ) = xρ x µ x σ x ν g ρσx) g µν x) = x ρ x µ x σ x ν g ρσx ) 8

29 Die Forderungen g µνx )! = g µν x ) und g ρσx )! = g ρσ x ) führen zu einem System von Differentialgleichungen für x x), xx ). Statt diese allgemein zu lösen, betrachtet man infinitesimale Transformationen x µ = x µ + εξ µ x), ε 1 bzw. g µν,λ ξ λ + g µλ ξ λ,ν + g λν ξ λ,µ ξ µ;ν + ξ ν;µ = 0! = 0 Ein Vektor ξ, der diese Beziehung erfüllt, heißt Killing-Vektor. iii) Beispiel Minkowski-Raum Hier gilt ξ µ;ν = ξ µ,ν, also ξ µ,ν + ξ ν,µ = 0. Diese Gleichung hat die allgemeinste Lösung ξ µ = a µ + a µν x ν, a µ, a µν Konstanten, a µν = a νµ. Somit hat man 4 Parameter a µ für infinitesimale Translationen und 6 Parameter a µν für infinitesimale Lorentz-Transformationen. iii) Eigenschaften von Killing-Vektoren Linearkombination von Killing-Vektoren ist Killing-Vektor ξ µ 3) = aξ µ 1) + bξ µ ) Maximalzahl von Killing-Vektoren in D Dimensionen ist DD+1). Der Kommutator von zwei Killing-Vektoren ist Killing-Vektor. [ ξ i), ξ j)] = ξ i) ξ j) ξ j) ξ i) = k f ij k ξk) 4.4. Killing-Vektoren und ausgezeichnete Metriken i) Falls g µν nicht von einer Koordinate x σ abhängt, d.h. falls g µν,σ = 0, dann ist ξ σ ) = σ ein Killing-Vektor mit ξµ σ = δ µ σ. Die Gleichung g µν,λ ξ λ + g µλ ξ λ,ν + g λν ξ λ,µ = 0 ist dann gerade die Voraussetzung g µν,σ = 0. Beispiel Minkowski-Raum: η µν hängen von keinen Koordinaten ab: Killing, Wilhelm Karl Joseph ) ξ ν) µ = δ µ ν, ξ 0) µ = 1, 0, 0, 0) = 0 9

30 Die Darstellung ist zu einer Basis, in der die Einheitsvektoren gerade die partiellen Ableitungen sind. Beispiel S Kugeloberfläche): Im Prinizip müsste man ξ µ,ν + ξ ν,µ = 0 lösen für die Metrik von S! Andere Herleitung s. Carroll 38): Als Vorstufe betrachte R 3 in Kugelkoordinaten x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ ds = dr + r dθ + r sin θdϕ g µν ist unabhängig von ϕ, d.h. R = ϕ ist Killing-Vektor. R = x ϕ x + y ϕ y + z ϕ z = y x + x y = y, x, 0) Weitere Killing-Vektoren sind S = z, 0, x), T = 0, z, y). Die Kugeloberfläche hat die Metrik ds = ρ dθ + sin θdϕ ) und die gleichen Killing-Vektoren R, S, T R = ϕ, S = sin ϕ θ cot θ sin ϕ ϕ, T = sin ϕ θ cot θ cos ϕ ϕ Kommutator: [R, S] = [ y x +x y, z x x z ] = [y x, z x ] +[y x, x z ]+[x y, z x ] [x y, x z ] }{{}}{{} 0 0 = xy x z + y z yx z x + xz y x z y xz x y = y z z y = T, [S, T ] = R, [T, R] = S, Algebra der SO3)-Gruppe. ii) Falls ξ σ ) zeitartig ist d.h. g µν ξ σ ) µ ξ σ ) ν < 0), dann ist die Koordinate x σ zeitartig, d.h. es ist berechtigt x σ = t zu setzen, also g µν t = 0. Riemannsche Räume mit zeitartigem Killing-Vektor heißen stationär. Definitionen: stationär doing exactly the same thing at every time Kerr- Schwarze Löcher) statisch Löcher) not doing anything at all Schwarzschild-Schwarze statisch bedeutet stationär und invariant unter Zeitumkehr, d.h. für ds = g µν dx µ dx ν = g 00 dx 0 dx 0 +g 0i dx 0 dx i +g ik dx i dx k i, k = 1,, 3) müssen die mittleren Terme verschwinden. Für statische Metriken kann immer eine Form gefunden werden, in der g 0k = 0. 30

31 Strenge Definition von statisch d Inverno) Eine Raumzeit heißt statisch, wenn sie ein hyperflächenorthogonales zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt Killing-Vektoren und Erhaltungsgrößen i) Geodätengleichung kann auf die Form u σ = 1 g µν,σu µ u ν u µ = dxλ ds = ẋλ ) gebracht werden: Ursprüngliche Form u λ + Γ λ µνu µ u ν = 0 Kontrahiere mit g λσ g λσ u λ + Γ σµν u µ u ν = 0 gλσ u λ) ġλσ u λ + Γ σµν u µ u ν = 0 u σ g λσ,µ u µ u λ + Γ σµν u µ u ν = 0 u σ g λσ,µ u µ u λ + 1 g σµ,ν + g νσ,µ g µν,σ ) u µ u ν = 0 u σ + 1 g σµ,ν g νσ,µ g µν,σ ) u µ u ν = 0 u σ + 1 g σµ,ν g µσ,ν }{{} 0 g µν,σ u µ u ν = 0 Konsequenz Falls g µν,σ = 0, falls also σ Killingvektor ist, ist u σ = 0, d.h. u σ = g σ µu µ ist Erhaltungsgröße. Der enstprechende Impuls ist p σ = mu σ. Falls u µ Geodäte ist und ξ µ ein Killing-Vektor, so ist ξ µ u µ ) längs der Geodäten konstant, d.h. d ds ξ µu µ ) = 0. Beweis d ds ξ µu µ ) = Dξ µ Du µ dx ν Ds uµ +ξ µ = ξ µ;ν } Ds {{} ds uµ = ξ µ;ν u ν u µ = 1 ξ µ;ν + ξ ν;µ ) u ν u µ = 0, =0 da ξ µ Killing-Vektor. 31

32 5 Allgemeine Relativitätstheorie II: Gravitodynamik/Geometrodynamik 5.1 Herleitung der Feldgleichungen Newtonscher Grenzfall g 00 = 1 + φ c ), φ = 4πGρ x) G Gravitationskonstante. erraten Tensorgleichung Forderungen an E µν : A) E µν symmetrisch ρ = T 00 c g 00 = κt 00, κ = 8πG c 4 E µν = κt µν B) E µν hängt von maximal zweiten Ableitungen der Metrik ab C) E µ ν;µ = 0, da T µ ν;µ = 0 D) E 00 = g 00 B) wird erfüllt, wenn man den Riemann-Tensor zur Konstruktion von E µν benutzt siehe 4.3.5). Allgemeiner Ansatz für E µν Damit ist A) erfüllt. Forderung C): E µ ν;µ kontrahierte Bianchi-Identität R ;ν = 0 ist ausgeschlossen: E µν = ar µν + brg µν + cg µν! = 0 = ar µ ν;µ + br ;ν g µν;λ 0) R µ ν;µ = 1 R ;ν, 0! = ) 1 a + b R ;ν E µ µ = ar + 4bR + 4c = κt µ µ also b = 1 a Forderung D): E µ µ;ν = a + 4b)R ;ν = κt µ µ;ν }{{} i.a. 0 Eµν = a R µν 1 ) Rg µν + cg µν E 00 = a R 00 1 ) Rg 00 + cg 00 = g 00 3

33 ar R) + 4c = κt, ar = κt + 4c ar 00 = κ T 00 1 ) T g 00 + cg 00 Im Newtonschen Grenzfall: T ik T 00, g µν = η µν + h µν T = η µν T µν = T00, T 00 1 T g 00 = 1 T 00 R µν = 1 hµν h λ ν,λ,µ h λ µ,λ,ν + h λ λ,µ,ν) mit h µν = λ λ h µν. R 00 = 1 h 00 = 1 h 00, alle anderen Terme verschwinden wegen h µν,0 = 0, d.h. 1 a g! 00 = 1 κt 00 + cη 00 + h 00 ) Forderung D) ergibt a = 1, c = 0, also E µν = G µν Einstein-Tensor) G µν = κt µν G µν = R µν 1 Rg µν R µν = κ T µν 1 ) T g µν Einsteins Feldgleichungen 5. Struktur der Feldgleichungen 5..1 Feldgleichungen als Differentialgleichungssystem G µν = κt µν partielle Differentialgleichungen. Ordnung, nichtlinear Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen? Cauchy-Problem? 5.. Diffeomorphismen und Koordinatenbedingungen 10 Differentialgleichungen für 10 Unbekannte, aber nicht alle 10 Differentialgleichungen sind unabhängig wegen G µ ν;µ 0. vgl. Maxwellsche Elektrodynamik: α F αβ = J β es gilt β α F αβ) = 0, d.h. nur 4 1 = 3 Feldgleichungen sind unabhängig. Grund: Eichfreiheit F αβ = α A β β A α, A α A α + α φ 33

34 Wähle Eichbedingungen div A = 0 α A α = 0 Coulomb-Eichung) ) Lorenz-Eichung). Koordinatenbedingungen Koordinaten in Gauß-Eichung synchronisierte Koordinaten; co-moving coordinates) g 00 = 1, g 0i = 0 de Donder-Koordinaten harmonische Koordinaten) g µν Γ λ µν = 0 Gauß-Eichung lässt sich stets erreichen: g µν = g λρ J ρ µj λ ν g 00 = 1 = g λρ J ρ 0 J 0 λ x ρ x λ = g λρ x 0 x 0, g 0i = 0 =... Differentialgleichungen für Koordinatentransformation x = fx). In Gauß-Koordinaten gilt Γ λ 00 0 Geodätengleichung wird trivialerweise gelöst durch da u λ = dxλ ds, dx 0 ds = 1, dx i ds = 0. du λ ds + Γλ iju i u j + Γ λ 0iu 0 u i = 0 u λ ) = c, 0, 0, 0), 5..3 Zeitintervalle und Distanzen x µ sind lediglich Koordinaten. Was sind die wahren Zeiten und Längen? hängt vom Beobachter ab) für unbewegte Uhr c dτ = g µν dx µ dx ν = g 00 dx 0 dx 0 dx i = 0) cdτ = g 00 dx 0, dl = γ ik dx i dx k, γ ik = g ik g 0ig 0k g Kosmologische Konstante Λ c = Λ, Λ hat die Dimension Länge) Λ 1/ Lichtjahre. G µν + Λg µν = κt µν 34

35 6 Schwarzschild-Metrik 6.1 Schwarzschildsche Lösung der Vakuumfeldgleichungen G µν = 0 R µν 1 Rg µν = 0 R µν = Isotrope Metriken Sphärisch-symmetrisch) Ausgangspunkt: Minkowski-Metrik in Polarkoordinaten t, r, θ, ϕ) cdτ) M = c dt dr r dω, dω := dθ + sin θdϕ Allgemeinster Ansatz für sphärische Symmetrie: cdτ) M = fc dt gdr hr dω f, g, h sind Funktionen von t und r. Führe neue Radialkoordinate ein: r = hr, t)r cdτ) = f r, t)c dt ḡ r, t)d r r dω oder cdτ) = Br, t)c dt Ar, t)dr r dω Standardform der isotropen Metrik cdτ) = c dt Ur, t)dr V r, t)r dω Gauß-Form cdτ) = Hr, t)c dt Jr, t) [ dr + r dω ] Isotrope Form 6.1. Schwarzschild-Vakuumlösung im Außenraum einer sphärisch-symmetrischen Massenverteilung) Lösungen mit g µν,0 = 0, R µν = 0. Berechne zu g µν ) = Br) 0 Ar) r 0 r sin θ Γ λµν und damit R µν ; man erhält Differentialgleichungen für die unbekannten Funktionen A, B. 35

36 Zusammenhänge/Christoffel-Symbole F = df dr ) Mit Γ λ µν = 1 gλρ g µρ,ν + g νρ,µ g µν,ρ ) gilt Γ 0 01 = B B Γ 1 01 = B A ; Γ1 11 = A A ; Γ1 = r A ; Γ1 33 = sin θγ 1 alle anderen Γ µ νλ identisch Null. Γ 1 = 1 r ; Γ 33 = sin θ cos θ Γ 3 13 = 1 r ; Γ 3 = cot θ, nicht-verschwindende Komponenten des Ricci-Tensors Mit R µν = Γ λ µλ,ν Γλ µν,λ + Γλ µργ ρ λν Γλ µνγ ρ λρ gilt R 00 = B A + B A 4A R 11 = B B B A 4B R = 1 r A ) A + B B B ra ) A + B A B ra ) A A B + 1 B A R 33 = R sin θ, alle anderen R µν = 0. Lösung Br) = 1 + α r, Ar) = B 1 r), wobei α = const. noch zu bestimmen) Bedeutung von α: Im Newton-Limes g 00 = 1 R ) M, R M = GM r c Schwarzschild-Radius zur Masse M Also α = R M : c dτ = 1 R M r ) c dt 1 R M r ) 1 dr r dω Für r kommt man wieder zur Minkowski-Metrik Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik i) Koordinaten und Krümmungssinguläritäten In der Standardform gibt es eine Singularität für r = R. r = R ist eine Koordinatensinguläritat. a) Indiz g = detg µν ) = r 4 sin θ, R µνλρ R µνλρ = 1 R r 6 bleiben endlich bei r = R! Aber: Singularität bei r 0. 36

37 b) Führe Koordinaten-Transformation aus r 1 + R 4r ) r Dann hat die Metrik die isotrope Form c dτ = Hr)c dt Jr) [ dr + r dω ], Hr) = 1 R 4r 1 + R, Jr) = 1 + R ) 4 4r 4r R bezeichnet den Ereignishorizont. Umfang des Horizontes πr. ii) Visualisierung des Raumanteils Zeitschnitt dt = 0, Ebene θ = π, dθ = 0 Entfernungsmessungen dσ = 1 R ) 1 dr + r dϕ r sphärische Symmetrie alle Punkte auf der Fläche r = r 0 sind gleichberechtigt. radiale Koordinate ist so definiert, dass die Oberfläche einer Kugel mir r 0 den Wert 4πr 0 hat. Umfang πr 0 ) radiale Abstände sind bestimmt durch Konsequenz: Ur 0 ) r dl = < π mit r = 1 R r ) 1/ dr. r R x ) 1/ dx. Beispiel: Schwarzes Loch mit Sonnenmasse, R 3km. Messe Umfang r 1 = 4km, r = 5km. r = r r 1 dr 1 R ) 1/ = r r R + R log r + r R r r = 1, 73km, nicht 1km. iii) Far Away Time à la Wheeler) Koordinate t ist die Zeit, die im Unendlichen ruhende Uhr anzeigt dτ = dτ dt für r. 1 R r ) 1/ dt für dr = 0, dθ = 0, dϕ = 0 r r 1 37

38 Konsequenz: gravitative Rotverschiebung Sender bei r S = R, Empfänger bei r E = 4R Rotverschiebung: Z = ν S ν E 1 = g 00 = 1 R ), z = r [ ] 1/ g00 r E ) 1 g 00 r S ) iv) Ausgezeichnete Bezugssysteme à la Wheeler) 1 1 )1/ = 0, 1) Free Floater Frei fallender Beobachter; lokal gilt Spezielle Relativitätstheorie SRT) in immer kleineren Raumzeit-Bereichen ) Shell Observer Beobachter, der fest auf einer Kugeloberfläche mit Umfang πr S r S > R) sitzt. Lokal gilt SRT mit den skalierten Längen und Zeiten dr S = 1 R ) 1/ dr, dt S = 1 R ) 1/ dt r S r S 3) Schwarzschild-Buchhalter Remote Observer) benutzt Schwarzschild-Koordinaten zur Buchhaltung). Schwarzschild- Koordinaten gelten global bis zum Ereignishorizont) Birkhoff-Theorem Frage: Wie sehen zeitabhängige Lösungen für sphärisch-symmetrische Metriken aus? Ar) Ar, t), Br) Br, t) Antwort: Nicht anders als die stationären Lösungen. Theorem Jede sphärisch-symmetrische Lösung der Vakuumfeldgleichungen ist statisch. 38

39 Grafische Darstellung der Schwarzschild-Metrik nahe des Schwarzschild-Radius: 39

40 6. Geodäten in der Schwarzschild-Metrik 6..1 Prinzipielles Vorgehen 1. Aufstellung der Geodätengleichungen mit x µ = t, r, θ, ϕ)) d x µ dλ zusammen mit Masse m) + dx ν dx ρ Γµ νρ dλ dλ = 0 ) g µν dx µ dλ. Finde 1. Integrale dieser Gleichungen dx ν { dλ = ε für m 0 0 für m = 0 3. Interpretiere die Integrationskonstanten physikalisch. Beispiel für ), θ- Koordinate: θ + r ṙ θ sin θ cos θ ϕ = 0 θ = dθ dλ dθ ) dt 6.. Erhaltungssätze und 1. Integrale Es gibt vier Killing-Vektoren, drei aufgrund sphärischer Symmetrie, einen aufgrund von Zeittranslationen g µν,0 = 0.) Für jeden Killing-Vektor ξ µ gilt ξ µ ẋ µ = const. Sphärische Symmetrie entspricht Drehimpulserhaltung, Zeittranslationen entsprechen Energieerhaltung. Drehimpulserhaltung bedeutet: Bewegung erfolgt in einer Ebene. hat die Lösung θ = π dann θ = 0, also auch θ = 0.) Die verbleibenden Killing-Vektoren: E µ = t ) µ = 1, 0, 0, 0), J µ = ϕ ) µ = 0, 0, 0, 1) bzw. E µ = g µλ E λ = Br), 0, 0, 0), Br) = 1 R r ), J µ = g µλ J λ = 0, 0, 0, r ) E µ ẋ µ = Bcṫ = e, J µ ẋ µ = r ϕ = j sind erhalten! g µν dx µ dλ dx ν dλ = Bc ṫ + Aṙ + r θ }{{} { ṙ + B j r e = Bε = 0 0 +r sin θ }{{} { Bc Wir haben also eine Gleichung der Form 0 dr dr = fr) bzw. dλ 1 { ϕ = e B + Aṙ + j r = ε 0 ) für λ = τ fr) = dλ mit A = B 1 ) λr), rλ)

41 Die Umrechnung λ t erfolgt über ẋ = dx dλ = dx dt ) dt dλ = dx dt Für den Shell Observer Beobachter auf Kugelebene mit Umfang πr S ) gilt e Bc dt S = B 1/ dt, dr S = B 1/ dr dr S dt S 1 dr = B dt = c e dr dλ 6.3 Geodäten massiver Objekte Klassifizierung der Bewegungen i) Effektives Potential Radialgleichung λ = τ) ṙ + B j r e = Bc = 1 + R ) c r ṙ + V r) = e c = κ, V r) = R r c + j r Rj r 3 j c ist der Wert, für den gerade noch eine reellwertige Lösung für existiert, also dv dr = 0 Rc r j r + 3Rj = 0 j c = 3Rc. Sei j > j c, dann bedingt die Radialgleichung ṙ + V r) = κ folgende Bewegungen in Abhängigkeit von κ: κ > V max Fall ins Zentrum 41

42 0 < κ < V max Streulösungen V min < κ < 0 gebundene Bewegungen für κ = V max und κ = V min Kreisbewegung instabil bei V max ). ii) Vergleich mit Newton/Kepler ) 1 dr m + V eff r) = E, V eff = GmM + J dt r mr Vergleich: ) dr R dt r c + J m r = E m j = J m, E m = e c, e = Gesamtenergie Masse Einschub: Newton/Kepler und Kegelschnittgleichungen Ausgangspunkt: Radialgleichung ṙ GM r + J mr = E m ; ṙ = dr dt 1) wähle neue Variable u = 1 r ṙ = 1 u u 1 u 4 u + J ) u = du dϕ ϕ, Drehimpulserhaltung ϕ = J m u GMu = E m mr = J m u ) du + u = GMm dϕ J u + Em J 3) differenziere nach ϕ und dividiere durch du dϕ ) Lösung d u dϕ + u = Ω = GMm J uϕ) = Ω1 + ε cosϕ ϕ 0 )) mit ε, ϕ Integrationskonstanten. Dies sind Kegelschnitte für ε = 0 u = Ω, r = 1 Ω Kreis für ε < 1 Ellipsen für ε = 1 Parabeln für ε > 1 Hyperbeln 4

43 speziell für Ellipsen mit Halbachsen a, b) 6.3. Radiale Bewegungen a b = Ω, 1 b a = ε. i) Erhaltungsgrößen und Anfangsbedingungen j = 0, V r) = R r c ṙ = ) dr, ṙ R dτ r c = e c ṙ = e Br)c frei fallender Beobachter, Free Floater Shell Observer vs drs = dt S v F F = e Br)c ) = c e e Br)c ) SS-Buchhalter Schwarzschild-Buchhalter) ) dr vb = = B c dt e e Br)c ) e hängt vom Anfangszustand ab für r = r 0 sei v = v 0, hier v s = v 0 v 0 = c e e B 0 c ), B 0 = 1 R r 0 Zwei Spezialfälle: e = B 0c 1 v 0 c r 0 : e = ii) Geschwindigkeitsverläufe für zentralen Fall Free Floater c 1 v 0 c, v 0 = 0 : e = B 0 c v F F = e Bc startet mit Geschwindigkeit e c v 0; Geschwindigkeit am Schwarzschild- Radius v F F = e Shell Observer v S = c e e Bc ) Geschwindigkeit am Schwarzschild-Radius v S = c 43

44 Schwarzschild-Buchhalter vb = B c e e Bc ) = Hr) Geschwindigkeit am Schwarzschild-Radius v B = 0 iii) Fallzeiten Buchhalter dr dτ = e Bc ) 1/, τ = dr e Bc ) 1/ dr dt = e Bce Bc ) 1/ Integral divergiert, konsistent mit Verhalten von Hr) Free Floater r dr τr ) τr 1 ) = e Bc ) 1/ ist geschlossen lösbar mit der Substitution u = κ + c R r )1/ = e Bc ) 1/ u τr ) τr 1 ) = Rc du u κ) Beispiele 1) κ = 0 e = c r 0 =, v 0 = 0 τr ) τr 1 ) = [ R r1 ) 3/ r ) ] 3/ 3 c R R ) κ < 0, z.b. v 0 = 0, e = B 0 c = c 1 R r 0 ), r = r 0, r 1 = R τr 0 ) τr) = 1 R c r 1 u 1 [ r0 ) ) 3/ 1/ ) ] R R R R r 0 r0 + arccos 1 r 0 für r 0 R τ = 1 π R c 44 r0 ) 3/ R

45 ) R Darstellung des Ergebnisses über Zykloidparameter η η = arccos r 0 1 ) r = r cos η), τ = 1 R c r0 ) 3/ η + sin η) R 3) Fallzeit zwischen r = R und r = 0: e = c, κ = 0 T = R 3 c Mit R = 10 α R = 10 α m, c = m s ergibt sich T = 3 10α 5 s Für ein stellares Schwarzes Loch α = 1) ist T 1 = 10 4 s, für ein galaktisches Schwarzes Loch α = 6) ist T 6 = 10 s. Es ist also festzuhalten, dass Schwarze Löcher im Wesentlichen ungefährlich sind. iv) Fluchtgeschwindigkeit 1) Newtonsche Mechanik Damit Objekt r erreichen kann, muss E m > 0 sein: ) dr + V eff > 0, dt }{{} R r c v > R r c Auf der Erde: v F > R R c ) Einstein-Schwarzschild κ = e c > 0: e = Bc > c, v > R 1 v r c c d.h. Newton-Resultat! für Shell Observer). Maximale Fluchtgeschwindigkeit v F < c: r > R 45

46 v) Gezeitenkräfte für zwei benachbarte Geodäten x µ = xµ 1 + sµ, s µ x µ i D s µ Dλ = Rµ dxν dx ρ νλρsλ dλ dλ Verwendung von R µ νλρ der Schwarzschild-Metrik D s r Dτ = R r 3 sr c, D s α Dτ = R r 3 sα c α = θ, ϕ) Beispiel Gezeitenkraft durch Graviationsbeschleunigung in radialer Richtung auf Objekt der Ausdehnung l am Schwarzschild-Radius Horizont) b = R r 3 Lc b = 1 R Lc Gezeitenkräfte am Horizont sind umso schwächer, je massiver das Objekt ist. numerisch: L = 1 m, c = m s, R = 10α R = 10 α m, g = 10 m s b H = 10 9 α g Für ein stellares Schwarzes Loch α = 1) ist b 1 = 10 7 g, für ein galaktisches Schwarzes Loch α = 6) ist b 6 = 10 3 g Orbitale Bewegungen ṙ + V r) = e c, i) Kreisbahn im Extremum des Potentials dv dr V r) = R r c + j r Rj r 3 ṙ = dr dτ )! = 0 Rr c j r + 3Rj! = 0 j 3R r) + Rr c! = 0 Also muss gelten 0 j = Rr c r 3R r > 3 R Für eine stabile Kreisbahn muss ein Minimum des Potentials vorliegen d V dr Bahn > 0 r > 3R stabile Kreisbahnen nur für r > 3R; ISCO innermost stable circular orbit 46

47 ii) Kepler-Gesetze 3. Gesetz für Kreisbahn r = const, dr = 0 Differenziere nach r c dτ = Bc dt r dϕ, B = c = Bc ṫ r ϕ B c ṫ r ϕ = 0, B c r ) dϕ = 1 Rc dt r r, ν a = 1 π 1 R ) r B = db dr = R r ) dϕ = 0, ϕ = dϕ dt R = GM c, gleiches Ergebnis wie bei Newton. dt ṫ = dϕ e dt Bc ) dϕ, Ta = π) dt Rc r3 iii) Perihelverschiebung für Merkur 5600 / Jahrhundert nach Newton schen Korrekturen 43 / Jahrhundert Gehe aus von Radialgleichung ṙ Rc r 1) Setze u = 1 r DGL u = uτ) ) Verwende r ϕ = j für u = du dϕ ϕ 3) Differenziere diese DGL nach ϕ Newton d u N dϕ + u N = Ω = GMm J + j r Rj r 3 = e c d u dϕ + u 3 Ru = Rc j Störungsrechnung u = u N + u K, u K u N = Rc j, u N = Ω1 + ε cos ϕ) d u N dϕ + d u K dϕ + u N + u K 3R u N + u K ) = Ω }{{} =u N d u K dϕ + u K = 3 RΩ 1 + ε cos ϕ + ε cos ϕ) ε cos ϕ, Konstante 1 kann weggelassen werden u K = 3RΩ ε ϕ sin ϕ, u = Ω 1 + ε cos ϕ + 3 ) RΩεϕ sin ϕ 47

48 rotierende Ellipse hat die Form u = Ω1 + ε cos λϕ), Periode φ = π λ Setze: cos ϕ + 3 RΩϕ sin ϕ = cos λϕ Benutze Additionstheoreme cosϕ ϕ K ) = cos ϕ cos ϕ K + sin ϕ sin ϕ K ϕ K 1 cos ϕ K = 1, sin ϕk = ϕk cosϕ ϕ K ) = cos ϕ + ϕ K sin ϕ, ϕ K = 3 RΩϕ, λ = 1 ϕ K ϕ Die korrigierte Lösung u stellt also eine rotierende Ellipse dar. Abweichung von starrer Ellipsenbahn ϕ = φ π = π ) λ π = π RΩ 1 ϕ = 3πRΩ für Merkur: R = 3 km, Ω 1 = km, π = ϕ Merkur = 0, 104 pro Umlauf) = 43 pro Jahrhundert) iv) Einfangbedingung Problem: Objekt kommt mit Geschwindigkeit v aus dem Unendlichen in das Gravitationsfeld eines Schwarzen Loches Frage: Wann fällt das Objekt ins Zentrum bzw. wann entkommt es dem Schwarzen Loch? Bedingung für Entkommen s.o.): V max > 0, e c < V max ṙ + V r) = e c 48

49 führe dimensionslose Variable ein ρ = r R, V r) V ρ) = c ρ + z 1 ρ z 1 ) ρ 3 z = j R Anfangsbedingungen 1) für r ) Stoßparameter b ṙ e c, e = c 1 v c b = r sin ϕ, für r : sin ϕ ϕ, b = rϕ = konst ṙϕ + r ϕ = 0, rṙϕ + r ϕ = 0, j = b ṙ = b e c ) }{{} j Extremwerte von V z = j R = b R v 1 v c notwendinge Bedingung V = 0 ρ E = z c ± z c ) 3 z c z > 3c, b R v 1 v c > 3c ρ max = z c z c ) 3 z c Maximum des Potentials. Zweite Bedingung Γ ρ3 max z Beispiel e c < V max = V ρ max ), v 1 v c }{{} Γ < c ρ max + z ρ max < ρ maxc +ρ max 1, ρ z max+ c 3Γ Γ ρ max c Γ < 0 z ρ 3 max z = c ρ ) max ρ max 3 49

50 1) v = c, Γ = c c, 3Γ Γ = 1 ρ max ρ max 1 < 0, ρ < = ) z > 11, 1c = b K R c, b > 3, 33 R ) v = c 7 1 ε) b > 4 R ε) erste Näherung in ε) 6.4 Null-Geodäten Geodäten für Photonen, dτ = Klassifikation der Bewegungen i) Effektives Potential Radialgleichung ṙ + B j r e = 0, ṙ + V r) = e, V r) = j r Rj r 3 ii) Kritischer Stoßparameter Vergleiche e mit V M e > 4 < 7 R, 1> 4 < 7 e R Stoßparameter b = j e, kritischer Stoßparameter 7 b c = 4 R =, 6 R j b < b c Photon wird eingefangen b > b c Streuung am Schwarzen Loch b = b c instabile) Kreisbahnen 6.4. Geschwindigkeiten und Stoßparameter i) Geschwindigkeiten j ) ṙ = e 1 B b r, ṙ = dr dλ 50

51 Schwarzschild-Buchhalter ) ) dr = vbr = B c 1 B b dt r ) dϕ r = vbt = Bc b ) mit r ϕ = j, e = Bc ) dt r ) v = vbr + vbt = B c 1 + b R r r Für r R ergibt sich v = 0! Shell Observer v SR = dr S dt S 1 dr = B 1 dt = ±c B b r v BT = B 1/ c b r v = c ii) Bestimmung von b aus Anfangs-/Randbedingungen Photon aus ) 1/ Photon aus endlicher Entfernung bezogen auf Shell Observer) sin θ 0 = v ) T c = b B1/ 0, b = r 0 B 1/ 0 sin θ 0, B 0 = 1 Rr0 r 0 Beispiel: Laserpuls wird unter 30 bei r 0 = 5R abgefeuert. Entkommt der Puls dem Schwarzen Loch? b = 5R 1 5) 1 1/ sin θ }{{} 0 = 5 1/ 4 R =, 8 R >, 6 R = bc 5) 1 51

52 6.4.3 Optik in Schwarzschild-Geometrie i) Bahnkurve rϕ) ṙ = dr ) 1/ 1 dλ = ±e B b r }{{ dϕ dr = dϕ dλ dλ dr = ± ϕ 1 eg = ±b 1 r } G =:Gr) ϕ = ±b dr 1 r Gr ) }{{} elliptisches Integral ϕr) rϕ) Substitution: u = ˆr r, ˆr nach Kontext ) ˆr 1/ dϕ = ± b u + u3 du Rˆr ii) Lichtablenkung in schwachen Gravitationsfeldern schwach R R, Beispiel: Sonne R R 10 6 Situation: Photon kommt unter ϕ auf gerader Bahn aus, gerät unter den Einfluss der Masse M, hat bei r 0 den kürzesten Abstand und verlässt das Feld auf gerader Bahn im Unendlichen Falls keine Lichtablenkung erfolgen würde, wäre die Änderung des Winkles π = 180 Situation ist symmetrisch bezüglich r 0 ϕ = ϕ ϕ 0 ) π Für die Bahngleichung gilt siehe Abschnitt i)) Ferner dr = 0 dϕ r=r0 dr dϕ = 1 b r 1 B b r 1 B b r ) 1/ )r=r0 = 0 r 0 b = B 0 = 1 R r 0 mit Substitution u = ˆr r gilt [ ] ˆr 1/ dϕ = b u + u3 du Rˆr 5

53 Wähle ˆr = r 0 [ dϕ = 1 u ) R ] 1/ 1 u 3 ) du r 0 }{{} Hu) Entwicklung von Hu) nach R r 0 : [ Hu) = 1 u ) 1/ R 1 u 3 ) )] R r 0 1 u + O 1 du ϕ ϕ 0 = + 1 R u 3 ) ) R 1 u ) 1/ r 0 1 u ) 1/ 1 u du + O r }{{}}{{} =π/ ϕ ϕ = R ) ) R + O r 0 r 0 ϕ ist maximal am Rand der ablenkenden Masse r 0 = R): ϕ = R R Beispiel Sonne: R = 3 km, R = km r 0 ϕ) th = , in Bogengrad ϕ) th 1, 75 ; ϕ) th ϕ) gemessen = 1, 0±0, 1 iii) Lichtablenkung am Schwarzen Loch Situation: Shell-Observer bei r 0 sieht ein Objekt unter θ 0. Wo steht das Objekt? dϕ = fu, ˆr) du, u = ˆr r, ˆr = R; ϕr 0) = 0 R/r 0 du R b u + u 3) 1/ b = r 0 B 1/ 0 sin θ 0 numerische Integration liefert folgende Ergebnisse: 53