Absolutheit der Gleichzeitigkeit im Euklidischen Universum

Transkript

1 1 bsoluhei der Gleichzeiigkei im Euklidischen Universum von Dieer Prochnow, erlin Keywords: Reihenfolge des Geschehens von Ereignissen, bsoluhei der Gleichzeiigkei, pezielle Relaiviäsheorie, Euklidisches Universum, Galilei Zei, Uhrenzei, Lorenz Transformaion, Galilei Transformaion. The considered work is concerned wih he emporal sequence of evens in sysems of he universe. Einsein s pecial Theory of Relaiviy (RT) allows evens o ake place as well simulaneously in one inerial sysem as also successively in oher inerial sysems. Thus, he emporal sequence of evens, especially he simulaneiy of evens, depends as well on sysems as on observers (relaiviy of simulaneiy). In he presen work, he relaiviy of simulaneiy in RT is alernaively considered as propery of he fourdimensional spaceime. In his connecion, he emporal sequence of evens sill remains sysem-dependenly bu appears independenly of observers in he inerial sysems. ysem-independence can be reached in addiion if proper-ime of evens is used insead of clock ime o order he emporal sequence of evens. u as he proper ime is no he coordinae ime of he ime-like coordinae of spaceime in RT, hese resuls, bound up wih ohers, gave rise o esablish a Euclidean universe. In a Euclidean universe, he emporal sequence of evens, especially he simulaneiy of evens, is independen of sysems and observers and, moreover, i is a consisen propery of space-ime (absolueness of simulaneiy). Einsein s well-known rain example originally inroduced o prove he relaiviy of simulaneiy is addiionally used here o illusrae he absolueness of simulaneiy. 1. Einführung Einsein ha in seinen Relaiviäsheorien das bbild eines Ereignisses, das ein möglicherweise enferner, aber unabhängiger eobacher von diesem Ereignis übermiel bekam, mi dem Ereignis selbs idenifizier. uf diese Weise und auf Grund der Relaivbewegungen der yseme zueinander gesae die pezielle Relaiviäsheorie (RT), dass Ereignisse in einem Inerialsysem gleichzeiig und in anderen Inerialsysemen nacheinander safinden. Die zeiliche Reihenfolge von Ereignissen im Einseinschen Universum is demensprechend sysem- und beobacherabhängig (Relaiviä der Gleichzeiigkei). Wir werden nachfolgend zeigen, dass das Einseinsche Krierium zur Konsaierung der Gleichzeiigkei, auf die vom uor in [1] gegebene Definiion der Gleichzeiigkei als Eigenschaf der Raumzei zurückgeführ werden kann. Dabei sind auch eobacher zugelassen, die lokal und emporär selbs von den beracheen Ereignissen im ysem abhängen. Daraus ergib sich eine von eobachern unabhängige zeiliche Reihenfolge der Ereignisse, die aber mi der Raumzei sysemabhängig bleib. In der RT muss man also weierhin von einer Relaiviä der Gleichzeiigkei sprechen. Die ysemabhängigkei der Raumzei in der RT resulier aus der verwendeen Minkowski Merik und der dami verbundenen Lorenz Transformaion. Es lieg daher nahe, dass zeiliche Reihenfolgen von Ereignissen eher von den Eigenzeien der Ereignisse als von den Uhrenzeien besimm werden. In diesen Fall wären zeiliche Reihenfolgen von Ereignissen in allen zulässigen Inerialsysemen gleich, da die Eigenzeidauer eines Ereignisses selber Invariane der zulässigen Inerialsyseme

2 in der RT is. llerdings sind Eigenzeien keine Koordinaenzeien der die Reihenfolge des Geschehens besimmenden zeiarigen Koordinae. Im Gegensaz zu Einsein sind wir der uffassung, dass die zeiliche Reihenfolge Geschehens unmielbar aus den Eigenschafen der Raumzei folgen muss - unabhängig von eobachern und Relaivbewegungen der yseme zueinander. Das in [1] vorgeselle euklidische Universum geh davon aus. Dazu wurde im Rahmen einer alernaiven Relaiviäsheorie sowohl die Merik der Minkowski yseme als auch die sysembildende Lorenz Transformaion geänder. Die Eigenzei der Ereignisse in der RT ha als Galilei Zei im euklidischen Universum dabei die Funkion einer Koordinaenzei der zeiarigen Koordinae übernommen. Die zeiliche Reihenfolge der Ereignisse wird demensprechend im euklidischen Universum von einer Galilei Zei besimm. 2. Definiion und Krierium der Gleichzeiigkei 2 Unser Universum läss sich vereinfach als Menge raumzeilich vereiler massebeladener Teilchen versehen [1]. Die Ore, an denen sich die Teilchen im Universum befinden, gehören zu einem vierdimensionalen Koninuum, das als Raumzei bezeichne wird. Die Ore X einer Raumzei N 4 des Universums sind eindeuig durch jeweils 4 reelle Zahlen x 1, x 2, x 3, x 4, den Koordinaen der Punke, besimm und werden Massepunke genann. Die Raumzei N 4 von Massepunken des Universums definier, verbunden mi einer geeigneen Merik G ein ysem = ( N 4, G) des Universums. Teilmengen einer Raumzei beschreiben Ereignisse des Universums. Massepunke können daher auch als Elemenarereignisse des Universums angesehen werden. Jeder der Massepunke ha 3 raumarige Koordinaen und eine zeiarige Koordinae (x 4 bezeichne hier die zeiarige Koordinae). Kausale eziehungen zwischen Ereignissen im Universum sezen eine Ordnung der Ereignisse voraus. Diese Ordnung wird durch die zeiarige Koordinae der Massepunke des vierdimensionalen Universums gewährleise. Die zeiarige Koordinae häng ihrerseis linear von einer Koordinaenzei ab, die alle Ereignisse im Universum in der Reihenfolge ihres Geschehens ordne. In einem ysem = ( N 4, G) des Universums finde demensprechend ein Ereignis {X} am dreidimensionalen raumarigen Ereignisor x = (x 1, x 2, x 3 ) zur Zei τ sa, wenn das Elemenarereignis X = (x 1, x 2, x 3, c. τ) zur vierdimensionalen Raumzei N 4 von gehör: X N 4, siehe [1]. G = (g i,j ) beschreib dabei den merischen Tensor der yseme und besimm dami die zugehörende merische Fundamenalform dieser yseme: ds 2 = g i,j dx i dx j, dx 4 = c. dτ. (1) In einem ysem des Universums geschehen Ereignisse = {X } und = {X } demensprechend gleichzeiig (= ) beziehungsweise voreinander (< ), wenn X = (x,x,x,c τ0, ) N 4 und X = (x,x,x,c τ0, ) N 4 und die Krierien (2) = τ 0, = τ 0, oder < τ 0, < τ 0, erfüll sind. In der RT Einseins [2] wird die im Minkowski Universum mi Uhren gemessene Zei als Koordinaenzei der zeiarigen Koordinae (und dami als Inerialzei) angesehen (τ = ). Im euklidischen Universum, das in [1] alernaiv zur Relaiviäsheorie Einseins auf der Grundlage einer raumzeibezogenen Galilei Transformaion begründe wurde, leg dagegen die Galilei

3 Zei als Koordinaenzei der zeiarigen Koordinae die Reihenfolge des Geschehens von Ereignissen fes (τ = ). 3 nmerkungen ( siehe [1]): Die Galilei - Zeidauer von Ereignissen is im llgemeinen nich direk messbar, kann aber mi Hilfe der messbaren Uhrenzeidauer berechne werden. Die Uhrenzeidauer fäll im euklidischen Universum bei geringen Teilchengeschwindigkeien näherungsweise mi der Galilei Zeidauer zusammen. Im llgemeinen ordnen Uhrenzeien im euklidischen Universum Ereignisse aber nich in der Reihenfolge ihres Geschehens, sondern bilden hier ein Maß für die Teilchenweglänge in der vierdimensionalen Raumzei. ie konrollieren daher weder Ursache Wirkungsbeziehungen von Ereignissen noch die lerung der Maerie. Galilei Zeien sind speziell dadurch charakerisier, dass die Galilei - Zeidauer von Ereignissen Invariane aller yseme des Universums is. ei universell einseiiger bhängigkei der Koordinaen der Raumzei von der Galilei Zei könne man die Galilei Zei im inne Newons auch als absolue Zei bezeichnen. In einem Universum, das mi einer Galilei Zei geordne wird, sind also sowohl Reihenfolge des Geschehens und dami die Gleichzeiigkei von Ereignissen als auch der blauf der lerung in allen ysemen gleich. Im euklidischen Universum is die Gleichzeiigkei von Ereignissen, die mi Hilfe einer Galilei Zei gewährleise wird, daher syseminvarian, beruh dabei auf Definiion (2), und kann als absolue Eigenschaf des Universums angesehen werden. In der RT is die zeiliche Reihenfolge von Ereignissen, die hier auf Uhrenzeien bezogen wird, schwieriger zu beureilen. Einsein ha in seinen Relaiviäsheorien [2,3] das an einen eobacher übermiele bbild eines Ereignisses mi dem Ereignis selbs idenifizier. us dieser ich ergib sich sinngemäß daraus folgendes Krierium zur Fessellung der Reihenfolge des Geschehens von Ereignissen Zwei Ereignisse ={X } und ={X } reen in einem ysem des Universums gleichzeiig (beziehungsweise voreinander) ein, wenn ein ausgewähler eobacher im ysem, die von den Ereignisoren ausgesendeen Lichsignale gleichzeiig (beziehungsweise voreinander) erhäl: = τ = τ beziehungsweise < τ < τ, (3) wobei τ und τ die nkunfszeien der Lichsignale von beziehungsweise beim eobacher sind. Die Reihenfolge des Geschehens von Ereignissen häng bei diesem Krierium im llgemeinen vom raumarigen Or und von der ewegung des eobachers ab. efinde sich beispielsweise im Rahmen der RT in jedem Inerialsysem ein eobacher im raumarigen Koordinaenursprung, so können Ereignisse in einem Inerialsysem zur selben Uhrenzei und in einem anderen Inerialsysem zeilich nacheinander beobache werden. Einsein nenn das Relaiviä der Gleichzeiigkei. Wir werden nachfolgend zeigen, dass sich uner Nuzung des Prinzips der Konsanz der Lichgeschwindigkei ein spezielle räumliche nordnung der eobacher in den Inerialsysemen der RT begründen läss, die auf der mi (2) gegebenen Definiion zur zeilichen Reihenfolge von Ereignissen als Eigenschaf der Raumzei beruh, siehe auch [1], und die dami zu einer von eobachern unabhängigen Reihenfolge des Geschehens der Ereignisse führ.

4 Die in diesem Zusammenhang hergeleiee nordnung der eobacher wurde unabhängig davon bereis in [2,3] von Einsein zur Konsaierung der Gleichzeiigkei von Ereignissen vorgeschlagen. 3. Varianen der Relaiviä der Gleichzeiigkei in der RT Die merische Fundamenalform der Minkowski - yseme ds 2 = dx α dx α c 2. d 2 vereinfach sich für ds = 0 bei licharigen Ereignissen zu 4 d = d x c, dx = (dx 1, dx 2, dx 3 ). (4) Ein von einem raumarigen Or x 0 = (x0, x0, x0) zur Uhrenzei 0 ausgehendes Lichsignal breie sich bei fehlender Graviaion kugelförmig aus. Ein Lichquan (Phoon) enfern sich dabei radial geradlinig von x 0 mi Lichgeschwindigkei c. In diesem Fall kann gezeig werden, dass sich die Fundamenalform (4) auch in der Form d = d x0 x c, x = x( ), x 0 = x( 0 ), 0 (5) darsellen läss. Daraus ergib sich peziell erhäl man für x = x 0 : d( x x0 c) = 0 oder x x0 c = cons. (6) 0 x0 x0 c = 0 = cons. Da ses 0 sein muss, erhalen wir in diesem Fall als diskreisiere Form von (4). - 0 = x x0 c. (7) uf dieser Grundlage besimmen wir in einem Minkowski ysem im Rahmen der RT die Reihenfolge des Geschehens zweier Ereignisse nach Krierium (3) ngenommen, ein Ereignis = {X } finde an einem raumarigen Or x = (x,x,x) sa und sende unmielbar zur Ereigniszei 0, ein kurzes Lichsignal ab. n einem raumarigen Or x = (x,x,x) möge ein weieres Ereignis = {X }safinden und zu seiner Ereigniszei 0, ebenfalls ein Lichsignal abgeben. usgelös von den Lichsignalen bewegen sich Lichquanen danach geradlinig mi konsaner Lichgeschwindigkei c von x beziehungsweise x nach x, dem Or eines eobachers. Der eobacher kann dann am Or x das Einreffen der von x und x ausgesendeen Lichsignale zu den Uhrenzeien und messen. Er erhäl auf diese Weise Informaionen über die Ereignisse und, die bei ihm ein mehr oder minder vollsändiges bbild der Ereignisse formen. Phoone, die von den Oren x und x aus zum Or x fliegen, benöigen dafür ensprechend (7) die Uhrenzei

5 eobacher 0, = x x c beziehungsweise 0, = x x c. Daraus ergib sich 5 ( ) = ( 0, 0, ) + ( x x - x x ) c. (8) Im Folgenden konkreisieren wir (8) am eispiel des Einsein - Zuges und ermieln dami die Reihenfolge der lizeinschläge in bhängigkei von Or und ewegung der eobacher, siehe [2,3]. Dazu berachen wir als Minkowski yseme den ruhenden geradlinigen ahndamm = (N 4, G) und den mi konsaner Geschwindigkei v = (v, 0,0) fahrenden Zug = N,G). ( 4 bhängigkei der Reihenfolge des Geschehens von eobachern und ysemen In diesem cenario regisrier ein am ahndamm ruhender eobacher M enlang des ahndamms die lizeinschläge und, die als Ereignisse zu den Uhrenzeien 0, und 0, in einreen. Dabei legen wir das Koordinaensysem des ruhenden ahndammsysem so, dass M sich im raumarigen Koordinaenursprung x M von befinde und die raumarigen Einschlagsore der lize x und x gleichen bsand vom eobacher haben, siehe bb. 1: x M = (0, 0, 0), x = (x,0,0), x = (x,0,0) und x = -x > 0. (9) 0, 0, bb. 1: Im ahndammsysem erhäl der eobacher, der in der Mie zwischen den lizeinschlägen ruh, gleichzeiig das Lichsignal der lizeinschläge bei x und x. x c x M c x c Im Zugsysem lassen sich die lizeinschläge von einem eobacher M, der sich hier, analog zum eobacher in, im raumarigen Koordinaenursprung x M = (0, 0, 0 ) des Zuges befinde, zu den Zeien und wahrnehmen, siehe bb. 2. Die lizeinschläge finden dabei an den Ereignisoren x (x, 0,0 ) und (x, 0,0 x ) zu den Ereigniszeien bezie- hungsweise 0, sa. uf Grund von (9) erhäl (8) das ussehen: ( ) = ( 0, 0, ) in. 0, Mi Einsein nehmen wir nun an, dass die lizeinschläge und in gleichzeiig erfolgen, dass also = gil, siehe bb. 1. Nach Krierium (3) is dann

6 6 = in. (10) Der eobacher M am ahndamm müsse demensprechend das gleichzeiige Einreffen der lizeinschläge messen. Darüber hinaus ergib sich hierbei auch, dass die lizeinschläge an den voneinander enfernen Ereignisoren zur gleichen Ereigniszei erfolgen: 0, = 0, in. (11) Im Zugsysem ha (8) das ussehen - = 0, - 0, + ( x - x ) c. (12) uf Grund der Zeidilaaion beseh zwischen den Zeien von und der Zusammenhang: 0, = 0, ß, 0, = 0, ß, Durch ubrakion der Gleichungen (13) erhalen wir 0, - und dami wegen (11) auch im Zugsysem: 0, = ß vc. (13) 0, = ( 0, - 0, ) ß (14) 0, in. (15) Die Ereignisore sind dagegen im Zugsysem nich mehr gleich wei vom Zugbeobacher enfern. uf Grund der Lorenz Transformaion gil: x = ( x v. 0, ) ß und us (9), (12), (13) und (15) erhalen wir - = v c. ( 0, + x = ( x v. 0, ) ß. (16) 0, ). (17) Krierium (3) zur Konsaierung der Gleichzeiigkei der lizeinschläge laue in : ( = ) oder ( > ) oder ( < ). (18) Daraus folg hier: = v = 0, > v > 0 und < v < 0. (19) Die Reihenfolge der lizeinschläge und is, wie (19) zeig, auf Grund der verwendeen Lorenz Transformaion (16) hier von der Relaivgeschwindigkei der yseme zueinander abhängig, also sysem- und beobacherabhängig. Die Ereigniszeipunke sind gleich: 0, = 0,, während die beobacheen Zeipunke verschieden gemessen werden: >.

7 eobacher 7 0, x c x Mc x c 0, bb. 2: Im Zugsysem erhäl der eobacher, der hier näher am vorderen lizeinschlag im Zug ruh (x < x ), das Lichsignal vom vorderen liz eher als das ignal des hineren lizes. Der vordere lizeinschlag finde danach vor dem hineren lizeinschlag sa. Unabhängigkei der Reihenfolge des Geschehens von eobachern Wir modifizieren nun das vorherige cenario, in dem wir eobacher M zulassen, die im Zugsysem in bhängigkei von den Ereignissen anders lokalisier sein können als in, siehe bb. 3. Gleichung (8) erhäl im ysem allgemein die Form - = + ( x M - 0, - 0, x - x M - x ) c. Der eobacher M im Zug kann dann in bhängigkei von den Einschlagsoren lize im Zug so lokalisier sein, dass x M - x = x M - x und x der x (20) gil. Das bedeue, er muss sich im Zug zur Realisierung von (20) in der Mie zwischen den Ereignissen, hier den lizeinschlägen, aufhalen: x M = ( x + x )2. (21) Die sich hier ergebende Lokaliä (21) ensprich dem bereis in [2,3] von Einsein formulieren Krierium für das Konsaieren der Gleichzeiigkei von Ereignissen. Das Einseinsche Krierium verbinde Krierium (3) speziell mi dieser Lokalisierung der eobacher und kann dadurch auf die vom uor bereis in [1] vorgeschlagene Definiion (2) zurückgeführ werden. Wir erhalen mi (20) und (21): - =. (23) 0, - 0, Die zeiliche Reihenfolge des Geschehens von Ereignissen is daraufhin als Eigenschaf der Raumzei anzusehen.

8 eobacher eobacher Wir berachen dazu die am Einseinschen Zugbeispiel ensehende Reihenfolge der lizeinschläge. Nach Definiion (2) erhalen wir hier die Krierien 8 = 0, = 0, in und = 0, = 0, in (24) für die Gleichzeiigkei der lizeinschläge im ahndamm- beziehungsweise im Zugsysem. 0, x c x Mc x c 0, bb. 3: Die am ahndamm ruhenden Einschlagsore der lize bewegen sich im Zugsysem der Fahrrichung engegengesez. Der eobacher im Zug befinde sich in der Mie zwischen den lizeinschlägen. Er regisrier hier Gleichzeiigkei der lizeinschläge. Demensprechend erfolgen die lizeinschläge auf Grund von (11) und (15) nun in beiden ysemen gleichzeiig und wegen (14) gil darüber hinaus = =. uf Grund von (23) is die Reihenfolge des Geschehens darüber hinaus unabhängig von eobachern. Man könne deshalb annehmen, die Gleichzeiigkei der Ereignisse wäre eine Invariane der zulässigen Minkowski yseme in der RT. Das is jedoch nich der Fall! Mi der ysemabhängigkei der Raumzeien bleib auch die Reihenfolge der Ereignisse, speziell die Gleichzeiigkei, sysemabhängig. Wir illusrieren das mi Hilfe einer weieren Modifikaion des Einseinschen Zugbeispiels. Dazu nehmen wir an, dass der hinere liz direk in den Zug einschläg, der dabei mi einer Geschwindigkei v > 0 den ahndamm enlangfähr, während der vordere liz zur gleichen Zei (des Zugsysems) den ahndamm riff, siehe bb. 4a: 0, x c x c 0, bb. 4a: Im Einseinschen Zugsysem komm der Or des vorderen lizeinschlages dem eobacher näher, während der Or des hineren lizeinschlages relaiv zum eobache ruh. eide lizeinschläge erfolgen davon unabhängig gleichzeiig.

9 eobacher 0, = 9 0, und dami = in. (25) Die lizeinschläge erfolgen im Zugsysem gleichzeiig. Im ahndammsysem schläg liz dagegen späer als liz ein, siehe bb. 4b. 0, 0, x c x c bb. 4b: Im ahndammsysem des Einseinschen Universums näher sich der Or des hineren lizeinschlags mi dem fahrenden Zug dem eobacher, während der Or des vorderen lizeinschlags relaiv zum eobacher ruh. Es bleib also auch dann in der RT bei einer Relaiviä der Reihenfolge des Geschehens von Ereignissen, wenn die zeiliche Reihenfolge sich zwar unabhängig von eobachern einsell, dafür aber immer noch vom ezug und von relaiven ewegungen der yseme zueinander abhäng. Die ysemabhängigkei kann dabei auf Grund von Dilaaionen der Uhrenzeidauer von Ereignissen hervorgerufen werden. Wir halen es daher für möglich, dass die zeiliche Reihenfolge des Geschehens im Universum nich, wie bisher angenommen, durch die Uhrenzei geseuer wird, sondern durch einen syseminvarianen Zeiparameer, der keiner Zeidilaaion unerlieg. Das riff auf die in [1] definiere Galilei Zei zu, die im euklidischen Universum darüber hinaus auch Koordinaenzei der zeiarigen Koordinae is. 4. bsoluhei der Reihenfolge des Geschehens im euklidischen Universum In einem ysem = (N 4, G) des euklidischen Universums [1] sind die Elemenarereignisse X der Raumzei N 4 durch vierdimensionale karesische Koordinaen besimm: X = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) N 4 und G = (δ i,j ). (27) Dabei is δ i,j das Kronecker ymbol und G die vierreihige quadraische Einheismarix. ei karesischen Koordinaen erhäl die merische Fundamenalform der yseme dann ensprechend (1) das ussehen: ds 2 = dx i dx i. (28) Die zeiarige Koordinae x 4 häng dabei linear von einer Galilei Zei ab: dx 4 = c. d. (29) Im euklidischen Universum is dami Koordinaenzei von x 4 und d Invariane aller zulässigen yseme. Die zeiliche Reihenfolge des Geschehens wird demensprechend von der Galilei Zei besimm [1].

10 10 Ereignisse und, die in einem ysem des euklidischen Universums zu Galilei Zeien beziehungsweise safinden, ereignen sich in bhängigkei von diesen Zeien enweder nacheinander oder gleichzeiig: < < oder = =. Darüber hinaus reen Ereignisse in allen zulässigen ysemen des euklidischen Universums in gleicher Weise enweder gleichzeiig ein oder erfolgen in gleicher Reihenfolge nacheinander: < < oder = =. n elle der Einseinschen Relaiviä der Reihenfolge von Ereignissen gil hier also wieder die bsoluhei der Reihenfolge des Geschehens. ei zeiabhängigen Ereignissen is die Uhrenzeidauer im euklidischen Universum proporional zur Länge des Weges, den ein Teilchen in dieser Zei in der vierdimensionalen Raumzei zurückgeleg ha: ds = c. d 0. (30) In der Raumzei bewegen sich also alle Körper bezogen auf die Uhrenzei mi der konsanen Geschwindigkei c. Da das auch für Lichquanen (im dreidimensionalen Raum bei d = 0) gil, kann der Proporionaliäsfakor c in (30) als Lichgeschwindigkei idenifizier werden. Die Uhrenzei is im euklidischen Universum keine Koordinaenzei, besimm hier also nich die Reihenfolge des Geschehens und konrollier demensprechend auch nich Ursache und Wirkung von Ereignissen. Zeiabhängige Ereignisse können zeiarig (d > 0) oder licharig (d = 0) sein. Für zeiarige Ereignisse folg aus (28), (29) und (30): d = d ß u, β 1 u c, (31) u wobei u dxd mi dx (dx,dx,dx ) die auf die Uhrenzei bezogene raumarige Teilchengeschwindigkei is. uf Grund von (31) reen auch im Euklidischen Universum Dilaaionen der Uhrenzei auf. Einseins Fessellung bewege Uhren gehen langsamer gil auf Grund dieser Dilaaionen, siehe (13), auch im Euklidischen Universum. Dilaaionen der Uhrenzei ragen hier aber nur scheinbaren Charaker. Es wird sogar vorausgesez, dass alle zu Messungen verwendeen Uhren im Euklidischen Universum unabhängig von ihren ewegungen in zulässigen Toleranzgrenzen ses synchron laufen. Dilaaionen im Euklidischen Universum gehen in Wirklichkei darauf zurück, dass Uhren sich in der vierdimensionalen Raumzei eines ysems mi konsaner Geschwindigkei c aber auf ahnen unerschiedlicher Länge bewegen und demensprechend dafür mehr oder weniger Uhrenzei benöigen. Im folgenden illusrieren wir diesen achverhal am Einseinschen Zugbeispiel. ei licharigen Ereignissen, also für d = 0, vereinfach sich die merische Fundamenalform (28,29) der yseme, wie in der RT, siehe (4), zu d = dx c. (32) Im Gegensaz zur esimmung der Reihenfolge des Geschehens in der RT ermiel ein eobacher im Euklidischen Universum auf Grund der Unendlichkei der auf die Galilei Zei bezogenen Lichgeschwindigkei mi der Messung der nkunfszeien der lize beim eobacher

11 eobacher eobacher zugleich auch die Ereigniszeien der lize. Dabei sind die Messungen des eobachers unabhängig von seinen Enfernungen zu den Ereignisoren, siehe bbildungen 5 und 6. Für das ursprüngliche Einseinsche Zugbeispiel ergeben sich im euklidischen Universum auf Grund von (31) bei Feslegung geeigneer Konsanen dami folgende Galilei Zeipunke der lizeinschläge: und in, siehe bb. 5a sowie 0, 0, 0, 0, 11 β und β in, siehe bb. 5b. 0, 0, x c x c bb. 5a: Im ahndammsysem des Euklidischen Universums erfolgen die lizeinschläge, auch bezogen auf die Galilei Zei, gleichzeiig. n den Einschlagsoren im ahndammsysem simm der Gang der Uhren mi dem Lauf der Galilei Zei überein. Da eine Galilei Zei is, können wir von = und = ausgehen. Mi =, siehe (11), gil dann auch =. Für die Uhrenzeien ergeben sich dami Zeidilaaionen (13) und bezogen auf die Galilei Zei folg die Reihenfolge der Ereignisse: = und = sowie = in und = in. (33) x c x c bb. 5b: uch im Zugsysem des Euklidischen Universums erfolgen die lizeinschläge gleichzeiig und unabhängig von den Enfernungen zum eobacher. Hier zeig sich die eobacher- und ysemunabhängigkei der Reihenfolge des Geschehens. Die lizeinschläge reffen auf Grund von (33) in beiden ysemen des euklidischen Universums gleichzeiig ein.

12 eobacher eobacher Wir berachen nun das durch (25,26) modifiziere Einseinsche Zugbeispiel im euklidischen Universum. Für Galilei Zeien erhalen wir auf Grund von (31) im Zugsysem, siehe bb. 6a: 12 sowie und β (34) 0, 0, = 0,. ß und = 0, (35) 0, x c x c bb. 6a: Im Zugsysem des Euklidischen Universums finden die lizeinschläge beide zur gleichen Uhrenzei 0, = 0, sa. Da aber der Einschlagsor von liz sich dem eobacher näher, erfolg im Zugsysem lizeinschlag eher als Einschlag. im ahndammsysem, siehe bb. 6b, wobei auf Grund der Zulässigkei der yseme = und = (36) vorausgesez werden kann. Wegen 0, = 0, und 0, > 0, ergib sich daraus: > und >. (37) 0, bb. 6b: Im ahndammsysem näher sich (mi dem Zug) der Or des hineren lizeinschlags zwar dem eobacher. lizeinschlag erfolg rozdem aber ers nach dem Einschlag von liz : >. x c x c owohl im ahndammsysem als auch im Zugsysem erfolg der hinere lizeinschlag, bezogen auf die Galilei - Zeien der Ereignisse, hier nach dem vorderen Einschlag: < in und < in. (38)

13 13 5. Fazi Im Gegensaz zur RT Einseins is die zeiliche Reihenfolge des Geschehens, speziell auch die Gleichzeiigkei von Ereignissen, im euklidischen Universum unabhängig von den sich relaiv zueinander bewegenden ysemen des Universums und darüber hinaus auch unabhängig von eobachern in den ysemen. Die Reihenfolge des Geschehens von Ereignissen kann als absolue Eigenschaf des euklidischen Universums charakerisier werden. Lieraur 1. Prochnow, D.: Euklidisches Universum alernaive Relaiviäsheorie. General cience Journal Nr (2011) 2. Einsein,.: Zur Elekrodynamik beweger Körper. nn. Phys. 17, (1905) 3. Einsein,.: Über die spezielle und die allgemeine Relaiviäsheorie. pringer Verlag, erlin Heidelberg 2009 (24. uflage)