Eine stochastische verzögerte Differentialgleichung und ihr Stabilitätsgebiet im Parameterraum. Theoretikum Christian Brettschneider

Transkript

1 Eine sochasische verzögere Differenialgleichung und ihr Sabiliäsgebie im Parameerraum Theoreikum Chrisian Breschneider 16. März 26

2 Inhalsverzeichnis 1 Einleiung 3 2 Sabiliäsgebie des deerminisischen Sysems 3 3 Verhalen im marginal sabilen Fall 5 4 Sörung durch ein muliplikaives Rauschen 6 5 Analyische Berechnungen mi dem Momenenkrierium Shapiro-Loginov Furusu-Novikov Verwendung der Eigenschaf des Io-Inegrals Ergebnis des Momenenkrieriums Sample-Sabiliy-Krierium 11 7 Simulaion des Sysems 12 8 Ausblick 17 2

3 1 Einleiung Viele realisische Probleme aus der Naur erfordern in ihrer Formulierung einen verzögeren Term. Ein wichiges Beispiel is ewa das Wachsum einer Populaion, die eine charakerisische Zei τ benöig, um sich zu reproduzieren. Dieses kann durch eine verzögere logisische Gleichung beschrieben werden. Ebenso wird in der Naur beobache, wie sich verschiedene Populaionen gegenseiig beeinflussen. Das verzögere Loka-Volerra-Sysem beschreib ewa die Populaionsdynamik von Füchsen und Hasen. Es wird auch Räuber-Beue-Sysem genann. Typische Effeke der Einbeziehung eines Terms x( τ) sind die Desabilisierung bzw. Sabilisierung von Fixpunken oder das Aufreen von Oszillaionen bereis bei einer linearen Differenzialgleichung (DGL) 1. Ordnung. Lezeres wird auch in dem Beispiel beobache, welches dieses Theoreikum behandel. Zunächs werden einige Ergebnisse aus der Diplomarbei von Micaela Krieger [Kri97] reproduzier. In ihrer Arbei wurde das Sysem durch ein bunes Rauschen, den dichoomen Markovprozess, gesör. Dieses Theoreikum unersuch in Analogie zu der Diplomarbei das Verhalen bei einer Sörung durch ein Gaußsches weißes Rauschen. Möche man Aussagen über die Lösungen dieser Syseme reffen, so kann man bekanne Mehoden aus der Theorie von gewöhnlichen Differenialgleichungen übernehmen. Aber auch neue Verfahren werden eingeführ. 2 Sabiliäsgebie des deerminisischen Sysems Für eine lineare Sabiliäsanalyse eines Sysems von Differenialgleichungen berache man ẋ() = F(x(), x( τ)), x() R n (1) mi der Anfangsbedingung x() = g() [ τ, ]. Den Fixpunk x erhäl man durch die Forderung F(x, x ) =. Um das Verhalen kleiner Abweichungen vom Fixpunk zu sudieren, sezen wir x() = x + ε() mi ε() = ce s ein. In linearer Näherung gil in der Nähe des Fixpunkes: ẋ() = ε() = F (x, x e sτ )ε(). (2) Die Besimmung der Lösungen der charakerisischen Gleichung reduzier sich auf die Besimmung der Eigenwere der Jacobimarix F. Es folg h(s) = de(f (x, x e sτ ) si) = H (s) + H 1 (s)e sτ + H 2 (s)e 2sτ +... = (3) Nach [BC63] wird das asympoische Verhalen der Lösung des Gleichungssysems (1) für durch die charakerisische Wurzel mi maximalem Realeil besimm. Das Gleichungssysem nennen wir marginal sabil, wenn max n Re(s n ) = gil. Zunächs wird ein grundlegendes Beispiel einer zeiverzögeren Differenialgleichung berache ẋ() = ax( τ) bx(), x() = g() [ τ, ]. (4) Für g() = x = cons sell man fes, dass der Fixpunk x() = x eine Lösung der sogenannen Differenzendifferenialgleichung (DDGL) uner der Bedingung a = b darsell. Uner der Bedingung a b is x = der einzige Fixpunk. 3

4 Um die Sabiliäseigenschafen dieser Fixpunke zu besimmen, benöigen wir die charakerisische Gleichung. Der Exponenialansaz x() = x + ε() = x + ce s führ uns zu h(s) s + b ae sτ =. (5) h(s) wird charakerisisches Quasipolynom genann. Die Lösung von Gleichung (5) ergib die im allgemeinen unendlich vielen komplexen charakerisischen Wurzeln s n. Spalen wir s = ν + iω in Real- und Imaginäreil auf, so erhalen wir die beiden reellen Gleichungen ν + b ae ντ cos(ωτ) =, (6) ω + ae ντ sin(ωτ) =. (7) Um die Sabiliäsgrenze von Gleichung (4) zu besimmen, müssen wir ausrechnen, für welche Were (ω, τ) ein konjugier komplexes Paar von charakerisischen Wurzeln die imaginäre Achse überschreie. Das Umsellen der Gleichung h(iω) = ergib iω+b a = e iωτ. Die linke Seie sell eine Gerade in der komplexen Ebene dar. Die reche Seie is der Einheiskreis, vgl. Abbildung 1. ω ν 1 b a Abbildung 1: geomerische Veranschaulichung der Lösungen von iω+b a = e iωτ. Aus ihren Schnipunken kann man fessellen, zu welchen ω und τ die imaginäre Achse zum ersen Mal überschrien wird [Mac89] ω = ± a 2 b 2, τ = ( ) 1 b a 2 b arccos. (8) 2 a Man kann sich auf den Fall ω beschränken. Umgekehr kann man auch die a, b für vorgegebene ω und τ besimmen a = ω, b = ω co(ωτ). (9) sin(ωτ) In Abbildung 1 kann man erkennen, dass s = uner der Bedingung a = b der führende Eigenwer der charakerisischen Gleichung (5) is. Mi diesem Wissen sind wir in der Lage, das Sabiliäsgebie im Parameerraum (a, b) für ein feses τ zu konsruieren. Es ergib sich ein kegelförmiges Gebie sabiler Lösungen x(), siehe Abbildung 2. Man beache, dass dieses Gebie unabhängig von der Wahl der Anfangsfunkion g() is. 4

5 4 3 2 b Abbildung 2: Sabiliäsgebie des deerminisischen Sysems: Für a, 5 exisieren reelle charakerisische Wurzeln s. Die Lösung besiz die Form x() = x e s. Für a, 5 gib es nur komplexe Wurzeln. Die Lösungen haben oszillaorisches Verhalen. Im oberen Bereich gil max n Re(s n ) < (sabil), im uneren Bereich gil max n Re(s n ) > (insabil). a 3 Verhalen im marginal sabilen Fall Wir konnen fessellen, dass uner der Bedingung a = b das deerminisische Sysem marginal sabil is. In einigen Veröffenlichungen ([BLM + 93a], [BLM + 93b] und [Lip95]) is ein kennzeichnendes Merkmal marginaler Sabiliä diskuier worden: Es beseh die Möglichkei, einen Fixpunk durch eine Sörung beliebiger Form zu verschieben. Zunächs wollen wir Gleichung (4) in Abhängigkei einer Anfangsfunkion g() miels Laplaceransformaion lösen d ẋe s = d ax( τ)e s d bx()e s. (1) Auf der linken Seie inegrieren wir pariell, auf der rechen subsiuieren wir das verzögere Argumen. Auf dem Inervall [ τ, ] können wir die Anfangsfunkion einsezen [ x()e s ] +s }{{} = x()= g() Umsorieren führ zu (s + b ae sτ ) }{{} =h(s) d x()e s = e sτ d ax()e s τ d x()e s = g() + e sτ 5 τ d bx()e s. (11) d ag()e s. (12)

6 Durch die Rückransformaion sind wir in der Lage, einen Ausdruck für x() zu schreiben x() = 1 ds e s g() + e sτ τ d ag()e s = 1 ds u(s), (13) 2πi C h(s) 2πi C wobei zur Abkürzung u(s) eingeführ wird. Dieser Ausdruck is ein Konurinegral. Wenn man den Inegraionsweg rechs von allen Singulariäen des Inegranden wähl und die Konur schließ, läss sich der Ausdruck mi dem Residuensaz in eine Summe umformen x() = Res s=sr (u(s)). (14) r=1 Die s r sind die unendlich vielen Wurzeln der charakerisischen Gleichung (5). Wir ineressieren uns besonders für den marginal sabilen Fall a = b = 1. Wie wir in Abschni 2 sehen konnen, is in diesem Fall s r = der führende Eigenwer. Dieser Wer is enscheidend für das Langzeiverhalen von x(). lim g() + τ d g() x() = 1 + τ (15) Für große Zeien sell sich ein feser Wer ein, der von g() abhäng. Wenn bereis die konsane Lösung x() = x vorlieg und eine zeilich begrenze Sörung einsez, so sreb x() gegen einen neuen konsanen Wer x. Diese Verschiebung kann man ausrechnen und sie ha eine ähnliche Form wie (15). Wir berachen Die Sörung ha die Form ẋ() = x( τ) x() + F (), x() = x [ τ, ]. (16) { f() : mi a b F () = : sons. (17) Inegrier man beide Seien über von bis T, so erhäl man miels Subsiuion s = T τ T τ T T x(t ) x = x(s) ds x() d + F () d. (18) τ Die Zei T sei hinreichend groß, so dass sich bereis der neue Wer x(t ) = x eingesell ha. Es ergib sich und schließlich x x = x τ x τ + x = x + b a b a f() d, (19) f() d. (2) 1 + τ 4 Sörung durch ein muliplikaives Rauschen Im Folgenden wird ein muliplikaives Gaußsches weißes Rauschen ξ() mi ξ() = hinzugefüg.... bezeichne den Mielwer über alle Realisierungen des reibenden 6

7 Prozesses. Der Koeffizien von x() beräg nur noch im Miel b. Nun laue die Differenialgleichung ẋ() = ax( τ) (b + ξ )x(), x() = x [ τ, ]. (21) Das Gaußsche weiße Rauschen is der Grenzfall eines Ornsein-Uhlenbeck-Prozesses, für den Varianz und inverse Korrelaionszei nach unendlich gehen, während ihr Quoien konsan bleib σ 2 σ 2, γ, = D. (22) γ Die Auokorrelaion des Rauschens beräg ξ ξ = 2Dδ( ). Allgemein (siehe [Sus78]) kann man zeigen, dass für ein weißes Rauschen die Lösung x() von (21) mi der Lösung folgender Sraonovich-Differenialgleichung übereinsimm dx() = ax( τ)d bx()d 2Dx dw. (23) W is der Wiener-Prozess. Eine Frage is nun, welche Sabiliä der Mielwer x() ha. Das kann man mi dem Momenenkrierium berechnen. 5 Analyische Berechnungen mi dem Momenenkrierium Wir nehmen eine Mielung der Differenialgleichung (21) vor: ẋ() = a x( τ) b x() ξ x(). (24) Außerdem soll eine Kurzschrif eingeführ werden, mi der Gleichung (24) folgendermaßen laue: Ẋ = ax τ bx X ξ. (25) Den Term X ξ = ξ x() kann man nun auf drei Wegen behandeln. Mi der Formel von Shapiro-Loginov [SL78] kann man eine Bewegungsgleichung für X ξ erhalen. Eine direke Besimmung is mi der Formel von Furusu-Novikov ([Fur63] und [Nov64]) möglich. Eine drie Möglichkei verwende die saisischen Eigenschafen des Io- Inegrals. 5.1 Shapiro-Loginov Die Formel von Shapiro-Loginov is eine Bewegungsgleichung für den Term ξ x(). Allgemein laue sie d d η φ = γ η φ + η φ. (26) Diese Gleichung gil für Markov-Prozesse η mi der Auokorrelaion η η = σ 2 e γ( ), insbesondere für Ornsein-Uhlenbeck-Prozesse. γ is die inverse Korrelaionszei, φ ein nich vorwegnehmendes Funkional von η. Im Grenzfall des Gaußschen weißen Rauschens is diese Formel nich zu vereinfachen, da in diesem Fall γ geh. Deshalb wird zunächs die Rechnung für den Ornsein-Uhlenbeck-Prozess durchgeführ. Der Grenzübergang finde am Schluss sa. 7

8 In unserem Fall ergib sich d d η x = γ η x + η x = γ η x + a η x( τ) b η x η η x. (27) }{{} σ 2 x σ 2 is die Varianz des Prozesses. Diese können wir herausziehen, da das Theorem von Bourre, Frisch und Pouque [BFP73] gil: η 1 η 2 φ [η] = η 1 η 2 φ [η]. In Kurzschrif laue die leze Gleichung: X η = γx η + ax η τ bx η σ 2 X. (28) Der Term X η is jez zwar besimm, jedoch in Abhängigkei eines neuen unbekannen Terms X η τ, der auch mi der Formel von Shapiro-Loginov berechne werden kann. Die Folge is ein unendlichdimensionales Gleichungssysem, wobei die ersen beiden Gleichungen (25) und (28) sind: Ẋ = +ax τ bx X η, Ẋ η = γx η +axτ η bx η σ 2 X, Ẋτ η = γxτ η +ax η 2τ bxτ η σ 2 e γτ X τ,. Ẋ η Nτ = γx η Nτ +ax η (N+1)τ bx η Nτ σ 2 e γnτ X Nτ, (29).. Äquivalen is dazu der Limes N des endlichen Sysems Ẋ = AX() + N B n X( nτ), (3) n=1 b 1... X X η mi X = Xτ η σ 2 (γ + b) a., A = , (31).. X η.... a Nτ... (γ + b)... a... B 1 = σ 2 e γτ, B 2 = σ 2 e 2γτ,... (32) Wir führen eine lineare Sabiliäsanalyse um einen Fixpunk X durch und sezen in Gleichung (3) X = X + ε() mi ε() = ce s ein. Wir erhalen ( N ) sx = AX + B n e snτ X = F X. (33) n=1 8

9 Da das Sysem (29) linear is, häng F nich vom Fixpunk X ab. Es läss sich folgendes ablesen ae sτ b 1... σ 2 (γ + b) a. F = σ 2 e (γ+s)τ (34)..... a σ 2 e (γ+s)nτ... (γ + b) Um die Deerminane der Marix F si zu berechnen, enwickeln wir nach der ersen Spale und erhalen einen Ausdruck für das Quasipolynom h N (s). h N (s) = de(f si) N = (s + b ae sτ )(s + γ + b) N+1 ( 1) N σ 2 a n e (γ+s)nτ (s + γ + b) N n ( 1) N = (s + γ + b) N ( 1) N [ = (s + γ + b) N ( 1) N hn (s). n= (s + b ae sτ )(s + γ + b) σ 2 N n= ( ) n ] ae (γ+s)τ s + γ + b Von der zweien zur drien Zeile wird verwende, dass s+γ +b is. s = (γ +b) is keine charakerisische Wurzel, da h N ( (γ + b)) = σ 2 a N e bnτ ( 1) N is für a. Der Fall a = beschreib die unverzögere Gleichung und is nich von Ineresse. Es genüg deswegen h N (s) = zu berachen. Wir unersuchen den Ausdruck z ae (γ+s)τ s+γ+b um herauszufinden, ob wir die Summenformel für die geomerische Reihe k= anwenden können. Für s = ν + iω gil z k = 1 1 z (35) z < 1 (36) {}}{ z 2 ae (γ+s)τ 2 = = a2 e 2(γ+ν)τ e iωτ 2 s + γ + b (ν + γ + b) 2 + ω 2 (37) und für s = wird z am größen z ae γτ γ + b. (38) Falls γ + b a is, so exisier ein hinreichend kleines τ für das z 1 wird. Für γ + b > a is also (36) immer anwendbar. γ + b > a γ > a b oder γ < a b. (39) Da wir an einem Ergebnis für große γ, das heiß kleinen Korrelaionszeien, ineressier sind, is die reche Bedingung immer erfüll. =1 9

10 Wir besimmen h(s) = lim N hn (s), indem wir (36) benuzen h(s) = s + b ae sτ σ 2. (4) s + b + γ ae (γ+s)τ Nun führen wir den Grenzfall des Gaußschen weißen Rauschens durch lim σ 2,γ, σ2 γ =D h(s) = s + b ae sτ D =. (41) Dieses Verfahren wurde in der Diplomarbei von Micaela Krieger [Kri97] für den dichoomen Markov-Prozess angewand, vgl. auch [KEB2]. Da es ein Verfahren mi langen Rechnungen und vielen neu eingeführen Noaionen is, unersuchen wir, ob es einen einfacheren Weg gib. 5.2 Furusu-Novikov Die Formel von Furusu-Novikov laue im Spezialfall eines Gaußschen weißen Rauschens ξ ξ φ [ξ] = d 2Dδ( δφ [ξ] δφ [ξ] ) = D, (42) δξ δξ wobei φ [ξ] ein nich vorwegnehmendes Funkional von ξ is. Um ξ x() auszurechnen benöigen wir also die Funkionalableiung δx() δξ. Wir schreiben die Differenialgleichung (21) in eine Inegralgleichung um Somi können wir ablesen: δx δξ x = x + = x ds [ax(s τ) (ξ s + b)x(s)]. (43) ds [b + ξ s ] δx s δξ + +τ ds a δx s τ δξ, (44) denn für s < is δxs δξ =, bzw. für s < + τ is δx s τ δξ =. Nun können wir den Grenzübergang ausführen. Das erse Inegral verschwinde, weil die Inegraionsgrenzen im Limes übereinsimmen. Das zweie sehen wir uns genauer an: lim +τ ds δx s τ δξ = +τ ds δx s τ δξ. (45) Nur für die obere Grenze s = + τ gib die Funkionalableiung einen Beirag, der aber im Inegral kein Gewich räg. Für s < + τ is s τ < und δx s τ δξ =. Wir erhalen δx = x (46) δξ und können hiermi ξ x() berechnen Gleichung (24) laue nun X ξ ξ x() = D x DX. (47) Ẋ = ax τ (b D)X = F (X, X τ ). (48) 1

11 Durch einen Exponenialansaz erhalen wir die charakerisische Gleichung h(s) = s + b D ae sτ =. (49) Dieses charakerisische Polynom is das gleiche wie in Formel (41). Aus Gleichung (48) und der Forderung F (X, X ) = können die Fixpunke abgelesen werden ax (b D)X = { X = cons. für a = b + D X = sons. (5) Man erkenn, dass dieses Verfahren eleganer is als das miels der Bewegungsgleichung von Shapiro-Loginov. 5.3 Verwendung der Eigenschaf des Io-Inegrals Wir berachen wieder die Sraonovich-Differenialgleichung (23). Wir können diese in eine äquivalene Io-Differenialgleichung umschreiben. Es gil dx = f(x, x τ )d + g(x ) dw dx = [ f(x, x τ ) + Dg(x )g (x ) ] d + g(x )dw (51) Das Symbol kennzeichne den Sraonovich-Sinn. Wenn wir die unere Io-Differenialgleichung mieln, so können wir die Maringaleigenschaf des Io-Inegrals verwenden. Mi dw g(x ) = ergib sich d d x = f(x, x τ ) + Dg(x )g (x ). (52) Mi dieser Umformulierung von Gleichung (23) und x() = X bzw. x( τ) = X τ erhalen wir Ẋ = ax τ (b D)X (53) Durch den Exponenialansaz X = e s gelangen wir wieder zu der charakerisischen Gleichung (41). Dieses Verfahren wurde in [MN95] verwende. 5.4 Ergebnis des Momenenkrieriums Jez kann man eine neue Variable b = b D einführen und das gemiele sochasische Sysem kann analog dem deerminisischen behandel werden, da h(s) = s + b ae sτ = (54) die gleiche Form wie Gleichung (5) ha. Der Parameerraum (a, b) von vorher ensprich nun dem Parameerraum (a, b ). Mi anderen Woren bedeue das Hinzufügen eines muliplikaiven Gaußschen weißen Rauschens eine Verschiebung des Sabiliäsgebiees um D nach oben. 6 Sample-Sabiliy-Krierium Es gib Siuaionen, in denen das Momenenkrierium nich aussagekräfig is. Wenn eine Mielung über viele Realisierungen des sochasischen Prozesses vorlieg, so liefer 11

12 dieses Krierium brauchbare Ergebnisse. Für eine einzige Realisierung soll das Sample- Sabiliy-Krierium Auskunf geben. Die Idee dabei is, feszusellen, ob man im Limes großer Zeien den Einfluss des Rauschens auf die zeiliche Änderung von x() näher besimmen kann. Wir berachen also die Sraonovich-Differenialgleichung mi einer Konsanen r. Die formale Lösung laue dx = rx d + x dw (55) x() = x e r+w = x e (r+ 1 R dsξs). (56) Im Limes gil 1 dsξ s = ξ s = fas sicher, das heiß mi Wahrscheinlichkei 1, da ξ s ein saionärer Prozess is. Daraus können wir schließen, dass lim x() = { für r < + für r > fas sicher. (57) Für r = flukuier x() zwischen beliebig großen und kleinen Weren. Man folger, dass die Sabiliä von (55) fas sicher durch den nichsochasischen Term besimm is. Dieses Verhalen zeig sich auch beim verzögeren Sysem. Die Lösung der Differenialgleichung (23) is fas sicher sabil, wenn max n Re(s n ) < is. Die s n sind die charakerisischen Wurzeln des Quasipolynoms (5) der deerminisischen Gleichung. Es folg, dass Sabiliä im Miel und fas sichere Sabiliä in diesem Modell nich übereinsimmen. Es gib also Paare von Weren (a, b), für die die Lösung x() der Differenialgleichung fas sicher sabil is, deren Mielwer x() jedoch divergier. 7 Simulaion des Sysems Für die Simulaion des Sysems berachen wir noch einmal die Gleichung (21). Die einzelnen Terme werden gerenn berache, um eine geeignee Ieraionsvorschrif für die gesame Gleichung späer zusammenzusezen. Die Gleichung ẋ() = bx() is der einfachse Teil, x() läss sich nach der Euler- Mehode numerisch berechnen x n+1 = x n bx n h. (58) h is eine geeigne gewähle Schriweie. Als nächses diskuieren wir den verzögeren Term ẋ() = ax( τ). Eine gue und einfach anzuwendende Mehode, diesen Teil auszuweren is die sückweise Inegraion, die auf Bellman [Bel61] zurückgeh. Man unereil dabei die Zei in Vielfache von τ. Das Zeiinervall [, τ] sei durch die Anfangsfunkion besimm. Für das Inervall [τ, 2τ] lös man die Differenialgleichung folgendermaßen: x() x(τ) = x() x(τ) dx = τ d ẋ( ) = a τ d x( τ). (59) Für x( τ) kann man nun die Anfangsfunkion einsezen und eine Sammfunkion ausrechnen. x() is dami für das bereffende Inervall berechne. Für die folgenden Inervalle [nτ, (n + 1)τ] geh man analog vor. 12

13 Da in unserem Fall ein sochasisches Sysem vorlieg, können wir für den verzögeren Term keinen analyischen Ausdruck einsezen. Wir müssen wieder schriweise vorangehen und einzelne vorher ausgerechnee Were x( τ) einsezen. Mi (59) erhäl man +h +h x( + h) = x(τ) + d ax( τ) = x() + d ax( τ). (6) τ Wir approximieren diesen Ausdruck durch x n+1 = x n + ax n τ h. (61) h Nun wird der sochasische Term ẋ() = ξ x() diskuier. Die beiden äquivalenen Inegralgleichungen lauen Sraonovich: x() = 2D Io: x() = D W x( ) dw, x( )d 2D W x( )dw. Wir verwenden das sochasische Euler-Verfahren, in dem der zusäzliche sochasische Driferm aus der Io-Formulierung berücksichig werden muss. Da (W +h W ) 2 = h gil, wird folgende numerische Inegraion gewähl: (62) x n+1 = x n + Dx n h 2Dx n Z h. (63) Hierbei is Z eine Gaußsche Zufallszahl mi Varianz 1 und Mielwer. Jez können wir die gesame Ieraionsvorschrif für Gleichung (21) zusammensezen: x n+1 = x n + ax n τ h h bx nh + Dx n h 2Dx n Z h. (64) Für alle Simulaionen wird eine Schriweie h = 1 3 und eine Verzögerung τ = 2 gewähl. Die Anfangsfunkion laue x() = 1, [ τ, ]. Für das sochasische Sysem wird der Parameer D auf 1 gesez. Zunächs berachen wir ein paar ausgewähle Trajekorien des deerminisischen Sysems für besimme Koeffizienen (a, b), siehe Abbildungen 3 und 4. Um ein Sabiliäsgebie im Parameerraum darzusellen, muss ein Krierium enwickel werden, wann eine berechnee Trajekorie zum Parameerpaar (a, b) als sabil oder insabil zu inerpreieren is. Wir wählen eine geeignee Simulaionsdauer T und eine Schwelle x h. Zwar wurde in den Abschien 5 und 6 ein Sabiliäskrierium unabhängig von der Anfangsfunkion hergeleie, wir müssen jedoch bei der Wahl von x h die Anfangsfunkion berücksichigen, da wir über eine endliche Zei simulieren. Wenn in der Zei T die Were x h oder x h überschrien werden, wird die Simulaon abgebrochen und die Trajekorie als insabil inerpreier, siehe Abbildung 5. Im deerminisischen Sysem kann man einen fesen von a und b unabhängigen Wer für x h wählen. Man erhäl ein Sabiliäsgebie im Parameerraum, welches das analyisch besimme reproduzier, siehe Abbildung 6. 13

14 1 x() x() Abbildung 3: An diesen Beispielen kann man einen U bergang von insabilen zu sabilen oszillaorischen Lo sungen des deerminisischen Sysems (4) beobachen. Links is (a = 2; b = 1.5); rechs is (a = 2; b = 2). 8 1 x() x() Abbildung 4: Hier kann man einen weieren U bergang von insabilen zu sabilen Lo sungen des deerminisischen Sysems (4) beobachen. Links is (a = 1; b = ); rechs is (a = 1; b = 2). x() xh x() xh T T Abbildung 5: In diesen beiden Simulaionen der Gleichung (21) mi D = 1 wurden T = 5 und xh = 1 gewa hl. Im linken Bild (a = 2, b = 1.9) wird die Trajekorie als insabil inerpreier, da xh u berschrien wird. Die reche Trajekorie (a = 2, b = 2.1) wird als sabil inerpreier. In diesen beiden Fa llen simmen Inerpreaion und analyische Berechnung aus Abschni 6 u berein. Diese Fallunerscheidung muss fu r jedes Werepaar (a, b) geroffen werden, dami ein Sabilia sgebie im Parameerraum fu r die Gleichungen (4) und (21) numerisch dargesell werden kann. 14

15 b 1 b a a Abbildung 6: Für jedes Paar (a, b) des deerminisischen Sysems (4) wird eine Simulaion durchgeführ. Es werden T = 2 und x h = 1 gewähl. Links wird die Anfangsfunkion g() = 1 gesez. Im marginal sabilen Fall a = b nimm x() die konsane Lösung x() = 1 an, der Punk wird als sabil inerpreier. Für jede nich konsane Anfangsfunkion wird das analyische Ergebnis, vgl. Abbildung 2, reproduzier. Rechs wurde g() = [ τ, ] gewähl. 15

16 Wenn wir die berechneen Trajekorien des sochasischen Sysems analysieren, erkennen wir, dass die Varianz des Prozesses x() von a und b abhängig sein muss. An der Ausgangsgleichung (21) sieh man, dass für kleine Were von (a, b) der Einfluss des sochasischen Terms groß sein muss und dami auch die Varianz. Er muss klein sein für große Were von (a, b). Aufgrund einer großen Sreuung im Grenzbereich zwischen sabilen und insabilen Prozessen, siehe Abbildung 7, is es schwer, das analyisch besimme Sabiliäsgebie zu reproduzieren. Wir müssen zunächs umfassend das 2. Momen diskuieren. Es is sinnvoll, x 2 h > x2 zu wählen. 1e+7 3e+12 2e+12 x() 5e+6 x() 1e Abbildung 7: Dieses sind zwei beobachee Realisierungen der sochasischen Bewegungsgleichung (21) für die Parameer a = b = 1 und D = 1. Man erkenn, dass bei verschiedenen Durchläufen der Simulaion verschiedene Grenzen überschrien werden, die wei auseinanderliegen. Im Bereich der marginalen Sabiliä nimm die Varianz x 2 große Were an. Das Finden eines geeigneen Weres für x h wird erschwer. 16

17 8 Ausblick Nach dem Berechnen des 1. Momenes sellen wir uns nun die Frage nach dem Verhalen des 2. Momenes. Wir haben beim Versuch einer Simulaion des Sabiliäsgebiees erkann, dass die Sreuung des Prozesses x() ebenso wie sein Mielwer von a und b abhängig sein muss. Diese Abhängigkei erschwer ein Reproduzieren des analyischen Ergebnisses. Ers wenn wir das 2. Momen kennen, können wir die in Abschni 7 eingeführen Größen T und x h sinnvoll abschäzen. Inspirier von verschiedenen Veröffenlichungen, siehe [GLL99] und [YW5], wollen wir weierhin unersuchen, ob man im Grenzfall kleiner und großer Verzögerungen noch mehr saisische Eigenschafen der sochasischen Differenialgleichung abschäzen kann. Außerdem is die marginale Sabiliä von besonderer Wichigkei. Es sell sich die Frage, ob auch in kompliziereren Sysemen das gleiche wie in Abschni 3 zu beobachen is: Durch eine äußere Sörung sell sich eine neue konsane Lösung x ein, die gegenüber der alen Lösung x um einen besimmen Wer verschoben is. Wenn räumlich ausgedehne Syseme uner Einfluss von äußeren Sörungen von selbs in einen kriischen Zusand übergehen, der anschließend beibehalen wird, so heißen sie selbsorganisier kriisch. Es können sogenanne Lawinen aufreen, deren Vereilung einem Poenzgesez folg. Dieses kann man aus der Ermilung der Firsreurn-ime besimmen und is zu analysieren. 17

18 Lieraur [BC63] [Bel61] [BFP73] R. Bellman und L. Cooke, Differenial-Difference Equaions, Academic Press, R. Bellman, On he compuaional soluion of differenial-difference equaions, J. Mah. Anal. Appl. 2, (1961). R. Bourre, U. Frisch, und A. Pouque, Brownian moion of harmonic oscillaor wih sochasic frequency, Physica A 65, (1973). [BLM + 93a] U. Behn, K. Lipper, C. Möller, J.L. van Hemmen, und B. Sulzer, Memory in he immune sysem: Nework heory including memory B cells and delay, Phase Transiions: Physics, Mahemaics, Biology,..., Proc. Prague June , Ed. R. Koecky, World Scienific, Singapore, (1993). [BLM + 93b] U. Behn, K. Lipper, C. Möller, J.L. van Hemmen, und B. Sulzer, Memory in he immune sysem: Synergy of differen sraegies, Proc. European Conference on Arificial Life (ECAL), Brussels, (1993). [Fur63] K. Furusu, J. Res. NBS D 667, 33 (1963). [GLL99] [KEB2] [Kri97] [Lip95] [Mac89] [MN95] [Nov64] [SL78] [Sus78] [YW5] S. Guillouzic, I. L Heureux, und A. Longin, Small delay approximaion of sochasic delay differenial equaions, Physical Review E 59, (1999). M. Krieger, J. Emmerich, und U. Behn, unveröffenliches Manuskrip, November 22. M. Krieger, Sochasische Differenialgleichungen mi zeilicher Verzögerung bei marginaler Sabiliä, Diplomarbei, Universiä Leipzig, K. Lipper, Gedächnis im Immunsysem - Archiekur und Dynamik des Idioypischen Nezwerks, Disseraion, Universiä Leipzig, N. MacDonald, Biological delay sysems: linear sabiliy heory, Cambridge Universiy Press, M. Mackey und I. Nechaeva, Soluion momen sabiliy in sochasic differenial delay equaions, Physical Review E 52, (1995). E.A. Novikov, JETP 47, 1919 (1964), (russisch). V.E. Shapiro und V.M. Loginov, Formulae of differeniaion and heir use for solving sochasic equaions, Physica A 91, (1978). H.J. Sussmann, On he gap beween deerminisic and sochasic ordinary differenial equaions, The Annals of Probabiliy 6, (1978). S. Yanchuk und M. Wolfrum, Insabiliies of equilibria of delay-differenial equaions wih large delay, ENOC-25, Eindhoven, Neherlands (7-12 Augus 25). 18