Entscheidungstheorie: Nutzentheorie bei Unsicherheit

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2 Entschedungstheore: Nutzentheore be Unscherhet 3 1. De Mndestanforderungen benhalten (a) De fünf Axome der Entschedung be Unscherhet Verglechbarket (auch als Vollständgket bezechnet) Transtvtät (auch als Stetgket bezechnet) Starke Unabhänggket Messbarket Rehung (b) Investoren bestzen enen postven Grenznutzen des Vermögens (Ger). (c) Der gesamte Nutzen des Vermögens stegt mt ener abnehmenden Wachstumsrate (Rskoaverson); d.h. E[U(W)] < U[E(W)]. (d) De Wahrschenlchketsdchtefunkton muss ene Normalvertelung (oder ene Funkton mt zwe Parametern) sen. 2. We n Abbldung 3.6 dargestellt, bestzt en rskofreudger Markttelnehmer enen postven Grenznutzen des Vermögens, MU(W) > 0, der mt stegendem Vermögen ebenfalls anstegt, dmu(w)/dw > 0. Um de Form der Indfferenzkurve deses rskofreudgen Markttelnehmers beschreben zu können, müssen wr de Grenzrate der Substtuton zwschen Rendte und Rsko kennen. Glechung (3.19) beschrebt de Stegung der Indfferenzkurve: de U ( E + σz) Zf( Z) dz = dσ U ( E +σz) f( Z) dz (3.19) Der Nenner muss postv sen, da der Grenznutzen, U (E + σz), postv st und de Wahrschenlchket, f(z), für jedes Vermögensnveau postv st. Um zu erkennen, dass das Integral m Zähler postv st, kann man Abbldung 3.1 heranzehen. Der Grenznutzen postver Rendten, + Z, st mmer höher als der Grenznutzen der glechwahrschenlchen (d.h. aus der selben Vertelung f(z) gezogenen) negatven Rendten, Z. Deshalb st, wenn alle glechwahrschenlchen Rendten mt hren Grenznutzen multplzert und summert werden, das Ergebns postv. Da vor dem Integral m Zähler en Mnuszechen steht, st der gesamte Zähler negatv und de Grenzrate der Substtuton zwschen Rsko und Rendte st für enen rskofreudgen Markttelnehmer ebenfalls negatv. Des führt zu Indfferenzkurven we de n Abbldung 3.2 dargestellten. 25

3 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT f(z) Z TU + Z Z MU von + Z Z MU von Z Abbldung 3.1: Gesamtnutzen normalvertelter Rendten für enen rskofreudgen Markttelnehmer E( ~ R) Rchtung des stegenden Nutzens U 1 U 2 U 3 U 4 σ( ~ R) Abbldung 3.2: Indfferenzkurven enes rskofreudgen Markttelnehmers 3. (a) E[ UW ( )] = 0,5ln(4.000) + 0,5ln(6.000) = 0,5(8,29405) + 0,5(8,699515) = 8, e ln W = W 8, e 4.898,98 = = W Deshalb wäre das Indvduum ndfferent zwschen der Lottere und scheren 4.898,98. Des entsprcht ener Rskopräme von 101,02. Es sollte also kene Verscherung für 125 abgeschlossen werden. 26

4 Lösungen Aufgabe 3.4 (b) De zwete Lottere entsprcht nach dem ersten Verlust entweder plus oder mnus Ihr Erwartungsnutzen st E[ UW ( )] = 0,5ln(3.000) + 0,5ln(5.000) = 0,5(8,006368) + 0,5(8,517193) = 8,26178 ln W 8,26178 e = e = 3.872,98 = W Nun wäre en Indvduum beret, bs zu 127,02 für ene Verscherung zu bezahlen. Da de Verscherung nur 125 kostet, sollte se gekauft werden. 4. Da m Verhältns zu ene große Vermögensänderung darstellt, können wr das Konzept der Rskoaverson be großen Rsken (Markowtz) anwenden. Der Erwartungsnutzen der Lottere st EU ( (9.000,11.000; 0,5)) = 0,5 U(9.000) + 0,5 U(11.000) = 0,5 ln ,5 ln = 0,5(9,10498) + 0,5(9,30565) = 4, , = 9, Das Vermögensnveau mt derselben Nutzenhöhe st ln W = 9, W = = 9, e 9.949,87 Das Indvduum würde also maxmal den folgenden Betrag bezahlen: ,87 = 50,13, um de Rsken n Zusammenhang mt ener 50:50-Chance auf den Gewnn oder Verlust der zu vermeden. Wenn das gegenwärtge Vermögen st, st der Erwartungsnutzen der Lottere EU ( ( , ; 0,5)) = 0,5 ln ,5ln = 0,5(13,81451) + 0,5(13,81651) = 13,81551 Das Vermögensnveau mt demselben Nutzen st ln W = 13,81551 W = = 13,81551 e ,47 Dann würde das Indvduum beret sen, , ,47 = 0,53 zu zahlen, um de Lottere zu vermeden. 27

5 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT 5. (a) De Nutzenfunkton st n Abbldung 3.3 dargestellt. UW ( ) = e aw U(W) W W e W. 20,09 7,39 2,72 1,00 0,37 0,14 0, Abbldung 3.3: Negatve exponentelle Nutzenfunkton Oben stehende Abbldung unterstellt en a = 1. Für enen belebgen anderen Wert mt a > 0 wrd de Nutzenfunkton ene monotone Transformaton der obgen Kurve sen. (b) Der Grenznutzen st de erste Abletung nach W. du( W ) aw U ( W) = = ( a)e > 0 dw Der Grenznutzen st also streng postv. Des erkennt man auch an Abbldung 3.3, da de Stegung der Tangente an de Nutzenfunkton mmer postv st, unabhängg vom Vermögensnveau. Rskoaverson st de Veränderungsrate des Grenznutzens. dmu( W ) U W = = a a = a < dw aw 2 aw ( ) ( )e e 0 Damt st de Nutzenfunkton konkav und repräsentert Rskoaverson. 28

6 Lösungen Aufgabe 3.6 (c) Absolute Rskoaverson, we se von Pratt-Arrow defnert st, entsprcht De Funkton zegt also kene snkende absolute Rskoaverson. Stattdessen west se ene konstante Rskoaverson auf. (d) Relatve Rskoaverson st U ( W) ARA = U ( W) 2 aw a e ARA = aw = a ae U ( W) RRA = W( ARA) = W U ( W ) = Wa Demnach st de relatve Rskoaverson ncht konstant. Se stegt mt dem Vermögen an. 6. Fredman und Savage [1948] zegen, dass de glechzetge Telnahme an ener Lottere und der Abschluss von Verscherungen erklärbar st, wenn en Indvduum ene Nutzenfunkton we n Abbldung 3.4 dargestellt bestzt. Das Indvduum st rskoavers gegenüber enem Absnken des Vermögens, da de Nutzenfunkton unterhalb senes gegenwärtgen Vermögens konkav st. Deshalb wrd es beret sen, ene Verscherung gegen Verluste abzuschleßen. Glechzetg wrd es beret sen, an ener Lottere telzunehmen, de hm ene (klene) Wahrschenlchket enormer Vermögensgewnne betet, da sene Nutzenfunkton oberhalb senes gegenwärtgen Vermögens konvex st. U(W) Gegenwärtges Vermögensnveau W Abbldung 3.4: Glücksspel und Verscherung 29

7 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT 7. Gegeben st A > B > C > D Wr wssen weterhn U(A) + U(D) = U(B) + U(C) Umformen ergbt U(A) U(B) = U(C) U(D) (3.1) Angenommen, das Indvduum se rskoavers, dann glt 2 U U > 0 und 2 < 0 W W Von (1) und (2) wssen wr UA ( ) UB ( ) UC ( ) UD ( ) < A B C D Mt Glechung (3.1) wrd aus Glechung (3.3) (3.2) (3.3) 1 1 < A B C D A B> C D A+ D> C+ B A+ D> C+ B U ( A) + ( D) > U ( C) + ( B) Im Allgemenen werden rskoaverse Markttelnehmer enen snkenden Nutzen wahrnehmen, wenn de Varanz des Ergebnsses zunmmt; allerdngs entsprcht der Nutzen von (1/2)B + (1/2)C dem Nutzen des erwarteten Ergebnsses, enem Durchschntt. 8. Zuerst müssen wr den Erwartungsnutzen des Rskos der Klengewerbetrebenden berechnen. EUW ( ( )) = puw ( ) = 0,1 U(1) + 0,1 U(50.000) + 0,8 U( ) = 0,1(0) + 0,1(10,81978) + 0,8(11,51293) = 10,292322, dann das Vermögensnveau, welches se ndfferent gegenüber dem Rsko werden lässt. ln W = 10, , W = e W = De maxmale Verscherungspräme st Rskopräme = E(W) Scherhetsäquvalent = , = ,1. 30

8 Lösungen Aufgabe De Nutzenfunkton se Damt st das Vermögensnveau, das mt jedem belebgen Nutzen korrespondert, W = (U(W)) 1 Das scherhetsäquvalente Vermögen ener Lottere mt Indfferenz wrd an dem Punkt auftreten, wo das gegenwärtge Vermögensnveau, W, abzüglch des scherhetsäquvalenten Vermögens für de Lottere genau den Kosten der Verscherung, 500, entsprcht. Wr haben also de Bedngung UW ( ) = 1 W W = [0,5( ( W ) ) + 0,5( ( W 1.000) )] 2 2 W W W W W = W = ,5 + 0,5 W W W = 500 W 2 W = W W + = 500 W = 500 W = ± st W. Wenn also das gegenwärtge Vermögen be legt, werden Se ndfferent sen. Unterhalb deses Vermögensnveaus werden Se für ene Verscherung zahlen, hngegen werden Se des ncht für en darüber legendes Nveau tun. 31

9 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT 10. Tabelle 3.1 zegt de Auszahlungen, erwarteten Auszahlungen und den Nutzen der erwarteten Auszahlungen für n aufenanderfolgende Kopf-Würfe. Anzahl aufenanderfolgender Köpfe N Wahrschenlchket (1/2) n+1 Auszahlung 2 N E Auszahlung U Auszahlung Tabelle 3.1 E U Auszahlung 0 1/2 1 0,50 ln 1 = 0,000 0, /4 2 0,50 ln 2 = 0,693 0, /8 4 0,50 ln 4 = 1,386 0, /16 8 0,50 ln 8 = 2,079 0, N (1/2) N+1 2 N 0,50 ln 2 N = N ln 2 (ln 2)/(2 N+1 )=0 De Lottere bestzt ene Wahrschenlchket von 0,5 für en Ende nach dem ersten Münzwurf (d.h. ken Kopf), ene Wahrschenlchket von (0,5) 2 für en Ende nach dem zweten Münzwurf (enmal Kopf und enmal Zahl) und so weter. De erwartete Auszahlung der Lottere st de Summe der erwarteten Auszahlungen (Spalte ver); dese st unendlch. Es hat jedoch noch nemand enen unendlchen Betrag gezahlt, um dese Lottere zu spelen. Der Grund herfür st, dass Menschen für gewöhnlch rskoavers snd. Se wären deshalb nur beret, enen Betrag zu zahlen, der hrem erwarteten Nutzen der Lottere entsprcht. Der Erwartungsnutzen der Lottere st N ( ) = ( 2 ) ln 2 = 0 N 1 1 = 2 2 = 0 N ( ) = 1 2 ln 2 = 0 2 EU EU ( ) ( ) ln 2 EU Im Folgenden wrd bewesen, dass = 2 : = 0 2 Zuerst beachten Se btte, dass ene unendlche Rehe we folgt aufgetelt werden kann: = = + = 02 = 0 2 = 02 =

10 Lösungen Aufgabe 3.10 Auswertung des ersten der beden Terme ergbt = /2 = 1+ = 2 1 1/2 = 0 Auswertung des zweten Terms ergbt = = 0 De oben dargestellte Rehe kann we folgt erwetert werden Wr haben dann 1 = = = = = Durch Addton der beden Terme haben wr den erwünschten Bewes, dass Folglch ergbt sch = = = 0 2 = 0 = = + = 2+ 0= 2 = 02 = 02 = 0 2 EU ( ) = 1/2 ln2 = ln2, da = N N = 0 = 0 Wenn der Erwartungsnutzen des Vermögens ln2 st, ergbt sch das korresponderende Vermögen als UW ( ) = ln2 = W = ln2 e 2 Deshalb wrd ene Person mt ener logarthmschen Nutzenfunkton 2 für de Lottere zahlen. 33

11 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT 11. (a) Als Erstes bestmmen wr den AVL aus Scht der Verscherungsgesellschaft, da dese de Prämen festsetzt. AVL1 ( Verscherung) = 0(0,98) (0,01) (0,005) (0,005) = 250 AVL2 ( Verscherung) = 0(0,98) (0,01) (0,005) (0,005) = 300 AVL3 ( Verscherung) = 0(0,98) (0,01) (0,005) (0,005) = 350 Nun können wr de Präme für jede Abscherungssumme berechnen: Verscherungsbetrag Präme = = = 374 Als Nächstes berechnen wr das Endvermögen des Verscherten und den zugehörgen Nutzen des Vermögens für alle Möglchketen (Umweltzustände). Nehmen Se an, er erwrtschaftet 7% auf sene Ersparnsse und dass de Prämen am Jahresanfang gezahlt werden. Der Nutzen jedes Endvermögens kann mt sener Nutzenfunkton U(W) = ln W ermttelt werden (sehe Tabelle 3.2a). Zuletzt ermtteln wr den Erwartungsnutzen des Vermögens für jeden Verscherungsbetrag, EUW ( ( )) = P UW ( ) und wählen den Verscherungsbetrag, der zum höchsten Erwartungsnutzen führt. Möglche Werte des Vermögens und des Nutzens des Vermögens (Ersparnsse ) Ohne Verscherung Perodenendvermögen (n ) Tabelle 3.2a Nutzen des Vermögens U(W) = ln W Ken Verlust (P = 0,98) 5 + 2(1,07) = 7,14 1, Verlust (P = 0,01) 5 + 2,14 0,5 = 6,64 1, Verlust (P = 0,005) 5 + 2,14 1,0 = 6,14 1, Verlust (P = 0,005) 5 + 2,14 5,0 = 2,14 0,7608 Mt Verscherung Ken Verlust (P = 0,995) 5 + 2,14 0,0280(1,07) 7,11 1, Verlust (P = 0,005) 5 + 2,14 0,03 2 5,11 1,6312 Mt Verscherung Verlust (P = 0,995) 5 + 2,14 0,0327(1,07) 7,105 1, Verlust (P = 0,005) 5 + 2,14 0,035 1,0 6,105 1,8091 Mt Verscherung Ken Verlust (P = 1,0) 5 + 2,14 0,0374(1,07) 7,10 1,

12 Lösungen Aufgabe 3.11 Ohne Verscherung: E(U(W)) = 1,9657(0,98) + 1,8931(0,01) + 1,8148(0,005) + 0,7608(0,005) = 1,9582 Mt Verscherung: E(U(W)) = 1,9615(0,995) + 1,6312(0,005) = 1,9598 Mt Verscherung: E(U(W)) = 1,9608(0,995) + 1,8091(0,005) = 1,9600 Mt Verscherung: E(U(W)) = 1,9601 Deshalb st für Mr. Casadesus be sener Nutzenfunkton der optmale Verscherungsbetrag Möglche Werte des Vermögens und des Nutzens des Vermögens (Ersparnsse ) Ohne Verscherung Perodenendvermögen (n ) Tabelle 3.2b Nutzen des Vermögens U(W) = ln W (n ) Ken Verlust (P = 0,98) ,00(1,07) = 39,24 1, Verlust (P = 0,01) ,24 0,5 = 38,74 1, Verlust (P = 0,005) ,24 1,0 = 38,24 1, Verlust (P = 0,005) ,24 5,0 = 34,24 1,2308 Mt Verscherung Ken Verlust (P = 0,995) ,24 0,028(1,07) 39,21 1, Verlust (P = 0,005) ,24 0, ,21 1,3140 Mt Verscherung Verlust (P = 0,995) ,24 0,0327(1,07) 39,205 1, Verlust (P = 0,005) ,24 0,035 1,0 38,205 1,3404 Mt Verscherung Ken Verlust (P = 1,0) ,24 0,0374(1,07) 39,20 1,

13 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT (b) Gehen Se we n Telaufgabe a) vor, nur mt an Ersparnssen anstatt mt (Vergleche Tabelle 3.2b oben für de Berechnungen.) Ohne Verscherung: Mt Verscherung: E(U(W)) = 0,98(1,3671) + 0,01(1,3543) + 0,005(1,3413) + 0,005(1,2308) = 1, E(U(W)) = 0,995(1,3663) + 0,005 (1,3140) = 1, Mt Verscherung: E(U(W)) = 0,995(1,3662) + 0,005(1,3404) Mt Verscherung: = 1, E(U(W)) = (1)1, = 1, Der optmale Verscherungsbetrag n desem Fall st nun, überhaupt kene Verscherung zu haben. Obwohl be ener logarthmschen Nutzenfunkton de Werte sehr nahe beenander legen, zegt de Analyse doch, dass relatv wohlhabende Personen wählen können, kene Verscherung abzuschleßen, während wenger wohlhabende Personen unter Umständen de maxmale Abscherung wählen. (c) Das Vermögen am Perodenende für alle Möglchketen wurde n Telaufgabe a) berechnet, so dass wr nun den Erwartungsnutzen für jeden Verscherungsbetrag drekt berechnen können. Ohne Verscherung: E (U(W)) = 0,98(U(71,4)) + 0,01(U(66,4)) +0,005(U(61,4)) + 0,005U(21,4) = 0,98(200/71,4) 0,01(200/66,4) 0,005(200/61,4) 0,005(200/21,4) = 2,745 0,030 0,016 0,047 = 2,838 Mt Verscherung: E(U(W)) = 0,995(U(71,1)) + 0,005(U(51,1)) = 0,995 (200/71,1) 0,005(200/51,1) = 2,799 0,020 = 2,819 36

14 Lösungen Aufgabe 3.12 Mt Verscherung: E(U(W)) = 0,995(U(71,05) + 0,005(U(61,05)) = 0,995(200/71,05) 0,005(200/61,05) = 2,8008 0,0164 = 2,8172 Mt Verscherung: E(U(W)) = (1)( 200/71) = 2,8169 Be ener derartgen Nutzenfunkton würde Mr. Casadesus also mt erneuern. Egenschaften der Nutzenfunkton, U(W) = W 1 : 2 MUW = W > 0 postver Grenznutzen 3 MUW = W < 0 Rskoaverson MUW 1 ARA = = 2W > 0 MUW ARA 2 = 2W < 0 W snkende absolute Rskoaverson RRA = W( ARA) = 2> 0 RRA = 0 W konstante relatve Rskoaverson Da das Indvduum ene snkende absolute Rskoaverson aufwest, zeht es vor, mt stegenden Ersparnssen mmer höhere Rsken zu tragen. Schleßlch würde es es bevorzugen, überhaupt kene Verscherung abzuschleßen, sobald sen Vermögen groß genug st. Um des zu sehen, können Se sene Ersparnsse glech setzen. 12. Da de Erträge normalvertelt snd, snd Erwartungswert und Varanz de enzgen relevanten Parameter. Fall 1 (a) Domnanz zweter Ordnung B domnert A, da es ene nedrgere Varanz aufwest und denselben Erwartungswert. (b) Domnanz erster Ordnung Es exstert kene Domnanz, da sch de beden Vertelungsfunktonen schneden. Fall 2 (a) Domnanz zweter Ordnung A domnert B, da es mmer enen höheren Erwartungswert bestzt, während bede deselbe Varanz haben. (b) Domnanz erster Ordnung A domnert B, da de kumulerte Wahrschenlchket gernger st als de von B. Se legt rechts von B. 37

15 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT Fall 3 (a) Domnanz zweter Ordnung Domnanz legt ncht vor, da A trotz ener gerngeren Varanz auch enen gerngeren Erwartungswert bestzt. (b) Domnanz erster Ordnung Für Normalvertelungen kann B ncht A nach dem Krterum erster Ordnung domneren. Abbldung 3.5 llustrert en Bespel. f(x) A B Abbldung 3.3: Domnanz erster Ordnung ncht möglch X 13. (a) Prob X X p X X E(X) p (X E(X)) 2 0,1 10 1,0 16,4 0,1(268,96) = 26,896 0,4 5 2,0 1,4 0,4(1,96) = 0,784 0,3 10 3,0 3,6 0,3(12,96) = 3,888 0,2 12 2,4 5,6 0,2(31,36) = 6,272 E(X) = 6,4 VAR (X) = 37,840 Prob Y Y p Y Y E(Y) p (Y E(Y)) 2 0,2 2 0,4 3,7 0,2(13,69) = 2,738 0,5 3 1,5 2,7 0,5(7,29) = 3,645 0,2 4 0,8 1,7 0,2(2,89) = 0,578 0,1 30 3,0 24,3 0,1(590,49) = 59,049 E(Y) = 5,7 VAR(Y) = 66,010 X wrd klar bevorzugt von jedem rskoaversen Indvduum, dessen Nutzenfunkton auf Erwartungswert und Varanz basert, da X enen höheren Erwartungswert und ene gerngere Varanz als Y aufwest, we n Abbldung 3.6 dargestellt st. (b) Domnanz zweter Ordnung kann so getestet werden, we n Tabelle 3.3 dargestellt st. Da Σ(F G) ncht klener (oder größer) als null für alle Ergebnsse st, exstert kene Domnanz zweter Ordnung. 38

16 Lösungen Aufgabe 3.13 Tabelle 3.3 Ergebns Prob(X) Prob(Y) Σ P x = F Σ P y = G F G Σ (F G) ,1 0 0,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 0, ,1 0 0,1 1, ,1 0 0,1 1, ,1 0 0,1 1, ,2 0,1 0,2 0,1 1, ,5 0,1 0,7 0,6 0, ,2 0,1 0,9 0,8 0,3 5 0,4 0 0,5 0,9 0,4 0, ,5 0,9 0,4 1, ,5 0,9 0,4 1, ,5 0,9 0,4 1, ,5 0,9 0,4 2,3 10 0,3 0 0,8 0,9 0, ,8 0,9 0,1 2,5 12 0,2 0 1,0 0,9 0,1 2, ,0 0,9 0,1 2, ,0 0,9 0,1 2, ,0 0,9 0,1 2, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 1, ,0 0,9 0,1 0, ,0 0,9 0,1 0, ,0 0,9 0,1 0, ,0 0,9 0,1 0, ,1 1,0 1,0 0 0,6 1,0 1,0 Da Σ(F G) ncht klener (oder größer) als null für alle Ergebnsse st, exstert kene Domnanz zweter Ordnung. 39

17 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT E(R p ) X Y Abbldung 3.4: Vermögensposton X wrd von rskoaversen Personen mt Erwartungswert und Varanz als Entschedungsparameter vorgezogen 14. (a) Tabelle 3.4 zegt de Berechnungen. σ p Tabelle 3.4 p A B p A p [A E(A)] 2 p B p [B E(B)] 2 0,1 0 0,50 0 0,144 0,05 0,4000 0,2 0,50 0,25 0,10 0,098 0,05 0,6125 0,4 1,00 1,50 0,40 0,016 0,60 0 0,2 2,00 3,00 0,40 0,128 0,60 0,4500 0,1 3,00 4,00 0,30 0,324 0,40 0,6250 1,20 0,710 1,50 2,0875 EA ( ) = 1,20, σ A = 0,84 EB ( ) = 1,50, σ = 1, 44 B (b) Abbldung 3.7 llustrert, dass rskoaverse Investoren mt Indfferenzkurven we #1 Unternehmen A bevorzugen werden, während en wenger rskoaverser Investor (#2) Unternehmen B bevorzugen wrd, das ene höhere Rendte und höhere Varanz bestzt. 40

18 Lösungen Aufgabe 3.14 E(R) #1 #1 #2 #2 1,5 1,4 B 1,3 1,2 1,1 A Abbldung 3.5: Rsko-Rendte-Verhältns 0,5 1 1,5 σ R (c) Das Krterum der Domnanz zweter Ordnung wrd n der Tabelle 3.5 berechnet. Tabelle 3.5 Stochastsche Domnanz zweter Ordnung Rendte Prob(A) Prob(B) F(A) G(B) F - G Σ (F - G) 0,50 0 0,1 0 0,1 0,1 0,1 0,25 0 0,2 0 0,3 0,3 0,4 0 0,1 0 0,1 0,3 0,2 0,6 0, ,1 0,3 0,2 0,8 0,50 0,2 0 0,3 0,3 0 0,8 0, ,3 0,3 0 0,8 1,00 0,4 0 0,7 0,3 0,4 0,4 1, ,7 0,3 0,4 0 1,50 0 0,4 0,7 0, , ,7 0, ,00 0,2 0 0,9 0,7 0,2 0,2 2, ,9 0,7 0,2 0,4 2, ,9 0,7 0,2 0,6 2, ,9 0,7 0,2 0,8 3,00 0,1 0,2 1,0 0,9 0,1 0,9 3, ,0 0,9 0,1 1,0 3, ,0 0,9 0,1 1,1 3, ,0 0,9 0,1 1,2 4,00 0 0,1 1,0 1,0 0 1,2 1,0 1,0 41

19 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT Da Σ(F G) ncht dasselbe Vorzechen für alle Rendten bestzt, legt n desem Fall kene stochastsche Domnanz zweter Ordnung vor. Auszahlung Prob (A) Prob (B) F (A) G (B) G (B) F(A) 1 0,0 0,3 0 0,3 0,3 2 0,5 0,1 0,5 0,4 0,1 3 0,5 0,3 1,0 0,7 0,3 4 0,0 0,3 1,0 1,0 0 1,0 1,0 E(A) = 2,50, VAR(A) = 2 0,25 E(B) = 2,60, VAR(B) = 2 1,44 De Vertelungsfunktonen schneden sch und es besteht kene Domnanz erster Ordnung. 15. (a) Falsch. Verglechen Se de beden normalvertelten Varablen n Abbldung 3.8 unten. Verwendet man de Domnanz zweter Ordnung, wrd B von A domnert, da bede den glechen Erwartungswert bestzen, aber A ene nedrgere Varanz. Allerdngs exstert kene Domnanz erster Ordnung, da bede denselben Erwartungswert aufwesen und sch deshalb de Vertelungsfunktonen schneden. f(x) F(X) 1 0,5 X Abbldung 3.6: Domnanz erster Ordnung glt ncht X (b) Falsch. Bedenken Se das Gegenbespel unter (c). 42

20 Lösungen Aufgabe 3.16 (c) Falsch. En rskoneutraler Investor bestzt ene lneare Nutzenfunkton und wrd damt mmer de Rendtemengen wählen, de den höchsten Erwartungswert aufwesen. (d) Rchtg. Nutzenfunktonen, de enen postven Grenznutzen und Rskoaverson aufwesen, snd konkav. Stochastsche Domnanz zweter Ordnung steht n Enklang mt der Maxmerung des Erwartungsnutzens für rskoaverse Investoren. 16. Aus Scht der Antelsegner snd de Auszahlungen Projekt 1 Projekt 2 Wahrschenlchket Auszahlung Wahrschenlchket Auszahlung 0,2 0 0,4 0 0,6 0 0,2 0 0,2 0 0, Unter Verwendung entweder der Domnanz erster Ordnung oder Domnanz zweter Ordnung domnert Projekt 2 endeutg Projekt 1. Ohne Haftungsbeschränkung würden sch de Auszahlungen an de Antelsegner we folgt darstellen: Projekt 1 Projekt 2 Wahrschenlchket Auszahlung Wahrschenlchket Auszahlung 0, , , , , , In desem Fall wären de Antelsegner verpflchtet, Fremdkaptalzahlungen aus hrem egenen Prvatvermögen zu lesten, wenn de Fnanzmttel des Unternehmens ncht ausrechen, und Projekt 2 wäre ncht mehr stochastsch domnant. 43

21 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT 17. (a) De erste Wtwe maxmert annahmegemäß hren Erwartungsnutzen, hre Enstellung gegenüber Rsko st ncht bekannt. Dann st de stochastsche Domnanz erster Ordnung en passendes Auswahlkrterum. E(A) = 6,2 E(D) = 6,2 E(B) = 6,0 E(E) = 6,2 E(C) = 6,0 E(F) = 6,1 Ene Egenschaft der stochastschen Domnanz erster Ordnung st, dass gelten muss E(X) > E(Y), wenn Alternatve X Alternatve Y domnert. Danach snd de enzgen Fonds, de nach dem Krterum der stochastschen Domnanz erster Ordnung schlechter sen könnten, de Fonds B, C und F. De zwete Egenschaft der Domnanz erster Ordnung st ene Vertelungsfunkton F(X), de G(Y) nemals schnedet, aber wengstens zum Tel rechts von G(Y) legt. We Abbldung 3.9 zegt, st A > C und D > F, so dass de Fonds, de für ene Anlage n Frage kommen, A, B, D und E snd. Kumulerte Wahrschenlchket E A C B F 1 D 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 B 0,1 D F C A E % A B C D Abbldung 3.7: Stochastsche Domnanz erster Ordnung (b) De zwete Wtwe st endeutg rskoavers, so dass de stochastsche Domnanz zweter Ordnung en angemessenes Auswahlkrterum darstellt. Da C und F nach der stochastschen Domnanz erster Ordnung ausscheden, snd se auch schlechter nach der stochastschen Domnanz zweter Ordnung. En paarweser Verglech der verblebenden ver Fonds, Σ(F(X) G(Y)), st n Tabelle 3.6 durchgeführt und n Abbldung 3.10 graphsch dargestellt. Wenn de kumulerten Abwechungen de horzontale Achse schneden, we m Verglech B und D, besteht kene stochastsche Domnanz zweter Ordnung. Nach dem Krterum der stochastschen Domnanz zweter Ordnung st E > A, E > B, und E > D, so dass de optmale Anlage E st. E F 44

22 Lösungen Aufgabe 3.17 Tabelle 3.6 Stochastsche Domnanz zweter Ordnung Rendte P(A)* P(B) P(D) P(E) SSD** (BA) SSD (DA) SSD (EA) SSD (DB) SSD (EB) 2 0 0, , ,1 0,1 0 SSD (ED) 1 0 0,1 0,2 0 0,2 0, ,2 0, ,2 0,2 0 0,4 0, ,4 0, ,3 0,2 0 0,7 0,6 0 0,1 0,7 0, ,3 0,4 0 1,0 1, ,0 1, ,4 0,4 0 1,4 1, ,4 1, ,5 0,4 0 1,9 1,8 0 0,1 1,9 1,8 5 0,4 0,5 0,4 0,4 2,0 1,8 0 0,2 2,0 1,8 6 0,6 0,5 0,5 0,4 1,9 1,7 0,2 0,2 2,1 1,9 7 0,8 0,5 0,6 1, ,5 0 0,1 1,6 1,5 8 1,0 0,6 0,6 1,0 1,2 1,1 0 0,1 1,2 1,1 9 1,0 0,6 0,7 1,0 0,8 0, ,8 0,8 10 1,0 0,7 0,8 1,0 0,5 0,6 0 0,1 0,5 0,6 11 1,0 0,8 0,8 1,0 0,3 0,4 0 0,1 0,3 0,4 12 1,0 0,9 0,8 1,0 0,2 0, ,2 0,2 13 1,0 1,0 0,8 1,0 0, ,2 0, ,0 1,0 1,0 1,0 0, ,2 0,2 0 A > B A > D A < E kene stochastsche Domnanz zweter Ordnung * Vertelungsfunkton ** Stochastsche Domnanz zweter Ordnung (SSD) berechnet über Σ(F(X) G(Y)), wobe F(X) = Vertelungsfunkton von X und G(Y) = Vertelungsfunkton von Y. B < E D < E 45

23 3 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE: NUTZENTHEORIE BEI UNSICHERHEIT 18. (a) Ene Ordnung nach dem Erwartungswert-Varanz-Krterum kann möglcherwese ncht angemessen sen, da wr ncht wssen, ob de Fondsrendten ener Vertelung mt zwe Parametern (z.b. Normalvertelung) gehorchen. Um Y zu domneren, muss X enen höheren oder glechen Erwartungswert sowe ene gerngere Varanz aufwesen als Y, oder enen höheren Erwartungswert sowe ene gerngere oder gleche Varanz. De Erwartungswerte und Varanzen der sechs Portfolos snd n Tabelle 3.7 dargestellt. Nach dem Erwartungswert-Varanz-Krterum glt E > A, B, C, D, F und A > B, C, D, F. De wetere Rehenfolge kann ncht bestmmt werden. D bestzt den höchsten Erwartungswert der verblebenden ver Fonds, aber auch de höchste Varanz. De enzge wetere endeutge Domnanz st C > B. (F(X) G(Y)) 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 AB AD AE % BD DE BE Abbldung 3.8: Stochstsche Domnanz zweter Ordnung 46

24 Lösungen Aufgabe 3.18 Tabelle 3.7 E(X) VAR(X) A 6,2 1,36 B 6,0 26,80 C 6,0 2,00 D 6,2 28,36 E 6,2 0,96 F 6,1 26,89 (b) Sowohl ene Ordnung nach dem Erwartungswert-Varanz-Krterum we auch nach dem Krterum der stochastschen Domnanz zweter Ordnung ermttelt Fonds E als optmal. Allerdngs st de Ordnung der suboptmalen Portfolos ncht konsstent zwschen beden Auswahl-Verfahren. Optmal Domnanzbezehungen Stochastsche Domnanz erster Ordnung A, B, D, E A > C, D > F Stochastsche Domnanz zweter Ordnung E A > B, A > D Erwartungswert-Varanz-Krterum E A > B, C, D, F; C > B 47