MATHEMAT IK 4. Kompetent AUFSTEIGEN. Kompetenzen erwerben und festigen Bildungsstandards erreichen. Kompetenzorientiert Bildungsstandards

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1 4 Kompetenzen erwerben und festigen Bildungsstandards erreichen Die neue Reihe Kompetent AUFSTEIGE entspricht dem neuen, aktuellen Unterricht an österreichischen AHS und MS. Schülerinnen und Schüler sollen den Lernstoff wirklich verstehen und das Gelernte eigenständig anwenden können. Kompetent AUFSTEIGE hilft den Lernenden, ihr Wissen und ihr Können zu verbinden. eue Übungsformate wie Multiple Choice, Falsch/Richtig-Entscheidungen, Tabellen ausfüllen Zahlreiche unterschiedliche Übungen, die Abwechslung bieten und das Denken anregen kein mechanisches Ausfüllen Österreichischer Lehrplan Kann neben jedem Schulbuch verwendet werden Verfasst von erfahrenen, kompetenten österreichischen Pädagoginnen und Pädagogen Leicht verständliche Erklärungen, einprägsame Merksätze Ein ausführliches, beigelegtes Lösungsheft zur einfachen Selbstkontrolle Kompetent AUFSTEIGE Mathematik 4 Genau erklärte Rechengänge, um Zusammenhänge zu erkennen und regelhafte Strukturen aufzubauen sowie kritisches Denken und Analysieren von Problemen zu schulen. Kompetent AUFSTEIGE Sicherheit und Freude am Lernen! Mathematik Die Reihe basiert auf den festgelegten Bildungsstandards und bietet Erfolgserlebnisse, MATHEMAT IK 4 t n e t e p m o K... IGE U A E T FS Kompetenzorientiert Bildungsstandards Zahlen und Maßen Variablen Figuren und Körpern Modellen und Statistik 16,99 ISB Wagner / Wagner Aufbau und Anwendung von Kompetenzen wie: Arbeiten mit S H A M e s s S a l K 4. Infos und Musterseiten zu allen erschienenen Titeln unter Österreichischer Lehrplan Kompetent AUFSTEIGE Günther Wagner / Helga Wagner

2 Symbolerklärung 1 Übungsaufgabe: Die meisten Übungen kannst du im Buch erledigen, für einige Aufgaben ist es aber ratsam, wenn du dir ein Übungsheft anlegst. In einem solchen Kästchen findest du Musterbeispiele zum jeweiligen Thema. Wichtiger Merksatz! Guter Tipp! Merke dir das gut! Dem Buch ist ein Lösungsheft zur Selbstkontrolle beigelegt. ISB In der aktuell gültigen Rechtschreibung. Auflage 017 Illustrationen: Elena Obermüller Satz: Günther Wagner Printed by Litotipografia Alcione, Lavis-Trento, über Agentur Dalvit, D-8551 Ottobrunn 015 G&G Verlagsgesellschaft mbh, Wien Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch die des auszugs weisen achdrucks, der fotomechanischen Wiedergabe sowie der Einspeicherung und Verarbeitung in elektronische Systeme, gesetzlich verboten. Aus Umweltschutzgründen wurde dieses Buch auf chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt.

3 Vorwort Liebe Schülerin! Lieber Schüler! Du hältst ein Buch in der Hand, das dir helfen soll, auf einfache Art und Weise in Mathematik kompetent zu werden, damit du problemlos in die nächste Klasse aufsteigen kannst. Der Inhalt des Werkes deckt den gesamten Lehrstoff der 4. Klasse der AHS und der MS ab. In vielen Musterbeispielen werden alle für dich wichtigen mathematischen Begriffe und Rechenschritte erklärt. Einfache Merksätze, leicht verständliche Rechenanweisungen und zahlreiche Übungen in unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden helfen dir dabei den Lernstoff zu wiederholen und deine oten zu verbessern. Arbeite die einzelnen Kapitel genau durch! Um Sicherheit beim Problemlösen und beim Rechnen zu bekommen, musst du aber immer wieder üben. Die Übungsbeispiele in diesem Buch helfen dir, fit in Mathematik zu sein. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Kompetent AUFSTEIGE in Mathematik. Liebe Eltern! Sie halten ein Buch in der Hand, das die Mathematikkenntnisse Ihres Kindes mit einfachen Übungen und leicht verständlichen Merksätzen verbessern kann. Das Buch Kompetent Aufsteigen in Mathematik ist auf die Lernziele, die Ihr Kind im 8. Schuljahr (4. Klasse AHS und MS) erreichen soll, abgestimmt. Das Werk ist so aufgebaut, dass selbstständiges Lernen möglich ist. Zum Umgang mit diesem Buch: Die einzelnen Kapitel werden mit einem Theorieteil eingeleitet. In einfachen Erklärungen und mit leicht verständlichen Musterbeispielen werden die Grundlagen für die folgenden Übungen gelegt. Das beigelegte Lösungsheft ermöglicht eine sichere Kontrolle. Viel Erfolg für Ihr Kind wünschen Ihnen Helga Wagner und Günther Wagner

4 Inhalt Potenzieren und Wurzelziehen... 6 Potenzieren Quadratwurzelziehen Rechnen mit Quadratwurzeln Kubieren Kubikwurzelziehen Zahlenmengen Übersicht Zahlenmengen Rechenoperationen Rechnen mit Variablen Addition und Subtraktion mit Variablen Multiplikation mit Variablen Multiplizieren von Binomen... Multiplizieren von Polynomen... Division mit Variablen Division durch Polynome... 5 Kürzen von Brüchen Herausheben gemeinsamer Faktoren... 8 Umkehrung der binomischen Formeln... 9 Bruchterme Erweitern von Brüchen... 4 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) von Zahlen... 4 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgv) von Termen... 5 Addieren und Subtrahieren von Brüchen und Bruchtermen... 7 Multiplizieren mit Brüchen und Bruchtermen Dividieren mit Brüchen; Doppelbrüche... 4 Gleichungen Gleichungen mit Bruchtermen Lösungsfälle einer linearen Gleichung Umformen von Formeln; Textgleichungen... 5 Ungleichungen Definition; äquivalente Ungleichungen; Äquivalenzumformungen Absoluter und relativer Fehler Funktionen Definition Ablesen von Werten aus Diagrammen; lineare Funktion icht lineare Funktion... 69

5 Gleichungen mit zwei Variablen... 7 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen Systeme zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen Lösungsfälle eines linearen Gleichungssystems zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen Aufstellen der Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte Zahlenbeziehung... 8 Aufgaben aus der Geometrie... 8 Mischungsaufgaben Bewegungsaufgaben Statistik Mittelwert, Häufigkeitsverteilungen Weitere Kennzahlen der Statistik Standardabweichung Der pythagoreische Lehrsatz Beweis des pythagoreischen Lehrsatzes Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes auf Dreiecke Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes auf Vierecke Ähnliche Figuren; Kathetensatz Höhensatz Anwendungen des pythagoreischen Lehrsatzes in Prismen Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes in Pyramiden Der Kreis und seine Teile Umfang und Flächeninhalt Kreisbogen Kreissektor (Kreisausschnitt); Kreisring Zusammengesetzte Flächen Drehzylinder... 1 Drehkegel Kugel... 17

6 6 Potenzieren und Wurzelziehen Potenzieren und Wurzelziehen Potenzieren Die wiederholte Multiplikation mit demselben Faktor kann man kürzer als Potenz anschreiben! a a = a a hoch oder a zum Quadrat oder a Quadrat a a a = a a hoch oder a zur Dritten Das Bilden der. Potenz nennt man Quadrieren, das Bilden der. Potenz Kubieren. Allgemein spricht man vom Potenzieren. a n Eine Potenz ist das Produkt gleicher Faktoren. Basis (Grundzahl) Exponent (Hochzahl) Der Exponent n gibt an, wie oft die Basis a als Faktor genommen wird. Sonderfall: Für a 1 schreibt man a. Es gilt also: a 1 = a Beispiel: Berechne und kontrolliere dein Ergebnis mit dem Taschenrechner! 5 = = 15 TR: Tastenfolge: 5 = Anzeige: 15 Manchmal schauen die Tasten für das Potenzieren auch anders aus: y x x Lies in der Betriebsanleitung deines TR nach! b) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 7 6 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = = 1 Beispiel: Berechne und kontrolliere dein Ergebnis mit dem Taschenrechner! 0, = 0,04 b) 0, 4 = 0,064 c) ( ) 8 = d) ( ) = Zu c), d): Setze negative Zahlen beim Potenzieren mit dem TR immer in Klammer! Quadrieren Potenzen mit dem Exponenten (Quadrat einer Zahl) kommen in der Mathematik sehr häufig vor. Du solltest dir daher die wichtigsten Quadratzahlen merken, du kannst sie auch für das Abschätzen von Rechenergebnissen bzw. bei Überschlagsrechnungen gut brauchen. n n n n

7 Potenzieren und Wurzelziehen 7 Beispiel: Gib zunächst Schranken an und berechne mit dem Taschenrechner! b) 16, 5 16 < 16,5 < < 16,5 < < 16, 5 < 89 16,5 liegt zwischen 56 und ,5 = 7,5 10, 7 10 < 10, 7 < < 10, 7 < < 10, 7 < 11 10,7 liegt zwischen 100 und ,7 = 114,49 Beispiel: Berechne! = = 4 b) 15 = 5 c) 1 = 1 0 = 0 0 = 400 1,5 =, 5 0,1 = 0,01 00 = = ,15 = 0,05 0,01 = 0,0001 Aus dem Beispiel erkennt man: Beim Quadrieren wird die Anzahl der ullen bzw. die Anzahl der Dezimalstellen verdoppelt. Quadratwurzelziehen Das Quadratwurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. Beispiel: Wie lang ist die Seite eines Quadrats, wenn man den Flächeninhalt A = 6 cm kennt? A = a Formel 6 = a Du suchst eine Zahl, deren Quadrat 6 ist. a = 6 cm Das ist 6, denn 6 6 = 6. Wurzelzeichen 6 = 6 Allgemein gilt: Radikand Wert der Quadratwurzel Die Zahl x 0 heißt Quadratwurzel einer Zahl a 0, wenn x = a x = a x ist die Quadratwurzel (kurz: Wurzel) von a Der Wert der Quadratwurzel ist immer größer oder gleich ull. Ihr Quadrat ergibt die Zahl unter der Wurzel, den Radikanden. x = a

8 8 Potenzieren und Wurzelziehen Beispiel: Berechne den Wert der Quadratwurzel! Wenn du dir die Quadratzahlen aus der Tabelle schon gemerkt hast, kannst du diese Aufgabe im Kopf lösen. 81 = 9 b) 4 = 18 c) 11 = 11 d) 5 = 15 e) 144 = 1 Beispiel: Berechne den Wert der Quadratwurzel mit dem TR! 169 = 7 TR: 1 69 = Anzeige: 7 b) 04 = 48 c) 6,01 = 5,1 d) 106, 76 =, 6 e) 156, 5 = 1, 5 Beispiel: Berechne mit dem Taschenrechner! Gib das Ergebnis auf Dezimalstellen genau an, verwende die. Dezimalstelle zum Runden! 1, 5 = 5, 61.. = 5, 61 b) 65 = 16,78.. = 16,8 c) 61, 6 = 7, = 7, 85 Irrationale Zahlen Steht unter der Wurzel keine Quadratzahl, so ist der Wert der Wurzel eine unendliche, nicht periodische Dezimalzahl. Solche Zahlen heißen irrationale Zahlen. Diese Zahlen lassen sich nur durch einen äherungswert angeben. Man rundet zum Beispiel auf Dezimalstellen. Auch am Taschenrechner werden solche Wurzeln als gerundete Zahlen angegeben. Unendliche nicht periodische Zahlen lassen sich nicht als Brüche anschreiben. Sie sind daher irrationale Zahlen (nicht rationale Zahlen). Man fasst diese Zahlen in der Menge der irrationalen Zahlen zusammen. Menge der irrationalen Zahlen Beispiel: Schreibe Quadratzahlen an, die kleiner bzw. größer als der gegebene Radikand sind! Gib dann den Wert der Quadratwurzel auf Dezimalstellen genau an. Verwende den TR < 14 < liegt zwischen den Quadratzahlen 9 und < 14 < liegt zwischen und 4. < 14 < 4 Man sagt: und 4 sind Schranken für 14! 14 =, 74 b) < 75 < < 75 < 81 8 < 75 < 9 75 = 8,66 c) 5 < < 56 5 < < < < 16 = 15,

9 Potenzieren und Wurzelziehen 9 1 Potenzieren und Quadratwurzelziehen Berechne! Überprüfe deine Rechnung mit Hilfe des Taschenrechners! 1 = b) ( 5) = c) = d) 4 = e) ( 11) = f) ( 0,) 4 = g) ( 0,15) = h) ( 0,5) = Berechne mit Hilfe der Quadratzahlentafel! Erkläre, wie du vorgehst! 110 = b) 1, = c) 0,1 = d) 0,14 = e) ( 1,7 ) = f) 160 = g) 1500 = h) 180 = Gib zunächst Schranken an und berechne mit dem Taschenrechner! 14, = b) 11,5 = c) 9,8 = d) 17, = 4 Berechne den Wert der Quadratwurzel! Versuche die Aufgabe im Kopf zu lösen! 81 = b) 56 = c) 400 = d) 11 = e),5 = f) 0,5 = g) 0,16 = h) 1,44 = 5 Rechne mit dem Taschenrechner! Runde, wenn nötig, auf Dezimalstellen! 1 = b) = c) 1,6 = d) 5, = e) 0,16 = f) 10 = g), = h) 14,4 = 6 Bestimme Schranken für die Quadratwurzel! Gib dann den Wert der Quadratwurzel auf Dezimalstellen genau an! Verwende den Taschenrechner! 0 = b) 9 = c) 15 = d) 8 =

10 10 Potenzieren und Wurzelziehen Beispiel: Berechne! 1 = 1 b) 5 = 5 c) 9 = d) 0,64 = 0,8 e) 0,04 = 0, 100 = = = 0 64 = 8 4 = Aus dem Beispiel erkennt man: immt der Radikand den hundertfachen Wert an, so nimmt die Quadratwurzel den zehnfachen Wert an. Beispiel: Berechne mit dem Taschenrechner und vergleiche mit ! b) 50 0 mit 50 0! 50 = 7, = 7, , 47 = 11,54 aber = 70 = 8, 7 0 = 4, = 7,07 4, 47 =,60 aber 50 0 = 0 = 5, 48 Man erkennt: bzw Allgemein mit Variablen geschrieben: a + b a + b bzw. a b a b Graphische Darstellung von Quadratwurzeln mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes Beispiel: Stelle eine Strecke mit der Länge 5 auf der Zahlengeraden dar! Überlege: 5 lässt sich als Summe der Quadratzahlen 1 und 4 anschreiben = 5 bzw. 1 + = 5 Wenn man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 1 und zeichnet, so ist die Länge der Hypotenuse 5. Überprüfe mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes a + b = c : ( ) 1 + = = 5 Anmerkung: Es gibt noch andere Möglichkeiten Wurzeln graphisch darzustellen. (siehe Kapitel H, Pythagoreische Lehrsatz).

11 Potenzieren und Wurzelziehen 11 Die pythagoreische Schnecke Gehe von einem rechtwinkligen Dreieck ABC aus, bei dem die Länge der beiden Katheten 1 ist. Die Länge der Hypotenuse kannst du mit Hilfe des Lehrsatzes von Pythagoras errechnen: = AC =. Errichte über AC wieder ein rechtwinkliges Dreieck ACD, bei dem die Länge der Kathete CD = 1 ist. Die Länge der neuen Hypotenuse AD ist dann: ( ) 1 + = AD =. Die neue Hypotenuse AD hat dann die Länge. usw. Mit der pythagoreischen Schnecke kann man die Wurzel jeder natürlichen Zahl graphisch darstellen. Rechnen mit Quadratwurzeln Wurzelziehen gehört genauso wie das Potenzieren zu den Rechnungsarten der. Stufe. Vorrangregel: Zuerst sind Rechnungen in der Klammer auszuführen! Rechnungsarten höherer Stufen sind vor Rechnungsarten niedrigerer Stufen auszuführen, d. h.: Rechnungsarten der. Stufe (Potenzieren und Wurzelziehen) sind vor Rechenoperationen. Stufe (Multiplizieren und Dividieren) auszuführen! Rechnungsarten der. Stufe sind vor Rechenoperationen 1. Stufe (Addieren und Subtrahieren) auszuführen ( Punkt- vor Strichrechnung )! Beispiel: Berechne! = Potenzieren bzw. Wurzelziehen = = Punkt- vor Strichrechnung = = 57 Beispiel: Berechne und vergleiche! 4 5 = und 4 5 = b) 16 9 = und 16 9 = 4 5 = 5 = = 100 = = 144 = = 4 = 1 Lässt sich der Radikand in ein Produkt zerlegen, kann man aus jedem Faktor die Wurzel ziehen. a b = a b bzw. a b = a b

12 1 Potenzieren und Wurzelziehen Beispiel: Berechne ohne Taschenrechner! 8 = 8 = 16 = 4 Anwenden der Formel a b = a b b) 1 = 1 = 6 = 6 c) 6 1 = 6 1 = 144 = 1 Beispiel: Berechne und vergleiche! = = b) 144 = 9 = = = 4 c) 400 = 16 = = = 5 5 = 5 = 5 9 Ist der Radikand ein Bruch, kann man aus dem Zähler und aus dem enner einzeln die Wurzel ziehen. Z Z = bzw. Z = Z Beispiel: Vereinfache den Radikanden durch Zerlegen! 5 = 5 = 5 Man kann hier die Formel a b = a b anwenden. Aus der Quadratzahl 5 wird die Wurzel gezogen. b) = = Man kann hier die Formel Z Z = anwenden. Aus der Quadratzahl 16 wird die Wurzel gezogen. c) 45 = Beachte: 45 ist das Fünffache der Quadratzahl = 9 5 = 9 5 = 5 Aus der Quadratzahl 9 wird die Wurzel gezogen. Den in diesem Beispiel verwendeten Vorgang nennt man teilweises (partielles) Wurzelziehen. Beispiel: Vereinfache durch partielles Wurzelziehen! 00 = Beachte: 00 ist das Doppelte der Quadratzahl = 100 = 100 = 10 b) c) x y = x y = x y = xy 5x x x x x = 5 = 5 = 5 = 5

13 Potenzieren und Wurzelziehen 1 1 Graphisches Darstellen und Rechnen mit Quadratwurzeln Stelle graphisch dar! 10 b) 1 c) 4 d) 41 Berechne! = b) ( 4 9 ) + = c) 6 49 ( ) = d) = Berechne ohne Taschenrechner! = b) 50 = c) 4 = d) 8 50 = 4 Vereinfache durch partielles Wurzelziehen! = b) 7 = c) 80 = d) 48 = e) 5 = f) 5 64 = g) = h) = i) 16y 9 = 5 Berechne! a 9u 144 = b) 64v = c) 81 r s =

14 4 Kompetenzen erwerben und festigen Bildungsstandards erreichen Die neue Reihe Kompetent AUFSTEIGE entspricht dem neuen, aktuellen Unterricht an österreichischen AHS und MS. Schülerinnen und Schüler sollen den Lernstoff wirklich verstehen und das Gelernte eigenständig anwenden können. Kompetent AUFSTEIGE hilft den Lernenden, ihr Wissen und ihr Können zu verbinden. eue Übungsformate wie Multiple Choice, Falsch/Richtig-Entscheidungen, Tabellen ausfüllen Zahlreiche unterschiedliche Übungen, die Abwechslung bieten und das Denken anregen kein mechanisches Ausfüllen Österreichischer Lehrplan Kann neben jedem Schulbuch verwendet werden Verfasst von erfahrenen, kompetenten österreichischen Pädagoginnen und Pädagogen Leicht verständliche Erklärungen, einprägsame Merksätze Ein ausführliches, beigelegtes Lösungsheft zur einfachen Selbstkontrolle Kompetent AUFSTEIGE Mathematik 4 Genau erklärte Rechengänge, um Zusammenhänge zu erkennen und regelhafte Strukturen aufzubauen sowie kritisches Denken und Analysieren von Problemen zu schulen. Kompetent AUFSTEIGE Sicherheit und Freude am Lernen! Mathematik Die Reihe basiert auf den festgelegten Bildungsstandards und bietet Erfolgserlebnisse, MATHEMAT IK 4 t n e t e p m o K... IGE U A E T FS Kompetenzorientiert Bildungsstandards Zahlen und Maßen Variablen Figuren und Körpern Modellen und Statistik 16,99 ISB Wagner / Wagner Aufbau und Anwendung von Kompetenzen wie: Arbeiten mit S H A M e s s S a l K 4. Infos und Musterseiten zu allen erschienenen Titeln unter Österreichischer Lehrplan Kompetent AUFSTEIGE Günther Wagner / Helga Wagner