Kapitel 10. Differentialrechnung im R n Vektor und Matrixnormen

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1 Kpitel 1 Differentilrechnung im R n 11.1 Vektor und Mtrixnormen 11.2 Prtielle Ableitungen 11.3 Fréchet Differenzierbrkeit 11.4 Mittelwertsätze 11.5 Der Stz von Tylor 11.6 Prmeterbhängige Integrle 1.1 Vektor und Mtrixnormen Wir erinnern zunächst n die Definition einer Norm, die uns schon im Abschnitt 4.1 begegnet wr. Sei dzu X ein beliebiger (reeller) Vektorrum. Dnn wurde eine Abbilung : X R mit den Eigenschften x für lle x X; x = x = ; αx = α x für lle x X und lle α R; x + y x + y für lle x, y X ls Norm uf X bezeichnet. Speziell für X = R n sprechen wir von einer Vektornorm, während wir im Flle des Vektorrums X = R m n die Bezeichnung Mtrixnorm verwenden wollen. Eine gnze Reihe von Vektornormen sind die durch { ( n ) 1/p x p := i=1 x i p für 1 p <, mx i=1,...,n x i für p = 31

2 32 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N definierten l p -Normen, vergleiche hierzu die Ausführungen im Abschnitt 6.6. Die wichtigsten Spezilfälle hiervon sind p = 1, p = 2 und p = : x 1 = n i=1 x i (Betrgssummennorm), ( n ) 1/2 x 2 = i=1 x i 2 (euklidische Norm), x = mx i=1,...,n x i (Mximumnorm). Aus gegebenen Vektornormen lssen sich reltiv einfch uch Mtrixnormen konstruieren. Dies ist der Inhlt des nchstehenden Resulttes. Lemm 1.1 ( Von Vektornormen induzierte Mtrixnormen ) Seien X : X R und Y : Y R gegebene Vektornormen für X := R n und Y := R m. Dnn wird durch die Vorschrift Ax Y A := A Y X := sup x = x X = sup Ax Y = sup Ax Y (1.1) x X =1 x X 1 für A R m n eine Mtrixnorm uf dem R m n definiert. Beweis: Die Gültigkeit der Gleichungen Ax Y sup x = x X = sup Ax Y = sup Ax Y x X =1 x X 1 lässt sich reltiv leicht verifizieren, wobei mn (us Kompktheitsgründen) ds Supremum überll uch durch ein Mximum ersetzen könnte. Wir kommen dher direkt zum Nchweis der Normxiome für A : Zunächst gilt ntürlich A für lle A R m n. Ferner ist A = sup x X =1 Ax Y = Ax Y = für lle x R n mit x X = 1 Ax = für lle x R n mit x X = 1 A =, wobei sich die letzte Äquivlenz drus ergibt, dss mn ncheinnder x = e i / e i X für i = 1, 2,...,n einsetzt, wenn e i den i-ten Einheitsvektor im R n bezeichnet. Weiterhin ist αa = sup αax Y = α sup Ax Y = α A x X =1 x X =1 für lle A R m n und lle α R. Schließlich ergibt sich die Dreiecksungleichung us A + B = sup (A + B)x Y x X =1

3 1.1. VEKTOR UND MATRIXNORMEN 33 sup x X =1 ( ) Ax Y + Bx Y sup x X =1 Ax Y + sup x X =1 Bx Y = A + B für lle A, B R m n. Mn bezeichnet die durch die Vorschrift (1.1) gegebene Mtrixnorm ls die durch die zu Grunde liegenden Vektornormen induzierte Mtrixnorm. Etws llgemeiner sprechen wir von einer induzierten Mtrixnorm, wenn es Vektornormen X im R n und Y im R m gibt, so dss die Beziehung (1.1) erfüllt ist. Speziell für m = n wählt mn oft X = Y. Ttsächlich setzen wir im Folgenden stets implizit vorus, dss X = Y im Fll m = n ist. Die drei wichtigsten Spezilfälle von induzierten Mtrixnormen sind in dem folgenden Lemm enthlten. Lemm 1.2 ( Spezielle induzierte Mtrixnormen ) Wählen wir sowohl im R n ls uch im R m jeweils die Vektornormen 1, 2 und, so sind die zugehörigen induzierten Mtrixnormen gegeben durch A 1 = mx m j=1,...,n i=1 ij (Spltensummennorm), ( A 2 = λ mx AT A ) (Spektrlnorm), A = mx i=1,...,m n j=1 ij (Zeilensummennorm), wobei λ mx (A T A) den größten Eigenwert der symmetrischen Mtrix A T A bezeichnet. Beweis: Wir beweisen hier nur die Aussge für die Spektrlnorm. Der Nchweis der beiden nderen Drstellungen wird dem Leser ls Aufgbe überlssen. Für lle x R n gilt beknntlich (klr?) lso Ax 2 2 = xt A T Ax λ mx ( A T A ) x T x = λ mx ( A T A ) x 2 2, mx x = Ax 2 x 2 λ mx ( AT A ). (1.2) Speziell für x = v, wobei v ein Eigenvektor von A T A zum Eigenwert λ mx ( A T A ) ist, folgt Av 2 2 = vt A T Av = λ mx ( A T A ) v T v = λ mx ( A T A ) v 2 2, so dss in (1.2) sogr Gleichheit gilt. Dmit ist die Aussge bereits bewiesen. In unserem nächsten Resultt geben wir zwei wichtige Eigenschften von induzierten Mtrixnormen n.

4 34 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Lemm 1.3 ( Eigenschften von Vektor und induzierten Mtrixnormen ) Seien X, Y und Z Vektornormen uf dem R n, R m und dem R p. Dnn gelten die folgenden Aussgen für die hierdurch induzierten Mtrixnormen: () Ax Y A Y X x X für lle A R m n und lle x R n. (b) AB Y Z A Y X B XZ für lle A R m n, B R n p. Beweis: () Gemäß Definition einer induzierten Mtrixnorm gilt Ay Y A Y X = sup y y X Ax Y x X für lle x. Dher ist A Y X x X Ax Y für lle x R n. (b) Seien A R m n, B R n p beliebig gegeben. Dnn folgt AB Y Z ABx Y = sup x = x Z sup x = A Y X Bx X x Z Bx X = A Y X sup x = x Z = A Y X B XZ, wobei die hierin uftretende Ungleichung us dem schon bewiesenen Teil () folgt. Die Eigenschft () us dem Lemm 1.3 wird ls Verträglichkeit von Vektor und (induzierter) Mtrixnorm bezeichnet, während die Eigenschft (b) die so gennnte Submultipliktivität von (induzierten) Mtrixnormen ist. Später wird us dem Zusmmenhng meist klr sein, welche Vektor und (induzierte) Mtrixnorm gerde gewählt wird. Die zugehörigen Indizes n den Norm Symbolen werden dnn einfch weggelssen; die Verträglichkeit und die Submultipliktivität schreiben sich dmit beispielsweise ls Ax A x und AB A B. Bemerkung 1.4 Nicht jede Mtrixnorm wird durch eine Vektornorm induziert. Beispielsweise ist die Frobenius Norm ( n A F := i,j=1 2 ij ) 1/2 für A R n n ttsächlich eine Norm, welche (für n > 1) keine induzierte Mtrixnorm drstellt, denn es gilt I F = n für die Einheitsmtrix I R n n,

5 1.2. PARTIELLE ABLEITUNGEN 35 während mn für jede induzierte Mtrixnorm offenbr I = sup Ix = sup x = 1 x =1 x =1 erhält. 1.2 Prtielle Ableitungen Wir betrchten in diesem Abschnitt Funktionen f : U R, wobei U R n eine Teilmenge des R n bezeichnet. Wir setzen U im Folgenden ls offen vorus, so dss für jedes x U stets eine gnze Umgebung von x ebenflls zu U gehört. Definition 1.5 Sei f : U R eine gegebene Funktion. () f heißt in einem Punkt x U in Richtung d R n differenzierbr, wenn der Grenzwert f f(x + td) f(x) (x; d) := lim t t existiert. f (x; d) heißt die Richtungsbleitung von f in x in Richtung d. (b) f heißt in einem Punkt x U prtiell differenzierbr, wenn die Richtungsbleitungen f (x; e i ) von f in x U in Richtung der knonischen Bsisvektoren e i := (,..., 1,...,) T R n (die Eins steht n i-ter Stelle) existieren. Die Richtungsbleitungen f (x; e i ) werden uch ls prtielle Ableitungen von f im Punkte x bezeichnet. Gebräuchliche Schreibweisen für prtielle Ableitungen sind D xi f(x) oder f x i (x) für i = 1,...,n. Der Grdient von f in x ist gerde derjenige Vektor, dessen Komponenten us den prtiellen Ableitungen besteht: ( f grdf(x) := (x),..., f ) (x). x 1 x n Hierbei hndelt es sich um einen Zeilenvektor us dem R 1 n. Häufig ist es sinnvoll, diesen ls Spltenvektor zu betrchten. Wir benutzen dnn ds Symbol f(x) := grdf(x) T = ( f (x),..., f ) T (x) R n x 1 x n und nennen diesen Vektor ebenflls den Grdienten von f in x. Mnchml sgt mn uch Nbl f von x für f(x).

6 36 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Die prtiellen Ableitungen einer Funktion f : U R knn mn ls gewöhnliche Ableitungen von Funktionen einer Veränderlichen interpretieren: Sei dzu x = (x 1,...,x n ) T U ein fester Punkt. Für i = 1,...,n betrchten wir die Funktionen ξ f i (ξ) := f(x 1,..., x i 1, ξ, x i+1,...,x n ) mit festen x 1,..., x i 1, x i+1,...,x n. Aus der Definition der prtiellen Ableitung folgt dnn f f i (x i + h) f i (x i ) (x) = lim x i h h = f i(x i ). Die prtielle Ableitung bzgl. der i-ten Koordintenrichtung ist lso nichts nderes ls die gewöhnliche Ableitung bzgl. der i-ten Vriblen bei Festhltung der übrigen n 1 Veränderlichen. Deshlb gelten für die prtiellen Ableitungen nloge Rechenregeln wie für die gewöhnlichen Ableitungen. Beispiel 1.6 () Die Funktion f : R n R mit f(x) := x x x2 n differenzierbr mit grdf(x) = (2x 1, 2x 2,..., 2x n ) für lle x = (x 1, x 2,...,x n ) T. ist prtiell (b) Die Funktion r : R n R mit r(x) := x 2 = x x x 2 n ist in llen Punkten x R n \{} prtiell differenzierbr mit r x i (x) = x i r(x) für x = (x 1, x 2,...,x n ). Um dies einzusehen, betrchten wir die Funktion einer Vriblen ξ x x 2 i 1 + ξ2 + x 2 i x2 n. Diese ist in ξ = x i differenzierbr. Mit der Kettenregel für Funktionen einer Veränderlichen erhält mn (dbei sind x 1,..., x i 1, x i+1,...,x n ls Konstnte zu betrchten) r x i (x) = x i (x x2 i x2 n )1/2 = 1 2 (x x2 i x2 n ) 1/2 2x i = x i r(x), ws zu zeigen wr.

7 1.2. PARTIELLE ABLEITUNGEN 37 (c) Sei f : (, ) R eine beliebige differenzierbre Funktion. Dnn ist die zusmmengesetzte Funktion x f ( r(x) ) mit r us Teil (b) uf der Menge R n \{} definiert und dort prtiell differenzierbr. Aus der Kettenregel für Funktionen einer Veränderlichen folgt f ( r(x) ) = f ( r(x) ) r (x) = f ( r(x) ) x i x i x i r(x) für lle x = (x 1,..., x n ). (d) Seien U R n offen und f, g : U R zwei prtiell differenzierbre Funktionen. Dnn gilt die Produktregel grd(fg) = g grd(f) + f grd(g). Dies folgt einfch us der Produktregel für Funktionen einer Veränderlichen, wonch x i (fg) = f x i g + f g x i i = 1,..., n gilt. Im Fll n = 1 stimmt die Definition der prtiellen Ableitung mit jener der gewöhnlichen Ableitung überein. Dher folgt für n = 1 us der prtiellen Differenzierbrkeit utomtisch die Stetigkeit. Ds nchstehende Beispiel zeigt, dss diese Aussge für n > 1 im Allgemeinen nicht gilt. Beispiel 1.7 Wir betrchten uf dem R 2 die Funktion f(x 1, x 2 ) := { x1 x 2, flls (x x 2 1, x 2 ) (, ), 1 +x2 2, flls (x 1, x 2 ) = (, ). Für jedes (x 1, x 2 ) (, ) erhlten wir us den beknnten Rechenregeln die prtiellen Ableitungen f (x 1, x 2 ) = x 1 f (x 1, x 2 ) = x 2 x 2 x x2 2 x 1 x x2 2 2x2 1x 2 (x x2 2 )2, 2x 1x 2 2 (x x2 2 )2. Aus der Definition von f folgt uch in (x 1, x 2 ) = (, ) die Existenz der prtiellen Ableitungen: f h (, ) = lim x 1 h h 2 + =, 2 f h (, ) = lim x 2 h 2 + h =. 2

8 38 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Die prtiellen Ableitungen von f existieren lso in jedem Punkt x R 2. Die Funktion f ist im Nullpunkt wegen ( 1 lim f k k, 1 ) 1 = lim k k 2 = 1 = f(, ) 2 jedoch nicht stetig. Wir betrchten wieder eine offene Menge U R n und eine Funktion f : U R, die in jedem Punkte x U prtiell differenzierbr sei. Dnn bilden die prtiellen Ableitungen D xi f ebenflls Funktionen von U in R. Sind diese prtiellen Ableitungen D xi f : U R selbst wieder prtiell differenzierbr, so heißt f zweiml prtiell differenzierbr. Mn knn dnn die prtiellen Ableitungen zweiter Ordnung D xj D xi f(x) bzw. 2 f x j x i (x) bilden. Die Nottion soll hierbei ndeuten, dss mn zuerst nch x i und dnn nch x j prtiell differenziert, wenngleich wir gleich sehen werden, dss es in vielen Fällen uf die Reihenfolge der prtiellen Differentition gr nicht nkommt, vergleiche hierzu den Stz 1.8. Allgemeiner definiert mn induktiv: Die Funktion f : U R heißt (k + 1)-ml prtiell differenzierbr, wenn sie k-ml prtiell differenzierbr ist und lle prtiellen Ableitungen k-ter Ordnung D xik...d xi2 D xi1 f : U R prtiell differenzierbr sind. Eine Funktion f : U R heißt k-ml stetig prtiell differenzierbr, wenn sie k-ml prtiell differenzierbr ist und lle prtiellen Ableitungen der Ordnung k stetig sind. Wir zeigen jetzt, dss es unter gewissen Vorussetzungen egl ist, ob wir eine gegebene Funktion f zunächst nch x i und dnn nch x j prtiell differenzieren oder umgekehrt. Stz 1.8 ( Stz von Schwrz ) Seien U R n offen und f : U R zweiml stetig prtiell differenzierbr. Dnn gilt für lle x U und lle i, j = 1,...,n. 2 f x j x i (x) = 2 f x i x j (x) Beweis: Wir betrchten ohne Einschränkung den Fll n = 2 und schreiben (x, y) sttt (x 1, x 2 ). Zu zeigen ist dnn die Gültigkeit von 2 f y x (x, y ) = 2 f x y (x, y )

9 1.2. PARTIELLE ABLEITUNGEN 39 (x, y) U δ δ Abbildung 1.1: Vernschulichung zum Beweis des Stzes von Schwrz in einem festen Punkt (x, y ) U. D U offen ist, existiert zunächst ein δ > mit { (x, y)t R 2 x x < δ, y y < δ } U vergleiche hierzu die Abbildung 1.1. Für ein festes y mit y y < δ sei F y : (x δ, x + δ) R die Funktion F y (x) := f(x, y) f(x, y ). Nch dem Mittelwertstz 6.17 der Differentilrechnung existiert zu jedem y ein Zwischenpunkt ξ zwischen x und x mit F y (x) F y (x ) = F y(ξ)(x x ). Dbei ist F y (ξ) = df y f f (ξ) = (ξ, y) dx x x (ξ, y ). Erneute Anwendung des Mittelwertstzes, jetzt llerdings uf die Funktion y f (ξ, y), x liefert die Existenz eines Zwischenpunktes η uf der Strecke zwischen y und y mit Insgesmt ergibt sich dmit f f (ξ, y) x x (ξ, y ) = 2 f y x (ξ, η)(y y ). f(x, y) f(x, y ) f(x, y)+f(x, y ) = F y (x) F y (x ) = 2 f y x (ξ, η)(x x )(y y ). (1.3) Als Nächstes wenden wir den Mittelwertstz n uf die Funktion G x (y) := f(x, y) f(x, y)

10 31 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N und erhlten G x (y) G x (y ) = G x ( η)(y y ) für einen Zwischenpunkt η. Durch nochmlige Anwendung des Mittelwertstzes folgt G f f x ( η) = (x, η) y y (x, η) = 2 f x y ( ξ, η)(x x ) mit einem weiteren Zwischenpunkt ξ. Zusmmen folgt f(x, y) f(x, y) f(x, y )+f(x, y ) = G x (y) G x (y ) = 2 f x y ( ξ, η)(x x )(y y ). (1.4) Durch Kombintion von (1.3) und (1.4) folgt 2 f y x (ξ, η) = 2 f x y ( ξ, η) (1.5) für lle x x und y y, wobei die Zwischenpunkte (ξ, η) und ( ξ, η) ntürlich von dem jeweiligen (x, y) bhängen. Lssen wir (x, y) jetzt gegen (x, y ) gehen, so konvergiert uch die Folge der zugehörigen Zwischenpunkte (ξ, η) bzw. ( ξ, η) gegen (x, y ). D die zweiten prtiellen Ableitungen von f nch Vorussetzung noch stetig sind, ergibt sich us (1.5) dher 2 f y x (x, y ) = 2 f x y (x, y ). Nun wr (x, y ) U ber beliebig gewählt, so dss die Behuptung folgt. Der Stz 1.8 lässt sich uch unter etws schwächeren Vorussetzungen beweisen, vergleiche [22, Theorem 3.3.4]. Dzu benötigt mn den Begriff einer totl differenzierbren Funktion, wie er nun eingeführt werden soll. 1.3 Fréchet Differenzierbrkeit Wir betrchten in diesem Abschnitt Funktionen f : U R m uf einer offenen Menge U R n und verllgemeinern hierfür den Begriff der Differenzierbrkeit. Zuvor sei noch ngemerkt, dss wir im Folgenden häufig von der Konvention Gebruch mchen werden und im Flle einer linere Abbildung A sttt A(ξ) einfch Aξ schreiben, ds Argument der lineren Funktion wird lso nicht in Klmmern gesetzt. Diese Schreibweise ist konsistent mit der us der lineren Algebr beknnten Mtrix Vektor Multipliktion (die hierbei uftretende Mtrix definiert beknntlich eine linere Abbildung, der Vektor ls Argument wird ber nicht in Klmmern gesetzt).

11 1.3. FRÉCHET DIFFERENZIERBARKEIT 311 Definition 1.9 Seien U R n offen und f : U R m eine gegebene Abbildung. Dnn heißt f im Punkt x U differenzierbr (im Sinne von Fréchet), wenn es eine linere Abbildung A : R n R m gibt derrt, dss in einer Umgebung von x gilt f(x + ξ) = f(x) + Aξ + ϕ(ξ), (1.6) wobei ϕ eine in der Umgebung von Null definierte Abbildung mit der Eigenschft ϕ(ξ) lim ξ ξ = ist. f heißt differenzierbr uf U, wenn f in jedem Punkte x U differenzierbr ist. Die Funktion f : U R m ist lso genu dnn in x U differenzierbr, wenn f(x + ξ) f(x) Aξ lim ξ ξ = gilt, wofür wir unter Verwendung der Lndu Symbole uch f(x + ξ) f(x) Aξ = o( ξ ) oder f(x + ξ) = f(x) + Aξ + o( ξ ) schreiben können. Speziell für n = m = 1 stimmt diese Definition wegen Stz 6.3 überein mit jener für sklre Funktionen mit nur einer Vriblen. Sttt von einer differenzierbren oder, genuer, Fréchet differenzierbren Funktion ht sich im deutschsprchigen Rum uch der Begriff einer totl differenzierbren Abbildung eingebürgert, um den Unterschied zu einer prtiell differenzierbren Funktion zu verdeutlichen. Lemm 1.1 Seien U R n offen und f : U R m differenzierbr in einem Punkt x U. Dnn ist die zugehörige linere Abbildung A mit den in Definition 1.9 gennnten Eigenschften eindeutig bestimmt. Beweis: Seien A 1, A 2 : R n R m zwei linere Abbildungen mit der Eigenschft und f(x + ξ) = f(x) + A 1 ξ + ϕ 1 (ξ) für ξ, lim ξ ϕ 1 (ξ) ξ = f(x + ξ) = f(x) + A 2 ξ + ϕ 2 (ξ) für ξ, lim ξ ϕ 2 (ξ) ξ = für zwei zugehörige Funktionen ϕ 1, ϕ 2. Subtrktion liefert dnn (A 1 A 2 )ξ = ϕ 2 (ξ) ϕ 1 (ξ)

12 312 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N und dher (A 1 A 2 )ξ ξ für ξ. Speziell für ξ = td mit einem festen d und einer Folge t ergibt sich herus (A 1 A 2 )d d (A 1 A 2 )(td) = lim =. t td Folglich ist (A 1 A 2 )d =. D d beliebig gewählt werden konnte, impliziert dies A 1 = A 2 und dmit die behuptete Eindeutigkeit. Aufgrund des vorstehenden Resulttes ist die folgende Definition sinnvoll. Definition 1.11 Seien U R n offen und f : U R m differenzierbr in einem Punkt x U, lso ϕ(ξ) f(x + ξ) = f(x) + Aξ + ϕ(ξ), lim ξ ξ = mit einer (im Allgemeinen vom betrchteten Punkt x bhängigen) eindeutig bestimmten lineren Abbildung A. Dnn nennen wir diese linere Abbildung die Ableitung oder ds Differentil von f in x und bezeichnen diesen Ausdruck mit f (x), Df(x) oder uch df(x). Per Definition ist die Ableitung f (x) eine linere Abbildung. Ist f hingegen uf U differenzierbr, so existiert ds Differentil f (x) in jedem Punkt x U und mn ht in diesem Fll eine weitere Abbildung f : U R m, x f (x) vorliegen, die ntürlich nicht liner sein muss. Wir betrchten ls Nächstes drei einfche Beispiele, bei denen sich die Ableitung einer gegebenen Funktion sehr leicht berechnen lässt. Beispiel 1.12 () Sei f : R n R m eine ffin linere Funktion, lso f(x) = Ax + b mit einer Mtrix A R m n und einem Vektor b R m. Dnn gilt f(x + ξ) = A(x + ξ) + b = Ax + b + Aξ = f(x) + f (x)ξ ξ R n mit f (x) := A, denn hierfür gilt f(x + ξ) f(x) f (x)ξ lim ξ ξ = lim ξ ξ =. Also ist f in x differenzierbr mit der Ableitung f (x) := A. (b) Sei f(x) := 1 2 xt Qx + c T x + γ eine qudrtische Funktion mit einer (nicht notwendig symmetrischen) Mtrix Q R n n, einem Vektor c R n und einer Konstnten γ R. Wir behupten, dss ds Differentil von f in einem Punkt x R n gegeben ist durch f (x) := 1 2 xt( Q + Q T ) + c T.

13 1.3. FRÉCHET DIFFERENZIERBARKEIT 313 In der Tt gilt hiermit f(x + ξ) f(x) f (x)ξ = 1 2 (x + ξ)t Q(x + ξ) + c T (x + ξ) + γ 1 2 xt Qx c T x γ f (x)ξ = 1 2 ξt Qξ ξt Qx xt Qξ + c T ξ 1 2 xt (Q + Q T )ξ c T ξ = 1 2 ξt Qξ = O( ξ 2 ) = o( ξ ), worus sich unmittelbr die Behuptung ergibt; hierbei hben wir die Cuchy Schwrzsche Ungleichung sowie die Verträglichkeit von Mtrix und Vektornorm usgenutzt, wonch gilt: 1 2 ξt Qξ 1 2 ξ Qξ 1 2 Q ξ 2 = O( ξ 2 ). Speziell für symmetrische Mtrizen Q ist die Ableitung lso gegeben durch f (x) = x T Q. (c) Sei f(x) := g(x, x) mit einer bilineren Abbildung g : R n R n R m, d.h. g(x, ) und g(, y) sind beide liner. Dnn gilt f(x + ξ) = g(x + ξ, x + ξ) mit der Ableitung f (x) definiert durch = g(x, x) + g(x, ξ) + g(ξ, x) + g(ξ, ξ) = g(x, x) + f (x)ξ + o(ξ) f (x)ξ := g(x, ξ) + g(ξ, x) (bechte, dss f (x) hierbei wegen der Bilinerität von g in der Tt eine linere Abbildung drstellt). Dbei wurde noch usgenutzt, dss die bilinere Abbildung g offenbr einer Ungleichung der Form g(ξ, ξ) c ξ 2 ξ R mit einer Konstnten c genügt, so dss insbesondere g(ξ, ξ) = o( ξ ) gilt. Drstellungen von f (x) für kompliziertere Funktionen werden sich in Kürze mühelos über die prtiellen Ableitungen von f ergeben, vergleiche den Stz D eine Folge von Vektoren genu dnn konvergiert, wenn jede Komponentenfolge konvergent ist, vergleiche Korollr 4.54, erhlten wir unmittelbr die nchstehende Eigenschft differenzierbrer Abbildungen.

14 314 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Lemm 1.13 ( Differenzierbrkeit gleich komponentenweise Differenzierbrkeit ) Seien U R n eine offene Menge und f : U R m eine gegebene Funktion. Dnn ist f genu dnn in einem Punkt x U differenzierbr, wenn jede Komponentenfunktion f i (i = 1,...,m) von f im Punkte x differenzierbr ist. Wir zeigen ls Nächstes, dss us der Differenzierbrkeit einer Funktion in einem Punkt x utomtisch deren Stetigkeit in x folgt. In diesem Zusmmenhng sei noch einml drn erinnert, dss die Existenz der prtiellen Ableitungen im Allgemeinen nicht die Stetigkeit implizierte. Stz 1.14 ( Stetigkeit differenzierbrer Abbildungen ) Seien U R n offen und f : U R m differenzierbr in einem Punkt x U. Dnn ist f uch stetig in x. Beweis: Für eine beliebige Folge ξ gilt wegen der Differenzierbrkeit von f in x: f(x + ξ) = f(x) + Aξ + ϕ(ξ) f(x) für ξ. Also ist f stetig in x. In der Definition einer differenzierbren Funktion f : R n R m tucht eine linere Abbildung A : R n R m uf (die wir ls Ableitung f (x) bezeichnet hben). Jede solche linere Abbildung lässt sich beknntlich durch eine Mtrix repräsentieren, wenn wir vorher geeignete Bsen in den Räumen R n und R m wählen. Wir wollen im Folgenden jeweils die knonischen Bsen wählen, bestehend us den Einheitsvektoren e i := (,...,, 1,,..., ) T (mit der Eins n der i-ten Stelle) im R n bzw. im R m. Bezeichnen wir die bezüglich dieser Bsen zur lineren Abbildung gehörende Mtrix ebenflls mit A, so gibt ds nchstehende Resultt explizit n, wie sich A in konkreten Fällen berechnen lässt. Stz 1.15 ( Prtielle Differenzierbrkeit von differenzierbren Funktionen ) Seien U R n offen und f : U R m differenzierbr in einem Punkt x U, lso f(x + ξ) = f(x) + Aξ + o( ξ ) für eine geeignete Mtrix A = ( ij ) R m n. Dnn sind lle Komponenten f i : U R (i = 1,...,m) prtiell differenzierbr in x, und es gilt Beweis: Nch Vorussetzung gilt ij = f i x j (x) i = 1,...,m, j = 1,..., n. f i (x + ξ) = f i (x) + n ij ξ j + o( ξ ) i = 1,..., m j=1

15 1.3. FRÉCHET DIFFERENZIERBARKEIT 315 für jede Folge ξ. Speziell für ξ = he j mit h und dem j-ten Einheitsvektor e j R n ist dher f i (x + he j ) = f i (x) + h ij + o( h ) i = 1,..., m. Division durch h und nschließender Grenzübergng liefert somit f i f i (x + he j ) f i (x) (x) = lim x j h h = ij i = 1,..., m, j = 1,...,n, wobei die erste Gleichung gerde die Definition der prtiellen Differenzierbrkeit ist. Die im Stz 1.14 ufgetretene Mtrix A = ( ij ) mit ij = f i x j (x) erhält ufgrund ihrer besonderen Bedeutung einen eigenen Nmen. Definition 1.16 Seien U R n offen und f : U R m eine gegebene Funktion derrt, dss lle Komponenten f i : U R prtiell differenzierbr in einem Punkt x U sind. Dnn heißt die Mtrix f (x) R m n mit den Komponenten die Jcobi Mtrix von f in x. f (x) ij := f i x j (x) i = 1,...,m, j = 1,..., n Alterntiv wird die Jcobi Mtrix von f in einem Punkte x sttt mit f (x) uch mit Jf(x) oder J f (x) bezeichnet. Im Flle m = 1 stimmt die Jcobi Mtrix f (x) mit dem Grdienten grdf(x) überein und stellt somit einen Zeilenvektor dr. Für m > 1 bestehen die Zeilen von f (x) hingegen us den Grdienten grdf i (x) der i-ten Komponentenfunktion f i (i = 1,..., m) von f. Ist f : U R m differenzierbr in x, so existieren wegen Stz 1.14 lle prtiellen Ableitungen, und die chrkterisierende Eigenschft der Differenzierbrkeit lässt sich unter Verwendung der Jcobi Mtrix schreiben ls f(x + ξ) = f(x) + f (x)ξ + o( ξ ). Die Schreibweise f (x) ht lso zwei Bedeutungen: Einerseits bezeichnet f (x) die Ableitung einer differenzierbren Funktion f im Punkte x, ndererseits ist f (x) die Jcobi Mtrix von f im Punkte x, sofern lle prtiellen Ableitungen von f existieren (wobei f selbst dnn nicht differenzierbr sein muss). Diese Doppeldeutigkeit entfällt im Flle von differenzierbren Funktionen ufgrund des Stzes 1.14, denn dnn ist die Jcobi Mtrix gerde eine Mtrix Repräsenttion der Ableitung f (x). Mittels der Jcobi Mtrix lssen sich die Ableitungen uch von vermeintlich komplizierten Funktionen reltiv leicht berechnen. Wir geben hierfür ein einfches Beispiel n. Beispiel 1.17 Die Abbildung f : R 2 R 3 sei komponentenweise definiert durch f 1 (x, y) := 2x + y, f 2 (x, y) := 3x 2 + y 2, f 3 (x, y) := xy.

16 316 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Die zugehörigen prtiellen Ableitungen existieren lle und sind gegeben durch f 1 x (x) = 2, f 1 y = 1, f 2 x = 6x, f 2 y = 2y, f 3 x = y, f 3 y = x. Speziell für (x, y) = (1, 2) erhlten wir somit f ( (1, 2) ) = ls Jcobi Mtrix von f im Punkte (1, 2) Während die prtielle Differenzierbrkeit noch nicht einml die Stetigkeit einer Funktion impliziert, zeigen wir in dem nächsten Stz, dss die stetige prtielle Differenzierbrkeit sogr die Differenzierbrkeit und somit insbesondere die Stetigkeit nch sich zieht. Ttsächlich gilt sogr deutlich mehr, wofür wir ber zunächst die nchstehenden Begriffe forml einführen wollen. Definition 1.18 Seien U R n eine offene Menge und f : U R m eine gegebene Funktion. () Die Funktion f heißt stetig prtiell differenzierbr in x U, wenn die prtiellen Ableitungen D xi f : U R m für lle i = 1,..., m existieren und selbst stetige Funktionen in x sind. (b) Die Funktion f heißt stetig differenzierbr in x U, wenn die Ableitung f (z) für lle z U existieren und die Abbildung f : U R m, z f (z) selbst stetig in x ist. (c) Die Funktion f heißt stetig (prtiell) differenzierbr uf U, wenn f in llen Punkten x U stetig (prtiell) differenzierbr ist. In den obigen Definitionen hätte mn die Existenz der (prtiellen) Ableitungen D xi f bzw. f (z) uch nur in einer Umgebung des Punktes x fordern müssen (sttt uf gnz U). Aufgrund des folgenden Stzes gibt es keinen Unterschied zwischen stetig differenzierbren und stetig prtiell differenzierbren Funktionen, ws schon deshlb wichtig ist, d die Mehrzhl der deutschsprchigen Anlysis Lehrbücher eine Abbildung ls stetig differenzierbr definieren, wenn sie (in unserem Sinne) stetig prtiell differenzierbr ist. Stz 1.19 ( Chrkterisierung stetig differenzierbrer Funktionen ) Seien U R n offen und f : U R m eine gegebene Funktion. Dnn ist f genu dnn stetig prtiell differenzierbr uf U, wenn f dort stetig differenzierbr ist. Beweis: Wir setzen zunächst vorus, dss f stetig prtiell differenzierbr uf U ist und wählen ein beliebiges x U. Für den Beweis dieser Richtung können wir ußerdem ohne Einschränkung dvon usgehen, dss m = 1 ist, denn die vektorwertige Funktion f ist genu dnn (stetig) differenzierbr, wenn lle Komponentenfunktionen f i dies sind. Wegen.

17 1.3. FRÉCHET DIFFERENZIERBARKEIT 317 der Offenheit von U existiert ein δ > mit K δ (x) U, wobei K δ (x) := { y y x 2 < δ } die offene Kugelumgebung vom Rdius δ > um den Punkt x bezeichnet. Wähle nun ein beliebiges ξ = (ξ 1,...,ξ n ) T mit ξ 2 < δ und definiere hiermit z (i) := x + i ξ k e k für k =, 1,..., n mit den Einheitsvektoren e k := (,...,, 1,,..., ) T. Wir hben lso z () = x, k=1 z (1) = (x 1 + ξ 1, x 2,...,x n ) T, z (2) = (x 1 + ξ 1, x 2 + ξ 2, x 3,...,x n ) T,..... z (n) = (x 1 + ξ 1, x 2 + ξ 2,..., x n + ξ n ) T = x + ξ, und gemäß Konstruktion gilt z (i) U für lle i =, 1,..., n. Die Punkte z (i 1) und z (i) unterscheiden sich lediglich in der i-ten Koordinte. Wenden wir dher den Mittelwertstz der Differentilrechnung uf die (wegen m = 1) eindimensionle Funktion ϕ i : [, 1] R m = R, ϕ i (t) := f(x 1 + ξ 1,..., x i 1 + ξ i 1, x i + tξ i, x i+1,...,x n ) n und berücksichtigen dbei die vorusgesetzte prtielle Differenzierbrkeit von f, so existiert ein θ i (, 1) mit ϕ i (1) ϕ i () = ϕ i (θ i)(1 ) ws sich gemäß Definition von ϕ i äquivlent schreiben lässt ls f(z (i) ) f(z (i 1) ) = D xi f(y (i) )ξ i mit dem Zwischenpunkt y (i) := z (i 1) + θ i ξ i e i. Hierus folgt f(x + ξ) f(x) = Setzt mn zur Abkürzung n [ f(z (i) f(z (i 1) ) ] = i=1 n D xi f(y (i) )ξ i. i=1 i := D xi f(x) R und f (x) := A := ( 1... n ) R 1 n, so folgt f(x + ξ) = f(x) + n i ξ i + i=1 n ( ) Dxi f(y (i) ) i ξi = f(x) + f (x)ξ + r(ξ) i=1

18 318 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N mit r(ξ) := n ( ) Dxi f(y (i) ) i ξi ; i=1 mn bechte dbei, dss y (i) von ξ bhängt und mit ξ ntürlich y (i) x für i = 1,...,n gilt. Die Stetigkeit der prtiellen Ableitungen D xi f im Punkt x impliziert somit D xi f(y (i) ) i für lle i = 1,..., n und ξ. Dies wiederum liefert r(ξ) lim ξ ξ = und zeigt somit, dss f im Punkt x differenzierbr ist mit dem Differentil f (x) = A. D lle Komponenten von f (x) wegen der Stetigkeit ller prtiellen Ableitungen noch stetig in x sind, folgt hierus sogr die stetige Differenzierbrkeit von f in x. Sei umgekehrt jetzt f ls stetig differenzierbr uf U vorusgesetzt und x U beliebig gewählt. Wegen Stz 1.15 ist f dnn insbesondere prtiell differenzierbr, und wir können die Jcobi Mtrix f (x) ls Differentil von f in x uffssen. Nch Definition dieser Jcobi Mtrix sind die Einträge gerde gegeben durch f (x) ij = D xj f i (x), wenn f i : U R die i te Komponentenfunktion von f bezeichnet (i = 1,...,m). Nch Vorussetzung ist f stetig in x, so dss wir us Dxj f i (x) D xj f i (y) ( f (x) f (y) ) e 2 j für y x unmittelbr die Stetigkeit der prtiellen Ableitungen D xj f i für lle i = 1,...,m und lle j = 1,...,n erhlten. Ds vorige Resultt soll durch die nchstehende Bemerkung ergänzt werden. Bemerkung 1.2 Der Stz 1.19 chrkterisiert die stetige Differenzierbrkeit von f uf einer Menge U durch die stetige prtielle Differenzierbrkeit von f uf eben dieser Menge. Hingegen besgt der Stz 1.19 nicht, dss f genu dnn in einem Punkt x U stetig differenzierbr ist, wenn die Funktion in diesem Punkt stetig prtiell differenzierbr ist. Dies mcht uch keinen Sinn, d in der Definition der stetigen Differenzierbrkeit von f j die Ableitung f in einer gnzen Umgebung eines Punktes existieren muss. Dennoch folgt us dem Beweis des Stzes 1.19 unmittelbr die nchstehende Aussge: Ist f : U R n prtiell differenzierbr uf U und sind die prtiellen Ableitungen D xi f in einem Punkt x U stetig, so ist f zumindest differenzierbr in x. Der Stz 1.19 ist durchus bemerkenswert: Wegen Beispiel 1.7 knn eine Funktion prtiell differenzierbr sein, ohne dss sie uch nur stetig ist. Fordert mn nun sttt der prtiellen Differenzierbrkeit die vermeintlich nur geringfügig stärkere Vorussetzung der stetigen

19 1.3. FRÉCHET DIFFERENZIERBARKEIT 319 prtiellen Differenzierbrkeit, so ergibt sich wegen des Stzes 1.19 nicht nur die Stetigkeit, sondern sogr die deutlich stärkere Eigenschft der Differenzierbrkeit bzw. gr der stetigen Differenzierbrkeit von f im Punkt x. Die Umkehrung, dss die stetige Differenzierbrkeit die stetige prtielle Differenzierbrkeit impliziert, ist weniger überrschend und wr im Beweis des Stzes 1.19 uch die leichte Richtung. In den meisten deutschsprchigen Lehrbüchern wird die Gültigkeit dieser Richtung meist gr nicht explizit erwähnt. Seien nun U R n eine offene Menge und f : U R m eine stetig differenzierbre Funktion. Dnn ist die Abbildung f : U R m, x f (x) lso noch stetig. Ist diese sogr (stetig) differenzierbr, so nennen wir f zweiml (stetig) differenzierbr. Induktiv erhält mn uf diese Weise die Klsse der k-ml (stetig) differenzierbr en Funktionen. Hierfür ht sich eine eigene Nottion eingebürgert. Definition 1.21 Seien U R n offen und f : U R m. Dnn bezeichnen wir mit C k (U, R m ) := { f : U R m fist k-ml stetig differenzierbr uf U } die Menge der uf U insgesmt k-ml stetig differenzierbren Funktionen. Mn schreibt häufig nur f C k (U) oder f C k, wenn die Definitionsmenge U bzw. sowohl die Definitionsmenge U ls uch der Bildrum R m us dem jeweiligen Zusmmenhng klr sind. Wir beweisen ls Nächstes eine Verllgemeinerung der Kettenregel für Funktionen mehrerer Veränderlicher. Stz 1.22 ( Kettenregel ) Seien U R n und V R m offene Mengen sowie g : U R m und f : V R k Abbildungen mit g(u) V. Die Abbildung g sei im Punkt x U differenzierbr und die Abbildung f im Punkt y := g(x) differenzierbr. Dnn ist die zusmmengesetzte Abbildung f g : U R k im Punkt x differenzierbr und besitzt ds Differentil D(f g)(x) = Df ( g(x) ) Dg(x). Für die entsprechenden Jcobi Mtrizen gilt entsprechend die Gleichung mit y := g(x). Beweis: Nch Vorussetzung gelten J ( f g ) (x) = Jf(y) Jg(x) }{{}}{{}}{{} R k n R k m R m n g(x + ξ) = g(x) + Dg(x)ξ + o( ξ ) und f(y + η) = f(y) + Df(y)η + o( η )

20 32 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N für lle ξ und η. Speziell für ergibt sich dher (f g)(x + ξ) = f ( g(x + ξ) ) η := g(x + ξ) g(x) = Dg(x)ξ + o( ξ ) = f ( g(x) + η ) = f ( g(x) ) + Df ( g(x) ) η + o( η ) = f ( g(x) ) + Df ( g(x) )[ Dg(x)ξ + o( ξ ) ] + o( η ) = f ( g(x) ) + ( Df ( g(x) ) Dg(x) ) ξ + Df ( g(x) ) o( ξ ) + o( η ), }{{} =:ϕ(ξ) wobei mn in der Definition von ϕ bechte, dss η eine Funktion von ξ ist. In der Tt gilt η = O( ξ ) und dmit ϕ(ξ) = o( ξ ). Hierus folgt unmittelbr die Behuptung über den Zusmmenhng der entsprechenden Differentile. Die Aussge über die Jcobi Mtrizen ergibt sich hierus einfch us der Ttsche, dss ds Kompositum zweier linerer Abbildungen dem Mtrixprodukt ihrer Mtrix Repräsentnten entspricht. Wir formulieren noch einen einfchen Zusmmenhng zwischen der Richtungsbleitung und dem Differentil einer (reellwertigen) Funktion. Stz 1.23 ( Differenzierbre Fuktionen sind richtungsdifferenzierbr ) Seien U R n und f : U R differenzierbr in einem Punkt x U. Dnn existiert die Richtungsbleitung f (x; d) in jede Richtung d R n, und es gilt Beweis: Nch Vorussetzung ist f (x; d) = grdf(x) d = f(x) T d. f(x + ξ) = f(x) + Df(x)ξ + o( ξ ) für jede Folge ξ. Wähle nun eine feste Richtung d und setze speziell ξ = td mit t. Dnn folgt f(x + td) = f(x) + tdf(x)d + o( td ), lso f(x + td) f(x) = Df(x)d + 1 t t o( td ). Für t folgt dher die Existenz des Grenzwertes uf der linken Seite mit f f(x + td) f(x) (x; d) = lim = Df(x)d. t t D f reellwertig ist, hben wir Df(x) = grdf(x) = f(x) T, womit lles bewiesen ist. Wir geben im Folgenden ein Beispiel zur Kettenregel.

21 1.4. MITTELWERTSÄTZE 321 Beispiel 1.24 Wir betrchten die beiden differenzierbren Funktionen f, g : R 2 R 2, definiert durch ( ) ( ) y1 + y f(y) := f(y 1, y 2 ) := 2 x1 e y 1 2y2 2 und g(x) := g(x 1, x 2 ) := x 2 x 2 1 x. 2 Dnn ist (f g)(x) = f ( g(x) ) ( x1 e = x 2 + x 2 1 x 2 x 1 e x 2 2x 4 1x 2 2 Mittels elementrer Rechnung ergibt sich somit (f g) (x) = ( e x 2 + 2x 1 x 2 x 1 e x 2 + x 2 1 e x 2 8x 3 1x 2 2 x 1 e x 2 4x 4 1x 2 Andererseits knn mn die Ableitung (f g) (x) uch mittels der Kettenregel bestimmen (übrigens ohne explizite Berechnung von f g), wonch gilt. Wegen ( ) 1 1 f (y) = 1 4y 2 (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x) erhält mn mit y = g(x) ( ) ( ) 1 1 e (f g) x2 x (x) = 1 e x2 1 4y 2 2x 1 x 2 x 2 1 ). ). ( ) e und g x 2 x (x) = 1 e x 2 2x 1 x 2 x 2 1 = ( e x 2 + 2x 1 x 2 x 1 e x 2 + x 2 1 e x 2 8x 3 1 x2 2 x 1 e x 2 4x 4 1 x 2 und dmit (nicht überrschend) die gleiche Jcobi Mtrix wie bei expliziter Berechnung des Kompositums f g mit nschließender Differentition. Die Bestimmung der Ableitung unter Verwendung der Kettenregel ist hierbei oft der kürzere Weg (ds gilt sicherlich uch für dieses Beispiel, wenn wir m Ende nicht noch ds Produkt der beiden Mtrizen usgerechnet hätten). 1.4 Mittelwertsätze Wir geben in diesem Abschnitt Verllgemeinerungen des Mittelwertstzes für Funktionen mit mehreren Veränderlichen. Die eine Verllgemeinerung betrifft reellwertige Abbildungen, die ndere vektorwertige Funktionen. Wir beginnen mit dem reellwertigen Fll. Stz 1.25 ( Mittelwertstz in Ableitungsform ) Seien U R n offen und f : U R differenzierbr. Seien x, y U zwei Punkte derrt, dss die gesmte Verbindungsstrecke von x nch y in U liegt. Dnn existiert ein Zwischenpunkt ξ uf dieser Verbindungsstrecke mit f(y) f(x) = f(ξ) T (y x). )

22 322 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Beweis: Wir setzen ϕ(t) := x+t(y x) für t [, 1]; nschulich beschreibt ϕ gerde die Verbindungsstrecke von x nch y. Betrchte nun die sklre Funktion F := f ϕ : [, 1] R. Für diese gilt f(y) f(x) = F(1) F(). Aufgrund der Kettenregel ist F differenzierbr. Aus dem Mittelwertstz der Differentilrechnung einer Veränderlichen folgt dher die Existenz eines Zwischenpunktes τ (, 1) mit F(1) F() = F (τ) = f ( ϕ(τ) ) (y x). Die Behuptung folgt dher mit ξ := ϕ(τ). Wir betrchten ls Nächstes den vektorwertigen Fll f : U R m mit einer offenen Menge U R n. Wir können dnn ntürlich den Stz 1.25 uf jede Komponentenfunktion f i : U R von f nwenden und erhlten die Existenz eines (von der Komponente i bhängigen) Zwischenpunktes ξ i R n mit. f n (y) f i (y) f i (x) = grdf i (ξ i )(y x), wobei x, y U zwei gegebene Punkte sind, deren Verbindungsstrecke komplett in U verläuft. In Mtrix Vektor Nottion lässt sich dies schreiben ls f 1 (y) f 1 (x) grdf 1 (ξ 1 ) = (y x).. f n (x). grdf n (ξ n ) Wäre jetzt ξ 1 =... = ξ n, die Zwischenpunkte für lle Komponenten lso gleich, so könnten wir dies in der Form f(y) f(x) = f (ξ)(y x) schreiben, wobei f (ξ) die Jcobi Mtrix von f in ξ bezeichnet. Dies wäre exkt ds Anlogon zum Stz 1.25 für vektorwertige Funktionen. Leider ist dieses Anlogon im Allgemeinen nicht richtig, d die Zwischenpunkte ξ 1,..., ξ n meist verschieden sind. Um den Mittelwertstz dennoch uf geeignete Weise für vektorwertige Funktionen formulieren zu können, geben wir zunächst eine ndere Interprettion des Mittelwertstzes für Funktionen einer Veränderlichen. Sei dzu f : I R eine differenzierbre Funktion uf dem Intervll I R. Zu beliebigen x, y I existiert dnn ein ξ (, 1) mit f(y) f(x) = f (ξ)(y x). Setzt mn f zusätzlich ls stetig differenzierbr vorus, so folgt us dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung y ( 1 f(y) f(x) = f (τ)dτ = f ( x + t(y x) ) ) dt (y x), x

23 1.4. MITTELWERTSÄTZE 323 wobei die zweite Gleichung mittels der Substitution τ := x + t(y x) folgt. Gegenüber der obigen Formel wird lso der Wert der Ableitung f (ξ) n einer Stelle ξ ersetzt durch den Mittelwert 1 f ( x + t(y x) ) dt der Ableitung uf der Verbindungsstrecke von x nch y. In dieser Form lässt sich der Mittelwertstz uf vektorwertige Funktionen übertrgen. D ds Differentil einer solchen Funktion eine Mtrix ist (bzw. ls eine solche drstellbr ist), benötigen wir den Begriff des Integrls einer mtrixwertigen Funktion: Sei dzu A := ( ij ) R m n eine Mtrix, deren Koeffizienten ij stetige Funktionen uf einem Intervll I = [, b] seien. Dnn versteht mn unter dem Integrl I A(t)dt = A(t)dt die Mtrix mit den Koeffizienten ij (t)dt = ij (t)dt i = 1,...,m, j = 1,..., n. Wir hben lso I I I 11(t)dt I 1n(t)dt A(t)dt =..... R m n. I m1(t)dt I mn(t)dt Hiermit erhlten wir nun die folgende Verllgemeinerung des Mittelwertstzes für vektorwertige Funktionen. Stz 1.26 ( Mittelwertstz in Integrlform ) Seien U R n offen und f : U R m stetig differenzierbr. Seien x, y U zwei Punkte derrt, dss die gesmte Verbindungsstrecke von x nch y in U liegt. Dnn gilt ( 1 f(y) f(x) = f ( x + t(y x) ) ) dt (y x). Beweis: Seien f i : U R die Komponentenfunktion von f (i = 1,...,m). Wir betrchten die Abbildungen g i : [, 1] R, g i (t) := f i ( x + t(y x) ). Aus dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung sowie der Kettenregel folgt dnn f i (y) f i (x) = g i (1) g i () = = 1 1 g i(t)dt f i ( x + t(y x) ) T (y x)dt

24 324 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N = = 1 n j=1 n j=1 1 f i x j ( x + t(y x) ) (yj x j )dt f i x j ( x + t(y x) ) dt(yj x j ). D die Jcobi Mtrix f ( x + t(y x) ) ( per Definition gerde die Komponenten f i x j x + t(y x) ) besitzt, folgt hierus die Behuptung. Wir wollen noch eine wichtige Folgerung us dem Stz 1.26 ziehen und benötigen dzu insbesondere ds nchstehende Hilfsresultt. Lemm 1.27 Sei ϕ : [, b] R m stetig. Dnn gilt ϕ(t)dt wobei die euklidische Norm bezeichnet. Beweis: Setze u := ϕ(t)dt und ϕ(t) dt, K := u. Sei ferner x, y := x T y ds euklidische Sklrprodukt zweier Vektoren x, y R n, so dss für die euklidische Norm insbesondere x 2 = x, x gilt. Dnn folgt K 2 = u, u = ϕ(t)dt, u = = K ϕ(t), u dt (Linerität des Integrls) ϕ(t) u dt ϕ(t) dt, wobei wir die Cuchy Schwrz Ungleichung benutzt hben. Dies impliziert und dher die Behuptung. ϕ(t)dt = K ϕ(t) dt Wir definieren ls Nächstes den Begriff einer konvexen Menge.

25 1.4. MITTELWERTSÄTZE 325 Definition 1.28 Eine Teilmenge X R n heißt konvex, flls für lle x, y X und lle λ (, 1) gilt. λx + (1 λ)y X Geometrisch besgt die Definition 1.28, dss eine Menge X R n konvex ist, wenn mit je zwei Punkten dieser Menge uch die gesmte Verbindungsgerde dieser zwei Punkte zu der Menge X gehört, siehe uch Abbildung 1.2. y x y x Abbildung 1.2: Beispiel einer konvexen und einer nicht konvexen Menge Mittels des Begriffes einer konvexen Menge können wir beispielsweise die nchstehende Konsequenz des Mittelwertstzes in der Integrlform ngeben, wobei eine beliebige Vektor bzw. die hierdurch induzierte Mtrixnorm sein drf. Stz 1.29 ( Lipschitz Stetigkeit stetig differenzierbrer Funktionen ) Seien U R n offen und konvex und f : U R m stetig differenzierbr mit Dnn gilt f (x) M für lle x U (1.7) f(y) f(x) M y x für lle x, y U, d.h., die Abbildung f ist Lipschitz stetig uf der Menge U. Beweis: Mit Stz 1.26 und Lemm 1.27 folgt f(y) f(x) = f ( x + t(y x) ) (y x)dt ( f x + t(y x) ) (y x) dt ( f x + t(y x) ) y x dt

26 326 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N M y x für lle x, y U ufgrund der Verträglichkeit von Vektornorm und induzierter Mtrixnorm. Als unmittelbre Konsequenz des obigen Resulttes erhlten wir die nchstehende Folgerung. Korollr 1.3 Seien U R n offen und konvex und f : U R m stetig differenzierbr mit f (x) = für lle x U. Dnn ist f konstnt. Beweis: Wegen f (x) = für lle x U können wir M = im Stz 1.29 wählen. Dnn folgt f(x) = f(y) für lle x, y U, d.h., f ist eine konstnte Funktion uf U. Der Stz 1.29 besitzt einen wichtigen Spezilfll, bei dem mn die Existenz einer Konstnten M mit der Eigenschft (1.7) (zumindest uf einer Teilmenge von U) beweisen knn und somit nicht explizit vorussetzen muss. Korollr 1.31 Seien U R n eine offene Menge, f : U R m stetig differenzierbr und K U eine konvexe und kompkte Teilmenge. Dnn existiert eine Konstnte M mit f(x) f(y) M x y x, y K, (1.8) d.h., f ist Lipschitz stetig uf der kompkten Mengen K. Beweis: Aus Stetigkeits und Kompktheitsgründen existiert die Konstnte M := mx x K f (x), und wie im Beweis des Stzes 1.29 folgert mn hierus die Gültigkeit der Ungleichung (1.8). 1.5 Der Stz von Tylor Für Funktionen einer Veränderlichen lieferte der Stz von Tylor eine lokle Approximtion einer hinreichend gltten Abbildung durch ein geeignetes Polynom. Dieses Resultt lässt sich verllgemeinern uf Funktionen in mehreren Vriblen. Zu diesem Zweck benötigen wir ein kombintorisches Hilfsresultt, dessen Frgestellung zunächst motiviert werden soll. Betrchte hierzu erst einml eine C 3 Funktion f : R 2 R und schreibe zur Vereinfchung D i f(x) für die prtielle Ableitung D xi f(x) von f nch x i im Punkte x. Nch dem Stz von Schwrz gilt dnn D 1 D 1 D 2 f(x) = D 1 D 2 D 1 f(x) = D 2 D 1 D 1 f(x) =: D 2 1 D1 2 f(x).

27 1.5. DER SATZ VON TAYLOR 327 Es gibt lso genu drei verschiedene Tupel (i 1, i 2, i 3 ) von Zhlen i l {1, 2}, bei der die Zhlen j = 1 genu zweiml und die j = 2 genu einml vorkommen und somit ein und dieselbe prtielle Ableitung D 2 1D 1 2f(x) liefern. Sei nun llgemein f : R n R eine C k Funktion und D i f(x) weiterhin die prtielle Ableitung von f im Punkte x nch der i-ten Koordinten x i. Dnn stellt sich nlog die Frge nch der Anzhl der verschiedenen Tupel (i 1, i 2,...,i n ) von Zhlen i l {1,..., n}, so dss die Zhlen j = 1, j = 1,...,j = n genu α 1 -ml, α 2 -ml,..., α n -ml vorkommen, so dss für jedes solche Tupel die zugehörigen k-ten prtiellen Ableitungen übereinstimmen und nch dem Stz 1.8 von Schwrz D in...d i2 D i1 f(x) = D α 1 1 Dα Dαn n f(x) gilt; hierbei sind die α 1, α 2,...,α n N gegebene Zhlen mit α α n = k. Die Lösung dieses Problems ist in dem folgenden kombintorischen Hilfsresultt enthlten. Lemm 1.32 Seien n, k N sowie α N n gegeben mit α α n = k. Dnn existieren genu k! (1.9) α 1! α n! verschiedene Tupel (i 1,...,i k ) von Zhlen i l {1,..., n}, bei denen die Zhl j genu α j ml vorkommt (j = 1,..., n). Beweis: Wegen Stz 1.8 bzw. der entsprechenden kombintorischen Interprettion der Binomilkoeffizienten ht mn zunächst ( ) k α 1 Möglichkeiten für die Whl von j = 1. Dnch verbleiben ( k α 1 ) α 2 Möglichkeiten für die Whl von j = 2 usw., schließlich ht mn noch ( ) k α1 α 2... α n 1 α n Möglichkeiten für die Whl von j = n. Insgesmt ist die gesuchte Anzhl der verschiedenen Tupel (i 1,...,i k ) somit gegeben durch ( )( )( ) ( ) k k α1 k α1 α 2 k α1 α 2... α n 1... α 1 = = α 2 α 3 k! α 1!(k α 1 )! (k α 1 )! α 2!(k α 1 α 2 )!... (k α 1... α n 1 )! α n! k! α 1!α 2!...α n!, d sich die restlichen Fktoren us dem Zähler und Nenner ruskürzen. α n Die im Lemm 1.32 uftretenden Größen (1.9) werden in der Litertur ls Multinomilkoeffizienten bezeichnet. Es hndelt sich hierbei um Verllgemeinerungen der schon us dem Abschnitt 1.2 beknnten Binomilkoeffizienten.

28 328 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Für die weiteren Ausführungen erweist es sich ls recht nützlich, einige Schreibweisen einzuführen: Für ein Tupel α = (α 1,...,α n ) N n von ntürlichen Zhlen (inklusive der Null) seien α := α α n, α! := α 1!α 2! α n!. Ist f eine α -ml stetig differenzierbre Funktion, so setzt mn mit D α f := D α 1 1 D α D αn n f = D α i i Für x = (x 1,...,x n ) R n sei schließlich noch Dnn lässt sich ds folgende Resultt zeigen. := D i...d }{{} i. α i ml x α := x α 1 1 x α x αn n. α f α 1 x1... αn x n Lemm 1.33 Seien U R n offen und f : U R eine k-ml stetig differenzierbre Funktion. Seien ferner x U und ξ R n derrt gegeben, dss die gesmte Strecke x + tξ, t 1, in U liegt. Dnn ist die Funktion g : [, 1] R, g(t) := f(x + tξ), k-ml stetig differenzierbr, und es gilt g (k) (t) = α =k k! α! Dα f(x + tξ)ξ α, wobei sich die Summe über lle Tupel α = (α 1, α 2,..., α n ) N n mit α = k erstreckt. Beweis: Aus der Kettenregel folgt sofort, dss g eine k-ml stetig differenzierbre Funktion ist. Zum Nchweis der eigentlichen Ableitungsformel beweisen wir zunächst durch vollständige Induktion nch k, dss g (k) (t) = n i 1,...,i k =1 D ik... D i1 f(x + tξ)ξ i1...ξ ik (1.1) gilt. Für k = gilt g () (t) = g(t) = f(x + tξ),

29 1.5. DER SATZ VON TAYLOR 329 die Aussge ist lso richtig. Für k = 1 ergibt sich us der Kettenregel g (t) = d dt f(x 1 + tξ 1,...x n + tξ n ) = n D i f(x + tξ)ξ i, i=1 wobei wir diesen Fll eigentlich nur der besseren Erläuterung wegen erwähnen, d er für den Induktionsbeweis selbst gr nicht weiter benötigt wird. Nun zum Induktionsschluss: Die behuptete Formel gelte für ein k 1. Dnn folgt g (k) (t) = d dt g(k 1) (t) = d n dt n = = j=1 i 1,...,i k 1 =1 D j n i 1,...,i k =1 D ik 1...D i1 f(x + tξ)ξ i1...ξ ik 1 n i 1,...,i k 1 =1 D ik 1... D i1 f(x + tξ)ξ i1...ξ ik 1 ξ j D ik...d i1 f(x + tξ)ξ i1...ξ ik, womit die Gültigkeit von (1.1) für lle k N bewiesen ist. Kommt unter den Indizes i 1,..., i k der Index 1 genu α 1 -ml, der Index 2 genu α 2 - ml,..., der Index n genu α n -ml vor (hier ist α i = für gewisse i {1,...,n} zugelssen), so ergibt sich ls Korollr zum Stz 1.8 von Schwrz sofort D ik...d i1 f(x + tξ)ξ i1...ξ ik = D α D αn n f(x + tξ)ξ α ξ αn n. D es wegen Lemm 1.32 ber k! α 1!...α n! Tupel (i 1,...,i k ) von Zhlen 1 i l n gibt, bei denen die Zhl j genu α j -ml vorkommt (j = 1,...,n, α α n = k), folgt schließlich g (k) (t) = n i 1,...,i k =1 = α =k = α =k D ik...d i1 f(x + tξ)ξ i1...ξ in k! α 1!...α n! Dα Dn αn f(x + tξ)ξ α ξn αn k! α! Dα f(x + tξ)ξ α, womit lles bewiesen ist.

30 33 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N Ds mehr technische Lemm 1.33 dient nun zur bequemen Formulierung des Huptresultts dieses Abschnitts. Stz 1.34 ( Stz von Tylor ) Seien U R n offen, f : U R eine (k + 1)-ml stetig differenzierbre Funktion und x U, ξ R n derrt gegeben, dss x + tξ U gilt für lle t [, 1]. Dnn existiert ein θ [, 1] mit f(x + ξ) = α k Beweis: Wir betrchten die Funktion D α f(x) ξ α + α! α =k+1 g : [, 1] R, g(t) := f(x + tξ). D α f(x + θξ) ξ α. α! Wegen Lemm 1.33 ist g dnn (k + 1)-ml stetig differenzierbr. Nch der Tylor Formel für Funktionen einer Veränderlichen existiert somit ein θ [, 1] mit g(1) = k j= g (j) () j! + g(k+1) (θ) (k + 1)!. Erneut wegen Lemm 1.33 ist ber g (j) () j! = α =j D α f(x) ξ α α! und g (k+1) (θ) (k + 1)! = α =k+1 D α f(x + θξ) ξ α. α! Hierus folgt unmittelbr die Behuptung. Häufig findet mn die nchstehende qulittive Formulierung des Tylorschen Stzes. Korollr 1.35 Seien U R n offen, f : U R eine k-ml stetig differenzierbre Funktion und x U gegeben. Dnn gilt f(x + ξ) = α k für lle ξ R n mit ξ hinreichend klein. D α f(x) ξ α + o( ξ k ). α!

31 1.5. DER SATZ VON TAYLOR 331 Beweis: Wegen Stz 1.34 existiert ein (von ξ bhängiges) θ [, 1] mit mit f(x + ξ) = α k 1 = α k Wegen der Stetigkeit von D α f gilt dbei D α f(x) ξ α + α! α =k D α f(x) ξ α + r α (ξ)ξ α α! α =k r α (ξ) := Dα f(x + θξ) D α f(x). α! lim r α(ξ) =. ξ D α f(x + θξ) ξ α α! Hierus folgt bereits die Behuptung. Die im Tylorschen Stz uftretenden Summnden P j (ξ) := α =j D α f(x) ξ α α! sind homogene Polynome j-ten Grdes in ξ = (ξ 1,...,ξ n ). Mittels dieser Polynome lutet die Aussge des Korollrs 1.35 beispielsweise f(x + ξ) = k P j (ξ) + o( ξ k ). j= Der erste Summnd T k (ξ) := k P j (ξ) ist gerde ds k-te Tylor Polynom von f mit dem Entwicklungspunkt x. Wir wollen die Polynome P j (und dmit die Tylor Polynome T k ) im folgenden Beispiel einml für j =, 1, 2 näher untersuchen. Beispiel 1.36 () Sei j =. Dnn existiert nur ein Tupel α = (α 1,...,α n ) N n mit α =, nämlich α = (,...,). Hierus folgt j= P (ξ) = D f(x) ξ = f(x).!

32 332 KAPITEL 1. DIFFERENTIALRECHNUNG IM R N (b) Sei j = 1. Die einzigen Tupel α = (α 1,...,α n ) N n mit α = 1 sind die n Einheitsvektoren e i := (,...,, 1,,..., ) (die Eins steht n der i-ten Stelle). Wegen D e j = D j, e j! = 1 und ξ e j = ξ j folgt P 1 (ξ) = n D j f(x)ξ j = grd f(x) ξ = f(x) T ξ. j=1 (c) Sei j = 2. Dnn gibt es zwei Arten von Tupeln α = (α 1,...,α n ) N n mit α = 2 nämlich α = 2e i = (,...,, 2,,..., ) (1 i n) und α = e i + e j = (,..., 1,..., 1,...,) (1 i < j n), wobei die beiden Einsen n den Positionen i und j stehen. Wegen folgt D 2e i f = D 2 i f, (2e i)! = 2, D e i+e j f = D i D j f, (e i + e j )! = 1 i j P 2 (ξ) = 1 2 n i=1 D 2 i f(x)ξ 2 i + i<j D i D j f(x)ξ i ξ j. Wegen D i D j f(x) = D j D i f(x) nch dem Stz 1.8 von Schwrz folgt hierus unmittelbr P 2 (ξ) = 1 n D i D j f(x)ξ i ξ j, 2 i,j=1 wobei i und j unbhängig voneinnder von 1 bis n lufen. Ds Polynom P 2 motiviert den folgenden Begriff. Definition 1.37 Seien U R n offen und f : U R zweiml stetig differenzierbr. Dnn heißt 2 f(x) := ( D i D j f(x) ) 1 i n 1 j n die Hesse Mtrix von f im Punkt x U. Wegen D i D j f(x) = D j D i f(x) nch dem Stz von Schwrz ist die Hesse Mtrix für zweiml stetig differenzierbre Funktionen stets symmetrisch. Mittels dieser Hesse Mtrix lutet ds Polynom P 2 offenbr P 2 (ξ) = 1 2 ξt 2 f(x)ξ. Dmit erhlten wir die beiden Tylor Polynome T 1 (ξ) = f(x) + f(x) T ξ

33 1.6. PARAMETERABHÄNGIGE INTEGRALE 333 und T 2 (ξ) = f(x) + f(x) T ξ ξt 2 f(x)ξ ersten und zweiten Grdes ls lokle Approximtion n die Funktion f in der Nähe des Entwicklungspunktes x. Genuer gilt f(x + ξ) = T 1 (ξ) + o( ξ ) und f(x + ξ) = T 2 (ξ) + o( ξ 2 ) nch Korollr 1.35, sofern f einml bzw. zweiml stetig differenzierbr ist. 1.6 Prmeterbhängige Integrle Seien I = [, b] ein kompktes Intervll und U R n eine beliebige Teilmenge. Sei ferner f : I U R, (t, x) f(t, x) eine gegebene Funktion. Denken wir uns f(, x) ls eine (bei festem x U) integrierbre Abbildung uf I, so entsteht durch die Vorschrift ϕ(x) := f(t, x)dt (1.11) eine neue Funktion ϕ : U R. Ds Ziel dieses Abschnitts besteht in der Untersuchung der Glttheitseigenschften der Abbildung ϕ. Zunächst wollen wir zeigen, dss us der Stetigkeit von f (ls Funktion von (t, x), worus insbesondere die Existenz des obigen Integrls folgt) bereits die Stetigkeit von ϕ (ls Funktion in x) folgt. Dzu formulieren wir zunächst ein Hilfsresultt. Lemm 1.38 Seien I = [, b] ein kompktes Intervll, U R n eine beliebige Teilmenge und f : I U R, (t, x) f(t, x) stetig (ls Funktion in (t, x)). Sei ferner {x k } U eine konvergente Folge mit Grenzwert x U. Dnn konvergieren die Funktionen F k : [, b] R, F k (t) := f(t, x k ) für k gleichmäßig gegen die Abbildung F : [, b] R, F(t) := f(t, x ). Beweis: Wir definieren zunächst die Menge X := { x k k N } {x }. D diese per Konstruktion lle Häufungspunkte (wobei es hiervon nur einen gibt, denn die Folge {x k } ist nch Vorussetzung konvergent) enthält, ist X bgeschlossen und ntürlich uch beschränkt, folglich kompkt. Dnn ist uch ds krtesische Produkt [, b] X R 1+n