Analysis Gebrochen rationale Funktionen

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1 Aalysis Gebroche ratioale Fuktioe GRUNDEIGENSCHAFTEN Defiitiosbereich Stetigkeit Polstelle Asymptote Schaubilder Teil Datei Nr. 0 Stad. August 006 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 INHALTSVERZEICHNIS Form gebroche ratioaler Fuktioe Normalform; Grad vo Zähler ud Neer, Asymptotegrad Grudaufgabe: Umformug vo Fuktiosterme Verwedug vo Polyomdivisio Stetigkeit gebroche ratioaler Fuktioe 5 + Beispiel : f() = Polstelle ohe Zeichewechsel 5 Vorzeichetabelle; Verwedug vo Zahlefolge bei Polstelle 6 Beispiel : f() = Polstelle ohe Zeichewechsel 7 Beispiel : Beispiel : f() = f() = ( ) + ( + ) Schaubild mit Loch 0 hat doch eie Pol mit Zeichewechsel Übersicht über Nullstelle vo Zähler ud Neer Asymptote Fuktioe mit Asymptotegrad < 0 Berechug der Grezwerte für II Aalyse der 6 Musterbeispiele B bis B6: 5 f() = 8 f() = ud f() = 5 f() = 5 ( ) + f() = 8 ud f() =, 5 ( + ) 5 Fuktioe mit Asymptotegrad 0 7 Berechug der Grezwerte für II 8 Aalyse der 6 Musterbeispiele B7 bis B: f() = = +, f() = ud f() = f() =, f() = = ud f() = 0 ( ) 6 Fuktioe mit Asymptotegrad Grezwerte für II ud Aalyse vo 5 Beispiele f() = = + ud f() = = = + f() = = + f() = + ud f() = + 6 6

3 7 Fuktioe mit Asymptotegrad 5 Grezwerte für II ud Aalyse vo Beispiele 6 + f() = + =, f() = =, 6 + f() = + = 6 8 Näherugskurve für 0 7 Hiweise zum Verfahre der Ordiateadditio 7 6 f() = f() = = = 8 + f() = + = ud f() = = 9 + f() = + = 0 9 Gebroche ratioale Fuktioe ohe Polstelle 0 Zusammefassug: Asymptote Symmetrieutersuchuge der geate Beispiele. Symmetrie zur y-achse - Puktsymmetrie zum Ursprug Symmetrie zu = a - Puktsymmetrie zu Z ( a I b ) Lösuge der Aufgabe aus dem Mauskript 6

4 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte Form gebroche ratioaler Fuktioe Die Gleichuge gebroche ratioaler Fuktioe köe i gaz uterschiedliche Forme dargestellt sei. Hier eiige Beispiele: 8 f() = f() = f() = Währed die erste Fuktiosgleichug scho die "ormale Form" hat, i der alles mit eiem Bruchstich dargestellt wird, bestehe die beide adere Fuktiosterme aus zwei Summade. Brigt ma diese auf de Haupteer, da habe auch sie die Normalform: 8 8 f() = = ( ) + (+ ) f() = + = = = + ( + )( ) Defiitio: Eie Fuktio, die ma auf diese Form (Normalform) brige ka, heißt gebroche ratioal: m m u() am + am a+ ao f() = = v() b + b b + bo Ma et de größte Epoete m im Zähler de Grad des Zählers ud de höchste vorkommede Epoete im Neer de Grad des Neers. Das Zählerpolyom u() hat also de Grad m, das Neerpolyom de Grad. Die Differez m - ist der sogeate Asymptotegrad Vo de obe ageschriebee Fuktioe hat f de Zählergrad, de Neergrad ud de Asymptotegrad 0. f de Zählergrad, de Neergrad ud de Asymptotegrad f de Zählergrad, de Neergrad ud de Asymptotegrad - Ist u die Fuktio f mit f() = + + auch gebroche ratioal? Sie ist vo der Form her eie gazratioale Fuktio. Schreibe wir jedoch + + f() = + + =, da köe wir sie auch gebroche ratioal ee, de auch sie hat ei Neerpolyom: v() =. Dieses hat de Grad 0. Streg geomme sid also auch sämtliche gazratioale Fuktioe (ueigetliche) gebroche ratioale Fuktioe. Weil diese uter de typische, auf de folgede Seite zu utersuchede Fuktioe jedoch icht vorkomme, schließe wir sie hier aus!

5 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte Grudaufgabe Termumformuge vo der aufgespaltee Form i die Normalform ud umgekehrt. Fall: Der Neer ethält keie Summe a) b) f() = = (+ ) f() = + + = = c) ( ) + + f() = + = = + d) f() = + = + = Trete i beide Summade Brüche auf, wird der Haupteer gebildet. + 6 e) f() = + = + = Umkehrug f) g) h) i) j) k) l) f() = = = f() = = + = f() = = = + f() = = + = + = f() = = = = + f() = = + = + f() = = = = Aufgabe () Brige auf die Normalform: f() = (a) (b) + (c) + (d) (e) () Zerlege so weit wie möglich (a) (b) (c) (d) (e) 8 Die Lösuge stehe auf Seite 6 i 0

6 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte. Fall: Der Neer ethält eie Summe a) (+ ) f() = = = b) 8 ( + 9) = + = = c) (+ ) f() = + = = d) f() (+ )( ) (+ )( + ) = + = = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) Hiweis: Neerquadrate sollte ma ie ausmultipliziere! Umkehrug Um eie Bruch zu zerlege, der im Neer eie Summe ethält, muss ma mit Polyomdivisio arbeite! e) f() = ( ):( + ) = + ( + ) also gilt f() = + Ei Divisio geht bei solche Aufgabe i der Regel ie auf, d.h. es bleibt ei Rest übrig, de ma icht mehr teile ka. Dieser taucht da im Zähler des Restbruches auf, hier die Zahl -, das Mius wurde da vor de Bruch gezoge. 9 f) f() = ( + 0 9):( ) = + ( ) 5 9 also f() = + ( ) 5 g) also f() = + f() = + + ( ):( ) = + ( ) ( ) 0+ h) f() = also f() = + + ( ):( + ) = + + ( ) + ( )

7 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte Aufgabe Nr.. Zerlege durch Polyomdivisio i Eizelbrüche: f() = (a) (b) (c) (d) (e) Lösuge auf Seite 6 Hiweis: Nicht zu früh mit der Divisio aufhöre!! Ma etdeckt sehr schell, dass eie solche Zerlegug i eie gazratioale Ateil ud eie echt gebrochee Ateil (mit Zählergrad < Neergrad) ur da möglich ist, we der Zählergrad midestes so groß ist, wie der Neergrad. + So ethält beispielsweise die Fuktio f mit f() = keie gazratioale + 6 Ateil, de diese Divisio ka gar icht erst begoe werde! Adererseits ist eie Polyomdivisio bei eier solche Rechug auch erst da zu Ede, we der verbleibede Rest im Grad kleier ist als der Neer. Beispiel: f() = + Nebestehede Divisio führt zum Ergebis + 6 f() = +. + Dies ist aber icht das Edergebis, de die Divisio ka och eie Schritt weitergeführt werde: Damit lautet das Ergebis da f() = ( + + 6):( + ) = + ( ) + 6 ( + + 6):( + ) = + + ( ) ( ) Eie Divisio ist also erst da zu Ede, we der Rest eie kleiere Hochzahl hat als der Neerterm!

8 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte 5 Stetigkeit gebroche ratioaler Fuktioe Zum Begriff der Stetigkeit gibt es eie gaz aschauliche Beschreibug: Eie stetige Fuktio hat die Eigeschaft, daß ma ihr Schaubild ohe abzusetze zeiche ka Das Problem ist jedoch: Wie weist ma bei eier Fuktio ach, dass sie stetig ist, bzw. wie weiß ma, wo eie Fuktio icht stetig ist. Diese Stetigkeitsbeweise sid tückisch ud sehr aufwedig. Dies überlasse wir de Fachlehrer im Uterricht. Hier ehme wir ur die Ergebisse zur Ketis. Eie gebroche ratioale Fuktio ist ur dort icht stetig, wo der Neer Null wird. Wir schaue us drei Beispiele a. + Beispiel : f() = Der Neer hat die Nullstelle. Ud zu gibt es keie Fuktioswert: f() = ist kei Zahlewert. 0 Da ma durch Null icht dividiere ka, gibt es für die Zahl keie Fuktioswert. Zu alle adere Zahle ka ei Fuktioswert berechet werde. Die Mege der Zahle, zu dee ma eie Fuktioswert bereche ka, et ma de Defiitiosbereich eier Fuktio. Bei gebroche ratioale Zahle besteht dieser aus der Mege aller reelle Zahle ohe die Nullstelle des Neers. Usere Fuktio hat also de Defiitiosbereich: D= R \{} Ierhalb dieses Defiitiosbereiches (der jetzt aus zwei Teilitervalle besteht), ist f stetig. Gemäß userer aschauliche Beschreibug sollte ma daher i de Itervalle liks vo ud rechts vo die zu f gehörede Kurve ohe abzusetze zeiche köe. Doch was passiert a der Nullstelle des Neers? Geht ma ach der Abbildug, da scheit die Kurve vo liks gege kommed ach ute, geauer ach zu laufe, währed sie bei Aäherug vo rechts gege ach obe, geauer gege + läuft. Es gibt zwei Möglichkeite, dies zu ermittel.

9 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte 6. Methode: Erstellug eier Vorzeichetabelle für Erklärug: - f() = + Der Zählerterm stellt i der Form y = + eie Gerade mit der Steigugszahl dar. Ihre Nullstelle ist bei -. Vo da a steigt die Gerade ach rechts i de Bereich positiver Werte, ud ach liks hi fällt sie i de Bereich egativer Werte. Dies wurde i der erste Zeile der Tabelle symbolisch eigetrage. I der. Zeile steht der Neerterm -, der i der Darstellug als Gerade seie Nullstelle bei hat ud wege seier ebefalls positive Steigugszahl auch rechts davo positive ud liks davo egative Werte hat. Der Fuktiosterm etsteht als Divisio der Zählerwerte durch die Neerwerte. Dividiert ma Zahle mit gleichem Vorzeiche, da ist das Ergebis positiv, dividiert ma Zahle mit uterschiedliche Vorzeiche, wird das Ergebis egativ. Diese Vorzeiche stehe i der. Zeile. Die Tabelle liefert also das Ergebis: Im Itervall ] ; ] ist f() > 0. (liks vo der Nullstelle - ) Im Itervall ] ; [ ist f() < 0 (zwische der Nullstelle ud ) Im Itervall ] ; [ ist f() > 0. (rechts vo ) Daraus folgert ma: Für gege vo liks geht f() ud für + (das Pluszeiche hiter der heißt "vo rechts" ) gilt: f(). Aber warum gehe die Fuktioswerte u gege ±??? Wer dies achweise soll, ka so vorgehe: (ka überspruge werde). Methode: "Die Reise mit eier Folge is Uedliche". Da bei = etwas ugewöhliches passiert, so dass am Ede icht eimal mehr ei Fuktioswert herauskommt, äher wir us gaz vorsichtig dieser Stelle a. Als "Fahrzeug" für diese Reise wähle wir eie Zahlefolge, die geau diese Zahl als Grezwert hat. Für die Aäherug vo liks her köe wir beispielsweise die Folge = = wähle. Lasse wir gege Uedlich gehe, da wird der O + + O Bruch immer kleier, ud so äher wir us der Zahl. Etwa 0 = =,9, 00 = =,99, 000 = =, Isgesamt ist der Grezwert dieser Folge : lim = lim( ) =

10 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte 7 Wir "setze" us jetzt gedaklich auf diese Folge ud bereche zu jeder Nummer de Fuktioswert. So äher wir us immer weiter der kritische Zahl a. Das Folgeglied erhält zuächst eimal diese Fuktioswert: + f( ) = f( ) = = = ( ) = + = Ud los geht die Reise: = : = = ud f( ) = = =0: 0 = =,9 ud f( 0 ) = 0 = 9 0 =00: 00 = =,99 ud f( 00 ) = 00 = =000: 000 = =,999 ud f( 000 ) = 000 = Ma ka hier aufhöre, de jeder erket jetzt, dass diese Folge us brigt. Wir habe also das erste Teilergebis: We f() + Für die Aäherug vo rechts verwede wir die Folge = + =. Dazu gehört die Folge der Fuktioswerte: f( ) = f( + ) = = = + = + + Ud u gehe wir auf die Reise "Aäherug gege vo rechts mittels ": = : = + = ud f( ) = + = =0: 0 = + =, ud f( 0 ) = 0 + = 0 =00: 00 = + =,0 ud f( 00 ) = 00 + = 0 00 =000: 000 = + =,00 ud f( 000 ) = = Wir sehe, dass immer kleier wird ud gege geht, ud die zugehörige Fuktioswerte ehme zu: We f()

11 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte 8 Defiitio: Gehe die Fuktioswerte bei Aäherug a eie Stelle a gege oder, da heißt a eie Polstelle. Es liegt eie Polstelle mit Zeichewechsel vor, we f auf der eie Seite gege + ud auf der adere Seite gege geht. Wir habe also herausgefude, dass usere Fuktio f bei eie Polstelle mit Zeichewechsel hat. Zur Lösug vo Abituraufgabe ist dieser Weg mit de Folge icht otwedig. Eie solche Rechug diet ur der Eisicht ud der Aschaulichkeit. Wir habe durch Verwedug der Folge tatsächlich Zahle erhalte, die de Verlauf ach bzw. algebraisch aufzeige. (Das Argumet "die Zeichug zeigt das doch auch" gilt icht, de diese Zeichug muss ja erst eimal erstellt werde! ). Beispiel : f() = ( ) Das Schaubild dieser Fuktio wurde u i "Origialgröße" dargestellt. Ma erket sofort, dass hier eie Polstelle vorliegt, die aber jetzt keie Zeichewechsel hat. Wer eie weitere Übug mit eier Folge sehe möchte, ka de Abschitt auf der folgede Seite durchlese. Das Ergebis, das ma atürlich (uerlaubterweise eimal) a der Zeichug ablese ka, lautet: Für f(). Der Grud dafür, dass hier eie Polstelle ohe Zeichewechsel vorliegt, ist die Tatsache, dass der Neer bei eie doppelte Nullstelle hat. Damit etfällt dort der Zeichewechsel. Wir spreche i eiem solche Fall vo eier Polstelle. Grades oder. Ordug.

12 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte 9 Eischub: Pol-Utersuchug mit Zahlefolge Wir wähle wieder die beide Folge vo Beispiel, de geau wie dort liegt die Nullstelle des Neers a der Stelle. Aäherug vo liks bzw. rechts gege mit de Folge = ± Zugehöriger Fuktioswert: + + f ( ) = = = = + = + = Für gege Uedlich äher sich beide Folge der Zahl a. Die Fuktioswerte gehe beide gege, wie ma durch Eisetze vo Zahle sieht: f( 00 ) = f( ) = 00 ( 00 ) = = Bei Aäherug vo rechts erhält ma + f + ( ) = = = = = = + + f( 00 ) = f( + ) = 00 ( 00 + ) = 00 0= Natürlich ka ma auch durch eie kurze Beweis achreche, dass i beide Fälle f( ) geht. Doch das will ich hier icht dem Uterricht wegehme! Wer dieser Rechug folge kote, der hat zumidest eie Eisicht davo bekomme, dass wir hier eie Fuktio mit eier Polstelle habe, a der es keie Zeichewechsel gibt. Das Ergebis lautet so: Für f() Wer dieses Vorzeicheverhalte mit eier Vorzeichetabelle utersuche will, erhält i der. Zeile des Neers wege ( - ) ur positive Vorzeiche, daher tauche für die Fuktio liks ud rechts vo ur egative Vorzeiche auf. - + O ( - ) + + O+ + + Achtug i der. Reihe: Der Zählerterm - hat eie egative Steigug. Daher hat er rechts vo seier Nullstelle egative Werte ud liks davo positive!

13 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte 0 Beispiel : f() = + Zuächst eimal vermutet der Leser auf de erste Blick, dass hier ei Fehler vorliege sollte, de das Schaubild stellt offekudig eie Gerade dar. Diese hat erkebar die Steigug ud scheidet die y-achse bei -, also sollte sie die Gleichug y = - habe. Der Reihe ach: Zuächst müsse wir feststelle, dass die Fuktio eie Neer hat, ud dieser hat die Nullstelle = -. Daher besitzt f de Defiitiosbereich D= R \{ } Also gibt es zur Zahl - keie Fuktioswert!!! Nu sollte wir etdecke, dass der Zähler = +, also folgt: zerlegt werde ka: Bekatlich ist ja ( )( ) ( )(+ ) f() = = = + (+ ) Hier wurde durch (+) gekürzt. Dies ist aber ur da erlaubt, solage icht die 0 Zahl - ist, de für - heißt der Wert f( ) = = ud dies ist kei + 0 brauchbarer Zahlewert. o Ergebis: Diese Fuktio ka durch Kürze zu f() = - vereifacht werde, allerdigs muss der ursprügliche Defiitiosbereich D = R \ { - } beibehalte werde. Das Schaubild stellt also eie Gerade dar, die aber bei - keie Pukt hat. Dort befidet sich das Loch L( - I - ). Im Schaubild ist dieses Loch im Schittpukt der schräge Gerade mit der Sekrechte = -. Wir habe somit eie wichtige Erketis gewoe: Nicht jede Nullstelle des Neers führt zu eier Polstelle. Hier hatte Zähler ud Neer eie gemeisame Nullstelle, so dass ach dem Kürze die Nullstelle des Neers verschwude war. Dies führte zur Situatio "Loch im Schaubild". Aber auch hier gibt es och eie weitere Variate:

14 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte Beispiel : f() = Nullstelle der Zählers: = also = ud = - Nullstelle des Neers: (+) = 0 d.h. = - als doppelte Nullstelle. ( )( + ) f() = = = + ( + )( + ) + ( ) ( + ) Nach dem Kürze des Fuktiosterms durch ( + ) bleibt im Neer immer och eie Klammer (+) übrig. d.h. jetzt liegt doch wieder eie Polstelle bei - vor. Übersicht u() Gegebe ist eie gebroche-ratioale Fuktio i Normalform: f() = v() Zuerst bestimmt ma die Nullstelle des Zählers ud des Neers.. Fall: Zähler ud Neer habe keie gemeisame Nullstelle: Da hat f a jeder Nullstelle des Neers eie Polstelle. Tritt eie Neer--Nullstelle eifach oder dreifach auf, liegt dort ei Pol mit Zeichewechsel vor. Tritt eie Neer-Nullstelle zweifach, vierfach usw. auf, da gibt es am Pol keie Zeichewechsel.. Fall: Zähler ud Neer habe gemeisame Nullstelle. Da ka ma zu jeder Nullstelle a eie Liearterm (-a) ausklammer ud aus Zähler ud Neer wegkürze. Dabei muß allerdigs der ursprügliche Defiitiosbereich erhalte bleibe! Ist eie solche gemeisame Nullstelle ach dem Kürze keie Polstelle, da tritt sie als Loch im Schaubild auf, da sie ja weiterhi im Defiitiosbereich ausgeschlosse ist. Nr. : (a) (g) (l) (p) Aufgabe Utersuche, welche der geate Fuktioe Pole bzw. Löcher aufweise. Gib jeweils de Defiitiosbereich a: f() =... (b) 8+ 6 (h) (m) (c) (i) ( ) + 9 (d) + + () + 9 (j) + + (e) + 0 (o) + 6 Lösuge auf Seite 7/8 i Datei 0 (k) + (f)

15 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte Asymptote Betreibe wir zuerst Aschauugsuterricht a Had der gezeigte Fuktioe. + ) f() = wurde auf Seite 5 dargestellt. Dort erket ma, dass sich das Schaubild gleich zwei Gerade ähert. Zum eie hat f die Polstelle =. Ud für erhielte wir f() ±. Die Kurve geht also vo liks aus ach ute ud ähert sich dort der Gerade =. Vo rechts her ähert sie sich derselbe Gerade ach obe. Eie Gerade, der sich eie Kurve beliebig gut aähert, heißt eie Asymptote User Schaubild hat also die sekrechte Asymptote mit der Gleichug =. Sie hat, wie die Abbildug zeigt, außerdem die waagrechte Asymptote mit der Gleichug y =. Dies wird gleich begrüdet! ) f() = wurde auf Seite 8 vorgestellt. Auch sie hat eie Polstelle, ( ) sogar ohe Zeichewechsel, ud wie ma sieht, hat das Schaubild die sekrechte Asymptote mit der Gleichug =. Auch hier beobachte wir die Eistez eier waagrechte Asymptote, die jetzt die -Achse ist. Ihre Gleichug: y = 0. Hat eie Fuktio die Polstelle a, da besitzt ihr Schaubild die sekrechte Asymptote mit der Gleichug = a. Bei waagrechte Asymptote geschieht die Aäherug ach liks bzw. rechts. Wir müsse dazu utersuche, wie sich die Fuktio für ± verhält. Es soll gleich eie Übersicht gegebe werde. Folgede Fälle müsse wir utersuche:. Fall: Die -Achse ist waagrechte Asymptote. Fall: Eie Parallele zur -Achse ist waagrechte Asymptote. Fall: Es gibt eie schräge Asymptote.Fall: Es gibt eie Näherugskurve, der sich die Kurve aähert.

16 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte Fuktioe mit Asymptotegrad < 0. Hier im Voraus die sechs Schaubilder userer Musteraufgabe: B: f ( ) = B : f ( ) = B : f ( ) = 8 ( ) B : f = 5 ( ) + B5 : f ( ) = 8 ( ) ( ) B6 : f = 5 ( + ) Das Kezeiche dieser 6 Fuktioe ist: Der Neergrad ist größer als der Zählergrad. Durch Subtraktio ergibt dies eie egative Asymptotegrad. Wie wir a de Abbilduge sehe köe, führt dies offebar stets dazu, dass die -Achse waagrechte Asymptote wird. We sich die Kurve ach rechts ud liks immer dichter der -Achse aähert, da gehe die Fuktioswerte ach 0. Um dies u geauer zu utersuche, bereche wir die Grezwerte dieser 6 Fuktioe für ± bzw. für II, was dasselbe bedeutet! Das agewadte Berechugsverfahre beruht auf dem Grezwertsatz für Fuktioe. Dieser gestattet es us, eie Grezwert aus adere Grezwerte zu bereche. Zuvor müsse wir aber usere Bruchterme dadurch umforme, dass wir durch die höchste -Potez des Neers kürze. Damit etstehe eue Zähler ud Neer, die ihrerseits jetzt für eie Grezwert aufweise, so dass der Bruch auch eie Grezwert erhält. Ohe diese Kürzugsprozess würde die Neer keie edliche Grezwert habe.

17 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte Berechug der Fuktiosgrezwerte für B: B: B: B: B5: B6 lim lim = lim = = = 0 0 lim 0 Damit ist gezeigt, dass y = 0 die Gleichug der waagrechte Asymptote ist. lim 0 lim = lim = = = 0 lim 0 Ergebis: Das Schaubild hat die waagrechte Asymptote mit der Gleichug y = lim lim = lim = = = lim 0 Ergebis: Das Schaubild hat die waagrechte Asymptote mit der Gleichug y = lim lim = lim = lim = = = lim + lim ( ) Ergebis: Das Schaubild hat die waagrechte Asymptote mit der Gleichug y = lim 8 = lim 8 = 8 lim = 8 0 = ( ) Ergebis: Das Schaubild hat die waagrechte Asymptote mit der Gleichug y = lim lim = lim = lim = = = lim + lim ( + ) Ergebis: Das Schaubild hat die waagrechte Asymptote mit der Gleichug y = 0. Hiweise auf Formulierugsfehler: Falsch ist folgeder Tet: Die Fuktio hat die waagrechte Asymptote... Eie Fuktio hat keie Asymptote, soder de Grezwert 0. Eie Asymptote gehört zum Schaubild, das sich a die Asymptote aähert. Daher muss es immer heiße: Das Schaubild (K vo f) hat die waagrechte Asymptote... usw. So halbwegs falsch ist die etwas lässige Formulierug: Das Schaubild hat die waagrechte Asymptote y = 0. Falsch dara ist, dass y = 0 eigetlich keie Asymptote ist, soder ur die Gleichug dieser Asymptote! Es ist also eie Defiitiosfrage, ob ma diese lässige Sprechweise zulässt.

18 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte 5 B: Aalyse der 6 Musterbeispiele B bis B6: f() = Der Zähler ist kostat ud hat daher keie Nullstelle. Nullstelle des Neers: = daher Defiitiosbereich D= R \ {} f hat also bei = eie Polstelle mit Zeichewechsel, folglich hat das Schaubild K die sekrechte Asymptote =. Da lim lim = lim = = = 0 0 lim 0 hat K die waagrechte Asymptote y = 0. Außerdem ist das Schaubild puktsymmetrisch zum Schittpukt der Asymptote: S ( I 0 ). Dies wird auf Seite bewiese. B: f() = Zähler = 0: = 0; Neer = 0: =±. D= R \{ ± } Das Schaubild scheidet folglich die -Achse i der Nullstelle ( 0 I 0 ) ud f hat die Polstelle = ud = - jeweils mit Zeichewechsel. K hat daher die sekrechte Asymptote mit de Gleichuge =, = -. Außerdem ist die -Achse waagrechte Asymptote, de es gilt: lim 0 lim = lim = = = 0 lim 0 Das Schaubild ist puktsymmetrisch zum Ursprug (siehe Seite ). 8 B: f() = D= R \{ ± }! Der Zähler hat keie Nullstelle, Nullstelle des Neers: = ± Das Schaubild hat daher keie Nullstelle. Da f die beide Polstelle = ud = - (jeweils mit Zeichewechsel) hat, besitzt K die sekrechte Asymptote = ud = -. K hat die waagrechte Asymptote y = 0, de lim 8 0 lim = lim = = = 0 lim Hier ist das Schaubild symmetrisch zur y-achse (Seite ).

19 0 Gebroche ratioale Fuktioe - Grudeigeschafte 6 B: f() = 5 ( ) Der Zähler besitzt keie Nullstelle, der Neer jedoch die doppelte Nullstelle =. Daher ist eie Polstelle ohe Zeichewechsel. D= R \{} Auf Grud der Polstelle ist = eie sekrechte Asymptote vo K. Ferer ist die -Achse waagrechte Asymptote, de es gilt lim lim = lim = lim = = = lim + lim ( ) Das Schaubild ist symmetrisch zur Gerade = (siehe Seite ). B5: + f() = 8 Nullstelle des Zählers: = - ( ) Nullstelle des Neers: = also D= R \{} f hat die Nullstelle - ud die Polstelle ohe Zeichewechsel. Das Schaubild scheidet also die -Achse im Pukt N ( - I 0 ) ud hat die Asymptote = (sekrecht) ud y = 0 (waagrecht), de lim8 = lim8 = 8lim = ( ) B6: f() = 5 ( + ) Nullstelle des Neers: = - also D= R \ { } Nullstelle des Zählers: = 0 (doppelt!) Die doppelte Nullstelle des Neers ergibt bei - eie Pol ohe Zeichewechsel ud für K die sekrechte Asymptote = -. Die Nullstelle des Zählers liefert de Schittpukt mit der -Achse: N ( 0 I 0 ). Waagrechte Asymptote ist die -Achse, de es gilt: 5 5 lim lim = lim = lim = = = lim + lim ( + )