3. Mathematikschulaufgabe

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1 Klasse 9. Eine quadratische Gleichung besitzt die Lösungen x = + und x = sowie - 5 als Vorfaktor von x. Wie lautet diese quadratische Gleichung, geschrieben in der Form ax + bx + c = 0?. Bestimme die Lösungsmenge. ( a > 0; G = ) ( ax + ) ( ax - ) = a ( x - ) - 0. Bestimme die Lösungsmenge mit Hilfe einer Substitution. (G = ) ( x - ) - 00 = - 5 ( x - ) 4. Bei einer dreistelligen Zahl ist die Einerziffer um kleiner als die Zehnerziffer und die Hunderterziffer um größer als die Zehnerziffer. Subtrahiert man vom Zehnfachen der Zahl das Produkt aus der Quersumme und der Spiegelzahl, so erhält man 468. Wie lautet die Zahl? 5. Bei den Dreiecken A B C und A B C gilt: a : c = b : a und β = α. Folgt daraus die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke? Begründung! 6. Konstruiere das Dreieck ABC aus b : c = : 7 und α = 50 und h b = 6,5 cm. GM_A000 **** Lösungen 4 Seiten

2 Klasse 9. Gegeben ist in der Grundmenge G =! + die quadratische Gleichung x 8 = 0, deren Lösungsmenge näherungsweise berechnet werden soll. Berechne nach dem HERON - Verfahren den Näherungswert der irrationalen Zahl, die man mit Hilfe der Iterationsformel nach vier Schritten erhält (jeweils 7 g.z.). Beginne mit dem Startwert x 0 = 7.. a) Bestimme die Lösungsmenge (G =! ) x 49 + = x 60 b) Ermittle die Lösungsmenge in betragsfreier Form. ax + b > k. Gegeben ist eine Doppelkreuzung mit den Parallelen AB und CD; AB = 7 cm; AC =,4 cm; CD = 5 cm. a) Berechne SC. b) Die Strecke [BD] ist um cm kürzer als die Strecke [SD]. Berechne BD. 4. Konstruiere ein Dreieck ABC aus a = 6 cm, b : c = : und wα = 4,5 cm. Gib den Konstruktionsplan in Kurzform an! GM_A0046 **** Lösungen Seiten

3 Klasse 9. a) Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung mittels quadratischer Ergänzung: x + 5x 4 = 0 b) Für welche Werte von k enthält die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung k x + kx+ = 0 den Wert x = 0?. Gegeben ist folgende quadratische Gleichung: mx + mx + x + = 0 a) Bestimme m ε R so, dass die Gleichung genau eine Lösung besitzt. (Zwischenergebnis: m=). b) Wie lautet diese Lösung? c) Gibt es Werte von m, für die die Gleichung keine Lösung hat? (Kurze Begründung!). Bestimme a so, dass in der Gleichung x - ax + 7 = 0 die eine Lösung doppelt so groß wie die andere ist! 4. a) Konstruiere durch S Z;m zu A(5/4) den Bildpunkt A, wobei Z(/0) und m =! b) Eine zentrische Streckung S Z;m bildet einen Punkt Q so auf Q ab, dass ZQ' = cm und QQ' = 4 cm. (Skizze, keine Konstruktion!) Berechne den Streckungsfaktor m! (Hinweis: Lösungen m, m ) 5. a) Begründe folgende Aussagen: - Bei jeder zentrischen Streckung S Z;m ist das Bild eines Rechtecks R wieder ein Rechteck R - Für die Flächeninhalte gilt: A = m A R' b) Das Rechteck R mit dem Umfang u = cm und dem Flächeninhalt A R = 8 cm wird durch eine zentrische Streckung auf ein Rechteck R mit dem Umfang u = 8 cm abbildet. Berechne den Flächeninhalt A R des Rechtecks R! R GM_A0069 **** Lösungen 4 Seiten

4 Klasse 9. Gegeben ist die quadratische Gleichung 0,5x + 6x + k = 0 mit dem Parameter k R. Für welchen Wert von k hat die Gleichung genau eine reelle Lösung? Gib diese Lösung an!. Welche Werte kann der Koeffizient p der Gleichung x + px + = 0 haben, wenn bekannt ist, dass die Gleichung nur ganzzahlige Lösungen x und x besitzt? Begründe deine Antwort!. Der Umfang eines Rechtecks beträgt 70 cm, sein Flächeninhalt 56 cm. Bestimme seine Seitenlängen a und b! 4. Konstruiere ein Dreieck ABC mit a:b = 4:5, γ = 80 und h c = 5 cm (Planfigur)! Gib das verwendete Zentrum und den zugehörigen Streckungsfaktor (als Quotient von Längen) an! 5. Zeige: In nebenstehender Figur gilt DF : DE = DA : DC GM_A0078 **** Lösungen Seiten

5 Klasse 9. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie 49:6; ihre Umfänge unterscheiden sich um genau 8 cm. Berechne die Umfänge beider Dreiecke!. Konstruiere unter Verwendung des Begriffes der Ähnlichkeit ein Dreieck ABC (keine Konstruktionsbeschreibung; allerdings muss der Konstruktionsweg aus der Zeichnung erkennbar sein!) mit α = 70, β = 50 und Umkreisradius r = cm! In dieser Konstruktion treten zwei Dreiecke auf. Nenne den Ähnlichkeitssatz, nach dem sie ähnlich sind!. Die folgenden Aufgaben beziehen sich teilweise aufeinander. Zeichne für alle folgenden Aufgaben ein gemeinsames Koordinatensystem (x - Werte zwischen - und 6; y - Werte zwischen - und 4). Wir betrachten zunächst die Funktion f mit der Gleichung y = x+ +. a) Zeichne den Graphen von f in das Koordinatensystem, gib D f und W f an, berechne die Gleichung der Funktion g, von der f die Umkehrfunktion ist und gib für g die Definitions- und die Wertemenge an! (Ergebnis: g : y = (x )² ) b) Wir erweitern den Definitionsbereich von g auf ganz. Zeichne den Graphen von g für den neuen Definitionsbereich gestrichelt in das Koordinatensystem ein. c) Berechne für die Funktion g : y = 0,5x² x,5 den Scheitel und zeichne den Graphen von g in das Koordinatensystem ein. d) Gib die x - Koordinaten der Schnittpunkte von g mit der x - Achse exakt an! e) Gib die Gleichung einer neuen Funktion h an, deren Graph zu dem von g kongruent ist und die gleiche Wertemenge wie g hat! f ) Gib dann die Gleichung einer Funktion h an, die von g verschieden ist, deren Graph aber den gleichen Scheitel und die gleiche Wertemenge hat wie g! GM_A05 **** Lösungen Seiten

6 Klasse 9. Bestimme die Definitions- und die Lösungsmenge: x + 7x + = ; G = x x+ 5 x² + x 5. Für welche a R hat die Gleichung 4x² + ax + 6x + a + 48 = 0 genau eine Lösung? Bestimme jeweils die Lösung.. Die Summe zweier Zahlen ist 5, die Differenz ihrer Kehrwerte. Wie lauten die Zahlen? 4. In dem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Seite a = 4 cm und der Hypotenusenabschnitt x = cm gegeben. Berechne die fehlenden Größen b, c, y und z. 5. Die eine Seite eines Rechtecks ist cm, die andere ist um cm kleiner als die Diagonale. Wie groß ist die Fläche des Rechtecks? GM_A07 **** Lösungen Seiten

7 Klasse 9. Vereinfache die folgenden Terme soweit wie möglich ohne Taschenrechner in mehreren Schritten! a) b) e) ( ) 49x 8x 4x f). Bestimme die Definitionsmenge! 5 x c) d) + 6x+ 9 g) a b 0,0 ab ( a) x 5 5x a) 4x 8 b) ( ) x c) + x x. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 4x = x! 4. Ordne die Funktionsgraphen einer der angegebenen möglichen Funktionsgleichungen zu! a) b) c) d) Mögliche Funktionsgleichungen: A: f( x) = x+ + B: f( x) = x C: f( x) = x+ + D: f( x) = x E: f( x) = x+ + F: f( x) = x+ + GM_A045 **** Lösungen Seite

8 Klasse 9 Vereinfache die folgenden Terme soweit wie möglich ( ohne Taschenrechner )! = = = = 5. abc ab c : = 9 abc 6. ( 5+ 6)( 5 6) 7. 6x 8y 4 8. a b 6ab ( a ) 9. x + 6x+ 9 GM_A046 **** Lösungen Seite

9 Gib alle wesentlichen Zwischenschritte an, so dass deine Arbeit nachvollziehbar ist. Ergebnisse ohne Herleitung werden nicht gewertet. Achte auf eine saubere äußere Form.. Gegeben sind die beiden Gleichungen I. und II. I. x 4x 4 x II. x x 0 4 a) Bestimme die Definitionsmenge D I der Gleichung I. b) Multipliziert man I. mit dem (Haupt-)Nenner, so erhält man nach Sortieren die Gleichung II. Zeige dies und löse Gleichung II. c) Bestimme die Lösungsmenge IL I der Gleichung I.. Gegeben sind die Funktionen und f, deren Graph f(x) x 4x eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel S 4 G f ist. a) Berechne die Nullstellen von f. b) Bestimme die Koordinaten des Scheitels S von f. c) Berechne den Abstand zwischen S und S. d) Bestimme die allgemeine Form von f. e) Berechne die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von G f und G f.. Konstruiere hier auf diesem Aufgabenblatt in dem dafür vorgegebenen (quadratischen) Feld eine Strecke der Länge cm. Für die Konstruktion dürfen maximal 5 Teilschritte, z. B. Zeichnen einer Strecke oder Kreislinie, genutzt werden. Nichts darf außerhalb des quadratischen Feldes liegen. Du darfst nicht messen, dafür aber das vorgegebene cm-raster verwenden. Nichtbeachten einer oder mehrerer der Bedingungen führt zu Punkteabzug. Kennzeichne eindeutig. GM_A0748 **** Lösungen Seiten (GM_L0748)

10 . Vereinfache soweit wie möglich. a) 8 c) e) b) x x d) a b a b f) 7 4x 7 0, 4x x x. Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen für G. x a) 8 9 b) x 98. Gib die Maximale Definitionsmenge über G an. a) x b) x 4. Für welche Zahl wird das Produkt aus dem um 5 verminderten Fünffachen einer Zahl und der um 7 verminderten Zahl am kleinsten? Berechne die Zahl und den Wert des Produktes. 5. Berechne im rechtwinkligen Dreieck (siehe nebenstehende Skizze) die Längen a und b. 6. Berechne im Rechteck (siehe nebenstehende Skizze) die Länge der Diagonale und den Winkel. 7. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f (x),75 x x,5x,5. a) Zeige, dass der Graph der Funktion eine Parabel ist. b) Berechne die Nullstelle(n) der Funktion. c) Bestimme die Koordinaten des Parabelscheitels. GM_A0749 **** Lösungen Seiten (GM_L0749)

11 . Bestimme die Definitions- und die Lösungsmenge folgender Gleichung: 5 x 4 G x x. Bestimme den fehlenden Koeffizienten und die zweite Lösung. x xq0 x. Löse mit einem x - Ansatz: Der Zähler eines Bruches ist um größer als der Nenner. Addiert man zu dem Bruch seinen Kehrbruch, so ergibt sich 5. Wie heißt der Bruch? 4. Ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis a hat doppelt so lange Schenkel wie die Basis. Gib eine möglichst einfache Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von a an. Eine Skizze soll Grundlage für die Herleitung der Formel sein. 5. Kreuze alle richtigen Aussagen an. a) Eine Gleichung der Form ax xa 0 hat genau eine Lösung für O a O a 0 O a O a O a b) Die Funktion f(x) kx k hat genau eine Nullstelle für O k O k 0 O k O k O x 0 a xx c 0 besitzt O immer eine Lösung O zwei Lösungen für a 0 und c 0 O genau eine Lösung für x 0 O genau eine Lösung für c 0 c) Eine quadratische Gleichung d) Für alle Funktionen der Form f (x) ax bx c gilt: O ihr Graph ist eine Parabel. O ihr Graph ist nach oben geöffnet für a. O ihr Graph liegt symmetrisch zu einer Geraden, die parallel zur x-achse verläuft. O ihr Graph schneidet die y-achse. O der Parameter a ist die Öffnungsweite einer Parabel 6. Die Zufahrtstraße zu einem höher gelegenen Bauernhof ist 800 m lang. Sie hat eine Steigung von 6%. Berechne den Steigungswinkel und den Höhenunterschied h. Wie groß wäre der Steigungswinkel bei einer Steigung von 00%? GM_A0750 **** Lösungen Seiten (GM_L0750)

12 . Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von f: 40 und g: x 8 x. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Parabeln, die durch die folgenden Gleichungen gegeben sind: y x x 7 und y x 5. Eine Gerade verläuft durch die Punkte 4 und 8 4. Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden und wie groß ist ihre Steigung? 4. Bestimme die Scheitelpunkte der folgenden Parabeln: a) y 4x 5 b) y x 4x Bestimme die Koeffizienten a, b, c einer Parabel Punkte 0, 0 6 und 0 verläuft. y ax bx c die durch die 6. Gegeben sind die beiden Parabeln mit den Gleichungen g: y x 6x und h k : y k x ; k. Bestimme, wie k zu wählen ist, damit es genau einen Schnittpunkt gibt. Berechne die Koordinaten des Berührpunktes. GM_A075 **** Lösungen Seiten (GM_L075)

13 . Eine Parabel und eine Gerade sind durch folgende Funktionsgleichungen gegeben. f(x) 0,5x x und g(x) x 4 Weise rechnerisch nach, dass sich Parabel und Gerade berühren. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes B.. a) Bestimme die Gleichung (in Normalform) derjenigen Parabel, welche durch die R 0 S T verläuft. Punkte,, b) Eine Parabel, deren Scheitelpunkt den x - Wert hat, soll durch die Punkte P 0 Q,5 verlaufen. Stelle die Gleichung dieser Parabel in und Scheitelform auf.. Gegeben ist die Parabel f(x),5 x. Bestimme jeweils mit Hilfe einer Skizze die Gleichung derjenigen Parabel, welche aus der obigen Parabel a) durch Spiegelung an der y - Achse hervorgeht. b) durch Spiegelung an der x - Achse hervorgeht. 4. Bestimme die Bereiche der quadratischen Funktion 5 der Graph steigend und fallend ist. f(x) x x, in denen Nebenstehendes Bild zeigt die Graphen einer Geraden und einer Parabel. Die Parallelen zur y - Achse haben die Länge s(x) und verlaufen zwischen der Parabel und der Geraden. a) Gib die Funktionsgleichungen für die Parabel und für die Gerade an. Entnimm die benötigten Werte dem Koordinatensystem. b) Bestimme die kürzeste unter allen diesen Strecken s min und gib an, wo sie liegt. GM_A075 **** Lösungen Seiten (GM_L075)

14 . a) Löse: x 4 9x b) Bestimme den fehlenden Koeffizienten und die zweite Lösung: x 4xc 0; x 7 c) Für welche b hat folgende Gleichung genau eine Lösung? Wie heißt diese jeweils? x bx 4,5 0. a) Bestimme die Schnittpunkte der Funktionen b) Gib die Definitionsmenge Dg von g(x) sowie g(x) x und h(x) x. x Dh von h(x) an.. Das KOS enthält den Graphen einer Parabel und einer Geraden. a) Wie lautet die Funktionsgleichung für die Parabel und die Gerade? Entnimm die benötigten Werte dem Koordinatensystem. b) Bestimme durch Rechnung die Schnittpunkte von Parabel und Gerade. c) Im Bereich 0 x 7 sind senkrechte Strecken zwischen Parabel und Gerade eingezeichnet. Bestimme die längste dieser Strecken rechnerisch. Gib ihre Länge und den zugehörigen P x y auf der Parabel an. Punkt P P P x P y P 4. Eine Leiter der Länge x m steht an einer Wand, die genauso hoch ist wie die Leiter. Nun wird die Leiter unten um,5 m von der Wand weggezogen. Dabei wandert das obere Ende der Leiter um 50 cm nach unten. Wie hoch ist die Mauer? 5. Eine regelmäßige vierseitige Pyramide hat die Grundkante g 4cm. Die Seitenkante s beträgt 6 cm. a) Berechne die Höhe h der Pyramide exakt. b) Berechne die Oberfläche der Pyramide. Runde auf g. Z. GM_A075 **** Lösungen Seiten (GM_L075)

15 . Gegeben ist die Funktion f(x) x,5 mit maximaler Definitionsmenge und die Funktion g(x) x,5. a) Gib die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f an. b) Berechne die Nullstelle von f und skizziere den Graphen von f und g. c) Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen.. Bestimme einen Funktionsterm zum nebenstehend dargestellten Graphen G f. Wie viele Nullstellen haben die folgenden Funktionen? Begründe Deine Antwort. a) f: x 6 0,8x b) f: x x 66x G f 4. Gegeben ist die Funktion f: x x x Bestimme den Scheitelpunkt des Graphen von f und beschreibe den Graphen möglichst genau, ohne ihn zu zeichnen. 5. Gegeben ist das Trapez ABCD mit den Eckpunkten A 0 0, B80, C8 und D05 LE cm. Dem Trapez werden Rechtecke einbeschrieben. Die Seiten dieser Rechtecke sind parallel zu den Koordinatenachsen. Alle Punkte P auf [CD] sind Eckpunkte der einbeschriebenen Rechtecke. Ebenso ist der Punkt A Eckpunkt eines jeden Rechtecks. a) Berechne den Flächeninhalt des Trapezes ABCD. b) Zeichne das einbeschriebene Rechteck mit dem Punkt P4 y in das Trapez ein und bestimme seinen Flächeninhalt. c) Bewegt sich der Punkt Px y auf der Strecke [CD], so ändert sich der Flächeninhalt F des zugehörigen Rechtecks. Begründe, dass sich der Flächeninhalt A mit der Gleichung A(x) x,5x 5 berechnen lässt. d) Bestimme die Koordinaten von P für das einbeschriebene Rechteck mit dem größten Flächeninhalt. Gib seinen Inhalt an. Begründung! GM_A0754 **** Lösungen Seiten (GM_L0754)

16 Gib alle wesentlichen Zwischenschritte an, so dass deine Arbeit nachvollziehbar ist. Achte auf eine saubere äußere Form.. Bestimme jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge. 4 a) x 57x 56 0 b) 4v 0 6v c) z 5z44 0. Die Gerade g schneidet die x - Achse bei x und die y - Achse bei y 6. a) Bestimme die Gleichung der Geraden g. b) Gegeben ist nun die Parabel p mit der Gleichung f(x) x x; x. Berechne die Schnittpunkte P und Q der Geraden g mit dem Graphen von f.. Gib den Term einer quadratischen Funktion mit folgenden Eigenschaften an: ihre Nullstellen sind x und x 5, der Graph ist nach unten und weiter als die Normalparabel geöffnet. Ermittle die Scheitelkoordinaten des Graphen. 4. Von einer rechteckigen Platte ist eine Ecke abgebrochen. Aus der nun fünfeckigen Platte soll durch zwei Schnitte (parallel zu den Seiten des ursprünglichen Rechtecks) eine möglichst große rechteckige Platte herausgeschnitten werden (siehe nebenstehende Skizze). a) Bestimme die Abmessungen der herausgeschnittenen rechteckigen Platte. b) Um wie viel Prozent ist die fünfeckige Platte größer als die herausgeschnittene Platte? 5. Zahlen gesucht: Der Quersummenwert einer dreistelligen natürlichen Zahl ist 4. Vertauscht man ihre Hunderter- und ihre Einerziffer, so ist die neue Zahl um 495 kleiner als die ursprüngliche. subtrahiert man bei der ursprünglichen Zahl die Einerziffer von der Hunderterziffer, so erhält man die Zehnerziffer. Um welche Zahl handelt es sich? GM_A0755 **** Lösungen Seiten (GM_L0755)

17 . Gegeben ist die Funktion f: x x x6. 4 a) Bestimme die Scheitelkoordinaten und gib die Wertemenge an. b) Untersuche, ob der Punkt B4 5 genau auf, oder oberhalb oder unterhalb der Parabel liegt.. Gegeben sind die abgebildeten Funktionsgraphen G und G. a) Bestimme die zu den Graphen gehörenden Funktionsterme. b) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte P und Q. g p G g. Löse folgende Gleichungen: a) 0,5 x x b) 4 x 99,75x 5 0 G p 4. Bestimme die Anzahl der Lösungen folgender Gleichung in Abhängigkeit des Parameters k k \ : k x 6kx9k 0 und gib gegebenenfalls die Lösungen an. 5. Bei einem Quadrat verdoppelt sich der Flächeninhalt, wenn man jede Seite um LE verlängert. Berechne die Seitenlänge des kleineren Quadrats. 6. Ein Teil eines Bewerbungstests besteht aus fünf Fragen. Zu jeder Frage sind vier Antworten zur Auswahl vorgegeben, von denen stets eine richtig ist. Ein absolut unwissender Bewerber kreuzt die Auswahlantworten rein zufällig an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) genau drei Fragen richtig beantwortet sind? b) mindestens eine Frage richtig beantwortet ist? GM_A0756 **** Lösungen Seiten (GM_L0756)

18 . Gegeben ist die Funktion f:x fix - 8 a) Berechne f(- 4), f(0,) und f Ł 9 ł! b) Berechne die Nullstellen von f! Gymnasium Klasse 9 / (G8) c) Welches ist der kleinste Funktionswert, den f annehmen kann?. Gib jeweils eine Funktion vom Typ Eigenschaft gilt: f : Die Funktionswerte sind aus dem Intervall [ 4; [ f : Der Graph schneidet die x- Achse bei. f : Der Graph enthält den Punkt P ( + 5) f(x) = x + e an, für die die angegebene. a) Die Funktion f(x) = (x + d) + e nimmt für x = ihren kleinsten Funktionswert y = 7 an. Berechne den Funktionswert für x =- 6! b) Ist f (x) = x - 8,4 x + 70,56 eine in x- Richtung verschobene Normalparabel? Wenn nein, dann korrigiere die Funktionsgleichung! 4. Zwei Würfel der Kantenlänge a übereinander gestellt bilden den Quader der Zeichnung. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von a und zeige durch Rechnung, dass es rechtwinklig ist. GM_A0757 **** Lösungen Seiten (GM_L0757)

19 Klasse 9 / (G8). Ein rechteckiger Garten ist eineinhalb mal so lang wie breit. Er hat eine Fläche von 6 m. Wie lang sind seine Seiten? Stelle die Lösung zeichnerisch dar.. Bestimme jeweils den Funktionsterm der vier gezeichneten Graphen, wenn nötig mit Hilfe einer Rechnung. Die angegebenen Punkte sind Elemente der Graphen. G a G b G c G d. Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist 9. Bestimme mit Hilfe einer quadratischen Gleichung das Zahlenpaar, bei dem das Produkt der beiden Zahlen einen möglichst großen Wert einnimmt! 4. Manni das Faultier wirft bei den Bundesjugendspielen seinen Ball. Sein Ball befand sich beim Abwurf in Meter Höhe. Seine Flugkurve kann der Funktionsgleichung y = 0,04x + 0,88x+ entnommen werden. a) Wie hoch war sein Ball maximal über dem Boden? Wie weit hat Manni geworfen? b) Skizziere die Flugkurve in einem geeigneten Koordinatensystem und verwende dabei die Ergebnisse von a). 5. Bei Geburten in Deutschland beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,5 für einen Jungen.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Familie mit zwei Kindern a) zwei Jungen hat b) mindestens ein Mädchen hat. GM_A0758 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0758)

20 . Forme die Gleichung 0,5 x x 0 so um, dass du sie durch zeichnen einer 4 Normalparabel und einer Geraden näherungsweise lösen kannst. Wie lautet die Lösungsmenge?. Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt P8 0 genau auf, oder oberhalb oder unterhalb der Parabel mit der Gleichung liegt. y x 8x 4. Gegeben ist die Funktion f k :x x xk mit k. a) Bestimme die Koordinaten des Parabelscheitels S für k. Zeichne diese Parabel in ein KOS (Platzbedarf: x 7; 6 y 4). b) Berechne die Nullstellen für k 4. c) Ermittle durch Rechnung, für welche k die Funktion f k keine Nullstelle hat. 4. a) Es gibt unendlich viele quadratische Funktionen, deren Graphen durch die S 5 verlaufen. Bestimme ausgehend vom Ansatz Punkte R 4 und y ax bx c die Gleichungen dieser Parabel in Abhängigkeit vom Parameter a a 0. b) Welche Lagebedingung muss ein dritter Punkt T erfüllen, damit durch R, S und T eindeutig eine Parabel festgelegt ist? 5. Bestimme mithilfe der Zeichnung die Gleichungen der beiden Parabeln p und p. p p 6. Bestimme x in Abhängigkeit von a, b und c. GM_A0759 **** Lösungen Seiten (GM_L0759)

21 . Der Querschnitt eines Autotunnels wird von der Parabel p: y0,5x 4x (Tunnelbogen) und der Geraden g: y 0,5 (Fahrbahn) begrenzt. Zeichnungsmaßstab: LE,5 m a) Berechne die Breite der Fahrbahn. b) Berechne die größte Höhe des Tunnelbogens über der Fahrbahn.. Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 8cm und 4cm. Trägt man in zwei gegenüberliegenden Ecken jeweils die Strecke x ab, so erhält man das Parallelogramm EFGH (siehe Zeichnung). Für welchen x - Wert hat das Parallelogramm seinen größten Flächeninhalt?. Bestimme die Lösungsmenge. 7 4 x x 40x 0; D 4. Vereinfache soweit wie möglich. sincos tan 5. In zwei äußerlich gleichen Stoffbeuteln liegen jeweils vier gleichartige Murmeln. Beutel enthält zwei blaue und zwei rote Murmeln, in Beutel liegen eine blaue und drei rote Murmeln. Zunächst wird ein Beutel ausgewählt, anschließend wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Berechne mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: A: eine blaue und eine rote Murmel B: mindestens eine blaue Murmel C: zwei blaue Murmeln GM_A0760 **** Lösungen Seiten (GM_L0760)

22 . Gegeben ist die Funktion f(x) 0,5x x; D. a) Berechne die Nullstellen der Funktion (keine gerundeten Werte). b) Forme die Funktionsgleichung in die Scheitelform um. c) Zeichne den Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: x 7; y 6 d) Die Gerade g(x) x schneidet den Graphen von f. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S und T. Gib den Bereich an, in welchem die Parabel oberhalb der Gerade verläuft.. Nebenstehendes Koordinatensystem enthält eine nach unten verschobene Normalparabel sowie eine Gerade durch die Punkte A 0 4,5 B,50. und a) Bestimme die Funktionsgleichungen von Parabel und Geraden. b) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade die x - Achse? c) Wie lautet die Steigung einer Geraden t durch den Punkt A, wenn sie die Parabel berühren soll? Zeige, dass es zwei Lösungen für die Steigung m gibt.. Für welche t besitzt die Gleichung x tx t genau eine Lösung? 4. Gegeben sind zwei Parabeln p und p. a) Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln. Verwende dafür Punkte aus dem Koordinatensystem. b) Die Parabeln p und p schneiden sich in den Punkten S und S. Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte. S 5. Berechne mit dem Taschenrechner auf Dezimalstellen gerundet. S GM_A076 **** Lösungen Seiten (GM_L076)

23 . Die Gerade g schneidet die y - Achse an der Stelle 0 4 und die x - Achse an der Stelle 6 0. Der Punkt C liegt auf der Geraden g und ist variabel. Zeichnet man die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Punkt C, so entsteht das Rechteck ABCD (siehe nebenstehende Zeichnung). a) Zeige, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt: A(x) x 4x b) Bestimme x so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD maximal wird. Gib diesen Maximalwert an.. Das Trapez ABCD hat einen rechten Winkel bei A und bei D. Gegeben sind: b 5,0cm; c 4,0cm; 50 a) Berechne die Längen der Seiten a und d. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Berechne den Winkel zwischen den beiden Diagonalen. Runde auf eine Dezimalstelle.. a) Radiziere soweit wie möglich: 6a 9a b 4 4 b) Berechne und radiziere soweit wie möglich: 5 c) Berechne die Lösungen: 4 9x 4x 8 4. Ermittle jeweils alle Lösungen (Keine Näherungswerte!) a) x 86 x 5 b) 0,5 x 60 x 5. Vereinfache möglichst weit. Gib das Ergebnis in Wurzelschreibweise an Das Produkt zweier Zahlen ist 5. Addiert man den Kehrwert der ersten Zahl zur zweiten Zahl, so ist das Ergebnis um größer als die erste Zahl. Wie lauten die beiden Zahlen? Erstelle nur den Ansatz, keine Berechnung! GM_A076 **** Lösungen Seiten (GM_L076)

24 . In einem rechtwinkligen Dreieck mit b 5cm ist der Winkel 0 (vgl. Skizze rechts). a) Berechne die Längen a und c. b) Bei welchem Winkel ist die Kathete a dreimal so lang wie die Kathete b?. Ein Würfel hat das Volumen 6 m. Berechne seine Oberfläche. (Exakter Wert, runden nicht erlaubt).. a) Bestimme die Koordinaten des Parabelscheitels, die zur folgenden quadratischen Funktion gehört: f: x x 4x6. b) Beschreibe, wie der Graph aus der Normalparabel hervorgeht. 4. Gegeben sind die Parabel p mit f(x) x 4und die Gerade g mit f (x) x k. Für welche Werte von k ist die Gerade g eine Tangente an die Parabel? Berechne die Koordinaten des Berührpunktes B. 5. Berechne die Lösungen G : a) 5 x 9 b) x Vereinfache soweit wie möglich x,y : a) x y x y b) 9 6 x x x c) y 4 y 7. Berechne x aus: a) x 5 b) x x 0 c) x 6x 4 GM_A076 **** Lösungen Seiten (GM_L076)

25 . Gegeben ist die Funktionsgleichung y x,5. 5 Bestimme alle Punkte des Funktionsgraphen, deren x - Koordinate gleich der zugehörigen y - Koordinate sind.. Bestimme die Gleichung der Parabel, die den Scheitel S4 y ax bx c besitzt und durch den Punkt P0 verläuft.. Gib den Scheitel S und die Nullstellen der Parabeln mit den folgenden Gleichungen an: a) y x 8 b) y x 5x 7 c) y x4x 4. Gegeben ist ein Quadrat ABCD mit AB 0. Von den vier Ecken aus werden jeweils Strecken x abgetragen, sodass neue Quadrate EFGH entstehen. Es gilt: AE BF CGDH x a) Bestimme den Flächeninhalt des Quadrates EFGH in Abhängigkeit von x. b) Berechne die Seite des kleinsten Quadrates. Gib den minimalsten Flächeninhalt an. 5. Wie kann das Zufallsexperiment Würfeln (Augenzahl 6) und anschließendes Werfen einer Münze durch ein Urnenexperiment ersetzt werden? Kurze Beschreibung! 6. Die Karten eines französischen Skatspiels bestehen aus jeweils acht Blättern der Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo. In unserem Fall wird beim Austeilen der Karten so vorgegangen, dass zu Beginn zwei beliebige Karten verdeckt in den sogenannten Skat (d.h. beiseite) gelegt werden. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses mithilfe eines Baumdiagramms. (Verzweigungen die nicht zum Ziel führen, können weggelassen werden.) Ereignis: Im Skat liegen eine Kreuz- und eine Herzkarte. GM_A0764 **** Lösungen Seiten (GM_L0764)