6 Weitere nichtparametrische Tests

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1 6 Weitere nihtprmetrishe Tests d e 6.1 Nihtprmetrish heisst Vieles Ds Adjektiv nihtprmetrish wurde in der Sttistik uf viele Arten verwendet, um eine Methodik von der prmetrishen Sttistik zugrenzen. Diese entspriht dem klssishen Vorgehen, wie es uh im Einführungsteil esprohen wurde: Um eine Sitution mit Zufllswirkung zu erfssen, setzt mn ein Modell n, ds us einem strukturellen und einem zufälligen Teil esteht. Der zufällige Teil wird durh Zufllsvrile eshrieen, deren Verteilung us einer vorgegeenen prmetrishen Verteilungsfmilie stmmt, eispielsweise us der Fmilie der Normlverteilungen. Ein Prmeter (oder mehrere) wird durh den strukurellen Teil festgelegt. Der strukturelle Teil esteht eispielsweise us einer Gruppierung mit einem Lgeprmeter pro Gruppe oder einer Regressionsfunktion, die die Lgeprmeter der Zufllsvrilen festlegt und seler wieder neue Prmeter enthält. Nihtprmetrishe Tests verzihten druf, für die Verteilung der Zufllsvrilen eine prmeterishe Verteilungsfmilie festzulegen. Ein weniger üliher, er klrerer Nme dfür ist verteilungsfreie Tests. Die im vorhergehenden Kpitel esprohenen Verfhren gehören in diese Klsse. Der nheliegendste Trik, zu solhen Verfhren zu kommen, esteht in der Rngtrnsformtion der Dten (oder geleiteter Grössen). Wir kommen uf diese Idee zurük (6.2). Verteilungsfreie Tests ht leider uh eine ndere Bedeutung: Es sind Tests mit Teststtistiken, die für lle Verteilungen gleih sind. Es geht dei gerde um Tests, die die Güte der Anpssung von Dten n eine estimmte Verteilung prüfen (goodness of fit tests). Mehr dzu in 6.3. Ein eknnter Anpssungstest ist der so gennnte Chiqudrt-Test. Es git uh einen Chiqudrt-Test für Unhängigkeit in Kreuztellen. Er wird im Blok üer ktegorile Dten ehndelt. Eine gnz ndere Art, den Begriff nihtprmetrish zu verwenden, ezieht sih uf die Modellierung des strukturellen Teils. Sttt einer prmetrisierten Regressionsfunktion, wie wir sie in der Vrinznlyse, der gewöhnlihen lineren Regression, den verllgemeinerten lineren Modellen und der nihtlineren Regression ngetroffen hen, wird die Regressionsfunktion llgemeiner ngesetzt eispielsweise soll sie eine gltte, er sonst elieige Funktion sein. Wie mn solhe Vorstellungen konkretisiert, wird in der nihtprmetrishen Regression üerlegt. 0 Version Gymnsillehrer SG, Sept 02 Reproduktion für kommerzielle Zweke, uh uszugsweise, nur mit shriftl. Genehmigung des Autors Version Gymnsillehrer SG, Sept 02 Reproduktion für kommerzielle Zweke, uh uszugsweise, nur mit shriftl. Genehmigung des Autors,

2 20 6 Weitere nihtprmetrishe Tests f Methodish eng mit der nihtprmetrishen Regression verwndt ist ds Prolem der Dihte-Shätzung, ds wieder den zufälligen Teil ehndelt und versuht, eine Verteilung us den Dten heruszulesen, die niht us einem prmetrishen Modell stmmt. 6.2 Rng-Methoden Die eknntesten Rngtests hen wir ereits ehndelt: Den Vorzeihen-Rngsummen-Test von Wiloxon für zwei verundene oder für eine einfhe Stihproe, den Rngsummentest von Wiloxon, Mnn und Whitney (U-Test) für zwei unhängige Stihproen, den Kruskl-Wllis-Test für mehrere unhängige Stihproen, den Friedmn-Test für mehrere verundene Stihproen. Rngkorreltion. Tests uf Unhängigkeit von zwei Zufllsvrilen hen wir shon in 5.8. erwähnt. Die Rngkorreltion von Spermn die gewöhnlihe ( Person - ) Korreltion von rng-trnsformierten Dten knn mn niht nur ls Testgrösse für den Test uf Unhängigkeit (lso Korreltion 0) ruhen, sondern uh ls Mss für die Ahängigkeit. Die gewöhnlihe Korreltion ist dnn gut interpretierr, wenn die Dten ivrit normlverteilt sind (siehe Sthel (2000, Bild 3.2.i)). Wenn ds der Fll ist, liefert die Rngkorreltion sehr ähnlihe Werte. Andererseits ist die Rngkorreltion viel rouster ls die gewöhnlihe Korreltion. Trnsformiert mn eine Vrile (oder eide) monoton, dnn ändert sie sih niht. Eine ndere Definition eines Korreltionsmsses, ds diese eiden Eigenshften esitzt, stmmt von Kendll. * Rng-Regression. In der multiplen lineren Regression knn die Qudrtsumme der Residuen, die durh die Methode der Kleinsten Qudrte minimiert wird, durh eine ndere Zielfunktion ersetzt werden. Dies wurde im Blok üer rouste Regression usgeführt. Jekel führte eine Zielfunktion ein, die uf den Rängen der Residuen eruht. Die entsprehenden Shätzungen heissen R-Shätzungen. Ihre symptotishe Verteilung hängt nur von einem speziellen Aspekt der Fehlerverteilung (von der Dihte der Verteilung ei E = 0) und ist deshl teilweise verteilungsfrei. Genueres siehe Hettmnsperger). d* Es git uh Rng-Methoden für die multivrite Sttistik. D er niht eindeutig ist, wie im mehrdimensionlen Rum eine Ordnung eingeführt werden soll, git es hier reht viele Vorshläge mit vershiedenen Vor- und Nhteilen. Die Forshung ist niht konsolidiert.

3 6.3. ANPASSUNGSTESTS Anpssungstests Die Frge, o die Dten mit der Annhme einer estimmten Verteilung verträglih sind, wurde shon oft untersuht. Bisher hen wir meistens QQ-Digrmme verwendet und uf sttistishe Tests verzihtet. Die Rehtfertigung dieser lokeren Hltung estnd drin, dss mit einem Test j niht nhgewiesen werden knn, dss eine estimmte Verteilung wirklih den Dten zu Grunde liegt, sondern nur, gegeenenflls, dss die Dten einer solhen Annhme widersprehen. Die Versuhung einer missräuhlihen Interprettion eines Tests für die Anpssung n eine estimmte Verteilung ist gross. Trotzdem ist es n der Zeit, dss wir solhe Verfhren genuer etrhten. Kolmogorov. Die theoretishe Verteilungsfunktion F hrkterisiert die zu üerprüfende Verteilung, lso die Nullhypothese. Die empirishe Verteilungsfunktion ist gegeen durh F n x = #{i X i x}. n Wenn nun die empirishe Verteilungsfunktion strk von der theoretishen weiht, shliessen wir uf Verletzung der Nullhypothese. (Für ds QQ-Digrmm hen wir F 1 mit F 1 verglihen.) Kolmogorov führte deshl ls Teststtistik die Grösse ein. T = mx F n x F x x Es ist leiht einzusehen, dss die Verteilung dieser Grösse, unter der Annhme, dss die Beohtungen X i gemäss F verteilt sind, niht von F hängt, sofern F eine stetige Verteilung ist: Wenden wir uf die X i irgendeine (differenzierre) monotone Trnsformtion g n. Wenn die Nullhypothese gilt, hen die trnsformierten Beohtungen Y i = g X i die kumultive Verteilungsfunktion F (Y ) y = F g 1 y. Die Teststtistik T, erehnet für die Y i und F (Y ), ist gleih dem Wert von T für die X i und F. Setzt mn eispielsweise g = F 1, so wird F (Y ) gleih der Verteilungsfunktion für die uniforme Verteilung zwishen 0 und 1. Mn knn die Verteilung der Teststtistik lso für diese spezielle Verteilung erehnen und weiss, dss diese für lle Verteilungen F die gleihe sein muss. Kolmogorov leitete 1933 die symptotishe Näherung n die Verteilung von T mit sehr elegnten und grundlegenden Methoden her. Die Bedeutung der mthemtishen Methoden, die diesem Test zu Grunde liegen, ist wesentlih grösser ls die prktishe Bedeutung, wie wir gleih erläutern werden (6.3.e). Üliherweise will mn niht eine estimmte Verteilung prüfen, sondern nur eine Verteilungsform, eispielsweise die Normlverteilung, mit elieigen Werten für die Prmeter. Diese müssen us den Dten geshätzt werden, ws für kleinere Stihproen ntürlih Auswirkungen uf die Verteilung der Teststtistik ht (wie dies grundlegend eim t-test diskutiert wurde, siehe Astz 8.5.g in Sthel (2000)). Die Korrekturen hängen nun von der Verteilungsfmilie, siehe Kommentr 11.5.(28) in Hollnder nd Wolfe (1999).

4 22 6 Weitere nihtprmetrishe Tests d Chiqudrt-Test. Siehe Ashnitt 10.2 in Sthel (2000). e Der Chiqudrt-Test ist dem Kologorov-Test generell vorzuziehen, d er ei geeigneter Whl der Klssen gegen die üliherweise wihtigen Alterntiven von lngshwänzigen Verteilungen essere Mht zeigt. (Genuere Untersuhungen dzu muss ih llerdings noh suhen.) 6.4 Auslik Eine Durhsiht von Hollnder nd Wolfe (1999) zeigt weitere nihtprmetrishe Methoden (im Sinne von verteilungsfrei): Test gegen untershiedlihe Streuungen und llgemeinere Alterntiven für zwei unhängige Stihproen, z.b. Vergleih zweier empirisher Verteilungsfunktionen (Kolmogorov-Smirnov-Test, verwndt mit dem Kolmogorov-Anpssungs-Test), Vrinznlyse: Tests gegen speziellere Alterntiven (monotone Effekte für einen geordneten Fktor u..), Methoden für Kontrste, Methoden für Üerleenszeiten (vgl. Blok Üerleenszeiten) Litertur Ein neues, umfssendes Buh üer nihtprmetrishe Sttistik stmmt von Hollnder nd Wolfe (1999). Jedes Verfhren ist zunähst rezeptrtig eshrieen. Die Motivtion, Eigenshften, Theorie und ndere Bemerkungen folgen nhher. Ein älteres Buh in deutsher Sprhe, ds lle wihtigen Verfhren enthält, ist Büning und Trenkler (1978). Neue Auflge! Hettmnsperger (1984) diskutiert Rng-Methoden umfssend. Es git in diesem Geiet uh neuere Forshungsergenisse.

5 23 Litertur Büning, H. und Trenkler, G. (1978). Nihtprmetrishe sttistishe Methoden, Wlter de Gruyter, Berlin. Hrtung, J. und Elpelt, B. (1992). Multivrite Sttistik: Lehr- und Hnduh der ngewndten Sttistik, 5. Aufl., Oldenourg, Münhen. Hettmnsperger, T. P. (1984). Sttistil Inferene Bsed on Rnks, Wiley, N.Y. Hollnder, M. nd Wolfe, D. A. (1999). Nonprmetri Sttistil Methods, Wiley Series in Proilitz nd Sttistis, 2nd edn, Wiley. Sthel, W. A. (2000). Sttistishe Dtennlyse: Eine Einführung für Nturwissenshftler, 3. Aufl., Vieweg, Wiesden. Sthel, W. A. (2002). Sttistishe Dtennlyse: Eine Einführung für Nturwissenshftler, 4. Aufl., Vieweg, Wiesden.