5 Brownsche Bewegung (Version )

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1 5 Browsche Bewegug (Versio 3..08) Wir führe zuerst die Defiitio eier Browsche Bewegug ei ud zeige da, dass ei solcher Prozess existiert. Daach beweise wir eie Reihe vo Eigeschafte der Browsche Bewegug, wie das Gesetz vom iterierte Logarithmus ud die Nichtdifferezierbarkeit der Pfade der Browsche Bewegug. 5. Defiitio ud grudlegede Eigeschafte Wir erier zuächst dara, dass ei reellwertiger Prozess (X i ) i I auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) Gaußprozess heisst, we für jedes m N ud i,..., i m I der Vektor (X i,..., X im ) ormalverteilt ist. Defiitio 5.. Ei reellwertiger stochastischer Prozess (W t ) t 0 auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) heißt Wieerprozess oder Browsche Bewegug, we die beide folgede Eigeschafte gelte: (i) W ist ei Gaußprozess mit EW t = 0 ud cov(w s, W t ) = s t für alle s, t 0, (ii) t W t (ω) ist stetig für fast alle ω Ω (d.h. W hat stetige Pfade). Bemerkug 5.. Aus de Tatsache, dass EW 0 = 0 ud cov(w 0, W 0 ) = 0 folgt W 0 = 0 fast sicher. Wir zeige die Existez eies solche Prozesses mit dem Satz vo Dosker (wir werde später eie alterative Möglichkeit diskutiere). Sei wie im letzte Kapitel (C, B(C), µ) der Wieerraum, das heißt, B(C) ist die Borelσ-Algebra auf C = C[0, ] ud µ das Wieermaß auf (C, B(C)). Seie W (), W (),... uabhägige (C, B(C))-wertige Zufallsvariable mit Verteilug µ auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P). Wir defiiere W t (ω) := W (k) (ω) + W () t ( ) (ω), falls t <, N. k= Propositio 5.3. Der soebe defiierte Prozess W ist ei Wieerprozess. Beweis. W hat ach Kostruktio stetige Pfade ud ist ei Gaußprozess. Offebar gilt EW t = 0 für alle t 0. Weiter gilt für 0 s t mit m s < m, t < : (( m )( cov(w s, W t ) = E k= W (k) + W (m) )) s (m ) j= W (j) + W () t ( ) = m + (s (m )) = s = s t.

2 Bemerkug 5.4. Ma ka sich frage, ob Eigeschaft (ii) i Defiitio 5. icht automatisch aus (i) folgt. Dass dem icht so ist, zeigt das folgede Argumet. We (W t ) t 0 ei Wieerprozess auf dem Raum (Ω, F, P) ist (also isbesodere stetige Pfade hat), ud X eie vo W uabhägige auf [0, ] gleichverteilte Zufallsgröße, da erfüllt W t (ω) := W t (ω) + X(ω)+Q (t) Eigeschaft (i) vo Defiitio 5., aber W hat icht ur keie stetige Pfade, soder mit Wahrscheilichkeit sid sogar alle Pfade i jedem Pukt ustetig. Propositio 5.5. Ei Wieerprozess (W t ) t 0 hat uabhägige Zuwächse, das heißt für jedes m N ud 0 t 0 < t <... < t m sid die Zufallsgröße W t W t0,..., W tm W tm uabhägig. Beweis. Der Vektor W t W t0,..., W tm W tm ist ormalverteilt mit Erwartugswert 0 ud cov(w ti W ti, W tj W tj ) = δ ij (t i t i ). Da bei eiem ormalverteilte Vektor die Kompoete uabhägig sid geau da we sie ukorreliert sid, folgt die Behauptug. Bemerkug 5.6. Es gilt auch eie Art (eifach zu zeigede) Umkehrug vo Propositio 5.5: Ist (W t ) t 0 ei reeller Prozess mit stetige Pfade ud uabhägige Zuwächse ud ist für jedes 0 s < t < W t W s ormalverteilt mit Erwartugswert Null ud Variaz t s, da ist W ei Wieerprozess. Wir formuliere u wichtige Ivariazeigeschafte des Wieerprozesses. Propositio 5.7. Sei (W t ) t 0 ei Wieerprozess ud seie c, s > 0. Da sid die Prozesse (i) W () t (ω) := W t (ω), t 0, (ii) W () t (ω) := c W c t(ω), t 0, { (iii) W (3) t W/t (ω), t > 0 t (ω) := 0, t = 0 (iv) W (4) t (ω) := W t+s (ω) W s (ω), t 0 ebefalls Wieerprozesse. Beweis. Offesichtlich sid alle W (i) Gaußprozesse. Ma rechet leicht ach, dass sie zetriert sid ud dieselbe Kovariazfuktio wie ei Wieerprozess habe. Weiter habe W (), W () ud W (4) offesichtlich fast sicher stetige Pfade. Ma überzeugt sich sehr leicht davo, dass dies auch für W (3) so ist (da W (3) auf (0, ) stetig ist ud W (3) (0) = 0 ist).

3 5. Das Gesetz vom iterierte Logarithmus Wir formuliere ud beweise u das Gesetz vom iterierte Logarithmus für die Browsche Bewegug. Dazu beötige wir och ei Lemma, welches auch sost sehr ützlich ist. Lemma 5.8. Es gelte folgede Abschätzuge: a) x b) x c) x Beweis. a) x y exp{ dy x y exp{ dy x y exp{ dy π y exp{ dy x x exp{ für x > 0, x exp{ für x, x exp{ für x 0. y y exp{ dy x exp{. x x b) ( Für x > ) 0 gilt e x x x 3 = ( ) 3 exp{ y dy y exp{ dy, x y 4 x woraus mit Teil a) die Behauptug folgt. c) Es gilt für x > 0 d ( e x dx x exp{ y dy ) ( = e x e x + x x exp{ y dy ) 0, wobei das letzte aus Teil a) folgt. Da die Ugleichug i c) offesichtlich für x = 0 gilt, folgt die Behauptug. Satz 5.9. (Gesetz vom iterierte Logarithmus) Sei (W t ) t 0 ei Wieerprozess. Da gilt t W t t log log t = f.s.. Beweis. (ach Durrett: Probability: Theory ad Examples) Wir zeige zuerst, dass die like Seite kleier oder gleich der rechte ist. Sei zuächst g : [0, ) (0, ) mooto ichtfalled ud 0 t 0 t... mit lim t =. We P { W s g(t ) <, (5.) t s t + =0 3

4 da impliziert das erste Borel-Catelli Lemma t W t /g(t) fast sicher. Setze u für α > t = α ud g(t) := α t log log t für hireiched große t. Da gilt für hireiched groß P { W s g(t ) P { t s t + 0 s t + W s g(t ) t+ t+ = P { W s g(t ) = e x 0 s t+ g(t dx )/ t + π t+ { π g(t ) exp g(t ) = α + { t + π α + log(log α ) exp α+ log(log α ) α + = πα log(log α ) exp{ α(log + log log α) c α α, wobei wir Teil a) des obige Lemmas beutzte. Wege α > kovergiert also die Reihe (5.). Da α > beliebig war, folgt somit t W t t log log t f.s.. Nu zeige wir die adere Richtug. Wir wähle wieder t = α mit α >, lasse später aber α gehe. Wähle ( α ) g(t) := t log(log t), α wobei t hireiched groß ist (damit g strikt positiv ist). Es folgt uter Beutzug vo Teil b) vo Lemma 5.8 ud mit β := α α P{W t+ W t g(t + ) = P{ W t + W t t+ t g(t +) t+ t α (α ) π g(α + ) = { exp α + β log(log α + ) α (α ) πβ log( + ) + log log α ( + ) β e β log log α. Die Summe über divergiert ud daher folgt aus dem zweite Borel-Catelli Lemma wege der Uabhägigkeit der Zuwächse vo W, dass fast sicher für uedlich viele gilt: W t+ W t t + β log log t +. Aus dem erste Teil des Beweises wisse wir (wege der Symmetrie der Verteilug vo W ), dass W t t log log t 4

5 fast sicher. Also existiert für fast alle ω zu jedem ε > 0 ei 0 (ε, ω), so dass W t t log log t ( + ε) t + α log log t +( + ε) für alle 0 (ε, ω) gilt, also - mit der Abkürzug γ := t log log t : W t+ γ + = W t + W t γ + + W t γ + β + ε α für uedlich viele. Da α > beliebig war, folgt (mit α ) t W t t log log t fast sicher, womit der Beweis vollstädig ist. Ohe Beweis formuliere wir och das bemerkeswerte allgemeiere Strasse sche Gesetz vom iterierte Logarithmus Satz 5.0. Sei (W t ), t 0 ei Wieerprozess ud für t 3 Y t die durch Y t (s) := W st t log log t, s [0, ] defiierte C-wertige Zufallsgröße. Da ist fast sicher die Mege aller Häufugspukte i C vo Y t gleich H := {f C : f(0) = 0, f abs. stetig ud 0 (f (t)) dt. 5.3 Nichtdifferezierbarkeit der Pfade der Browsche Bewegug Wir zeige u die Nichtdifferezierbarkeit der Pfade der Browsche Bewegug. Satz 5.. Für fast alle ω Ω ist die Abbildug t W t (ω) i keiem Pukt t 0 differezierbar. Beweis. Wir folge dem Beweis i Breima: Probability, der sich wiederum auf eie Arbeit vo Dvoretski, Erdös ud Kakutai stützt. Offesichtlich geügt es, die Aussage für alle t [0, ] zu zeige. Wir fixiere β > 0. Ist f C[0, ] a der Stelle s [0, ] differezierbar mit Ableitug f (s), die f (s) < β erfüllt, da existiert ei 0, so dass für alle 0 ud alle t [0, ] mit t s 3/ folgt, dass f(t) f(s) β t s. Für N sei A = {f C[0, ] : s mit f(t) f(s) β t s für alle t mit t s 3. 5

6 Da gilt A A {f C[0, ] : s mit f diff.bar i s ud f (s) < β. Für f C[0, ] ud k {,..., sei { ( f k + ) ( k + ) (, f k + ) ( k ) (, f k y k (f) := f f f ) Für f A gilt y k (f) 5β für midestes ei k {,...,. Also folgt für ( k ). B := { f : k {,..., so dass y k (f) 5β, dass A B. Es geügt daher, für de Wieerprozess lim P{W [0,] B = 0 zu zeige (für jedes β > 0). Nu gilt P{W [0,] B = P ( k= { y k (W ) 5β ) { { ( W k + ) ( k + ) (, W k + ) ( k ) (, W k ( k ) P W W W ) 5β k= { { ( W 3 ( ) (, W ( ) (, W P W W ) ) ) 5β ( { W ( ) = P 5β ) 3 ( { = P W () 5β ) 3 ( 0β ) 3 0. π Damit ist die Aussage gezeigt. 5.4 Stetigkeitssatz vo Kolmogorov ud Hölderstetigkeit der Pfade Wir formuliere ud beweise zuächst de Stetigkeitssatz vo Kolmogorov, der i der Wahrscheilichkeitstheorie vielfache Awedug fidet. Mit diesem Satz ka ma icht ur die Existez eier stetige Modifikatio der Browsche Bewegug zeige, soder sogar die Hölderstetigkeit der Pfade. Im folgede sei für x R x := x i ud x := { x i : i =,...,. i= Defiitio 5.. Seie I eie Idexmege, (E, E) ei Messraum ud (Z i ) i I ud (Ẑi) i I E- wertige Prozesse auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P). We für jedes i I gilt, dass P{Z i = Ẑi =, da heisst Ẑ eie Modifikatio vo Z. Sid zusätzlich auf I ud E Metrike gegebe (ud ist E die zugehörige Borel-σ-Algebra auf E) ud ist die Abbildug i Ẑi(ω) stetig für (fast) alle ω Ω, da heisst Ẑ stetige Modifikatio vo Z. 6

7 Satz 5.3. (Stetigkeitssatz vo Kolmogorov) Sei (S, d) ei polischer Raum mit vollstädiger Metrik d ud Z t, t [0, ] ei S-wertiger Prozess. We a, b, c > 0 existiere, so dass für alle x, y [0, ] E ( (d(z x, Z y )) a) c x y +b gilt, da hat Z eie stetige Modifikatio Ẑ. Weiter existiert für jedes κ (0, b/a) eie reelle Zufallsvariable Y mit E(Y a ) caκ b ud aκ b { sup d(ẑx(ω), Ẑy(ω)) : x, y [0, ], x y r für jedes r [0, ]. Isbesodere gilt für alle u > 0 { P sup d(ẑx, Ẑy) u x,y [0,] κ Y (ω)rκ (5.) ( ) a c aκ b κ aκ b u a. (5.3) Beweis. Die Aussage (5.3) folgt mit der Markovugleichug sofort aus (5.) mit r = ud der Mometeabschätzug für Y. Für m N sei D m := {(k,..., k ) m ; k,... k {,..., m ξ m (ω) := {d(z x (ω), Z y (ω)) : x, y D m, x y = m. Die ξ m, m N sid messbar, da (S, d) separabel ist. Weiter gilt Daher gilt für κ (0, b a ), ( ) E ( κm ξ m ) a = m= { {x, y D m : x y = m m. κma E(ξm) a m= ( κma E m= {x,y D m, x y = m κma m c m(+b) = c m= ( d(zx (ω), Z y (ω)) ) a ) m= Daher existiert eie Mege Ω 0 F, P(Ω 0 ) = so dass m(b aκ) = caκ b <. aκ b Y (ω) := sup{ κm ξ m (ω) < für alle ω Ω 0. m Weiter gilt ( ) E(Y a ) E ( κm ξ m ) a m= caκ b aκ b. 7

8 Seie x, y D := D so gewählt dass x y r < k, wobei k N 0. Da gibt es eie Folge = x = x, x..., x l = y i D so dass für alle i =,..., l ei (i) k + existiert, so dass x i, x i+ D (i), x i x i+ = (i) ud {i {,..., l : (i) = M für alle M k +. gilt. Für ω Ω 0 ud 0 < r < mit k r < k gilt mit der Dreiecksugleichug für d sup{d(z x (ω), Z y (ω)); x, y D, x y r ξ m (ω) Y (ω) m=k+ m=k+ κm = κ(k+) Y (ω) κ Y κ (ω)rκ. Also ist für jedes ω Ω 0 die Abbildug x Z x (ω) vo D ach S gleichmäßig stetig. Da D dicht i [0, ] liegt ud (S, d) vollstädig ist, lässt sich für jedes ω Ω 0 die Abbildug eideutig zu eier stetige Abbildug Ẑ auf [0, ] fortsetze. Auf Ω c 0 wähle wir eifach Ẑ als eie beliebige Kostate. Es bleibt zu zeige, dass Ẑ eie Modifikatio vo Z ist. Sei x [0, ]. Da existiert eie Folge x, x,... i D, die gege x kovergiert. Da Ẑx i = Z xi fast sicher ud lim i Ẑ xi = Ẑx gaz sicher (wege Stetigkeit) ud lim i Z xi = Z x i Wahrscheilichkeit (ach Voraussetzug), folgt Ẑx = Z x fast sicher, das heißt, Ẑ ist eie Modifikatio vo Z. Korollar 5.4. Für jedes α (0, ) sid fast alle Pfade des Wieerprozesses Hölderstetig zum Expoet α, das heißt, für jedes T > 0 existiert eie reelle Zufallsgröße V T, so dass W t W s V T t s α für alle 0 s, t T gilt. Beweis. Wege der Skalierugseigeschaft des Wieerprozesses köe wir T = aehme. Wir überprüfe die Voraussetzuge des Kolmogorovsche Stetigkeitssatzes 5.3 mit E = R, = ud Z = W : es gilt für beliebiges a > 0 ud 0 s t E( W t W s a ) = t s a/ E( W a ). Da für eie ormalverteilte Zufallsgröße alle Momete edlich sid, sid für jedes a > die Voraussetzuge des Stetigkeitssatzes mit b := a ud c := E( W a ) erfüllt. Dabei ist b/a =, das heißt, für jedes κ (0, /) fide wir ei hireiched großes a, so dass a κ < b/a ist. Somit folgt die Aussage des Korollars aus (5.). 8

9 5.5 Alterative Kostruktio der Browsche Bewegug I diesem Abschitt zeige wir eie adere Möglichkeit der Kostruktio der Browsche Bewegug, die de Satz vo Dosker icht voraussetzt. Wir kostruiere eie reellwertige Prozess W t, t [0, ] mit Verteilug µ (Wieermaß) auf (C, B(C)) (die Erweiterug auf das Itervall [0, ) ka ma da wie am Afag des Kapitels durchführe). Gegebe sei eie Orthoormalbasis (ONB) φ i, i N vo L [0, ] versehe mit dem übliche Skalarprodukt f, g := f(x)g(x) dx. Weiter sei X 0, X,... eie Folge vo uabhägige stadardormalverteilte Zufallsgröße auf (Ω, F, P). Wir defiiere für N W t := t X i φ i (s) ds, t [0, ]. i= 0 Satz 5.5. Für jedes t [0, ] ist die Folge W t, N eie Cauchyfolge i L (Ω, F, P). Sei W t der Grezwert der Folge. Da ist W t, t [0, ] ei Gaußprozess mit EW t = 0 ud cov(w s, W t ) = s t für 0 s, t, das heißt, W erfüllt Eigeschaft (i) vo Defiitio 5. auf dem Itervall [0, ]. Beweis. Für 0 s, t sei Da folgt I t (s) := t Da φ i, i N eie ONB vo L [0, ] ist, folgt 0 {, s < t 0, s t φ i (s) ds = I t, φ i. I t = I t, φ i φ i ud t = I t = i= I t, φ i. i= Für > m folgt u E(W t ( Wt m ) = E = i=m+ i=m+ X i t 0 ) φ i (s) ds I t, φ i 0 mit m,. Also ist Wt, N eie Cauchyfolge i L (Ω, F, P). Da L (Ω, F, P) vollstädig ist, existiert der Grezwert W t = i= X t i φ 0 i(s) ds. Für jedes m N ud 0 t < t <... < t m ist der Vektor (W t,..., W tm ) ormalverteilt ud daher W t, t [0, ] ei Gaußprozess. Weiter gilt EW t = 0 für alle t [0, ]. Schließlich gilt für 0 s, t EW s W t = ( s φ i (u) du t i= 0 0 φ i (v) dv ) = 9 ( Is, φ i I t, φ i ) = I s, I t = s t, i=

10 womit die Aussage gezeigt ist. Damit ist och icht garatiert, dass der im letzte Satz kostruierte Prozess ei Wieerprozess ist. Dazu muss ma zeige, dass die Pfade t W t (ω) fast sicher stetig sid. Das muss aber keieswegs so sei. Mit dem Stetigkeitssatz vo Kolmogorov (Satz 5.3) sehe wir aber, dass der Prozess t W t (ω) eie stetige Modifikatio W t, t [0, ] besitzt ud diese ist ach Kostruktio ei Wieerprozess auf [0, ]. Alterativ gibt es aber auch eie explizite Kostruktio, welche ohe Referez auf de Stetigkeitssatz vo Kolmogorov auskommt. Wir versuche dabei, die Kostruktio im letzte Satz so zu gestalte, dass die Folge Wt icht ur für jedes t i L (Ω, F, P) kovergiert, soder sogar fast sicher gleichmäßig i t [0, ]. Da folgt die fast sichere Stetigkeit vo t W t ud wir sid fertig. Um diese Weg zu gehe, wähle wir eie spezielle ONB vo L ([0, ]), ämlich die sogeate Haarfuktioe {f 0, f,j, j =,...,, N. Diese sid defiiert als f 0 (t) ud, mit k = j, ( )/ k, < t k f,j (t) = ( )/ k, < t k+ 0, sost. Ma überprüft sehr leicht, dass dies ei Orthoormalsystem i L ([0, ]) ist. Nicht gaz so klar ist, dass es sich sogar um eie ONB hadelt. Dies folgt aus der folgede Propositio. Propositio 5.6. Sei f L [0, ] mit der Eigeschaft, dass f, f 0 = 0 ud f, f,j = 0 für alle j,. Da folgt f = 0. Beweis. Für ei solches f gilt, wie ma leicht sieht, für jedes N ud 0 k l l/ k/ f(t) dt = 0. Sei u D = {A B[0, ] : A f(t) dt = 0. Da ist D ei Dykisystem, welches ei durchschittsstabiles Erzeugedesystem vo B[0, ] ethält ud daher gilt D = B[0, ] ach dem Hauptsatz über Dykisysteme. Daraus folgt leicht f = 0 fast sicher (wie beim Beweis der Eideutigkeit der bedigte Erwartug). Nu defiiere wir die Schauderfuktioe {F 0, F,j als Itegrale der Haarfuktioe, also F 0 (t) = t ud ( )/ (t (k )/ k ), t k F,j (t) = ( )/ ((k + )/ k t), t k+ 0, sost. Seie X 0, X,j, N, j =,..., uiv N (0, )-verteilt ud für t [0, ], N N sei W N t (ω) = X 0 F 0 (t) + 0 N V (t, ω), =

11 wobei V (t, ω) := j= Für jedes ω Ω ud N N ist t Wt N (ω) stetig. X,j (ω)f,j (t). Satz 5.7. Die Folge W N kovergiert für N fast sicher gleichmäßig gege eie C-wertige Zufallsvariable W. W t, t [0, ] ist ei (auf [0, ] eigeschräkter) Wieerprozess. Beweis. Die letzte Aussage folgt aus der erste ud Satz 5.5. Um die erste Aussage zu zeige, defiiere wir H (ω) := t [0,] V (t, ω)). Da für jedes die Fuktioe F,,..., F, disjukte Träger habe, gilt H (ω) = (+)/ j X,j. We eie Folge positiver Zahle b, N mit b < existiert mit P(H b ) <, (5.4) = da folgt aus dem erste Borel-Catelli Lemma die fast sichere Kovergez vo H (ω) ud damit die erste Behauptug. Wir versuche de Asatz b = exp{ γ mit eiem geeigete γ > 0. Es gilt P(H exp{ γ) = P ( X,j (+)/ e γ) j P ( X, (+)/ e γ) π π exp { + e γ = exp{( ) log e γ, wobei die letzte Ugleichug aus Lemma 5.8c) folgt. Daher gilt (5.4), we γ < log ud die Behauptug ist bewiese. 5.6 Stetigkeitsmodul der Browsche Bewegug Wir sahe bereits, dass die Pfade der Browsche Bewegug Hölderstetig mit Expoet α für jedes α (0, /) sid. Die folgede Sätze verschärfe diese Aussage och. Zuerst formuliere wir aber das lokale Gesetz vom iterierte Logarithmus für de Wieerprozess. Satz 5.8. Für de Wieerprozess W t, t 0 gilt h 0 W h h log log /h = f.s.

12 Beweis. Sei Wt := tw /t, t > 0 ud W 0 := 0. Da ist W ach Propositio 5.7(iii) ei Wieerprozess. Aus Satz 5.9 folgt daher mit t = /h h 0 W h h log log /h = t = t W t t log log t t W t t log log t = f.s. Aus dieser Aussage folgt zusamme mit Propositio 5.7(iv) sofort die folgede Aussage. Korollar 5.9. Für jedes s 0 gilt h 0 W s+h W s h log log /h = f.s. (5.5) Wir betoe, dass dies icht bedeutet, dass fast sicher (5.5) für jedes s [0, ] gilt. Es ist sogar so, dass dies icht ur icht aus dem letzte Korollar folgt, soder sogar falsch ist. Ist zum Beispiel s (0, ) eie lokale Maximalstelle vo t W t (ω), da ist s zufällig ud es gilt für dieses s h 0 W s+h W s h log log /h 0. Wir utersuche u de Stetigkeitsmodul der Browsche Bewegug auf [0, ]. Defiitio 5.0. Sei f C. Da heißt die Fuktio Stetigkeitsmodul vo f. w δ (f) := 0<h δ 0 t h f(t + h) f(t), δ (0, ] Die Fuktio δ w δ (f) ist offesichtlich icht-falled ud es gilt lim δ 0 w δ (f) = 0, da jede stetige Fuktio auf eiem kompakte Itervall gleichmäßig stetig ist. Weiter gilt offesichtlich w δ+ε (f) w δ (f) + w ε (f), δ, ε > 0, δ + ε. (5.6) Setzt ma für f die Browsche Bewegug W auf dem Itervall [0, ] ei, so ist w δ (W ) zufällig, aber ma ka immerhi darauf hoffe, dass die Asymptotik vo w δ (W ) für δ 0 determiistisch ist, das heißt, dass es eie determiistische Fuktio ϕ : (0, ] (0, ) gibt, so dass lim δ 0 w δ (W )/ϕ(δ) = fast sicher gilt. We dies so ist, da muss wege Satz 5.8 δ 0 ϕ(δ)/ δ log log gelte. δ Wir werde weiter ute sehe, dass dieser sogar uedlich ist, die Fuktio ϕ(t) also mit t 0 (viel) lagsamer gege Null geht als t t log log. t

13 Wir werde gleich eie Fuktio ϕ ud Zahle 0 < c c < agebe, für die gilt: c lim if δ 0 Wir zeige die Ugleichuge für ϕ(δ) := mit c = zeige. Propositio 5.. Es gilt fast sicher w δ (W )/ϕ(δ) w δ (W )/ϕ(δ) c, f.s. δ 0 δ log, wobei wir zuerst die like Ugleichug δ lim if δ 0 w δ (W ) δ log δ. Beweis. Sei Y eie N (0, )-verteilte Zufallsgröße, N ud c > 0. Da gilt P ( W ( k + k {0,..., ) (k ) ) ( ( )) W c = P Y c ( α exp { ), π c c wobei wir beim letzte Ugleichheitszeiche Lemma 5.8 b) mit eier geeigete Kostate α (0, ) verwedete ud die Ugleichug da ur für hireiched große c gilt. Wir wolle u c so wähle, dass der letzte Ausdruck (hireiched schell) mit gege Null geht. Dazu bietet sich die Wahl c = β log mit β (0, ) a. Wir setze diese Wert i die letzte Formel ei, verwede die Ugleichug x exp{ x ud erhalte = ( α π c β) exp{ α π c β. Dieser Ausdruck kovergiert mit so schell gege Null, dass sogar die etsprechede Reihe über kovergiert. Nach dem erste Borel-Catelli Lemma folgt daher, dass fast sicher ei 0 = 0 (ω) N existiert, so dass k {0,..., W ( k + für alle 0 gilt, woraus sofort die Behauptug folgt. ) (k ) W > β log Bemerkug 5.. Ma beachte, dass die letzte Propositio isbesodere besagt, dass die Pfade des Wieerprozesses auf [0, ] fast sicher icht Hölderstetig mit Expoet / (ud damit erst recht icht Hölderstetig mit Expoet α für irgedei α > / sid). Nu zeige wir eie umgekehrte Ugleichug. Propositio 5.3. Es gilt fast sicher δ 0 w δ (W ) δ log δ 6. 3

14 Beweis. Sei N ud c > 0. Da gilt P ( k {0,..., t [k/,(k+)/] (k W (t) W ) ) ( c P W (t) c ) 0 t P ( W (t) c ) π 4 0 t π exp { c. Hier bietet sich der Asatz c := γ log mit γ > a. Setzt ma diese i de letzte Ausdruck ei, so ergibt sich exp{ γ log = γ, was gege Null geht, allerdigs kovergiert die zugehörige Reihe ur da, we γ > ist. Da wir bei dieser Beweisrichtug icht de Ehrgeiz habe, die optimale Kostate herauszufide, gebe wir us mit γ > zufriede ud erhalte für jedes feste γ > mit dem erste Borel- Catelli Lemma die fast sichere Existez eies 0 = 0 (ω, γ) N mit k {0,..., t [k/,(k+)/] W (t) W ( k ) < γ log für alle 0. Hieraus sieht ma sofort (am beste mit eiem Bild), dass für jedes solche gilt w / (W ) 3 γ log, woraus sofort die Behauptug folgt. Bemerkug 5.4. Die bisherige Aussage lasse sich zu folgeder verschärfe (siehe Mörters ud Peres: Browia Motio, Cambridge Uiv. Press, 00). Es gilt fast sicher lim h 0 sup 0 t h W (t + h) W (t) h log(/h) =. Dies bedeutet, dass usere utere Abschätzug i Propositio 5. optimal war, die i Propositio 5.3 aber (wie zu erwarte war) icht. Ma ka die Kostate 6 auf der rechte Seite der Ugleichug i Propositio 5.3 zum Beispiel dadurch verbesser, dass ma zu geeigete Teilfolge vo übergeht ud damit auch γ < wähle darf. 4