Kinetische Theorie der Gase

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1 Knetsche Theore der Gase 1

2 Unterschedung kroskopsche Energe der Bestandtele enes Objektes akroskopsche Energe enes Körpers als ganzes Knetsche Energe der Bestandtele enes Objektes snd ncht organsert und wllkürlch ertelt (Temperatur) Knetsche Energe enes Objektes st ene organserte Form on Energe. lle oleküle des betrachteten Systems bewegen sch n de gleche Rchtung oder drehen um de gleche chse (rbet)

3 Ideales Gas Gase haben m Gegensatz zu Festkörpern und Flüssgketen kenen esten Glechgewchtsabstand zwschen den tomen. Das olumen enes Gases deshalb ncht wohl denert Cool Hot Zusammenhang zwschen Druck, olumen und Temperatur P nrt Ideales Gasgesetz Je länger de Pele, desto größer st de Geschwndgket der oleküle Gesucht Zustandsglechung ür en Gas, das enen Zusammenhang leert zwschen Druck, olumen und Temperatur des Systems. En Gas be gerngem Druck und gernger echselwrkung der tome unterenander nennt man deales Gas 3

4 Zustandsglechung dealer Gase doppelt Zusammenhang zwschen Temperatur, Druck und olumen beweglcher Stempel Epermentelle Beunde - Be konstanter Temperatur st das olumen umgekehrt proportonal zum olumen (Gesetz on Boyle) - Be konstantem Druck st das olumen proportonal zur Temperatur des Gaes (gesetz on Charles und Gay-Lussanc) P nrt Ideales Gasgesetz P nt m³ mol m² K asse des Gases blebt konstant Dmensonsbetrachtung m mol K J mol K [ R] T 0K P const R nt R : unerselle Gaskonstante J R mol K gleches erhalten ür alle Gase Ensetzen n de Glechung leert, dass en ol Gas be 0 C en olumen on.4 g ennmmt 4

5 ogadrozahl Denton En ol st de nzahl on tomen, de sch n 1 g Kohlensto benden eele tome snd n enem ol enes Stoes enthalten? ogadrozahl mol Das ol st ene SI Enhet asserstoatom H asse 1 amu 1g/ mol Helumatom He asse 4 amu 4g/ mol Sauerstomolekül O asse 3 amu 3 g/ mol nzahl mol n enem Probenolumen n nzahl tome n Probe ogadrokonstante asse enes oleküls: m asse enes ol on olekülen: n pr m asse der Probe : pr m pr pr 5

6 En ol Fussbälle e hoch türmt sch en ol Fussbälle au der Erdoberläche 6

7 Ideales Gas [ R] Denton Gaskonstante R J R 8.31 mol K Dmensonsbetrachtung P m³ nt mol m² K m J mol K mol K [ R] Gesetz des dealen Gases p nrt nr nr p da n k k nzahl der oleküle ogadrokonstnte ( k ) B B B T denert über n de nzahl mol k Denton Boltzmannkonstante k B k R B J 8.31 mol K mol denert über de nzahl der oleküle J K B -1 Reale Gase erhalten sch be nedrgem Druck annähernd we en deales Gas 7

8 Isotherme Zustandsänderung Ideales Gas Betrachteter Prozess unter der Randbedngung Temperatur wrd konstant gehalten Druckerhältnsse 1 p nrt Isotherme 1 p rbet bem sothermer Epanson/ Kompresson Berechne de erorderlche rbet sotherm sotherm sotherm sotherm sotherm nrt nrt nrt a ln a lnb ln b pd d d [ ln ] nrt ln 8

9 bhänggket on der Zustandsarablen Druck oder olumen blebt konstant olumen wrd konstant gehalten sochore Zustandsänderung Berechne de erorderlche rbet const const nrt d nrt ln ln1 0 const 0 Druck wrd konstant gehalten sobare Zustandsänderung Berechne de erorderlche rbet const const const ( ) p pd pδ 9

10 Zustandsänderungen erschedene öglchketen, ene Zustandsänderung herbezuühren 1 adabatscher Prozess (ΔQ0) sochorer Prozess (Δ0) 3 sobarer Prozess (Δp0) 4 sothermer Prozess (ΔT0) 10

11 Epanson on enes Gases usgangsparameter 1 Lter Behälter mt Sauersto be 0 C und 15 atm Endparameter 8.5 Lter Behälter Sauersto be 35 C p nrt nnahme deales Gas p nrt p n const p p T T p T T nzahl der oleküle ändert sch ncht De ngaben n Lter brauchen ncht unbedngt n m³ umgerechnet werden, da nur Quotent betrachtet wrd anders seht es mt der Temperatur aus. Her st der Untersched zum absoluten Temperaturnullpunkt entschedend p T T 15 atm p ( 73+ 0) ( ) K ( 308 K)( 1.0 l) ( 93 K)( 8.5 l).3 atm K 11

12 Kompresson enes Gases sotherm Endparameter 1 mol Sauersto m 1 Lter Behälter be 35 C nangsparameter 1 mol Sauersto m 8.5 Lter Behälter be 35 C Temperatur konstant, dh. sotherme Epanson Berechne de rbet, de das Gas lesten muss nrt ln J 305 K ln mol K 874 J ( 1mol) 8.31 ( ) 1 l 8.5 l Für ene anschlessende Kompresson st rbet am System zu lesten -874 J 1

13 oleküle m Kasten ersuchsbedngung Gasmenge on n mol n enem Behälter Behälterwände haben ene Temperatur T Fragestellung e hängen der n dem Behälter orherrschen Druck und de Geschwndgket der Gasmoleküle zusammen m oleküle stoßen elastsch und nur mr and aber ncht unterenander. Durch de Stöße wrd en Druck augebaut. ewtonsche Dynamk be elastschem Stoß Impulsübertrag au das olekül Δp olekül Impulsübertrag au de and ( m ) ( m ) Δp and m m Bemerkung n desem Fall st p der Impuls und ncht der Druck m kene Änderung n Rchtung der y- Komponente der Bewegung 13

14 oleküle m Kasten Fragestellung e hängen der n dem Behälter orherrschen Druck und de Geschwndgket der Gasmoleküle zusammen Zetabstand zwschen zwe Stößen mt derselben and Δt d ttlere Rate mt dem Impuls übertragen wrd Δp Δt m d r r dp F dt m d ewton alle Impulse au de and (Fläche d²) adderen p p Druck st Krat au Fläche (dd) m d m 3 d,1 F p d m, + d d ( ),1, Es gbt Beträge zum Impuls augrund der nzahl der oleküle n der Bo m d,, 14

15 oleküle m Kasten Fragestellung e hängen der n dem Behälter orherrschen Druck und de Geschwndgket der Gasmoleküle zusammen p m 3 d ( ) p,1 3 molare asse p, n n d n m ag m ag, nzahl der oleküle st nzahl mol ogadrozahl 3 d nstatt zu summeren. Ersetzen des Impulses der enzelnen Telchen durch den mttleren Impuls aller Telchen mttleres Quadrat der Geschwndgket ag root-mean-square Geschwndgket oleküle bewegen sch n belebge Rchtungen + y + z,1 +, Denton n p ag ag, 15

16 oleküle m Kasten Fragestellung e hängen der n dem Behälter orherrschen Druck und de Geschwndgket der Gasmoleküle zusammen p n 3 p nrt 3p n 3RT mttlere Geschwndgket on oleküle be ener bestmmten Temperatur Temperatur m Kern der Sonne 15 llonen Keln Kern der Sonne Raumtemperatur T T Kern der Sonne Raumtemperatur K 300K Kern der Sonne Raumtemperatur Kern der Sonne 6 km 4 ( ) Raumtemperatur h Stoßgeschwndgket zu gerng um Kernreaktonen zu ermöglchen 16

17 Schallgeschwndgket Bemerkenswert ttlere Geschwndgket der tome der Lut höher als de Schallgeschwndgket on 330 m/s och zu klären arum bretet sch en Dut dann ncht schneller aus? 17

18 Knetsche Energe Translaton Translatonsenerge ttlere knetsche Energe enes dealen Gases unabhängg on rt des Gases schwerer Gase bewegen sch glecher Temperatur langsamer KE KE KE KE ag ag ag ag k B m 3RT 1 1 3RT m m 1 R 3RT 3 k B T Durch Temperaturmessung an enem dealen Gas bestmmt man mttlere knetsche Energe des oleküle 18

19 ttlere ree eglänge erschedene rten, de mttlere ree eglänge zu ermtteln oleküle mt enem bestmmten Durchmesser d stoßen oleküle mt Durchmesser d legt ür ene bestmmte Zet t mt Geschwndgket durch en olumen ohne enen Stoß zu machen oleküle hat den doppelten Durchmesser d und stößt mt Punkttelchen 19

20 ttlere ree eglänge λ mp mp: mean ree path lle oleküle bewegen sch entlang gerader Bahnen mt ener mttleren Geschwndgket, bs se elastsch mt anderen olekülen stoßen λ mp st de mttlere Enternung de en olekül zurücklegt, beor es mt enem anderen olekül stößt ermutung 1 λ mp skalert ners mt nzahl oleküle m olumen λ 1 mp ermutung λ mp skalert ners mt Durchmesser der oleküle λ mp 1 d ² mttlere ree eglänge enes λ oleküls n enem dealen Gas eaktes Ergebns mp 1 π 1 d ² Typsche erte eereshöhe 0.1 μm Höhe 100 km: 16 cm Höhe 300 km: 0 km 0