1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b = a b cosα = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 b a 1. Betrag = Länge eines Vektors: a = a a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 2. Winkel zwischen 2 Vektoren: cosα = a b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 Sonderfall: Ist a b = 0 a b Vektorprodukt a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 a b a, a b b a b b a 1.Fächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms: P = a b 2. Fächeninhalt des von a und b aufgespannten Dreiecks: D = 1 2 a b 3. Normalenvektor einer Ebene Spatprodukt ( a b ) c 1. Volumen des Spats: V S = ( a b ) c c b a
2. Rauminhalt des Tetraeders: V T = 1 6 ( a b ) c c b a 3. ( a b ) c = 0 a, b und c sind voneinander linear abhängig 2. Vektoren und Punkte Ortsvektor a 1 Punkt: a 1 a 2 a 3 Ortsvektor: = O = a 2 a 3 Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten b 1 a 1 B = B Verbindungsvektor zweier Punkte: B = B = b 2 a 2 b 3 a 3 Länge einer Strecke oder bstand zweier Punkte b 1 a 1 B = B = B = b 2 a 2 = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2 b 3 a 3 B
Winkel im Dreieck cosα = B C B C cosβ = B BC B BC cosγ = C CB C CB Mittelpunkt einer Strecke C B M = 1 2 + B M B 3. Geraden Parametergleichung einer Geraden a 1 v 1 v g : X = + λ v = a 2 + λ v 2 a 3 v X 3 Zeichnerische Darstellung - Spurpunkte Ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene heißt Spurpunkt in dieser Ebene. Spurpunkt in der Bedingung x 1 x 2 -Koordinatenebene x 3 = 0 x 1 x 3 -Koordinatenebene x 2 = 0 x 2 x 3 -Koordinatenebene x 1 = 0 Existiert kein Spurpunkt mi einer Koordinatenebene; dann ist die Gerade zu dieser Koordinatenebene parallel.
x 3 x 2 x 1 Zweipunkteform B : X = + λ ( B ) v = B = B B Parallele, sich schneidende und windschiefe Geraden g : X = + λ v h : g : X = B + µ u v = k u g h h Ist zusätzlich h, dann sind g und h identisch. nsonsten gilt die Schnittpunktsbedingung + λ v = B + µ u. Ist das sich ergebende Gleichungssystem nicht lösbar, dann sind g und h windschief. 4. Ebenen Parametergleichung einer Ebene a 1 u 1 v 1 v E : X = + λ u + µ v = a 2 + λ u 2 + µ v 2 u a 3 u 3 v 3 X
Normalenform einer Ebenengleichung n X n X Normalenform: n X = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 ( n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 = 0 n 4 Besondere Lagen von Ebenen im Koordinatensystem, Ebenengleichung Parallelität zur n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 4 = 0 -Koordinatenachse n 1 x 1 + n 3 x 3 + n 4 = 0 x 2 -Koordinatenachse n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0 x 1 -Koordinatenachse n 1 x 1 + n 4 = 0 x 2 x 3 -Koordinatenebene n 2 x 2 + n 4 = 0 x 1 x 3 -Koordinatenebene n 3 x 3 + n 4 = 0 x 1 x 2 -Koordinatenebene x 3 Zeichnerische Darstellung - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen - Spurgeraden Schnittpunkt mit der Bedingung x 1 -chse x 2 = x 3 = 0 x 2 -chse x 2 = x 3 = 0 x 3 -chse x 2 = x 3 = 0 Existiert kein Schnittpunkt mit einer Koordinatenachse, dann ist die Ebene zu dieser Koordinatenachse parallel. Hat die Ebene mit einer Koordinatenachse mehr als einen Punkt gemeinsam, dann verläuft sie durch diese chse. Die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen heißen Spurgeraden. Sie sind die Verbindungsgeraden der Spurpunkte. Spurgerade in der Bedingung x 1 x 2 -Koordinatenebene x 3 = 0 x 1 x 3 -Koordinatenebene x 2 = 0 x 2 x 3 -Koordinatenebene x 1 = 0
x 3 x 2 x 1 Lagebeziehung zwischen Ebenen und Geraden g : X = + λ v und E : n X = 0 g h E v n = 0 Die Gerade g liegt in der Ebene, wenn zusätzlich ihr ufpunkt in E liegt. nsonsten erhält man den zum Schnittpunkt gehörenden Parmeter durch Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts in eine Normalenform von E. Sonderfall: v g E v = k n Lagebeziehung zwischen Ebenen Zwei Ebenen E und F mit den Normalenformen E : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0 und F : m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 + m 4 = 0 n 1 m 1 sind parallel, wenn die Normalenvektoren n = n 2 und m = m 2 linear abhängig sind. n 3 m 3
n 1 m 1 Das heißt, es gibt ein k R, so dass n 2 = k m 2 ist. n 3 m 3 Gilt zusätzlich, dann sind die Ebenen identisch. n 4 = k m 4 nsonsten schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden. Die parametrisierte Lösung des Gleichungssystems (1) n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0 ist der allgemeine Geradenpunkt der Schnittgeraden s. (2) m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 + m 4 = 0 Hessesche Normalenform n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 ± n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 = 0 Setzt man die Koordinaten eines Punktes P in die HNF einer Ebene ein, dann erhält man eine Zahl, deren Betrag gleich dem bstand des Punktes von der Ebene ist. Diese Zahl ist positiv, wenn der Punkt auf der dem Ursprung abgewandten Seite von E ist. Ist sie negativ, dann liegt P auf der Ursprungsseite. 5. Kugel X M M X MX = r X M 2 = r 2 (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r 2 Für die Lage einer Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r zu einer Ebene E gilt
bstand Lage d(m; E) > r Die Ebene E schneidet die Kugel nicht. d(m; E) = r Die Ebene E berührt die Kugel (Tangentialebene). d(m; E) < r Die Ebene E schneidet die Kugel in einem Kreis (Schnittkreis) 6. bstände bstand eines Punktes von einer Geraden d(p; g) = PF v = n Methode 1: 1. Man legt durch P eine Ebene E senkrecht zur Geraden g (der ufpunkt von E ist P und der Normalenvektor von E ist der Richtungsvektor von g). 2. Der Schnitt von E mit g ist der Lotfußpunkt F. 3. d(p; g) = PF Methode 2: 1. Man stellt den Verbindungsvektor PX auf; dabei ist X der Ortsvektor des allgemeinen Geradenpunkts von g. 2. Es gilt PX u = 0 mit dem Richtungsvektor u von g. Man erhält den Parameterwert, der den Lotfußpunkt festlegt. 3. d(p; g) = PF
bstand eines Punktes von einer Ebene d(p; E) = PF v = n Methode 1: 1. Man legt durch P eine Gerade g senkrecht zur Ebene E (der ufpunkt von E ist P und der Richtunbgsvektor von g ist der Normalenvektor von E). g heißt Lot(gerade) von P auf E. 2. Der Schnitt von g und E ergibt den Lotfußpunkt F. 3. d(p; E) = PF bstand paralleler Geraden d(g; h) = d(; h) mit g bstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene d(g;eh) = d(; E) mit g
7. Winkel ================================================================= Schnittwinkel sich schneidender bzw. Kreuzungswinkel windschiefer Geraden cosσ = v u v u v u Neigungswinkel bzw. Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene σ = 90 τ mit cosτ = n v n v n v oder sinσ = n v n v Schnittwinkel zweier Ebenen cosσ = n E n F n E n F n F n E Sonderfall: Zueinander senkrechte Ebenen σ = 90