2. Jgst. 4. Kursarbeit Datum: 6.6.26 Klasse: BGY LK +2 Fach: Mathematik (Leistungsfach) Thema: Analytische Geometrie; Punkte im R 3 ; Geraden/Ebenen; Lagebeziehungen; Winkel; Skalar- & Vektorprodukt; Name: Punkte: Note: Aufgabenbereich : Der Mittelaltermarkt (vgl. Anlage ) 4 Auf einem Mittelaltermarkt wird an einer Bude Bogenschießen für Kinder angeboten. Es wird mit Holzpfeilen geschossen. Die Abbildung zeigt die Zielscheibe, die auf einer größeren Holzunterlage angebracht wurde. Gegeben sind die Punkte E(-.5//5) ; R(-./2/) und das Zentrum Z(-./5/) der Zielscheibe. Der Boden, auf dem das Holzgestell steht, liegt in der xy-ebene. Die Koordinaten sind in cm gegeben..) Bestimmen Sie die Koordinaten der übrigen Eckpunkte F, G und H der Zielscheibe. F(-995//5) G(-995/2/5) H(-.5/2/5) 2.) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameterform an. mit den gegebenen Punkten. 5 E : x 5 k 5 r 5 5 3.) Leiten Sie die Koordinatenform der Ebene, in der die Zielscheibe liegt, her und bestätigen Sie folgendes Ergebnis: E : x z 9.9 5 2.5 Normalenvektor n 5 5 bzw. n 5 25. Normalenform x 5 Koordinatenform x z 9.9 x z 9.9
4.) Zeigen Sie, dass die Zielscheibe nicht senkrecht steht. Bestimmen Sie zudem auch den Neigungswinkel, den die Zielscheibe mit dem Boden bzw. der xy-ebene einschließt. Vergleich der beiden Normalenvektoren der beiden Ebenen und Berechnung des Skalarprodukts => müsste ergeben Skalarprodukt nxyebene bzw. nzielscheibe nicht orthogonal Neigungswinkel : cos, 995 95, 7 5.) Zwei Schützen schießen zur Zeit t = jeweils einen Pfeil ab. Für den Ort der Pfeilspitzen zum Zeitpunkt t in Sekunden gilt:. 499 g : x t 9 und h : x 2 t2 4 3 5 35 5. Begründen Sie, welcher der Schützen vermutlich der Größere ist. Schütze 2 ist vermutlich der Größere, da der Wert z um LE größer ist. 5.2 Bestimmen Sie, welcher Schütze bei diesem Schuss der Bessere ist. Auftreffpunkte der beiden Schützen auf der Zielscheibe:
Schütze: A :.t 4 3t 9.9 t A. 9 Abstand zum Zielpunkt :.. d ZA 9 5 4.7 4, 24 cm Schütze 2: A : 499t 5 35t 9.9 t A 2 2 2 2 998 8 8 2 2 Abstand zum Zielpunkt : 998. 2 d ZA2 8 5 3.34 36,cm 8 2 Schütze 2 ist ca. 5 cm näher am Zielpunkt und damit der bessere Schütze. 5.3 Untersuchen Sie die gegenseitige Lagebeziehung der beiden Pfeilbahnen und berechnen Sie dann den geringsten Abstand der beiden Pfeilspitzen während des Fluges. Richtungsvektoren linear unabhängig => nicht parallel Prüfen auf Schnittpunkt: => keine Lösung; daher windschief Abstandsberechnung: d n a b. 499 6.95 n 9 2.65 und a b 2 2 3 35 4.82 4 5 6.95 2.65 4.82 2.65 2 4.82 d 2 6.95 6.94 9,2 2.65 4.82 27,72 cm
6.) Während des Wettbewerbs gelingt es einem Schützen, seinen Pfeil genau im Zentrum der Zielscheibe zu platzieren. Das Schaftende befindet sich im Punkt P(-96/9/8). 8 Zu diesem Zeitpunkt strahlt die Sonne in Richtung des Vektors v 6. 23 6. Unter welchem Winkel ragt der Pfeil aus der Zielscheibe heraus? Richtungsvektor Pfeil :. 96 4 5 u 5 9 4 u 5 8 8 Winkel: Gerade mit Ebene sin 5 5 5 5 5 5 5, 76 45, 28 6.2 Untersuchen Sie, ob der Schatten des Pfeils komplett auf der Zielscheibe liegt. Bestimmung der Schattengeraden: 96 8 g : x 9 s 6 8 23 Bestimmung Schnittpunkt Schattengerade mit Zielscheibenebene: P : 96 8s 8 23s 9.9 48 P : 9.6 8s 8 23s 9.9 s 2, 23 96 8 996,8 P: x 9 2, 6 77,94 8 23 6, 77 Der Punkt liegt auf der Zielscheibe, da er innerhalb der Begrenzungspunkte EHFG liegt.
Aufgabenbereich 2: Das Seminarhaus (vgl. Anlage 2) 38 Die Firma Horch plant den Neubau eines symmetrischen Seminarhauses für werksinterne Schulungen. Die Dachflächen E und E 2 sind in den folgenden Parameterformen angegeben:.) Dokumentieren Sie auf der Zeichnung, welche Punkte bzw. Richtungen zur Ermittlung der beiden Ebenengleichungen verwendet wurden und benennen Sie die verwendeten Punkte 2 6 3 E: x 4 k 4 r und E2: x s t 3 7 3 6 2 E : x OC k CB r CQ und E : x OM s MH t MS 2 mit S(-6/8/6) 2.) Ermitteln Sie nun die Normalen- und Koordinatenform der Ebene E. 2 n 4 36 bzw. n 3 3 48 4 Normalenform : E : 3 x 4 4 7 Koordinatenform : E : 3y 4z 4 oder 3y 4z 4 3.) Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen E und E 2? 3 6 2 n2 3 bzw. n2 2 9 3
2 3 4 3 2 cos, 66 48, 27 2 5 3 3 4 3 4.) Die Dachneigung darf 4 nicht übersteigen. Ist dies eingehalten? Anmerkung: Es genügt, die Dachneigung von E zu bestimmen. Man muss den Winkel zwischen der Ebene E und der xy-ebene bestimmen. 3 4 4 cos,8 36,87 5 3 4 Die Bauvorschriften zur Dachneigung sind eingehalten worden. 5.) Ermitteln Sie den Punkt, an dem das Schornsteinrohr die Dachfläche E durchstößt. 2 gschornstein : x 6 k g Eingesetzt in E : 36 4 k 4 k 5,5 Punkt : P 2 6 5,5
6.) Welchen Winkel schließt das Schornsteinrohr mit der Dachfläche E ein? 3 4 4 sin,8 53,3 5 3 4 7.) Ermitteln Sie für das Schornsteinrohr den kürzesten Abstand, den sein oberer Punkt von der Dachfläche E hat. d 2 2 3 4 6 3 2 n p q 4 7 6,5 4,5 d n 5 5,8 8.) Berechnen Sie die Schnittgerade zwischen E und E 2. Herleitung E 2 : 2 6 x 2x 3z 6 3 6 Koordinatenform : 4 4 4 E : 3y 4z 4 y z g : x k 4 3 3 3 3
oder Koordinatenform : 3 3 3 E2 : 2x 3z 6 x 3 z g : x k 2 2 9.) Ermitteln Sie den Punkt N. Schnittpunkt aus Gerade g MS und Ebene E : 6 E : 3y 4z 4 und gms : x t 3 6 g in E einsetzen: 7 33t 46 4 339t 24 4 t 9 6 6 6 7 6 Punkt N : x 3 5,33 9 3 6 6 6.) Die Dachfläche E 2 soll nun mit Solarmodulen bestückt werden. Wie groß ist diese Fläche? A Trapez Trapezfläche berechnen 7 3 3 3 3 5, 624 2 3 3
Aufgabenbereich 3: Fahrzeugtechnik 22 Horch ist einer der weltgrößten Automobilhersteller. Bei Firmenkunden ist besonders das Luxusmodell H-Hurtig gefragt. Dieses wird wahlweise mit Kraftstoff- oder Erdgasantrieb angeboten. Die meisten Kunden leasen ein Fahrzeug für jeweils ein Jahr und wechseln anschließend auf ein neueres Modell. Dabei kann die Antriebstechnik immer wieder neu zwischen den Varianten Benzin, Diesel und Erdgas gewählt werden. Die bisherigen Kunden eines Benzinmodells wählen zu 6 % beim nächsten Fahrzeug wieder ein Benzinmodell, 5 % wechseln zur Dieselvariante. Von den bisherigen Dieselfahrern bleiben 75 % bei dieser Technik, 5 % testen den Erdgasantrieb. Erdgasfans bleiben aus Umweltschutzgründen zu 8 % ihrer vorherigen Wahl treu, 5 % entscheiden sich für Benzin, der Rest wählt Diesel. Im Jahr 25 konnte man folgende Verteilung der einzelnen Antriebsarten feststellen: Benzin: 28 % Diesel: 6 % Erdgas: 2 %.) Erstellen Sie die Übergangsmatrix. U, 6, 2,5,5, 75, 5, 25, 5,8 2.) Welche Anteile sind 26 zu erwarten? p, 6, 2,5,5, 75, 5 p, 25, 5,8 26 25 p 26, 6, 2,5, 28,36,5, 75, 5, 6, 498, 25, 5,8,2,96 3.) Wie waren die Anteile im Jahr 24?, 28, 6, 2,5 p p, 248 LGS, 6,5, 75, 5 p2 p2, 7565,2, 25, 5,8 p p, 387 3 3
4.) Die Produktion der Fahrzeuge mit Erdgasantrieb ist nur rentabel, wenn langfristig ein Anteil von ca. 3 % erreicht werden kann. Untersuchen Sie, ob dies bei gleichbleibendem Wechselverhalten zu erwarten ist., 6, 2,5, 4, 2,5,5, 75, 5 x x,5, 25, 5 x, 25,5,8, 25,5, 2 Zudem gilt: x y z, 4, 2,5 9, 297,5, 25, 5 x x 7 64, 265 28, 438 Die Bundesregierung beabsichtigt neuerdings die Einführung von Fahrzeugen mit Elektroantrieb voranzubringen. Auch Horch möchte sich an dieser Entwicklung beteiligen. Durch eine entsprechende Werbekampagne verspricht man sich, dass in jedem Jahr 25% der bisherigen Nutzer konventioneller Antriebstechniken (Kraftstoff / Erdgas) auf die neue Technik wechseln, während der Rest bei der bisherigen Technik bleiben wird; umgekehrt besteht die Befürchtung, dass 25% der Nutzer von Elektroantrieb wieder zurückwechseln, allerdings die übrigen bei der Technik bleiben werden. 5.) Erklären Sie, warum der Marktverteilungsvektor bezüglich der beiden p Techniken zurzeit lautet. Da die Fahrzeuge mit Elektroantrieb neu auf den Markt kommen, kann noch kein Marktanteil vorliegen. 6.) Wie wird sich die Marktsituation in den kommenden zwei Jahren entwickeln? p p 2,75,25 3,25,75 4,75,25,75 5,25,75,25 8 3
7.) Wie wird sich das Verbraucherverhalten langfristig einstellen? Bitte mit entsprechender rechentechnischer Herleitung.,75,25,25,25 x x x,25,75,25,25 Zusätzlich : x y, 25, 25 LGS,5 x,5