- 37 - Beispiel: Mit Tshenrehner strte mit Zhl und wiederhole k-ml die Wurzelopertion. Dnh strte mit diesem Endresultt und wiederhole k-ml ds Qudrieren. Endresultt sollte stets wieder sein. Für k genügend groß erhält mn er. MATLAB AUFGABE: Finde essere Art der Berehnung! Einführendes Folien-Beispiel zur Epsilontik: Addition dreier Mshinenzhlen Zerlege Gesmtrehnung in zwei Grundopertionen:. e M und. fe M
- 38 - e e f M M mit, Mshinengenuigkeit Vernhlässigung der Terme höherer Ordnung in, 3,...: f &
- 39 - Dmit ergit sih für den reltiven Fehler in erster Näherung: f f rel & und die Ashätzung f rel &
- 40 - Wnn wird der reltive Fehler groß? Wenn >>, oder 0 Andere Reihenfolge der Berehnung liefert Fktoren / oder / ; Es wird jeweils der Fehler, der ei der ersten Addition uftritt, verstärkt. Folien-Beispiel: Mshinenzhlen. *, -.0 * und.0 * 3 ei dreistelliger Mntisse.
- 4 - Addition: ~. *.0 *.00.0 * * 3 Dei tritt kein Fehler uf! M M.0 * 3 M.0 * 3 Andere Reihenfolge: ˆ...0 * * * mit reltivem Fehler.0 * M M.0 3.0 *.0 *.00 * *.0 * 0% Merke: Reihenfolge der Opertionen ist wihtig! M
- 4 - Bisher wren, und Mshinenzhlen Jetzt etrhten wir Eingngszhlen, die shon selst mit Rundungsfehler ehftet sind: mit <, usw.. e M. f e M. Reltiver Fehler in erster Näherung:
- 43 -. f & Erste Terme: Auswirkung der Eingefehler Vierter Term: Auswirkung des Fehlers ei der ersten Addition Fünfter Term: Fehler ei der zweiten Addition
- 44 - Auslöshung Kritisher Fll: Endergenis nhe ei Null! Folien-Beispiel: Differenz zwishen 3/5 und 4/7 ei fünf-stelliger Mntisse. Ekte Rehnung: - /35 0.0-5 Rundung von und liefert für.0000... und.0000... die Näherungen.00 und.000 Dmit ergit sih die Rehnung.00.000 0.000.0000 5
Dei sind unterstrihene Stellen noh ekt, während niht unterstrihene Stellen durh Rundung verfälsht sind. Die kursiven Nullen im Ergenis sind wertlos! Ds erehnete Ergenis lutet lso /3, Reltiver Fehler: /35 - /3 / /35-0.0938 entspriht. 9.4% Aweihung. Vgl. Mshinengenuigkeit für t 5 von 0.03. 3.% - 45 - Die unterstrihenen, guten Stellen gehen durh die Differenz verloren und es leien die unsiheren Stellen ürig. Bei t3 zeigt sih dieser Effekt noh stärker:.0.0 0
- 46 - Fehler: 00%, ei Mshinengenuigkeit 0.5/8 oder.5% Reltiver Fehler ei Differenz - nh.3: Eingefehler werden etrem verstärkt, wenn - nhe ei Null ist, lso flls sih und fst uslöshen!
- 47 - Aer: Sind und ekt ohne Fehler, dnn ist 0 und 0. Dher ergit sih dnn nur ein reltiver Fehler in der Größenordnung der Mshinengenuigkeit! Also Differenz mit ekten Zhlen ist OK! Nur ei Differenz von fehlerehfteten Zhlen droht Gefhr.
- 48 - Berehnung der Eponentil-Funktion n einer Stelle X mittels Progrmm: ep k / k! Y:.0 ; T.0; K; WHILE Y Y T*X / K T T * X / K ; Y Y T ; K K ; END X 0 0 0 Y.788 4.85653*0.6408609*0.0966 8 4 EXP X.788 4.85650*0 4.5399930*0.06537*0 8 5 9
Für X -5 ergit sih: 5.5-56.5... - 3540.3 334864.6 334864.6 33935.5 -... 0.000000666083... 3.050..*0 7-49 - Auslöshung durh wiederholte Differenz im Shritt T T Y! Der Term T wähst zunähst, um m Ende einen sehr kleinen Wert nzunehmen! Große Zwishenwerte kleine Endwerte Auslöshung Prolemtish! Beispiel PPT: Ptriot-Sud-Softwre-Bug
- 50 - Kondition und Stilität.4 Definition: Ein Berehnungsverfhren ist eine Folge von mthemtishen Berehnungen zur Lösung eines Prolems mit Eingngsdten n R und dem Ergenis f R Zur Berehnung von wird es vershiedene Algorithmen geen, die sih z.b. in der Reihenfolge der Opertionen untersheiden vgl. Addition. Zum Vergleih vershiedener Algorithmen etrhtet mn die entstehenden Rundungsfehler.
- 5 - Dzu knn mn u.. Tlor-Entwiklung oder Epsilontik verwenden. Wir etrhten Eingedten i, versehen mit soluten Rundungsfehlern δ i, i,...,n. Zur Vereinfhung: n, lso nur ein Wir etrhten f ls lk o; wir sind nur n der Ein- und Ausge interessiert! Rundungsfehler innerhl der Ausführung von f sollen zunähst niht uftreten! Für den soluten Fehler im Resultt gilt dnn unter Vernhlässigung der während der Berehnung sonst uftretenden Rundungsfehler:
- 5 -. f f f δ δ δ δ Ο In erster Näherung gilt dher f δ δ & und dher für den reltiven Fehler rel rel f f f f f f δ δ &
.5. Definition: Unter der Konditionszhl des Prolems f ezüglih Eingewert versteht mn den Betrg des Verstärkungsfktors f ond : f Die Konditionszhl misst die Sensiilität des Resultts in Ahängigkeit von den Fehlern in der Einge. - 53 - ond groß, z.b. wenn: - große Einge gegenüer kleinem Endwert - nhezu senkrehte Tngente f groß
- 54 - Ein Prolem heißt gut konditioniert wenn kleine reltive Fehler in ei ekter Arithmetik lso ohne Rundungsfehler während der weiteren Rehnung zu kleinen reltiven Fehlern im Resultt führen: ungef. in der Größenordnung von Andernflls liegt shlehte Kondition zgl. vor. Die Konditionszhl misst den sog. unvermeidren Fehler, der durh ds Prolem selst n einer Stelle gegeen ist. Beispiel: ondep ondln / ln
- 55 - Bild einer Funktion, Punkte shlehter Kondition: Beispiel: Konditionszhlen zu ond, ond, ond, Ds sind gerde die Verstärkungsfktoren der rel. Fehler der Eingedten in der Formel für den reltiven Fehler:
- 56 - f &. Konditionszhl zgl. der zweiten Addition f, Betrhten wir die Gesmtrehnung, so lssen sih Konditionszhlen zu jedem einzelnen Rehenshritt ngeen. Dmit ist es möglih, für den gesmten Algorithmus ds Fehlerverhlten zu estimmen. Dies ist meist zu ufwändig oder gr niht möglih! Ergäe Verfeinerung der Epsilontik. z.b. ist der vierte lue Term gleih der Konditionszhl der Teilfunktion, die die Addition von mit eshreit.
- 57 -.6. Definition: Sei ds Prolem f gut konditioniert. Eistiert dnn zusätzlih uh ein gutrtiges Berehnungsverfhren, ei dem die reltiven Fehler niht zusätzlih strk vergrößert werden, so spriht mn von einem numerish stilem Algorithmus. Ein Berehnungsverfhren, ds trotz kleiner Konditionszhl zu vergrößerten reltiven Fehlern im Resultt führen knn, heißt numerish instil. Erste Frge: Konditionszhl OK? Wenn j, formuliere numerish stiles Berehnungsverfhren:
- 58 - Prüfe ds Berehnungsverfhren mit Epsilontik: Ersetze dzu jede Eingngsvrile durh und jede uszuführende Opertion op M op * op mit < und op <. Vernhlässige dei Terme höherer Ordnung in lso, 3, 4,... Dmit erhält mn ds gestörte Endergenis. Berehne und diskutiere dnn den reltiven Fehler in erster Ordnung durh Ashätzen der Beträge der Einzelterme f rel Term eps Term eps... Ist ds Prolem shleht konditioniert, dnn ist nur Shdensegrenzung möglih:
Verwende ev. höhere Genuigkeit: Eingefehler 0^- mit Konditionszhl 0^8 ergit Ausgefehler 0^-4 Ist dieser Ausgefehler noh tolerierr? Wenn nein, dnn knn zu einer Veresserung nur der Eingefehler verkleinert werden. - 59 - Beispiel: Berehnung von f, 0 Kondition ist OK, d ond für 0 L Hospitl
- 60 - Allerdings ist die Auswertung in dieser Form numerish instil d Auslöshung im letzten Shritt! Bessere Formulierung:
- 6 - Entsprehend lässt sih die Berehnung der Eponentilfunktion für große negtive retten, indem wir ep-000 ersetzen durh /ep000. Beispiel: f - os in der Nähe von 0 f ist wieder gut konditioniert ei 0, d f sin L ond, 0 f os / L Aer ei 0 ist os nhe ei wieder Auslöshung! In MATLAB: - os0^-8 ergit 0; oder in os0^-30.99999950000004 verliert mn ei der Differenz 6 signifiknte Stellen
- 6 - Anderer Berehnungsweg: - os sin / oder Reihenentwiklung des Cosinus os 4 4! 6 6! 4 6 L L 4! 6! Beispiel: ei Anwendung der Epsilontik; seien, Mshinenzhlen: Berehne erst Produkte, dnn Differenz
- 63-3 f Reltiver Fehler: 3 f & Nun seien uh und fehlerhft:, 3 & Fehler: Eingefehler Produktfehler Differenzfehler Konditionszhlen: d d ond, d d ond
- 64 - Prolem ist shleht konditioniert für Andere Art der Berehnung: * f * & Reltiver Fehler in erster Näherung: *
- 65 - Vergleih mit erstem Algorithmus: Ds neue Verfhren ist esser, d i.w. nur der unvermeidre Fehler durh Eingefehler uftritt! Grund: Auslöshung in - geringer ls in, d Fehler in und kleiner ls in und.
- 66 - Zusmmenfssung Endlihkeit des Computers führt zu endliher Menge von Mshinenzhlen. In jedem Shritt treten Rundungsfehler uf. Gefährlih sind Opertionen, ei denen mn signifiknte Stellen verliert, wie z.b.: - Auslöshung Differenz fst gleiher Zhlen - Summe zwishen großer Zhl und sehr kleiner Zhl, ei der die signifiknten Stellen in der kleinen Zhl steken vgl. wiederholtes Wurzelziehen - Allgemein Opertionsfolgen mit großen Zwishenwerten und kleinen Endwerten vgl. ep, Teilfunktion shleht konditioniert.
- 67 - Vorsiht! Gesundes Misstruen! Algorithmus ist OK, wenn die Größenordnung der reltiven Fehler im Resultt ungefähr gleih der Größenordnung der Eingefehler leit. Umformen eines numerish instilen Verfhrens durh - ndere Reihenfolge der Berehnung - Anfng der Tlorentwiklung - Trigonometrishe Formeln - lgerishe Umformung inomishe F. -... - Ev. doule preision rehnen, dmit trotz shlehter Kondition oder Rundungsfehler noh ruhres Resultt ürigleit.
- 68 - Sstemtishe Fehler und große Zhl der Opertionen können zu shlehten Ergenissen führen! Siehe Beispiel Börseninde Ev. Modellfehler gegen Rundungsfehler wägen: Feineres Modell Mehr Rehnung Mehr Rundungsfehler! Mn muss die optimle Blne finden! Beispiel Üungsufge Differenzenquotient. Gesmtfehler: Gro diskretisiert Modellfehler Optimum fein diskretisiert Rundungsfehler
- 69 - Beispiel: Veresserte Fehlernlse für den numerish instilen Fll grosser Zwishenwerte Zerlege Prolem f in zwei Shritte f f f f z woei z f großer Zwishenwert und f z kleiner Endwert. Dher ist Teilprolem f z für diese Werte shleht konditioniert, d z / f z groß ist! Dher ist Gesmtverfhren niht numerish stil für.
- 70 - Verfhren ist numerish stil, wenn für jede Zerlegung in Teilproleme f f f z, z f, f z stets gut konditioniert ist! Konditionszhl Gesmtprolem Numerish stil Berehnungsform
- 7 - Genuere Anlse der numerishen Stilität durh Bestimmung der Konditionszhlen und Aleitungen ller Teilshritte: Zerlege Algorithmus in Teilproleme f f f und erehne lle uftretenden Konditionszhlen ondf! Meist zu ufwändig oder unmöglih. Epsilontik genügt für uns. Ersetze, op op Streihe Terme höherer Ordnung in, 3, 4, Bestimme dmit den rel. Fehler des Resultts f /f in erster Näherung und shätze Beträge nh oen Diskutiere die einzelnen Terme.
- 7 - Ziel: Erkenne us Formel Progrmm, zw. erehneten Zwishenwerten, - o ds Prolem gut konditioniert ist, und - o ds verwendete Verfhren numerish stil ist, - zw. wie ds Verfhren ev. veressert werden knn.
- 73 - Lösung für sqrtsqrt sqrt : Verwende Reihenentwiklung für :... / n n n n und umgekehrt... / δ δ δ n n n n oder durh Umformung: Setze δ und estimme δ durh: δ