ELEMENTAR-MATHEMATIK

ELEMENTAR-MATHEMATIK

ELEMENTAR-MATHEMATIK Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik Begründet von PROF. DR. DR. FRIEDRICH ADOLF WILLERS t Dresden 14. überarbeitete Auflage von DIPL.-ING. KLAUS-GEORG KRAPF Darmstadt Mit 222 Abbildungen ē,': DR. DIETRICH STEINKOPFF VERLAG DARMSTADT 1977

Oberarbeitete Lizenzausgabe mit Genehmigung des Verlages Theodor Steinkopff, Dresden (DDR) Alle Rechte vorbehalten (insbesondere des Nachdrucks und der Übersetzung) Kein Teil dieses Buches darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Xerographie, Mikrofilm, unter Verwendung elektronischer Systeme oder andere Reproduktionsverfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert werden. Bei der Herstellung einzelner Vervielfältigungsstücke des Werkes oder von Teilen des Werkes ist nach 54, Aha. 2 URG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, über deren Höhe der Verlag Auskunft erteilt. 1977 by Dr. Dietrich Steinkopff Verlag GmbH &00. KG, Darmstadt CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Willers, Friedrich Adolf Elementar-Mathematik: e. Vorkurs zur höheren Mathematik I begr. von Friedrich Adolf Willers. 14. überarb. Auti. / von Klaus-Georg Krapf, Darmstadt : Steinkopff, 1977. ISBN 978-3-7985-0451-6 ISBN 978-3-642-86564-0 (ebook) DOI 10.1007/978-3-642-86564-0 NE: Krapf, Klaus-Georg (Bearb.) Einbandgestaltung : Karl Riha, Bad Vilbel

Aus dem Vorwort zur ersten Außage Das vorliegende Buch ist aus einer Vorlesung für Anfänger entstanden... Es gibt, mit ganz elementaren Dingen beginnend, in geschlossenem Aufbau das aus der Elementarmathematik, was man für das Verständnis der in die Höhere Mathematik einführenden Vorlesungen voraussetzen möchte. Die Herausgabe erfolgt auf Bitten unserer Studierenden, denen ich aber nun auch ein Buch an die Hand geben möchte, nach dem sie selbständig arbeiten können. Um dieses selbständige Einarbeiten zu ermöglichen, ist besonders in den ersten Kapiteln die Darstellung sehr breit gehalten. Gegen Ende des Buches wird sie knapper, um so den Leser allmählich von der schulmäßigen zur hochschulmäßigen Darbietung hinüberzuführen. Ferner sind deswegen eine große Zahl von Beispielen und Aufgaben eingefügt. Die Lösungen der Aufgaben sind mehr oder weniger ausführlich am Schluß gegeben. Jedem Leser empfehle ich, wenn auch nicht alle, so doch einen größeren Teil dieser Aufgaben durchzurechnen und sich dadurch mit dem Stoff wirklich vertraut zu machen. Dresden 1948 F. A. Willers Aus dem Vorwort zur dreizehnten Aunage Nach dem Tode des Verfassers, Prof. Dr. Dr. h. c. Friedrich Adolf Willers, haben die Unterzeichneten die Bearbeitung der nächsten Auflagen der "Elementar-Mathematik" übernommen. Der vollständige Neusatz der vorliegenden Auflage gab uns die Gelegenheit, das Buch an einigen Stellen - besonders in den beiden ersten Abschnitten - dem Stil anzupassen, in dem gegenwärtig der Stoff an den allgemeinbildenden Schulen dargeboten werden soll, ohne daß dadurch älteren Lesern der Zugang erschwert wird. Dabei bot sich uns auch die Möglichkeit, verschiedene Hinweise aus dem Kreis von Benutzern und Rezensenten zu berücksichtigen. Bei den Änderungen waren wir aber bestrebt, die Eigenart des Buches, die durch die sichere Hand des erfahrenen Mathematik-Pädagogen Willers geprägt wurde und die in den vorangehenden Vorworten von ihm deutlich umrissen wurde, weitgehend zu wahren. Dresden und FreitaI1967 G. Opitz/H. Wilson v

Vorwort zur vierzehnten Auflage Die Neuauflage der "Elementar-Mathematik" eröffnete dem Unterzeichner die Möglichkeit, das vorliegende Buch zu überarbeiten. Der Abschnitt "Mengenalgebra", der lediglich als erste Einführung dienen soll, steht nun am Anfang dieses Buches. Das durch die Mengenalgebra vermittelte Abstraktionsvermögen schafft eine der Voraussetzungen für das Verständnis der Mathematik, und dieser Abschnitt sollte daher und aus Gründen der Vollständigkeit in einem Lehrbuch nicht fehlen. Neben einer Reihe von inhaltlichen Ergänzungen wurde besonderer Wert auf die optische Neugestaltung des Textes gelegt. Durch die Heraushebung von wichtigen Definitionen und Sätzen sollen die Einarbeitung in den Stoff und das spätere Nachlesen einzelner Kapitel erleichtert werden. Die aus den vorangestellten Vorworten hervorgehende Zielsetzung der "Elementarmathematik" im Sinne des verstorbenen Erstverfassers Prof. Dr. Dr. h. c. Friedrich Adolf Willers wurde ebenso übernommen wie die Konzeption des Inhalts, aus der die Erfahrung des Mathematik-Pädagogen Willers spricht. Allen, die durch Anregungen und Kritik bei der Entstehung der Neuauflage mitgewirkt haben, gilt an dieser Stelle mein herzlicher Dank. Dem Verlag Dr. Dietrich Steinkopff, Darmstadt, danke ich für die stets angenehme Zusammenarbeit. Darmstadt, im März 1977 K.-G. Krapf VI

INHALT Aus dem Vorwort zur ersten Auflage... Aus dem Vorwort zur dreizehnten Auflage Vorwort zur vierzehnten Auflage. Griechisches Alphabet......... V V. VI. XIII ARITHMETIK UND ALGEBRA 1. Mengenalgebra 1.1 1.1.1 1.2 1.3 Der Mengenbegriff, Elemente einer Menge Darstellung von Mengen Teilmengen.... Mengenverknüpfungen.... 2. Die vier Grundrechenarten 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 Addition und Subtraktion. Negative Zahlen...... Multiplikation....... Division.... Division einer Summe durch einen eingliedrigen Ausdruck Division zweier Summen. Faktorenzerlegung................. 3. Bruchrechnung 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.4 Allgemeines................. Addition und Subtraktion von Brüchen..... Bildung eines Hauptnenners bei natürlichen Zahlen Hauptnenner bei Variablen.... Multiplikation und Division von Brüchen.... Aufgaben.... 4. Gleichungen 1. Grades mit einer Unbekannten 4.1 4.2 Allgemeines......... Beispiele.... 5. Systeme linearer Gleichungen 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Die Additionsmethode............ Die Einsetzungs- oder Substitutionsmethode... Allgemeine Lösung von zwei linearen Gleichungen. Allgemeiner Fall.............. Sonderfälle der Lösung........... Einige Determinantengesetze......... Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten. Dreireihige Determinanten.......... Sonderfälle der Lösung........... Rechengesetze für die dreireihige Determinante. 6. Die lineare Funktion 6.1 6.2 Der Begriff der Funktion.... Graphische Darstellung der Funktion y = m z 1 3 3 8 17 19 20 22 23 23 24 25 26 27 27 28 29 29 31 33 33 35 36 36 37 38 39 40 42 43 46 48 VII

6.3 Die Funktion 11 = m:l: + n 50 6.4: Graphische Lösung einer linearen Gleichung. 51 6.5 Graphische Lösung von linearen GleichmJg88Y8temen mit zwei Unbekannten. 53 7. Potenzrechnung und Potenzfunktion 7.1 7.2 7.3 7.3.1 7.3.2 Potenzen mit ganzen positiven Exponenten Erste Erweiterung des Potenzbegritres Die Potenzfunktion 11 = a:ii. n sei eine positive ganze Zahl. n sei eine negative ganze Zahl 8. Wurzelrechnung 8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.2 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4: 8.3.5 8.4 8.5 8.6 8.6.1 8.6.2 8.6.3 8.6.4: 8.7 8.7.1 8.7.2 Das Radizieren Allgemeines.. Die Quadratwurzel Die Kubikwurzel..... Rationale und irrationale Zahlen Rechengesetze.... Addition und Subtraktion Multiplikation.. Division.... Potenzieren.. Mehrfache Wurzeln.... Rationalmachen des Nenners............. Zweite Erweiterung des Potenzbegriffes. Gebrochene Exponenten Die Umkehrfunktion....... Spiegelung an der Geraden 11 =:1: Umkehrung der Funktion 11 = m:l: + n.. Die Umkehrfunktion zur Normalparabel 11 = :1)2. Die Umkehrfunktion zur kubischen Funktion 11 = :es Die Exponentialfunktion... Die graphische Darstellung.. Die Funktion 11 = ez 9. Die quadratische Gleichung 9.1 Sonderfälle und vierte Erweiterung des Zahlenbereiches.. 81 9.2 Der allgemeine Fall.A :1)2 + B:I) + C = o.............. 84 9.2.1 Die quadratische Ergänzung............... 84 9.2.2 Lösung der quadratischen Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung........................... 84: 9.3 Beziehungen zwischen Koeffizienten und Lösungen der quadratischen Gleichung.......................... 86 9.4 Aufgaben... 88 9.5 Näherung für die Lösungen einer quadratischen Gleichung bei sehr verschiedenen Beträgen beider Lösungen..... 90 9.6 9.7 Wurzelgleichungen............ Die quadratische Funktion.......... 92 93 9.8 Graphische Lösung der quadratischen Gleichung 95 10. Ungleichungen. 11. Der Logarithmus 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.5.1 11.5.2 VIII Der Begriff des Logarithmus.... Die logarithmische Funktion.......... Logarithmengesetze.... Zusammenhang zwischen den Logarithmensystemen. Der Zehner-Logarithmus........... Allgemeines.................. Einrichtung und Gebrauch der Logarithmentafel.. 54: 56 58 58 60 62 62 63 64: 65 67 67 67 68 69 70 72 73 74: 74: 75 76 77 79 79 80 96 97 99 100 102 103 103 104

11.6 11.7 11.7.1 11.7.2 11.7.3 11.7.4: Lineare Interpolation Beispiele... Multiplika.tion DiviBion... Potenzierung Wurzelziehen. 12. Folgen und Reihen 12.1 12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4: 12.2 12.3 12.4: 13. 13.1 13.2 13.3 13.4 Die arithmetische und die geometribche Reihe. Allgemeines................ Die endliche (abbrechende) arithmetibche Reihe. Die endliche (abbrechende) geometrische Reihe Die (UJlendliche) geometribche Reihe Das Summenzeichen. Die (unendliche) Folge. Die (unendliche) Reihe Der binomische Satz Die Binomialkoeffizienten................ BeweiB des binomischen Satzes durch vollbtändige Induktion. Die Ungleichung von Bemoulli............. Symmetriesa.tz der Binomialzahlen.......... 105 106 106 106 107 107 109 109 109 111 115 117 121 123 125 129 130 131 GONIOMETRIE UND TRIGONOMETRIE 14. Goniometrie 14:.1 14.1.1 14.1.2 14:.2 14:.3 14:.4: 14.4:.1 14.4:.2 14:.4:.3 14:.4.4 14.4:.5 14.5 14:.6 14:.7 14:.8 14:.9 14:.10 14:.11 Gradmaß und Bogenmaß........ Umwandlung von Grad in Bogenmaß... Umwandlung von Bogen- in Gradmaß..... Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Verallgemeinerung des WinkelfunktionsbegriffeB Verlauf der trigonometrischen Funktionen Die Sinusfunktion...... Die CoBinusfunktion.......... Die Tangensfunktion....... Die Cotangensfunktion..... Die Periodizität der Funktionen... Beziehungen zwischen den Funktionen debbelben WinkelB Benutzung der Funktionstafeln......... Werte der Funktionen von beliebigen Winkeln... Die Additionstheoreme......... Folgerungen aub den Additionstheoremen....... Summe und Differenz der sin- und cos-werte zweier Winkel. Die Umkehrfunktionen der trigonometribchen Funktionen 16. Goniometrische Bestimmungsgleichungen 15.1 Gleichungen mit einer Unbeka.nnten.... 15.2 Goniometrische Gleichungen mit zwei Unbekannten 16. Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks 16.1 Der SinUBBatz......... 16.1.1 Der Umkreisradius............ 16.1.2 Der Flächeninhalt des Dreiecks....... 16.2 Anwendung des SinUBSatzes auf die Dreiecksberechnung 16.3 Der CosinUBBatz....... 16.4: Anwendung des CoBinuSsatzes auf die Dreiecksberechnung 16.5 Weitere Dreiecksformeln.......... 16.6 Aufgaben... 133 134 134 135 136 138 138 138 139 14:0 14:1 14:2 14:3 144 14:6 14:8 14:9 150 152 155 156 157 157 158 160 161 163 164 IX

17. Komplexe Zahlen 17.1 17.2 17.2.1 17.2.2 17.3 17.3.1 17.3.2 17.4 17.4.1 17.4.2 17.4.3 17.4.4 17.5 17.5.1 17.5.2 17.6 17.6.1 17.6.2 17.6.3 17.7 17.8 ImagiDäre Zahlen. Komplexe Zahlen. Begriff der komplexen Zahl Das Rechnen mit komplexen Zahlen GauBsche Zahlenebene......... Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen im rechtwinkligen Koordinatensystem....... Darstellung der komplexen Zahlen in ebenen Polarkoordinaten Die vier Grundrechenarten in der Gaußschen Zahlenebene Addition...... Subtraktion......... M ~ ~ i ; p l i. k. a t. i o n.... DIVIsion.......... Das Rechnen mit den Beträgen komplexer Zahlen. Addition.......... Multiplikation und Division....... Der Satz von Moivre............ Die Verallgemeinerung der Multiplikationsformel Die Potenzen von cos tp + i sin tp Anwendung des Satzes von Moivre...... Das Radizieren einer komplexen Zahl..... Das Radizieren als Lösung der binomischen Gleichung ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE 18. Die Strecke 18.1 18.2 18.3 18.3.1 18.3.2 Länge und Richtung einer Strecke Innere und äußere Teilung einer Strecke. Dreiecks- und Vielecksinhalt Der Dreiecksinhalt Der Vielecksinhalt 19. Die Gerade 19.1 19.1.1 19.1.2 19.1.3 19.2 19.3 19.3.1 19.3.2 19.4 19.5 19.5.1 19.5.2 19.5.3 19.6 19.6.1 19.6.2 Verschiedene Formen der Geradengleichung Die Normalform............ Die Abschnittsgleichung........ Allgemeine Geradengleichung....... Punktrichtungs- und Zweipunktegleichung. Die Hessesche Normalform.................. Umwandlung der allgemeinen Form in die Hessesche Normalform. Abstand eines Punktes von einer Geraden... Die Gleichungen der Winkelhalbierenden.... Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden. Schnittpunkt zweier Geraden. Schnittpunkt dreier Geraden. Winkel zwischen zwei Geraden Koordinatentransformation Die Parallelverschiebung. Drehung um den Winkel tp 20. Der Kreis 20.1 20.1.1 Die Kreisgleichung...... Die Schnittpunkte zweier Kreise 20.2 Die Gleichung der Kreistangente 21. Die Kegelschnitte 21.1 Erste Definition der Kegelschnitte 21.1.1 Ellipse.... x 166 167 167 167 169 169 170 171 171 172 172 173 174 174 174 174 174 175 176 177 179 183 185 187 187 189 190 190 191 191 192 193 193 194 195 197 197 198 199 201 201 202 203 205 206 208 209

21.1.2 Parabel..... 211 21.1.3 Hyperbel....... 212 21.2 Zweite Definition der Kegelschnitte.. 214 21.3 Die Scheitelgleichung der Kegelschnitte 216 21.4 Die Parabel.... 218 21.5 Die Ellipse.... 219 21.5.1 Die Scheitelgleichung.. 219 21.5.2 Die Mittelpunktsgleichung 220 21.6 Die Hyperbel... 222 21.6.1 Die Scheitelgleichung.. 222 21.6.2 Die Mittelpunktsgleichung................... 223 21.7 Zusammenstellung der wichtigsten Beziehungen für die drei Kegelschnitte 224 21.8 Die Asymptoten der Hyperbel............. 225 21.8.1 Gleichung der Asymptoten............... 225 21.8.2 Asymptotensätze....................... 227 21.9 Geometrische Eigenschaften der Mittelpunktskegelschnitte..... 229 21.10 Geometrische Eigenschaften der Parabel.............. 232 21.11 Transformation der Kegelschnittsgleichungen durch Parallelverschiebung und Drehung des Koordinatensystems. 235 21.11.1 Parallelverschiebung... 235 21.11.2 Drehung des Koordinatensystems. 236 21.12 Das Hauptachsenproblem 238 21.12.1 Zusammenfassung.... 244 21.12.2 Beispiele.......... 245 21.13 Polarkoordinaten.................... 246 21.13.1 Zusammenhang zwischen rechtwinkligen und Polarkoordinaten 246 21.14 Die Polargleichung der Geraden 247 21.15 Die Polargleichung der Kegelschnitte........... 248 22. Aufstellen von Kurvengleichungen 22.1 22.1.1 22.1.2 22.1.3 22.1.4 22.2 22.2.1 22.2.2 Die Parameterdarstellung Die Parabel... Die Ellipse.... Die Gerade Rollkurven... Geometrische örter.. Darstellung ohne Hilfsgrößen. Einführung von Hilfsgrößen VEKTORALGEBRA 249 250 250 252 252 254 255 257 23. Das räumliche kartesische Koordinatensystem 23.1 Rechts und Linkssystem 23.2 Der räumliche Pythagoras 23.3 Die Richtungscosinus. 23.4 Abstand zweier Punkte 23.5 Aufgaben... 24. Der Vektor 24.1 24.2 24.2.1 24.2.2 24.2.3 24.3 24.3.1 24.3.2 24.4 24.5 Der Begriff des Vektors Rechenregeln.... Addition von Vektoren Subtraktion von Vektoren. Multiplikation mit einem Skalar Spezielle Vektoren.. Einheitsvektoren.... Ortsvektoten......... Vektoren in der Physik............ Die Darstellung von Vektoren in Komponentenschreibweise 261 262 262 264 264 265 266 266 267 268 269 269 269 270 270 XI

U.6 Beispiele.. 273 24.7 Aufgaben.. 277 20. Das skalare Produkt 25.1 Definition 278 25.2 Rechenregeln.... 280 25.3 Das skalare Produkt in Komponentendarstellung 281 25.4 Folgerungen... 281 25.5 Anwendungsbeispiele 282 25.6 Aufgaben 285 26. Das Vektorprodukt 26.1 Definition 287 26.2 Rechenregeln. 288 26.3 Komponentendarstellung. 289 26.4 Beispiele. 289 26.4.1 Das Moment einer Kraft. 289 26.4.2 Lineargeschwindigkeit bei Rotation 290 26.5 Aufgaben, 291 27. Mehrfache Vektorprodukte 27.1 Das Spatprodukt 291 27.2 Beispiele... 294 27.2.1 Inhalt eines Tetraeders 294 27.2.2 Gleichung einer Ebene durch drei Punkte 294 27.2.3 Reziprokes System........ 294 27.3 Das dreifache Vektorprodukt... 295 27.4 Produkte mit mehr als drei Faktoren 297 27.5 Aufgaben 299 Lösungen. 300 Sachverzeichnis 359 XII

Große Buchstaben Griechisches Alphabet Kleine Buchstaben Bezeichnung A Cl Alpha B ß Beta r y Gamma L1 (l Delta E e Epsilon Z C Zeta H 1) Eta e {} Theta I Iota K x Kappa A ). Lambda M fl Mü N 11 Nü.::;:, ~ Xi 0 0 Omikron n n Pi p e Rho E a, ~ Sigma T 1" Tau y v Ypsilon rp p Phi X X Chi 'P 'P Psi Q w Omega XIII