/0 Areitsltt Wurzel edeutet: Suhe die Zhl, die mit sih selst multipliziert gerde die Zhl ergit, die unter der Wurzel steht. Also: - suhe eine Zhl, die mit sih selst multipliziert, genu ergit. Die Lösung ist, denn ergit. = 8, denn 8 8 = = 2, denn 2 2 = d e Besonders einfh sind die Qudrtwurzeln. Denn dzu musst du nur die Qudrtzhlen uswendig können. Nun knn mn er us jeder elieigen positiven Zhl der Welt die Wurzel ziehen. Aus negtiven Zhlen ist ds niht möglih. --->???? Wir sollten im Unterriht erst einml klären, wrum ds so ist. Hst du shon eine Idee? Aufge ) ) 2 ) 8 d) e) 02 f) 2 Aufge 2 Berehne die Qudrtwurzel us folgenden Zhlen: ) 20; 2; 220; 20; 20 ) 0; 8; ; ; 2 Aufge Berehne die Qudrtwurzel us folgenden Zhlen: ( ; = Pltzhlter! ) ) 0, ; 0, ;,2 ; 2,0 ; 0, ), ;, ; 2, ;, ;,2 Aufge Berehne die Qudrtwurzel us folgenden Zhlen: 8 2 2 8 ) ; ; ; ; ; ; ) ; ; ; ; ; ; 28 00 800 2 Aufge Berehne die Qudrtwurzel us folgenden Zhlen: 00 0000 0000 0000 00 0000 ) ; ; ; ; ; ) ; ; ; ; ; 8 2 0 0 Aufge Berehne die Qudrtwurzel us folgenden Zhlen: ) 8 ; 222 ; 2 ) 22 ; 2 ; 22
/0 Nme : Areitsltt Informtionen Ntürlih knn niht nur us Qudrtzhlen die Wurzel ziehen, sondern uh us jeder elieigen positiven Zhl. Im Ergenis knn mn einen wihtigen Untershied eohten: Aufge: Nimm deinen Tshenrehner und löse folgende Wurzeln: ) 2 ) Wie untersheiden sih eide Ergenisse? Berehne die Wurzeln us folgenden Zhlen ohne Tshenrehner : ) 8 ) ) d) e) 2 f) 2 Berehne die Wurzeln us folgenden Zhlen mit dem Tshenrehner: ) 2 ) 20 ) 0 d) e) 0000 f) Berehne die Wurzeln us folgenden Zhlen mit dem Tshenrehner: ) 20 ) 8 ) 0 d) e) 82 f) 0 Berehne die Wurzeln us folgenden Zhlen mit dem Tshenrehner: ) 8 ) ) d) 8 e) 2 f) Mn knn uh die Wurzel us einer Wurzel usrehnen. Dzu erehnet mn zuerst die erste Wurzel us und zieht us dem Ergenis dieser Aufge noh einml die Wurzel. Rehne eenso: = = 2 ) ) 20 ) d) 20 e) f) g) 0 h) 2 i) 28 j) 02 Bestimme die Wurzel ohne Tshenrehner: ) () 2 ) ( ) 2 ) (2 2 ) d) 2 2 2 e) f) ( 2) 2 2 g) 8 2 h), 2 i) ( ) 2 2 f) 0, 2 2 ( )2 2
/0 Nme : Areitsltt Wurzelgesetze Merke: Die Zhl, die unter dem Wurzelzeihen steht, nennt mn Rdiknt. (W) Mn multipliziert zwei Wurzeln, indem mn die Rdiknten multipliziert und dnn die Wurzel zieht: $ = $ für lle Zhlen, m 0 Wende nun ei llen Aufgen ds erste Wurzelgesetz (W) n und rehne die Wurzel us:. ) ) 2 ) d) e) 28 f) 2. ) 2 2 ) ) 2 d) e) 00 f) 2 2. ) 2 ) ) 0 2, d) 28, 8 e) 2 f). ) 82 82 ) 2 ) 2 22 d) 8 e) 8 f) 02, 0. ) 8 $ 8 ) 2 $ 2 ) 0 $ d) 2 $ e) $ 20 f) $ 28 g) $ h), $ 0 i) 0, $ 2, j) $. ) 8 2 ) 2 8 ) 2, d) 8, 8 e) 2 2 f) 08 8. ) 2 ) 28 8 ) 8 8 d) 8, 2 e) 2, f) 8 8 8. Auh Kommzhlen können Lösungen sein: ) 2 ) 8 ) 2 2 d) 28 e) 2 f) 2. Auh Kommzhlen können Lösungen sein: ) ), ) 2 d) e) 2 f) 2 8
/0 Nme : Areitsltt Wurzelgesetze (W2) Mn dividiert zwei Wurzeln, indem mn die Rdiknten dividiert und dnn die Wurzel zieht: : = : für lle Zhlen, m 0 für lle Zhlen, 0 = m Wende nun ei llen Aufgen ds zweite Wurzelgesetz (W2) n und rehne die Wurzel us. Behte, dss sih uh Kommzhlen ls Lösungen ergeen können:. ) 00 : 0 ) 000 : 0 ) 0000 : 0 d) 0000 : 00 e) 0000 : 00 f) 00000 : 000 2. ) 00 : ) 00 : ) 0000 : 0 d) 0000 : 00 e) 000 : f) 000 : 0. ) 0 : ) 00 : ) 000 : 0 d) 0000 : e) 00 : 2, f) 000 : 2,. ) 00 : ) 0 : 0, ) 00 : 0, 0 d) : 0, 0 e) 000 : 0 f) 00000 : 0. ) : ) 200 : 2 ) 0 : d) 2 : e) 20 : f) : g) : h) : 0 i) 2, : 0, j) 2, : 0,. ) ) ) d) 200 2 e) f) g) h) 2 i) j) k) l) 8 0 0 0 22 2 2 8. ) 28 : ) : ) : 2 d) 0 : e) : f) 8 :. 2 ) ) ) d) 8. ) : ) : ) 2 : 2 d) : 2 e) 2 : f) 2 : e) f) g) h) 28 80 2 2 i) j) k) l) 2,2 0,,, 8 2, 2,
/0 Nme : Areitsltt Aufge ) $ ) $ ) $ 2 d) $ e) 0, $ 2 f) 2 $ 0, 8 g) $ 0, 0 h) 0, $, i) 2, $, j) $ 8 $ k) $ 0, 0 $ l) ( ) $ ( ) $ = $ = $ 8 = 8 Aufge 2 Zerlege zunähst den Rdiknten in kleine Qudrtzhlen ) ) ) 2 d) 2 e) 00 f) 08 g) 2 h) 08 i) 2 = 2 $ = 2 $ =... Aufge ) 20 : ) : ) 800 : 00 d) : e) 00 : f) 0 : 2, g) 0, 8 : 0,2 h), 2 : 0,0 i), 8 : 0,08 : = : = = Aufge 8, 8 0, 0,8 ) ) ) d), e) f) g) h) 2,,, 2, 0,00 0,008 i) j) k) l),2 2, 0,0 0,0 2 = 2 = = 2, 2 Aufge Git die einshränkende Bedingung n - Vereinfhe dnn. ) n $ n ) y $ y ) z $ z d) $ e) $ 2 f) yx 2 $ y g) 20 $ h) y 2 $ y 2 i) x $ y 2 x j) 0, 0 $ 0, 2 k) 2 x $ 0 x l) : m) y : y n) 2 : o) y : y p) Aufge x 2 n : nm2 ) 8y 2 ) y 2 x 2 ) d) 2 n 2 m e) z 2 y 2 x 2 8 f) x2 y g) u v w 2 h), 2 Aufge ) 2 y 2 0,00 x 2 y 00 x ) y ), y 2 x d) z 8, u x 2 v
8 /0 Nme : Areitsltt Teilweises Wurzelziehen Es git Zhlen, us denen mn ohne Tshenrehner keine Wurzelziehen knn. Aer mn knn den Rdiknten zerlegen, so dss eine Multipliktionsufge entsteht. Dei ist es wihtig, dss einer der eiden Fktoren eine Qudrtzhl ist. Aus dieser Qudrtzhl knn mn die Wurzel ziehen. Betrhtet folgendes Beispiel : 2 = $ = $ = 2 $. Zerlege den Rdiknten in ein Produkt. Behte dei, dss ein Fktor eine Qudrtzhl sein muss. 2. Wende nun ds. Wurzelgesetz (W) n.. Ziehe nun die Wurzel us der Qudrtzhl. Lsse die 2. Wurzel stehen. Löse nun die folgenden Aufgen ) 2 ) ) 0 d) 20 e) 2 f) 80 g) 2 h) 2 ) ) 80 ) 8 d) e) 20 f) g) 80 h) 8 ) 88 ) ) 280 d) 22 e) 2 f) 2 g) 2888 h) 8 ) ) ) 00 d) e) 2 2 f) 8 g) h) ) ) ) 2 d) e) 8 f) g) 8 h) ) 0 2 ) ) 00 d) 80 2 8 8 8 Nun musst du shon etws nhdenken... 2 8 08 288 ) ) ) 2 d) 200 e) 0 f) 0 g) 280 h) 2 8 Ds geht ntürlih uh mit Buhsten... ) 2 ) ) z d) x 2 y e) 2 2 f) y g) x h) d i) 2 j) x k) 2 l) z ) 8 2 ) 8 ) d d) y 2 x e) 2v 2 f) 2xzy g) stu h) i) 2 j) 8g k) yx 2 l)
/0 Nme : Areitsltt Bringe einen Fktor unter eine Wurzel Keine Pnik, die She ist gnz einfh! Betrhte einfh einml ds folgende Beispiel: 2 $ = $ = $ = 2. Qudriere den Fktor vor der Wurzel / Shreie ihn unter eine Wurzel 2. Wende ds 2. Wurzelgesetz rükwärts n.. Multipliziere die eiden Fktoren unter der Wurzel Löse nun die folgenden Aufgen nh dieser Vorshrift: ) 2 ) ) $ $ $ 0 $ 28 $ $ d) 0, e) 2 f) 2 ) ) 2 ) $ 28 $ $ $ 22 $ $ d) 2 e) 2 f) ) 0 $, ) $, ), $ 2, d),2 $, 2 e) 0, $ 0, f),2 $, ) $ 8 ) $ ) $ 8 d) $ 2 e) 2 $ f) $ 22 2 $ 2 $ ) ) ) 8 2 0 d) $ e) $ 2 f) ) ) ) $ 2 $ 8 $ $ 8 $ 8 $ 2 $ 2 $ 8 d) e) f) Ds geht ntürlih uh mit Buhsten: ) x $ ) y $ ) z $ 2 d) $ 2 e) $ f) $ 2 g) s 2 $ h) ut $ i) x 2 z 2 $ j) yxz 2 $ 2 k) v 2 $ 8 l) wq $ 8 ) $ ) 2 $ x ) $ yx d) $ s e) 2 $ hg f) $ g) 2 $ de h) $ i) $ z j) 8 $ xs k) $ uy l) $ pq Behte: x 2 = x x = x ) x $ v ) y $ xy ) z $ xyz d) $ e) $ f) 2 $ g) s 2 $ st h) ut $ uv i) x 2 z 2 $ z j) yxz 2 $ xy k) v 2 $ wv l) wq $ q
20/0 Nme : Areitsltt Umformen von Wurzeltermen Von der Alger her weißt du ereits, dss mn Terme durh usklmmern oder usmultiplizieren vereinfhen knn. Dies funktioniert uh ei Wurzeltermen: A B C 8 $ + 2 $ ( + 2 ) $ 2 ( + ) $ (8 + 2) $ $ 2 + 2 $ 2 $ + $ 0 $ $ 2 + 2 $ + $ 2 + = 2 + ) $ + $ ) 0 $ + $ ) $ + $ d) $ 2 $ 2 ) $ + $ ) 2 $ + $ ) 2 $ + 8 $ d) y $ x z $ x ) (8 + ) $ ) ( + ) $ ) ( 2 ) $ 2 d) (8 + ) $ ) ( + ) $ ) + $ ) (x 2 ) $ d) + $ ) ( 8 + ) $ ) ( ) $ ) ( + 2 ) $ d) ( + 2 ) $ ) + $ ) + $ ) $ d) + $ Vereinfhe die Wurzelterme durh Zusmmenfssen gleiher Glieder. ) $ + $ ) 8 $ + 2 $ ) x $ + yx $ d) y $ zy +z$ zy e) $ + 2 $ f) 2 $ $ g) z $ 2 + zy $ 2 h) y $ xzy xz $ xzy i) $ j) yx + yx $ yx k) x $ z yx $ z l), $ +, $ m) $ + 2 $ n) + x $ o) 2 $ + 2 $ p) $ $ 8 Vereinfhe ) $ x + $ x ) 2y + y ) x y + x + y d) 8 $ y + $ y + e) x + + x f) z + 2 8 8 + z g) 2 $ + 2 h) 2 z + 2 8z i) y x + x + y j) $ ds + $ ds ds k) 00y + y 2 + l) 0 +
2 /0 Nme : Areitsltt GENERALPROBE Aufge Berehne die Qudrtwurzel us folgenden Zhlen: ) 20; 2; 220; 20; 20 ) 0; 8; ; ; 2 Aufge 2 Berehne die Qudrtwurzel us folgenden Zhlen: ) ; ; 8 ; 2 ; ; 2 ; 28 00 2 ) ; ; ; ; 800 ; ; Aufge 8 ) 0 ) ) d) 0 e) Aufge Wende die Wurzelgesetze n Aufge Wende die Wurzelgesetze n 8 ) ) ), 2,, 2, d) d) e) Aufge ) n $ n ) y $ y ) z $ z d) $ Aufge e) $ 2 f) yx 2 $ y,,8, g) 20 $ h) y 2 $ y 2 Aufge 8 2 28 ) ) ) d) e) ) n : nm2 ) 2 x : y 2 x Teilweises Wurzelziehen ) 2 ) 80 ) 2 d) e) 80 f) 8 80 2 g) h) i) 00 j) k) l) 2 2 80 0 Bringe den Fktor unter die Wurzel ) 2 $ 2 ) $ 8 2 0 ) $ d) $ e) $ 2 e) 2 $ Ds geht ntürlih uh mit Buhsten... ) 2 ) ) h d) 2 e) y 2 f) p