Plnung Tg 6 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 9
Themen Logik und Mengenlehre Zhlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zhlenfolgen und Konvergenz Differenzilrechnung Integrlrechnung Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie:
Linere Gleichungssysteme Rätsel: Klus und Ann sitzen einnder gegenüber und besitzen je eine feste Menge n Würfeln. Wenn Klus n Ann einen seiner Würfel geben würde, so besäße Ann doppelt so viele Würfel wie Klus. Würde hingegen Ann einen ihrer Würfel n Klus bgeben, so besäßen beide gleichviele Würfel. Wie viele Würfel besitzen Klus und Ann jeweils? Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie:
Linere Gleichungssysteme I Lösungsschritte: ) Benennung der Vriblen: x : Anzhl der Würfel von Klus y : Anzhl der Würfel von Ann ) Aufstellen der Gleichungen: Wenn Klus n Ann einen seiner Würfel geben würde, so besäße Ann doppelt so viele Würfel wie Klus. I x y : Würde hingegen Ann einen ihrer Würfel n Klus bgeben, so besäßen beide gleichviele Würfel. II : y x Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie:
Linere Gleichungssysteme II Lösungsschritte: 3) Ds linere Gleichungssystem (LGS) sortieren I : x y II : x y I : x y 3 II : x y 4) Lösungsverfhren nwenden Substitutionsverfhren, Additionsverfhren, Gußverfhren, Mtrixinverse, Crmersche Regel, 5) Lösungsmenge und Antwort 5 y 7 x A: Klus besitzt 5 Würfel und Ann 7. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 3
Linere Gleichungssysteme III Lösungsverfhren: Ds Substitutionsverfhren I II ) Eine Gleichung nch einer Vriblen uflösen : II : x x ) Die bhängige Vrible durch die unbhängige in der nderen Gleichung ersetzen und die Gleichung lösen 3) Die bestimmte Vrible in eine Gleichung einsetzen und den Wert der fehlenden Vrible bestimmen. y y 3 : x y x in I : ( y ) y 3 4 y 7 y in II : x 7 7 x 5 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 4
Übung 4: Substitutionsverfhren Lösen Sie die folgende Aufgbe us dem lten Bbylon (c. v.chr.) mit Hilfe des Substitutionsverfhrens: Ein Viertel der Breite zur Länge ddiert ergibt 7 Hndbreiten. Länge und Breite ddiert mchen Hndbreiten. Achten Sie dbei uf die usführliche Dokumenttion Ihrer Rechnung. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 5
Linere Gleichungssysteme IV Lösungsverfhren: Ds Additionsverfhren I II : : x x ) Der Grundgednke dieses Anstzes ist, dss sich die Lösungsmenge des lineren Gleichungssystems nicht ändert, wenn mn: Zwei Gleichungen ddiert Eine Gleichung mit einer Zhl () multipliziert Zwei Gleichungen vertuscht. ) Durch sklre Multipliktion und Addition von Gleichungen wird eine der Vriblen eliminiert. y y 3 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 6
Linere Gleichungssysteme V Lösungsverfhren: Ds Additionsverfhren I I : x y 3 II : x y I II : x y ( x y) 3 ( ) x 5 3) Einsetzen der bestimmten Vrible xin II : 5 y 5 ( ) y 7 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 7
Übung 5: Additionsverfhren Lösen Sie die folgende Aufgbe von Geronimo Crdno (5-576) mit Hilfe des Additionsverfhrens: 7 Ellen grüner Seide und 3 Ellen schwrzer Seide kosten 7 Pfund. Ellen grüner Seide und 4 Ellen schwrzer Seide kosten 5 Pfund. Achten Sie dbei uf die usführliche Dokumenttion Ihrer Rechnung. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 8
Linere Gleichungssysteme VI Lösungsverfhren: Ds Gußverfhren I : x y 3 II : x y ) Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmtrix Koeffizientenmtrix 3 Die erweiterte Koeffizientenmtrix Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 9
Linere Gleichungssysteme VII Lösungsverfhren: Ds Gußverfhren I ) Gelöst wird wie beim Additionsverfhren, wobei Nicht-Zielzeilen unverändert bleiben. Multipliktion der ersten Zeile mit -½ Addition zur zweiten Zeile 3 3 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 3
Linere Gleichungssysteme VIII Lösungsverfhren: Ds Gußverfhren II 3) Die zweite Zeile durch - ½ dividieren: Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 3 3 7 3 : 7 3 Die Koeffizientenmtrix besitzt Dreiecksform Ds LGS ist jetzt lösbr.
Linere Gleichungssysteme IX Lösungsverfhren: Ds Gußverfhren II 4) Lösen durch rückwertiges Einsetzen: Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 3 7 3 5 : 7 3 7 : in 7 : 3 : x x x I y y II y x I 7 3
Übung 6: Gußverfhren Lösen Sie die folgenden Aufgben mit Hilfe des Gußverfhrens: ) b) c) x x x 3y 3y 6y 4 ; x 5y 4 ; 4x 6y 6 ; 3y x 6 Achten Sie uf die usführliche Dokumenttion Ihrer Rechnung. Wie lutet jeweils die Lösungsmenge? Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 33
Linere Gleichungssysteme X Lösungsmengen beim Gußverfhren ) Genu eine Lösung: 3 7 x 5 y 7 ) Unendlich viele Lösungen: 3 ( x; y) y x 3 ) Keine Lösung: 3 7 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 34
Linere Gleichungssysteme XI Lösungsverfhren: Ds Gußverfhren bei mehr ls drei Vriblen 3 x x x 3 y y y 3 3 33 z z z Der Reihe nch werden die folgenden Koeffizienten eliminiert: 3.. b b b 3 3 3. Anschließend wird ds LGS durch rückwertiges Einsetzen gelöst. 3 3 33 3 b b b 3 3 3 3 33 b b b 3 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 35
Übung 7: Gußverfhren I Lösen Sie die folgende Aufgbe mit Hilfe des Gußverfhrens: Ds Problem der Vögel Chng Ch iu-chien Sun Ching : Arithmetisches Hndbuch des Chng Ch iu-chen (c. 475 n.chr.) Ein Hhn kostet 5 Speks, eine Henne kostet 3 Speks und 3 Küken Spek. Wenn wir nun für Speks dieser Tiere einkufen, wie viele sind es dnn von jeder Sorte? Achten Sie wie üblich uf die usführliche Dokumenttion Ihrer Rechnung. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 36
Ein wenig Finnzmthemtik Die drei Säulen der Finnzmthemtik Geld / Kpitl Zeit / Lufzeit Zinsen / Zinsstz Geld / Kpitl: Zeit / Lufzeit: Zinsen / Zinsstz: Form von Zhlungen Zeitpunkt der Zhlungen; Zeitrum zwischen Zhlungen Überlssungsvereinbrung für Geld / Kpitl Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 37
Ein wenig Finnzmthemtik Prozent: % :, p Bezeichnungen: p % : : i Grundgleichung der Prozentrechnung p = Prozentfuß i = Prozentstz Z K i K : Z : Grundwert, Grundgröße, Bsiswert, Bsisgröße, Bezugswert Prozentwert (bsoluter Anteil bzgl. des Grundwertes) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 38
Ein wenig Finnzmthemtik Begriffe: Kpitl (K), gemessen in GE (Geldeinheiten) wird über einen Zeitrum t (Lufzeit) usgeliehen. Zinsen (Z) sind die Vergütung des überlssenen Kpitls in einer festgelegten Zeit (Zinsperiode). Zinszuschlgtermin ist der Zeitpunkt, wenn die Zinsen fällig werden. Zinsperiode ist der Zeitrum zwischen zwei ufeinnder folgenden Zinszuschlgsterminen (üblich ist ein Klenderjhr). Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 39
Ein wenig Finnzmthemtik Begriffe: Zinsrten: Guthbenzinsen: Hbenzinsen Drlehenszinsen: Sollzinsen Zinszhlungsrten: Nchschüssig: Vorschüssig: Fälligkeit m Ende der Zinsperiode (Regelfll) (dekursive) Verzinsung Zinsen werden vereinbrt; Fälligkeit zu Beginn der Zinsperiode (ntiziptive) Verzinsung Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 4
Ein wenig Finnzmthemtik Verzinsungsmodelle:. Linerer (einfcher) Zins: die Zinsen werden zeitnteilig berechnet und erst m Ende der Lufzeit dem Kpitl zugeschlgen bzw. mit dem Kpitl verrechnet. Innerhlb der Lufzeit gibt es keine Zinszuschlgstermine.. Exponentielle Zinsen oder Zinseszinsen: Die Zinsen werden nch jeder Zinsperiode dem Kpitl zugeschlgen und trgen von d n selbst wieder Zinsen. Innerhlb der Lufzeit liegen ein oder mehrere Zinszuschlgstermine. 3. Gemischte Verzinsung: Kombintion us einfchen Zinsen und Zinseszinsen Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 4
Ein wenig Finnzmthemtik Zinseszinsrechnung K n p i q n K n Brwert: Anfngskpitl Anzhl der vollständigen Zinsperioden (i.allg. Jhre) Zinsfuß Zinsrte (in %), Zinsstz, Verzinsung, Rendite Aufzinsfktor [für n Zinsperioden] Endwert: Kpitl m Ende der n-ten Zinsperiode Leibnizsche Zinseszinsformel: K n K K p ( i) n n K q n (q + i : Aufzinsfktor ) Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 4
Ein wenig Finnzmthemtik Grundufgben der Zinseszinsrechnung K Z n n K K n p K K n q n K ( i) n K q n Von p, i (oder q) und n, K, K n (oder Z n ) müssen jeweils 3 Werte gegeben sein.. Endkpitl berechnen. Anfngskpitl berechnen 3. Zinsstz, Zinsfuß, Zinsrte oder Zinsfktor berechnen 4. Lufzeit berechnen Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 43
Ein wenig Finnzmthemtik Grundufgben zur Zinseszinsrechnung ) Wie hoch ist ds Endkpitl bei einem Anfngskpitl von 5. bei einer jährlichen Verzinsung von 5% in 7 Jhren? b) Wie hoch muss ds Anfngskpitl sein, dmit mn bei 5% Verzinsung nch 8 Jhren ein Endkpitl von 5. erreicht? c) Wie hoch muss der Zinsstz sein, dmit eine Einlge von 5. in 7 Jhren 3. Endkpitl erbringt? d) Wie viele Jhre müssen 5. bei 5% verzinst werden, dmit sich der Betrg verdoppelt ht? Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 44
Ein wenig Finnzmthemtik Einfche Tilgungsrechnung (Rtenkredit) Ein Kreditbetrg S (die Anfngsschuld) wird über einen festen Zeitrum (n Zinsperioden) zu einem festen Zinsstz i verliehen und soll vom Kreditnehmer so zurückgezhlt werden, dss pro Zinsperiode ein fester Anteil des Kreditbetrges, die Tilgungsrte, zurückgezhlt wird. Die Tilgungsrte pro Zinsperiode: T = S n Die nfllenden Zinsen Z k in der k-ten Zinsperiode k ; ; n sind zusätzlich zur Tilgungsrte zu zhlen. Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 45
Ein wenig Finnzmthemtik Einfche Tilgungsrechnung (Rtenkredit) Begriffe: S p, i, q t n Z k T k A k S k Kreditbetrg, Anfngsschuld vereinbrter [Jhres-]Zinsstz Prozentstz der. Tilgungsrte für Prozentnnuitätentilgung vereinbrte Rückzhlungsduer in Jhren k ; ; n Zinsen in der der k-ten Periode Tilgung in der der k-ten Periode Annuität in der der k-ten Periode Restschuld m Ende der k-ten Periode Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 46
Ein wenig Finnzmthemtik Einfche Tilgungsrechnung (Rtenkredit) Tilgungspln: k S k S S Z k i T k A k S k... n Summe S Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 47
Ein wenig Finnzmthemtik Ein Rtenkredit über. für 5% Zinsen (fest), soll über 5 Jhre Lufzeit bei gleichbleibender Tilgung zurückbezhlt werden: Jhr k S(k-) Z(k) T(k) A(k) S(k). 5 3 4 5 Summe Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 48