Hans Walser, [2000509a] Fermat mt negatven Exponenten Anregung: T. G., B. Vgl. [Morgan 200] Ausgangsrage Gesucht snd Lösungen a,b,c! der Glechung: a z + b z = c z, z! 2 Bespele und Gegenbespele a) Für z 3 gbt es kene Lösung (Fermat s Last Theorem, Bewes durch Wles 995) b) Für z = 2 gbt es de pythagoreschen Zahlentrpel. Enachstes Bespel st 3 2 + 4 2 = 5 2. c) Für z = st der Fall trval. Enachstes Bespel st + = 2. d) Für z = 0 gbt es wegen a 0 + b 0 = 2 = c 0 kene Lösung. e) Für z = zwe Bespele: 2 + 2 = und 6 + 3 = 2 ) Für z = 2 zwe Bespele: 20 2 + 5 2 = 2 2 und 56 2 + 65 2 = 60 2 g) Nemand st engeladen, ür z 3 Bespele zu suchen. 3 Hntergrund 3. Umrechungsormeln Aus ener Lösung mt dem Exponenten z lässt sch ene Lösung mt dem Exponenten z konstrueren: Falls a z + b z = c z, so erhalten wr durch de Zuordnung : ( a,b,c)! ( a,b,c ) = kgv( ggt( a, b), ggt( a, c), ggt( b, c) ) ( bc,ac,ab) ene ganzzahlge Lösung der Glechung ( a ) z + ( b ) z = ( c ) z. ( ). Damt erhal- Bewes: Zu zegen st: ) Es st ene Lösung. 2) Se st ganzzahlg. Ad ), Lösung: Wr verwenden de Bezechnung λ = kgv ggt( a,b),ggt( a,c),ggt b,c ten wr:
Hans Walser: Fermat mt negatven Exponenten 2/6 a z + b z = c z λ z b z c z + λz a z c z = λz a z b z ( a ) z + b z = c z Ad 2), Ganzzahlgket: Wr verwenden de Prmaktorzerlegungen: Damt st: λ z a z b z c z α a = p β, b = p γ, c = p, α,β,γ 0,,2, 3, λ = kgv ggt( a,b),ggt( a,c),ggt b,c { } max ( ) ( mn( α = p,β ), mn( α,γ ), mn( β,γ )) De Exponenten n der Prmaktorzerlegung können wr anders schreben. Es st nämlch: max mn( α,β ), mn( α,γ ), mn( β,γ ) Somt st: Weter st zum Bespel: = medan α,β,γ λ = c = ab λ = medan( α p,β,γ ) p α +β medan( α,β,γ ) mn( α,β ) 0 st c ganzzahlg. Analog ür a Wegen α + β medan α,β,γ und b. Bemerkung: Au Grund deser Umrechungsormeln st aus Fermat s Last Theorem klar, dass es ür z 3 kene Lösung geben kann. 3.2 Involuton De Zuordnung st nvolutorsch: ( a,b,c)! ( a,b,c )! a,b,c Zunächst berechnen wr λ = kgv ggt( a,b ),ggt( a,c ),ggt b,c und dazu: ( )
Hans Walser: Fermat mt negatven Exponenten 3/6 Analog: = ggt bc ggt a,b λ, ac λ ( ), α +γ medan α,β,γ mn( β = p +γ medan α,β,γ ( )) mn( α = p, β )+γ medan( α,β,γ ) = p mn α, γ ggt a,c ggt b,c mn β = p, γ +β medan α,β,γ +α medan α,β,γ Daraus ergbt sch: (( +γ medan( α,β,γ )),( mn( α, γ )+β medan( α,β,γ )),( mn( β, γ )+α medan( α,β,γ ))) λ = p max mn α, β also: max( ( mn( α λ = p, β )+γ ),( mn( α, γ )+β ),( mn( β, γ )+α )) medan( α,β,γ ) Weder können wr de Exponenten umormen. Es st: max ( mn( α, β ) + γ ),( mn( α, γ ) + β ), mn β, γ ( ( + α )) = mn( α,β,γ ) + max( α,β,γ ) Somt st: λ = Wr verwenden nun de Schrebwese: Damt wrd zum Bespel: mn( α p,β,γ )+max( α,β,γ ) medan( α,β,γ ) ( a,b,c)! ( a,b,c )! â, ˆb,ĉ â = bc ac ab λ = λ λ = a abc λ λ 2 λ α = a p +β +γ 2 medan( α,β,γ ) mn( α,β,γ )+max( α,β,γ ) medan( α,β,γ ) α = a p +β +γ medan( α,β,γ ) mn( α,β,γ ) max( α,β,γ ) Für de Exponenten glt: α + β + γ medan α,β,γ mn( α,β,γ ) max( α,β,γ ) max( α,β,γ ) = 0 = α + β + γ mn α,β,γ!######## "######## $ medan α,β,γ =medan α,β,γ
Hans Walser: Fermat mt negatven Exponenten 4/6 Somt st â = a und analog ˆb = b und ĉ = c. Damt st de Involutonsegenschat bewesen. 3.3 Bespele 3.3. z = ± a) Aus + = 2 erhalten wr (,,2 )! ( 2,2,), also 2 + 2 =. b) Aus + 2 = 3 erhalten wr (,2, 3)! ( 6,3,2 ), also 6 + 3 = 2. 3.3.2 z = ±2 a) Aus 3 2 + 4 2 = 5 2 erhalten wr 3,4,5 b) Aus 8 2 + 6 2 = 0 2 erhalten wr 8,6,0 + = 30 2 40 2 24! ( 20,5,2), also! 6 0 2. Umgekehrt st 30,40,24 wr kommen also weder zurück.! 40 24 + =. 20 2 5 2 2 2 ( 2, 8 0 2, 6 8 2 ) = 30,40,24 = 8,6,0 20, 30 24 20, 40 30 20, also, c) Aus 5 2 + 2 2 = 3 2 erhalten wr ( 5,2,3)! ( 56,65,60), also + =. 56 2 65 2 60 2 4 Wetere Spelereen 4. Exponent Aus k + = k + erhalten wr ( k,, ( k + ) )! k + k+ + k k+ = k Wr wenden nun desen Sachverhalt teratv an: = 2 + 2 = 2 + 3 + 6 = 2 + 3 + 7 + 42 = 2 + 3 + 7 + 43 + 806 = 2 + 3 + 7 + 43 + 807 + 3263442 (,k( k + ), k), also: oder k = k+ + k k+ = 2 + 3 + 7 + 43 + 807 + 3263443 + Her macht men Rechner ncht mehr mt Für de Nenner haben wr de Folge: n 2 3 4 5 6 Es glt de Rekurson: d n 2 3 7 43 807 3263443
Hans Walser: Fermat mt negatven Exponenten 5/6 2 d n+ = d n ( d n ) + = d n dn + Der Computer leert: d[] = 2 d[2] = 3 d[3] = 7 d[4] = 43 d[5] = 807 d[6] = 3263443 d[7] = 0650056950807 d[8] = 3423730554284436000443 d[9] = 286493868327867740537459983609654665325948595807 De Nenner snd ncht alles Prmzahlen. De erste Nchtprmzahl st: d 5 = 807 = 3 39 4.2 Exponent 2 4.2. Pythagoresche Dreecke Wr rechnen de pythagoreschen Zahlentrpel um. Dabe lassen wr auch nchtprmtve Zahlentrpel zu. Wr verwenden de üblche Parametrserung mt u > v > 0 und: a = u 2 v 2, b = 2uv, c = u 2 + v 2 u v a b c λ a b c 2 3 4 5 20 5 2 3 8 6 0 2 30 40 24 3 2 5 2 3 56 65 60 4 5 8 7 36 255 20 4 2 2 6 20 4 80 60 48 4 3 7 24 25 600 75 68 5 24 0 26 2 30 32 20 5 2 2 20 29 580 609 420 5 3 6 30 34 2 50 272 240 5 4 9 40 4 640 369 360 6 35 2 37 444 295 420 6 2 32 24 40 8 20 60 96 6 3 27 36 45 9 80 35 08 6 4 20 48 52 4 624 260 240 6 5 60 6 3660 67 660 7 48 4 50 2 350 200 336 7 2 45 28 53 484 2385 260 7 3 40 42 58 2 28 60 840 7 4 33 56 65 3640 245 848 7 5 24 70 74 2 2590 888 840 7 6 3 84 85 740 05 092 8 63 6 65 040 4095 008 8 2 60 32 68 4 544 020 480 8 3 55 48 73 3504 405 2640 8 4 48 64 80 6 320 240 92
Hans Walser: Fermat mt negatven Exponenten 6/6 8 5 39 80 89 720 347 320 8 6 28 96 00 4 2400 700 672 8 7 5 2 3 2656 695 680 9 80 8 82 2 738 3280 720 9 2 77 36 85 3060 6545 2772 9 3 72 54 90 8 270 360 26 9 4 65 72 97 6984 6305 4680 9 5 56 90 06 2 4770 2968 2520 9 6 45 08 7 9 404 585 540 9 7 32 26 30 2 890 2080 206 9 8 7 44 45 20880 2465 2448 0 99 20 0 2020 9999 980 0 2 96 40 04 8 520 248 480 0 3 9 60 09 6540 999 5460 0 4 84 80 6 4 2320 2436 680 0 5 75 00 25 25 500 375 300 0 6 64 20 36 8 2040 088 960 0 7 5 40 49 20860 7599 740 0 8 36 60 64 4 6560 476 440 0 9 9 80 8 32580 3439 3420 4.2.2 Geometrsche Bedeutung Im Dreeck mt a,b,c = ( 3,4,5) haben wr de Höhen: = ( 4, 3, 2.4) h a, h b, h c Wenn wr mt dem Längenaktor 5 vergrößern, erhalten wr: ( 20, 5, 2) = a, b, c De transormerten Trpel geben de Höhenverhältnsse weder. Lteratur [Morgan 200] Morgan, Frank: Fermat s Last Theorem or Fractonal and Irratonal Exponents. The College Mathematcs Journal, Vol. 4, No. 3, May 200, p. 82-85.