D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Seiger Lösung - Serie 8 MC-Aufgaben Online-Abgabe 1. Was für eine Kurve sell die Paramerisierung sin1 r = cos1, R dar? a Ein Kreis. Es gil x + y = sin 1 + cos 1 = 1, was der Kreisgleichung des Einheiskreises ensprich. Der Term 1 nimm auch alle Were in [ π, 0] an für R, also wird der gesame Einheiskreis gezeichne. b c d e f Eine Ellipse. Eine Parabel. Eine Gerade. Ein anderes Objek. Diese Paramerisierung is mahemaisch nich zulässig. Bie wenden!
. Gegeben sind die folgende Funkionen: a b c d Welche der folgenden Aussagen sind richig? a Alle Funkionen a-d sind differenzierbar. b Falls die zweie Ableiung der Funkionen b und c exisier, dann ha sie jeweils mindesens eine Nullselle. c d Jede der Funkionen a-d ha eine Selle mi verschwindender Ableiung. Die Funkion c is konvex. Die Funkionen a und d sind nich differenzierbar, weil der Graph einen Knick ha. Weier haben die Graphen in b und c jeweils bei - und 0 ein Exremum also eine Nullselle der ersen Ableiung und somi muss die zweie Ableiung eine Nullselle haben gemäss dem Mielwersaz. Die Funkion a is an den Sellen - und 0 nich differenzierbar und auf den Segmenen zwischen diesen Sellen is die Funkion abwechselnd srik monoon seigend oder srik monoon fallend. Deshalb ha die Ableiung bei a keine Nullsellen weil srik monoon bedeue enweder f x > 0 oder f x < 0. Der Graph von c is nich konvex, da beispielsweise die Sekane von - zu 1 den Graph schneide. Siehe nächses Bla!
. Gegeben sind die Kurven K 1 links und K rechs, die beide für wachsenden Parameer von aussen nach innen durchlaufen werden. Es bezeichnen k 1 und k die Krümmungen der beiden Kurven. Welche der folgenden Aussagen sind richig? a k1 is posiiv b k is negaiv c k1 is monoon wachsend d k is monoon fallend Die erse Kurve krümm sich nach links, also is k 1 posiiv. Analog krümm sich die zweie Kurve nach rechs, also is k negaiv. Die Krümmungskreis wird bei beiden Kurven kleiner, d.h. der Krümmungsradius 1/ k wird beidesmal kleiner. Das heiss, beide Krümmungen k 1 und k sind im Absoluberag monoon wachsend. Da k negaiv is, muss dieses monoon fallend sein. Bie wenden!
. Beschreiben Sie die Bewegung eines Punkes mi der Paramerisierung [ 0, π ] R, + 0 sin 6. cos 6 a Kreisbahn mi Mielpunk, 0 und Radius,zweimaliger Umlauf im Uhrzeigersinn beginnend bei 0, 1. b Ellipse mi Mielpunk, 0, vom Punk 0, 1 nach 1, 0. c Kreisbahn mi Mielpunk, 0 und Radius, einmaliger Umlauf im Uhrzeigersinn beginnend bei,. d Kreisbahn mi Mielpunk, 0 und Radius, zweimaliger Umlauf gegen den Uhrzeigersinn. e Kreisbahn mi Mielpunk, 0 und Radius, einmaliger Umlauf gegen den Uhrzeigersinn beginnend bei,. x Wir sehen, dass die Paramerisierung = sin 6 die Kreisgleichung y cos 6 x + y = eines Kreises mi Mielpunk, 0 und Radius erfüll. Wenn wir den Sarpunk ausrechnen = 0, sehen wir, dass x0 =. y0 Wenn ewas grösser als Null wird, wird die x-koordinae zunächs kleiner wegen des negaiven Vorzeichens vor dem Sinus und die y-koordinae wird ebenfalls kleiner. Wir durchlaufen den also Kreis im Gegenuhrzeigersinn. Die Paramerisierung sin, cos des Einheiskreises durchläuf für [0, π] den Kreis genau einmal, also durchläuf unsere Paramerisierung den Kreis für [0, π 6 ] auch genau einmal. Siehe nächses Bla!
5. Die beiden in Polarkoordinaen r, φ gegebenen Kurven K 1 : r = sin φ K : r = 1 sinφ schneiden sich für 0 < φ < π in einem Punk P. Besimmen Sie die Gleichung der Tangene 1 im Punk P an die Kurve K 1. Welcher der folgenden Punke lieg nich auf 1? a b c d,,, e 1, 6 8, Berechnung des Schnipunkes der Kurven K 1 und K : es is die Gleichung sin φ = 1 sinφ quad1 mi φ 0, π zu Lösen. Für φ 0, π gil sinφ > 0. Aus 1 erhalen wir sin φ = 1 sinφ = sin φ cos φ, also sin φ = cos φ da sin φ > 0 für φ 0, π. Also φ = π =: φ 0 Die Parameerdarsellung r 1 der Kurve K 1 is: sin φ cos φ r 1 φ = sin, φ 0, π sin φ cos φ sin φ sin φ und r 1 φ = φ sin φ sin φ cos φ Der gesuche Schnipunk is somi P := r 1 φ 0 = sin π cos π, π sin sin π =, Die Parameerdarsellung der Tangene 1 an die Kurve K 1 im Punk P is somi: / / r 1 φ 0 + ṙ 1 φ 0 = + /, R / Die Parameerdarsellung von 1 läss sich auch schreiben als I x = + II y = + Wir eliminieren den Parameer aus den Gleichungen Berechne I II: Es läss sich nun leich nachprüfen, dass lieg. x y = 8, die Gleichung nich erfüll und somi nich auf 1. Bie wenden!
6. Gegeben sei die reelle Funkion f : x x / x a Besimmen Sie den Definiionsbereich und Nullsellen von f. b Wo is f monoon wachsend? Monoon fallend? Besimmen Sie die lokalen Exrema von f, falls vorhanden, und unerscheiden Sie Minima und Maxima. Besiz f globale Exrema? c Besimmen Sie den Werebereich von f. d Wo is f konvex? Wo is f konkav? Besimmen Sie evenuelle Wendepunke von f. e Mi der oben besimmen Informaion skizziere man den Graphen von f. Lösung: a Die Funkion fx = x / x is nur für negaive Were von x nich definier. Folglich is der Definiionsbereich von f das Inervall [0,. Da fx = 0 nur dann gil, wenn enweder x / = 0 oder x = 0 gil, sind die Nullsellen von f gleich x = 0 und x =. b Die Ableiung von f is durch folgende Formel für all x 0, gegeben: f x = x1/ x + x / x = x1/ x x. Folglich sind die Nullsellen von f im Inervall 0, durch x = und x = / gegeben. Es is leich zu überprüfen, dass f x < 0 für x 0, /, f x > 0 für x /, und f x > 0 für x > gil. Demnach is f im Inervall 0, / sreng monoon fallend und im Inervall /, monoon aber nich sreng monoon seigend. Dadurch ergib sich, dass die einzige lokale Minimalselle von f an der Selle x = / zu finden is, und dass x = / auch eine globale Minimalselle is. Überdies folg aus der oben bewiesenen Monoonie, dass f keine lokalen oder globalen Maximalsellen ha obwohl f = 0. c Wie schon in b argumenier, ha f eine globale Minimalselle bei x = / und keine globale Maximalselle. Ausserdem erkenn man leich, dass fx wenn x und dass f im Definiionsbereich seig is. Folglich is der Werebereich von f genau das Inervall [f/,, welches gleich [ //, is. d Die zweie Ableiung von f is durch f x = x x 1/ x + x x x 1/ + 9 x x 1/ = x x 1/ xx + x x + 6x x = x x 1/ 1x 8x + für alle x 0, gegeben. Also is f x = 0 genau dann, wenn x = oder 1x 8x+ = 0 gil. Uner Zuhilfenahme der quadraischen Lösungsformel folg, dass die Nullsellen von f durch x =, x = 0.16 und x = 7 + 1.171 gegeben; dies sind die möglichen 7 Siehe nächses Bla!
Wendepunke von f. Eine kurze Rechnung zeig, dass f x < 0 für x f x > 0 für x, 7 + 7 f x > 0 für x, gil. Folglich is f srik konvex auf, dass f x < 0 für x 7, + 7, und srik konkav auf 0, 7 + 7,. e Der Graph von f is 0, 7 + 7,, dass und dass 7. Ein Kreis vom Radius r roll im Innern eines Kreises vom Radius R ab r < R. Die Kurve, die dabei ein feser Punk P der Peripherie des kleinen Kreises beschreib, heiss Hypozykloide. Besimmen Sie für den Fall R = r eine Parameerdarsellung sowie eine implizie Darsellung der Kurve und skizzieren Sie diese. Lösung: In der Skizze unen is αr = R und somi α = R r. Weier gil R r = r. Es sind die r Vekoren a und b wie folg gegeben: cos a = R r, cos R r b = r r sin sin R r. y r l1 r l α R x Bie wenden!
Es is x = a + y b = R cos + cos = sin sin da cos = 1 cos + cos und sin = 1 sin + sin. x / + y / = R /, wie aus der Parameerdarsellung schnell folg. R cos R sin, Es is eine Aseroide mi vier Spizen: x- und y-achse sind dor Tangenen. y R -R R x -R 8. Das Karesische Bla is die Kurve C gegeben durch die Parameerdarsellung x = wobei < < 1 und 1 < < +. + 1, y = + 1, a Besimmen Sie die Gleichung, d.h. eine implizie Darsellung, von C. Hinweis: Was is y x? b Besimmen Sie die Schnipunke von C mi der ersen Winkelhalbierenden y = x sowie die Tangenen in diesen Schnipunken. c In welchen Punken sind die Tangenen parallel zu den Koordinaenachsen? Lösung: a Für 0 haben wir y x =. Einsezen in die Gleichung für x gib: Und so, x = y x y x = yx + 1 y + x, y + x xy = 0. Falls = 0, dann befinde sich die Kurve C im Punk 0, 0, der die obige Gleichung auch erfüll. Somi is die implizie Darsellung von C gegeben durch y + x xy = 0. Siehe nächses Bla!
1.0 0.5 0.0-0.5-1.0-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 b Wir sezen x = y in der implizien Gleichung für C und erhalen x + x x x = 0 x = x x = 0 oder x = 1. x, y = 0, 0 ensprich dem Parameer = 0. x, y = 1, 1 1/ ensprich dem Parameer = 1/ = 1. Die Tangenenseigung berechne sich zu ẏ ẋ = +1 { +1 = + 1 +1 + 1 = 1 = 0, = 0 1, = 1. +1 Die Tangene durch x, y = 0, 0 is diejenige zu = 0, also y = 0. Da die Kurve C symmerisch is bezüglich y = x, ha sie eine zusäzliche Tangene bei 0, 0, und zwar die y-achse x = 0. Die Tangene durch x, y = 1, 1 is diejenige zu = 1, also für q = 1 + 1, d. h. x + y 1 = 0. y = x + q c Aus b wissen wir, dass die Tangenen durch 0, 0 gerade die Koordinaenachsen sind. Es gib aber noch mehr: Wir sezen die Seigung gleich Null und erhalen ẏ ẋ =! 1 = 0 = = 0 oder =. Das ergib die Punke x, y = 0, 0 und x-achse sind.,, wo die Tangenen horizonal, also parallel zur Da die Kurve symmerisch is bezüglich y = x, sind die Tangenen in den Punken x, y = 0, 0 und verikal, d. h. parallel zur y-achse., Bie wenden!
9. Eine Kanonenkugel wird vom Punk 0, 0 aus mi Geschwindigkei v uner einem Winkel ϕ [0, π ] gegenüber der posiiven x-achse abgeschossen. Behandel man die Kugel als Punkmasse und orienier die Schwerkraf in Richung der negaiven y-achse, is die Bewegung beschrieben durch: x = v cosϕ y = v sinϕ 5. a Wie muss der Winkel ϕ bei vorgegebenem v gewähl werden, dami die Kugel möglichs wei flieg, bevor sie auf dem Boden der x-achse aufriff? Argumenieren Sie, warum es sich bei dem von Ihnen gefundenen Wer asächlich um ein Maximum handel! b Wo lande die Kugel bei diesem Abschusswinkel, wenn v = 100 is? c Bonusaufgabe, Physik! In einer Quizsendung, die im Okober 018 im deuschen Privafernsehen ausgesrahl wurde, musse einer Kandida folgende Schäzfrage beanworen: Lösung: In einem Guesli sind ewa 60 Kilojoule an chemischer Energie gespeicher. Ein Sprengmeiser erzeug aus der Gueslimasse einen Sprengsoff, der in eine Abschussvorrichung gegeben wird, die den opimalen Abschusswinkel aufweis. In der Leichahleikdisziplin Hammerwurf wird eine an einem Sahldrah befesige Kugel der Wurfhammer möglichs wei geschleuder. Die Masse des gesamen Objeks beräg 7.6 kg. Der sei über 0 Jahren besehende Welrekord lieg derzei bei 86,7 Meern. So ein Wurfhammer wird nun in die Abschussvorrichung geleg und die Sprengung gezünde. Schäzfrage: Wie wei flieg der Wurfhammer? Bei uns soll es jedoch ums Rechnen gehen sa ums Schäzen. Der überwiegende Teil der Energie des Gueslis wird über Abwärme, Schall und Lufwidersand abgegeben. Wenn 8% der gesamen chemischen Energie in kineische Energie umgewandel werden kann, schläg die Gueslikanone dann den Welrekord? a Wir besimmen zuers den Landepunk x, y = x, 0 für > 0 in abhängigkei des Abschusswinkels ϕ. Es gil y = 0 5 = v sinϕ = 1 5 v sinϕ. Folglich erhalen wir die Funkion x von ϕ gegeben durch x ϕ = x ϕ = 1 5 v cos ϕ sin ϕ. Um das Maximum zu besimmen, berechnen wir die erse Ableiung nach ϕ. Es gil dx v dϕ ϕ = 5 cos ϕ sin ϕ dx dϕ ϕ = 0 cos ϕ = sin ϕ ϕ = π. Für ϕ < π dx gil dϕ ϕ > 0 und somi is dor x ϕ monoon wachsend. Andererseis is die Ableiung für ϕ > π negaiv und folglich x ϕ monoon fallend. Also handel es sich beim Siehe nächses Bla!
Funkionswer dazwischen um ein Maximum. Alernaiv berechne man die zweie Ableiung von x ϕ x ϕ = 5 v sin ϕ cos ϕ und sez ϕ = π ein π x = 5 v < 0. Das zeig ebenfalls, dass x ein Maximum bei π besiz. b Wir berechnen x π = 100 = 1000 5 c Ja, deulich! Aus a wissen wir, dass beim opimalen Winkel x = 1 10 v gil. Gleichzeiig is aber auch E kin = 8% 60 10 = 1 m v. Daraus folg, x = 1 10 v = 1 10 8 100 60 10 7.6 1 Meer. In der Sendung is der Wurfhammer asächlich 1 Meer wei geflogen und ha somi den Welrekord locker geschlagen.