5.3.0 ****** Motivation Ein kleiner Wagen und zwei Stahlfedern bilden ein schwingungsfähiges System. Ein Elektromotor mit Exzenter lenkt diesen Wagen periodisch aus seiner Ruhestellung aus. Die Antriebsfrequenz wird gleichmässig hochgefahren, so dass damit das System die Resonanzkurve durchläuft. Dies ist ein besonders schöner und empfehlenswerter Versuch! Experiment x F 0 t) F t) Abbildung : Ein Elektromotor Kreisfrequenz ωt)) treibt über einen starren Stab und Exzenter ein kleines Messingrad an siehe Abb. ). Eine Feder stellt die Verbindung des rotierenden Rads mit einem kleinen Wagen her. Am Rad ist die Feder exzentrisch befestigt, so dass die Raddrehung eine periodisch wirkende Kraft F 0 t) = A 0 cos ωt + ϕ) ) erzeugt. Eine zweite, identische Feder auf der rechten Seite des Wagens sorgt für eine Rückstellkraft F t).
Die durch den Antrieb bewirkte Auslenkung x 0 der linken Feder wird durch einen roten Pfeil angezeigt, die Auslenkung x des Wagens durch einen blauen Pfeil. Um die mechanische Resonanzkurve aufzunehmen, müsste man nun eine feste Kreisfrequenz Ω vorgeben, den Einschwingvorgang abwarten und dann die Amplitude der Wagenschwingung messen. Da dies für einen Hörsaalversuch zu lange dauern würde, erhöht man die Kreisfrequenz kontinuierlich über die Resonanzfrequenz ω 0 des s hinaus und kann damit qualitativ die wichtigsten Phänomeme der Resonanz demonstrieren: a) Für Ω ω 0 sind die Amplituden x 0 Ω) klein, die beiden Zeiger bewegen sich gleichläufig Relativphase δ π/). b) Für Ω ω 0 ist die Amplitude x 0 Ω) gross Resonanz), die beiden Zeiger bewegen sich um π/ phasenverschoben. c) Für Ω ω 0 sind die Amplituden x 0 Ω) wieder klein, die beiden Zeiger bewegen sich nun gegenläufig Relativphase δ π). 3 Theorie Wie bereits oben erwähnt, gibt der Versuch qualitativ richtig die Resonanzeffekte wieder. Die folgenden Herleitungen beziehen sich auf die erzwungene Schwingung bei konstanter Kreisfrequenz Ω, gemessen nach dem Abklingen des Einschwingvorgangs. 3. Gleichgewichtslösung Wir betrachten eine periodisch wirkende, harmonische Kraft F ext t) F ext t) = F 0 cos Ωt, F 0 R ) mit der Kreisfrequenz Ω der äusseren periodischen Kraft, der Masse m des Wagens und der Dämpfungskonstante ρ. Die Differentialgleichung für die erzwungene Schwingung lautet damit: ẍ + ρẋ + ω0 x = F 0 cos Ωt 3) m Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung erhält man als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung: xt) = x h t) + x p t) 4) Wir nehmen als Lösung der homogenen Gleichung eine gedämpfte Schwingung an: Für grosse Zeiten geht die Amplitude gegen null, und damit x h t) = A 0 cosωt + δ) e ρt 5) lim x ht) = 0 6) t
oder auch für t ρ x h t) 0 7) Das bedeutet, dass die homogene Lösung mit der Eigenfrequenz ω = ω 0 für grosse Zeiten, nach dem sogenannten Einschwingvorgang, der durch das Einsetzen der äusseren Kraft ausgelöst wird, verschwindet. Damit folgt andererseits, dass für t ρ xt) x p t) 8) Nach dem Einschwingvorgang schwingt der Oszillator mit der Erregerfrequenz! Der Ansatz für die partikuläre Lösung lautet also: x p = x 0 e iωt, x 0 C 9) Die Rechnung mit dem Ansatz einer komplexen e-funktion verläuft einfacher als mit harmonischen Funktionen. Nach erfolgter Rechnung ergibt dann Rex p ) die gesuchte Lösung. 3. Resonanz Das Einsetzen von x p t) in die Bewegungsgleichung ergibt: Man beachte: Damit folgt für die Amplitude x 0 der Schwingung: [ x 0 Ω + iρω + ω0 ] e iωt = F 0 m eiωt 0) F ext t) = Re { F 0 e iωt} = F 0 cos Ωt ) x 0 = F 0 /m ω 0 Ω ) + iρω ) Es sei ferner x 0 := x 0 e iδ 0 und a 0 = F 0 m. 3) Der Betrag der Amplitude x 0 und die Phase δ 0 der erzwungenen Schwingung sind damit gleich: x 0 a 0 = ω := V ρ, Ω) 0 Ω) + 4ρ Ω { } ρω δ 0 = arctan ω0 Ω 4) Beachte: a) Das Verhältnis V ρ, Ω) = x 0 /a 0 wird Vergrösserungsfunktion genannt. 3
b) Die Phase oder auch Phasenverschiebung δ 0 beschreibt, um welche Phase die Oszillation relativ zum Erreger schwingt. Sowohl V als auch δ 0 hängen also von der Dämpfung ρ und der Erregerfrequenz Ω ab. c) Diese Beziehungen können durch die Einführung der zwei dimensioslosen Variablen η und ξ übersichtlicher gemacht werden: V η, ξ) = ω 0 η := Ω ω 0 und ξ := ρ ω 0 5) { η } + 4ξ η 6) { } ξη δ 0 = arctan η Abb. zeigt die Vergrösserungsfunktion und die Phasenverschiebung in Funktion von η. Das Maximum der Resonanzkurve folgt aus V η 7) := 0 8) η res = ξ 9) Ω res = ω 0 ξ 0) Am Maximum tritt Amplitudenresonanz ein! Die Resonanzfrequenz Ω res ist dabei stets kleiner als die Eigenfrequenz des Oszillators. Die Dämpfung sorgt dafür, dass die Amplitude nicht beliebig gross wird, was z.b. bei Brücken zur Zerstörung führen würde. 3.3 Amplitude und Phase der Resonanz Die Resonanzamplitude x 0 ist proportional zur äusseren Kraft, ist um so grösser, je kleiner ω 0 Ω und je kleiner ρ ist. Wir untersuchen im Weiteren das Resonanzverhalten in den folgenden drei Fällen: a) Resonanzferner Fall: Ω ω 0 : x 0 = a 0 ω0 ) δ 0 = 0 ) Die Dämpfung spielt in diesem Fall keine Rolle, die kleine) Amplitude wird nur durch die rücktreibende Kraft bestimmt. Bei konstanter Kraft Ω = 0) gibt es eine konstante Auslenkung. Der Oszillator schwingt in Phase mit dem Erreger. 4
5 0 ω 0 V ω 0 V = η ) + 4ξ η 5 0 0 0 3 ξ = 5 80 60 30 0 0 0,4 0,8,,6,0 η 0 δ 0 30 0 3 ξ = 60 80 0 { } ξη δ 0 = arctan η π π 0 0,4 0,8,,6,0 η Abbildung 9.7: : Resonanzkurven für füramplitude und und Phase. Phase. b) Resonanznaher Fall: Ω ω 0 : Dem Oszillator wird in jeder Lage Energie zugeführt. x 0 = a 0 ρω 0 3) δ 0 = π 4) Rex) = x 0 sin Ωt 5) 5
c) Resonanzferner Fall: Ω ω 0 : x 0 = a 0 Ω 6) δ 0 = π 7) Die kleine) Amplitude wird nur durch die Trägheit der Masse m bestimmt. Die Amplitude geht asymptotisch gegen null für Ω. Der Oszillator schwingt genau entgegengesetzt zum Erreger. 3.4 Energiebilanz der erzwungenen Schwingung Wir verwenden wieder das bereits bei der freien Schwingung angewandte Verfahren zur Berechnung der an der Schwingung beteiligten Energien: mẍ + mρẋ + mω0x = F ext ẋ 8) d { dt mẋ + mω 0x } = mρẋ + F ext ẋ 9) }{{} =E Osz Im Gleichgewichtszustand stationärer Fall) ändert sich die Energie E Osz nicht: d dt E Osz = 0 30) F ext ẋ = mρẋ 3) Die durch die äussere Kraft zugeführte Leistung wird in Reibungsleistung umgewandelt! Wie gross ist nun die während einer Periode T Ω zugeführte mittlere Leistung? P TΩ = T Ω T Ω 0 ẋf ext dt 3) xt) = x 0 cos Ωt + δ 0 ) 33) ẋt) = x 0 Ω sin Ωt + δ 0 ) 34) P TΩ = F 0Ω x 0 sin δ 0 35) Nach Gl. 7) ist aber x 0 sin δ 0 = Im {x 0 } 36) Damit folgt für die mittlere Leistung: P TΩ = F 0Ω x 0 { } F 0 ρω m ω 0 Ω ) + 4ρ Ω 37) 6
0 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 50 P η) 4ω 0 ma 0 P 4ω 0 ma 0 = ξ η + ξη ) 30 0 0 3 ξ = 0 5 80 60 30 0 0 0,4 0,8,,6,0 η Abbildung9.8: 3: Leistungsresonanz. Nach einigen Nach Gl. algebraischen 9.7) istumformungen aber erhalten wir schliesslich das folgende wichtige Ergebnis: x 0 sin δ 0 = Im {x 0 } 9.) P TΩ = ma 0 4ρ Damit folgt für die mittlere Leistung: ω + 0 Ω ) 38) { ρω } P TΩ = F F0 ρω Im Gegensatz zur Amplitudenresonanz 0Ω wird x 0 bei der m Leistungsresonanz ω0 Ω ) 9.4) + 4ρ Ω die maximale Leistung bei Ω res = ω 0 übertragen! Nach einigen algebraischen Umformungen erhhalten wir schliesslich das folgende wichtige Ergebnis: findet statt, wenn die Erregerfrequenz Ω gleich der Eigenfrequenz ω 0 Die Leistungsresonanz ist. Siehe dazu Abb. 3. P TΩ = ma 0 4ρ ) ω + 0 Ω In den dimensionslosen Grössen η und ξ lautet diese Gleichung: 9.4) ρω P Im Gegensatz zur Amplitudenresonanz TΩ η, ξ) = ma 0 4ω 0 ξ wird bei der Leistungsresonanz ) η 39) die maximale Leistung bei Ω res = ω 0 übertragen! + ξη Die Leistungsresonanz findet statt, wenn die Erregerfrequenz Ω gleich der Eigenfrequenz ω 0 ist. Siehe dazu Abb. 9.8. In den dimensionslosen Grössen η und ξ lautet diese Gleichung: P TΩ η, ξ) = ma 0 4ω 0 ξ ) η 9.43) + ξη 7