Lösug. a) Folgt aus der Liearität der Ableitug ud de Eigeschafte der Supremumsorm. b) d ist wohldefiiert. Es ist d(φ, φ 2 ) ( ) 2 2 α β = m 2 m = 4 < α,β N Symmetrie ist klar. Aus d(φ, φ 2 ) = folgt φ φ 2 α,β = für alle α, β N, isbesodere = φ φ 2, = sup φ (x) φ 2 (x) ud damit φ = φ 2. Dreiecksugleichug. Bemerke, dass die reelle Fuktio t t +t, t mooto wachsed ist. Wege der Dreiecksugleichug für Halborme folgt somit φ φ 2 α,β + φ φ 2 α,β φ φ 3 α,β + φ φ 3 α,β + φ 3 φ 2 α,β + φ 3 φ 2 α,β ud ach Summatio die Dreiecksugleichug für die Metrik. c) Sei φ eie Cauchyfolge i der Metrik, d.h. für jedes ɛ > existiert ei N(ɛ) mit d(φ, φ m ) ɛ für alle, m N. Sei u ɛ α,β = 2 α + β + ɛ. Da ist für, m N(ɛ α,β ) φ φ m α,β 2 φ φ m α,β 2 α + β + d(φ, φ m ) ɛ α,β + φ φ m α,β ud somit ist die Folge i jeder Halborm Cauchy. Sei umgekehrt die Folge Cauchy i alle Halborme ud sei ɛ > vorgegebe. Wähle M N so gross, dass 2 M+ ɛ 4. Sei u N α,β (ɛ) die Zahl, sodass φ φ m α,β ɛ 4 ud defiiere N(ɛ) = max{n α,β(ɛ) α, β M}. Da ist für, m N(ɛ) φ φ 2 α,β d(φ, φ m ) = α + β M 2 α β + φ φ 2 α,β + α + β >M 2 α β φ φ 2 α,β 2 max φ φ 2 α,β + 2 M α + β >M α + β M 2M α β ɛ 2 + 2 2 M+ 4 ɛ Also ist die Folge i der Metrik Cauchy. d) Nach Vorausetzug sid die stetige Fuktioe φ α,β, = x α β φ für alle feste α, β eie Cauchyfolge i der Supremumsorm, ud kovergiere deshalb gleichmässig gege stetige Fuktioe φ α,β. Es ist zu zeige, dass φ α,β = x α β φ, ist. Wir zeige dies mit Iduktio i α ud β. Der Iduktiosafag ist trivial. Für de Iduktiosschritt reicht es, folgede zwei Aussage zu zeige: + φ φ 2 α,β
. Für jede Folge vo reelle, stetige Fuktioe g mit g g = sup x R g (x) g(x) ud xg f gilt f(x) = xg(x); ud 2. Für jede Folge vo reelle, stetig differezierbare Fuktioe g mit g g ud g g gilt f = g. Die erste Aussage ist trivial (für jedes feste x geht xg (x) xg(x), ud der Limes ist eideutug). Für die zweite Aussage beutze wir de Hauptsatz ud schreibe g (x) = g () + x g (y)dy Die like Seite geht für gege g(x), die rechte, wege gleichmässiger Kovergez, gege g() + Wege der Eideutigkeit des Limes folgt Lösug 2. g(x) = g() + f(y)dy x f(y)dy a) Wir zeige Wohldefiiertheit. Für die restliche Eigeschafte, gehe vor wie i Serie 3. Mit der Dreiecksugleichug ud Fubii gilt f g = f(x y)g(y)dy dx f(x y) g(y) dydx = g(y) f(x y) dxdy = f L g(y) dy R = f L g L < Bemerke, dass die Rechug zeigt, dass Fubii awedbar war. Bemerke, dass Gleichheit gilt, falls f ud g icht egativ sid. b) Mit Fubii (awedbar mit gleichem Argumet wie i a) ud Substitutio folgt f g(k) = (f g)(x)e ikx dx R = f(x y)g(y)dye ikx dx = f(x y)g(y)e ikx dxdy = f(x)g(y)e ik(x+y) dxdy = f(x)e ikx dxe iky g(y)dy = ˆf(k)ĝ(k)
c) Sei f C l (R ) ud g L (R ). Es gilt α f(x y)g(y) sup x R α f(x y) g(y) L (R ) für alle α N, α l, gleichmässig i x. Damit gilt mit dem DCT α (f g)(x) = R α f(x y)g(y)dy = α f(x y)g(y)dy < R Isbesodere gilt (f g)(x) = ( α f g)(x) Die Ableitug ist stetig, da wiederum mit dem DCT lim α f(x y)g(y)dy = lim α f(x y)g(y)dy = x x x x für alle x R. d) Wir zeige zuerst χ χ = f (überlege geometrisch). Sei x. Sei x. χ(x s)χ(s)dx = χ(x s)χ(s)dx = 2 x 2 x+ 2 2 dx = x dx = + x R lim f(x y)g(y)dy x x Ausserdem wisse wir ˆχ(k) = 2 si( k 2 ) k. Mit dem Faltugssatz (b) folgt u Lösug 3. ˆf(k) = ˆχ(k)ˆχ(k) = 4 si2 ( k 2 ) k 2 a) Defiiere g(x) = e m x. Aus der VL wisse Sie (g) = 2m f. Damit ist (g) L ud mit dem Umkehrsatz für L Fuktioe folgt 2mg = 2m((g) ) = (f). b) Sei g(x) = x für x ud g(x) = für x. Mit (2d) gilt ĝ(k) = f( 2 k). Es sid g, ĝ L. Mit dem Umkehrsatz folgt (ĝ) = (f( 2 )) = g ud damit ˆf(x) = 2π(f) (x) = πg( 2 x). c) ˆf(k) = e x cos xe ikx dx = 2 e x (e ix + e ix )e ikx dx = 2 e x e i(k )x dx + 2 e x e i(k+)x dx wobei g(x) = e x. Es ist = 2 (ĝ(k ) + ĝ(k + )) ĝ(k) = e x e ikx dx + e x e i( k)x dx = +ik + ik = 2 +k 2 ud somit ˆf(k) = +(k ) 2 + +(k+) 2
d) Aalog zu (c), wieder mit g(x) = e x, ˆf(k) = 2i (ĝ(k ) ĝ(k + )) = i( + (k ) 2 + (k + ) 2 ) e) Bemerke, dass eie rei formale Rechug suggeriert, dass die Fouriertrasformatio vo x α gleich Ck α für eie Kostate C ist. Substituiere dazu y = kx i xα e ikx dx. ˆf(k) = e µ x x e ikx dx = e ( ik µ)x dx + e ( ik+µ)x dx x x Wir betrachte das erste itegral, das zweite ergibt sich durch k k. Mit der Substitutio x = y 2 ist π e ( ik µ)x dx = 2 e ( ik µ)y2 dy = x ik + µ Wir müsse verstehe, was ik + µ bedeutet. Für R z > gilt e zy2 dy = π 2. Für Rz > ist die like Seite ist holomorph auf z der rechte Halbebee. Sei z = log( 2 exp z) mit log dem Hauptzweig des Logarithmus. Da ist die rechte Seite holomorph auf der rechte Halbebee. Beide Seite sid gleich auf der positive reelle Achse ud damit auf der gaze rechte Halbebee (Idetitätssatz). Wir erhalte ˆf µ (k) = π(e 2 log(µ+ik) + e 2 log(µ ik) ) Die Fuktio ist stetig für alle k. Die fuktio ist symmetrisch i k, deshalb dürfe wir aehme, dass k >. Da ist lim ˆf µ (k) = π(e 2 log(ik) + e 2 log( ik) ) µ = π(e 2 (log k+ π 2 ) + e 2 (log k π 2π 2 ) ) = k Wir habe verwedet, dass log x = log x + i arg x mit arg x ( π, π) für de Hauptzweig des Logarithmus. Für k R ergibt sich aus der Symmetrie ˆf(k) = 2π. k Lösug 4. a) Die Fuktio f = m 2 +x 2, sowie ihre Fouriertrasformatio ˆf = π m e m x sid i L. Mit Parseval folgt b) Defiiere (m 2 + x 2 ) 2 = m 2 + x 2 2 L = 2 2π π m e m x 2 L 2 = π 2 2π m 2 e 2m x = 2π 2 2π m 2 e 2mx = π 2m 3 g(x) = +x 2 L h(x) = si2 x x 2 L
Es ist ĝ(k) = πe k L ĥ(k) = πf( 2k) L mit f der Fuktio aus (2d). Nu folgt mit Parceval Lösug 5. g(x)h(x)dx = ĝ(k)ĥ(k)dk = = π 2 2π π2 2 2 e k ( 2 k )dk e k ( 2k)dk = π 2 ( + e 2 ) a) Verwede Sie die Ketteregel. Mit y = (y, y 2, y 3 ) = (r, θ, φ), yj (f ϕ) = ( x if) ϕ yj ϕ i i= 2 y j (f ϕ) = yj = ( x if) ϕ yj ϕ i i= k= i= ( x k x if) ϕ yj ϕ k yj ϕ i + ( x if) ϕ y 2 j ϕ i wobei ϕ die ite Kompoete vo ϕ bezeichet. Matematica code: spherical={x[]->r*si[\[theta]]*cos[\[phi]],x[2]->r*si[\[theta]]*si[\[phi]],x[3]->r*cos[\[theta]]}; Laplace3[f_]:=Sum[D[f,{x[i],2}],{i,,3}]; LaplaceR[f_]:=D[f,{r,2}]+2/r*D[f,r]+/r^2*LaplaceS2[f]; LaplaceS2[f_]:=/Si[\[Theta]]*D[Si[\[Theta]]*D[f,\[Theta]],\[Theta]]+/Si[\[Theta]]^2*D[f,{\[Phi],2}]; With[{F=f[x[],x[2],x[3]]},(Laplace3[F]/.spherical)-LaplaceR[F/.spherical]]//Simplify b) Da f rotatiosivariat ist, existiert eie fuktio f : R R mit ud sei f( x ) = f(x). i= f(x) = i = i 2 x if(x) 2 x i f( x ) = i = i Sei r 2 = i= x2 i. Es folgt x i( x i x f ( x )) x f ( x ) x2 i x 3 2 = ( x x ) f ( x ) + f ( x ) = x f ( x ) + f ( x ) f(x) = r f + r 2 f(r) r f ( x ) + ( x i x )2 f ( x )
Lösug 6. a) Aalog zu Korrolar 4.3 gilt F 2 (f)(x) = (2π) f( x) Eie zweite Awedug liefert das Resultat. Die Eigewerte köe (2π) 2 {±, ±i} sei. Wir wisse aber och icht, ob alle ageomme werde. b) Die Abbildugsmatrix bezüglich der Basis {, x, x 2, x 3 }e 2 x2 ist gegebe durch 2π i 3i i Dere Eigewerte sid 2π{±, ±i}.