Zahletheoretische Idetitäte ud die Eisesteireihe vom Gewicht 2 Vortrag zum Semiar zur Fuktioetheorie II, 3.2.203 Lukas Schürhoff Ihaltsverzeichis Wiederholug ud Vorbereitug 2 2 Zahletheoretische Idetitäte als Awedug der Dimesiosformel 4 3 Die Eisesteireihe vom Gewicht 2 8 4 Literaturverzeichis 8
Wiederholug ud Vorbereitug Als Grudlage dieser Ausarbeitug diet das Buch The -2-3 of Modular Forms []. Wiederholug ud Vorbereitug Zur Vorbereitug auf die achfolgede Kapitel wiederhole wir zuächst eiige Begriffe ud Aussage. Sämtliche Defiitioe ud Aussage etstamme der Vorlesug Fuktioetheorie II, ud lasse sich etspreched mitsamt Beweis im zugehörige Skript [2] wiederfide. Im Folgede wird daher auf eizele Beweise verzichtet.. Defiitio Modulform Eie Fuktio f heißt Modulform vom Gewicht k, we gilt:. f ist auf H meromorph 2. f k M = f für alle M SL 2 Z, das heisst es gilt für z H f az + b = cz + d k f z für alle a b cz + d c d SL2 Z. 3. f hat bei höchstes eie Pol..2 Defiitio Gaze Modulform Eie Modulform f vom Gewicht k heißt gaze Modulform vom Gewicht k, we f auf H holomorph ist ud bei keie Pol hat. Die Mege M k der gaze Modulforme vom Gewicht k ist ei C-Vektorraum..3 Bemerkug Für k, l Z gilt M k M l M k+l..4 Satz Dimesiosformel Für gerades k 0 ist M k edlich-dimesioal mit dim C M k = [ ] k [ 2 k, k 2 mod 2 2 ] +, k 2 mod 2. 2
Wiederholug ud Vorbereitug.5 Lemma Für z H ud α R kovergiert die Reihe geau da absolut, we α > 2 ist. m, mz + α m, bedeutet dabei, dass über alle Paare 0, 0 = m, Z Z summiert wird..6 Defiitio Eisestei-Reihe Für z H ud k 3 heißt G k, defiiert durch die Eisestei-Reihe vom Gewicht k..7 Lemma a Für ugerades k ist G k z := mz + k, m, G k z = 0, z H. b Für k 3 ist G k eie gaze Modulform vom Gewicht k, d.h. G k M k.8 Satz Für alle gerade k 4 besitzt G k die Fourier-Etwicklug G k z = 2ζk + 2 2πik k! = 2 2πik k! σ k m e 2πimz B k 2k + σ k m e 2πimz, z H. Dabei ist ζs := ud B k sid die Beroulli-Zahle. m s, s >, ud σ s m := d s, s R, d m.9 Defiitio Normierte Eisestei-Reihe G k := 2ζk G k heißt die ormierte Eisestei-Reihe vom Gewicht k. 3
2 Zahletheoretische Idetitäte als Awedug der Dimesiosformel.0 Bemerkug Etspreched Satz.7 gilt für z H ud gerades k 4 Gk 2k z = B k σ k m e 2πimz. 2 Zahletheoretische Idetitäte als Awedug der Dimesiosformel I diesem Abschitt wolle wir mit fuktioetheoretische Mittel eiige Idetitäte zum Beispiel die sog. Hurwitz-Idetität der elemetare Zahletheorie herleite. Dazu gibt die folgede Tabelle eie Übersicht über die erste gerade Beroulli- Zahle. k 2 4 6 8 0 2 B k 6 30 42 30 Weiter sei im Folgede stets q := e 2πiz mit z H. 2. Korollar Hurwitz-Idetität Für alle N gilt 5 66 69 2730 σ 3 mσ 3 m = σ 7 σ 3. 20 Beweis Die Dimesioformel.4 liefert dim C M 8 =. Nach.7 ist G8 M 8, ud ach.3 ebefalls G4 2 M 8. G8 ud G 4 2 sid also liear abhägig. Setze wir u jeweils die Darstellug aus.8 ei, so erhalte wir G4 2 ud G8 sid ormiert G 4 2 = G 8, 4
2 Zahletheoretische Idetitäte als Awedug der Dimesiosformel ud weiter = + 480 = + für alle z H. + 240 σ 7 q = 2 σ 3 q = 240σ 3 + 240σ 3 + = 240 2 σ 3 mσ 3 m q Durch Koeffizietevergleich erhalte wir schließlich für N bzw. 480σ 7 = 480σ 3 + 240 2 σ 3 mσ 3 m σ 3 mσ 3 m = σ 7 σ 3. 20 Ei weiteres Beispiel ist die folgede Idetität. 2.2 Korollar Für alle N gilt σ 3 mσ 9 m = σ 3 σ 9 + 0σ 3. 2640 Beweis Wir verfahre aalog zu 2.. Mit dim C M 4 = ud G 4, G 4 G 0 M 4 erhalte wir ach Eisetze der Darstellug aus.8 Damit folgt u weiter = 24 = + + 240 σ 3 q = σ 3 q = G 4 G 0 = G 4. 264 264σ 9 + 240σ 3 + = σ 9 q = 240 264σ 3 mσ 9 m q 5
2 Zahletheoretische Idetitäte als Awedug der Dimesiosformel für alle z H. Durch Koeffizietevergleich erhalte wir für N 24σ 3 = 264σ 9 + 240σ 3 + 240 264σ 3 mσ 9 m bzw. σ 3 mσ 9 m = σ 3 σ 9 + 0σ 3. 2640 Für k 0 mit dim C M k > lasse sich auf aaloge Weise Idetitäte extrahiere. Ei Beispiel dafür liefert die folgede Idetität. 2.3 Korollar Für alle N gilt 4σ 3 mσ 7 m + 5σ 5 mσ 5 m = 3σ 42σ 7 + 50σ 5 2σ 3. 2520 Beweis Zum Beweis betrachte wir G4 G 8, G 6 2, G2 M 2. Nach.4 ist dim C M 2 = 2, also sid G4 G 8, G 6 2 ud G2 liear abhägig. Um a, b C mit a G 4 G 8 + b G 6 2 = G 2 zu bestimme, betrachte wir ach Eisetze der Darstelluge aus.8 die Koeffiziete vo q 0 ud q. G 4 G 8 = + 240q +... + 480q +... = + 720q +... G6 2 = 504q... 504q... = 008q +... G2 2730 24 = + q +... 69 Das führt us also auf das lieare Gleichugssystem a + b = 2730 24, 720a 008b = 69 6
2 Zahletheoretische Idetitäte als Awedug der Dimesiosformel welches die eideutige Lösug besitzt. a = 44 69, b = 250 69 Damit habe wir also ud es folgt 69 = 44 + 250 + 2730 24 69 + 240 = 44 + 44 = 504 = + 250 + 250 für alle z H. = 44G 4 G 8 + 250G 6 2 = 69G 2, σ q = σ 3 q + 480 = = σ 5 q 504 σ 7 q = σ 5 q 240σ 3 + 480σ 7 + 240 480σ 3 mσ 7 m q 008σ 5 + 504 2 σ 5 mσ 5 m q Durch Koeffizietevergleich erhalte wir für N bzw. 2730 24σ = 44 240 480σ 3 mσ 7 m + 250 504 2 σ 5 mσ 5 m + 44 240σ 3 + 44 480σ 7 250 008σ 5 4σ 3 mσ 7 m + 5σ 5 mσ 5 m = 3σ 42σ 7 + 50σ 5 2σ 3. 2520 7
I diesem Kapitel wolle wir zuächst die Eisestei-Reihe vom Gewicht 2 defiiere. Die Reihe mz + 2, z H, kovergiert icht absolut. Allerdigs defiiert m, die Fourier-Reihe aus.8 auch für k = 2 eie holomorphe Fuktio auf H. Wir defiiere die Eisestei-Reihe vom Gewicht 2 über diese Fourier-Reihe, ud werde feststelle, dass dies der Defiitio der Eisestei-Reihe vo höherem Gewicht etspricht, mit der Eischräkug eier festgelegte Summatiosreihefolge. Aschließed werde wir die Eisestei-Reihe vom Gewicht 2 auf Trasformatioseigeschafte überprüfe. Uter aderem wird sich herausstelle, dass die Eisestei- Reihe vom Gewicht 2 keie Modulform vom Gewicht 2 ist. 3. Propositio ud Defiitio Eisestei-Reihe vom Gewicht 2 Durch G 2 z := 8π 2 B 2 4 + σ m e 2πimz, z H wird eie holomorphe Fuktio defiiert. G 2 heisst Eisestei-Reihe vom Gewicht 2. Beweis Sei z H ud q := e 2πiz, da gilt q <. Weiter gilt für m N Damit erhalte wir σ m q m σ m = d m m 2. d m d m m 2 q m = mm q m + m q m. Die Reihe auf der rechte Seite kovergiere als Ableituge eier geometrische Reihe lokal gleichmäßig, die Reihe auf der like Seite somit auch. Also kovergiert die Reihe σ m q m absolut ud lokal gleichmäßig. Da die Partialsumme holomorphe Fuktioe defiiere, ist die Grezfuktio, ud damit auch G 2, holomorph. 3.2 Korollar Für z H gilt G 2 z = 0 = Z 2 + 0 =m Z Z mz + 2. 8
Das bedeutet, die Eisesteireihe vom Gewicht 2 ist aalog zur Eisesteireihe höhere Gewichtes defiiert, wobei allerdigs die Summatiosreihefolge festgelegt ist. Beweis Der Beweis fuktioiert aalog zum Beweis vo.8. Der eizige Uterschied ist, dass ma dort für k 3 ud z H mz + k = m, 0 = Z k + 0 =m Z Z mz + k schreibt, ud wir hier, im Fall k = 2, direkt vo der rechte Seite ausgehe. 3.3 Bemerkug Wege der fehlede absolute Kovergez der Eisestei-Reihe vom Gewicht 2 vgl..5 erhalte wir die Traformatioseigeschaft G 2 z = z2 G 2 z icht durch Umsortiere. Die Eigeschaft G 2 z + = G 2 z gilt aber atürlich weiterhi, da G 2 als Fourier-Reihe defiiert ist vgl. 3.. 3.4 Satz Durch G 2 z := G 2 z π y, z = x + iy H wird eie icht-holomorphe Fuktio defiiert, die die Traformatioseigeschaft eier Modulform vom Gewicht 2 besitzt. Bevor wir zum Beweis vo Satz 3.4 komme, zuächst etwas Vorbereitug. 3.5 Lemma Für x > 0 gilt ζ + x = x + O, x 0. Beweis Nach [2], IX4.2,4.4 ist die ζ-fuktio holomorph auf {z = x + iy C x > 0} bis auf eie eifache Pol i z = mit Residuum. Das bedeutet für z K \ {} gilt ζz = z + a z =0 mit geeigete a, N. Daraus folgt die Behauptug. 3.6 Lemma Für z H kovergiert mz + 2 mz + 2ε = absolut ud lokal gleichmäßig i ε > 2. + mz + t 2 mz + t 2ε 9
Beweis Es sei z = x + iy H, m N ud ε > 2. Wir defiiere f : R C durch f t =. Wege mz+t 2 mz+t 2ε mz + t 2ε = mx + t 2 + my 2 ε ud my 2 > 0 ud mz + t = 0 ist f da differezierbar. Es gilt für t R: f t = 2mx + t mz + t 2ε + 2mx + tε mx + t 2 + my 2 ε mz + t 2 mz + t 4 mz + t 4ε = 2mx + t mz + t 2ε + ε mz + t 2ε 2 mz + t 2 mz + t 4 mz + t 4ε Mit mx + t = Rmz + t mz + t folgt u f t 2 mz + t mz + t 4 2ε + ε mz + t 4 2ε = 2 + ε mz + t 3 2ε Damit köe wir jetzt die eizele Summade abschätze: + mz + 2 mz + 2ε mz + t 2 mz + t 2ε + = mz + 2 mz + 2ε mz + t 2 mz + t + = f f t + f f t max t [,+] f t 2 + ε mz + 3 2ε 2ε Wege 3 + 2ε > 2 folgt u ach.5 die absolute Kovergez vo + mz + 2 mz + 2ε mz + t 2 mz + t 2ε. = 0
Die Mootoie vo R R, t x t, für x R + liefert da auch die lokal gleichmäßige Kovergez i ε. 3.7 Lemma Die Fuktio I : 2, C, x t + i 2 t 2 + x ist i eier Umgebug vo 0 stetig differezierbar mit I 0 = π ud I0 = 0. Beweis Es sei f : t R gilt da 2, R C, f x, t = t + i 2 t 2 + x. Für x 2, ud f x, t = Für x > 2 existiert das Itegral folgt u, dass auch t + i 2 t 2 + x = t 2 + t 2 + x = t 2 + +x. f x, t lim t t 2+2x t 2+2x. Mit t 2 +x = lim t t 2 = + existiert. Daraus folgt weiter, dass auch f x, t = 2 0 f x, t f x, t + 2 f x, t existiert. Das heisst I ist wohldefiiert. Wir zeige jetzt, dass I auf 4, stetig differezierbar ist. f ist stetig differezierbar ach x mit x f x, t = logt2 + t + i 2 t 2 + x = logt 2 + f x, t.
Für x > 4 gilt f x, t x = logt2 + t 2 + +x logt2 +. t 2 + 3 4 Das Itegral t 5 4 existiert. Wege lim t logt 2 + t 2 + 3 4 t 5 4 logt = 2 + t 2 3 4 lim = 0 t t 4 t 2 + existiert da auch ud damit auch logt 2 + t 2 + 3 4, logt 2 + t 2 + 3 4 = 2 0 logt 2 + t 2 + 3 4 + 2 logt 2 + t 2 + 3 4. Isgesamt folgt u, dass das Parameteritegral I stetig differezierbar auf 4, ist mit I x = f x, t. x Isbesodere erhalte wir I 0 = logt 2 + t + i 2. Eie Stammfuktio des Itegrade ist gegebe durch das heisst es ist I 0 = + logt2 + t + i t + logt2 + t + i arctat, arctat = arctat = π. 2
Als letztes bereche wir och I0. Nach dem Vorherige ist I isbesodere auch stetig ist 0, das heisst, wir köe schreibe: I0 = t + i 2 = 2πi Res a a H z + i 2 = 0 Damit köe wir us jetzt dem Beweis vo Satz 3.4 widme. Beweis 3.4 Zuächst ist G2 icht holomorph, da z Iz icht holomorph auf H ist, im Gegesatz zu G 2 ud z z. Um u das Trasformatiosverhalte vo G2 zu utersuche, defiiere wir für ε > 0 G 2,ε z =, z H. m, mz + 2 2ε mz + Nach.5 ist G 2,ε z absolut koverget. Durch Umorde gemäß m, m, a b c d erhalte wir die Trasformatioseigeschaft az + b G 2,ε = cz + d 2 cz + d 2ε G cz + 2,ε z, d für z H ud a b c d SL2 Z. Wir wolle u zeige, dass für z = x + iy H gilt: lim ε 0 G 2,ε z = G 2 z π y Dazu defiiere wir für ε > 2 I ε z = 2, z H. z + t 2 2ε z + t Die Fuktio I ε ist da wohldefiiert, da R R, t 2 + 2ε > itegrierbar ist. z+t 2+2ε mit z H ud Sei jetzt also z = x + iy H. Für ε > 0 ist G 2,ε z, ud ach 3.6 auch + mz + 2 mz + 2ε mz + t 2 mz + t 2ε, = 3
absolut koverget. Wir köe daher schreibe: G 2,ε z I ε mz = = 2 = 2 =, =0 = 2 2 = + 2 2+2ε + m=, m =0 = mz + t 2 mz + t 2ε 2+2ε + 2 = 2+2ε = Da die ζ-fuktio stetig i 2 ist, ud + = mz + 2 mz + 2ε mz + 2 mz + 2ε mz + t 2 mz + t 2ε mz + 2 mz + 2ε = [ + mz + t 2 mz + t 2ε + mz+ 2 mz+ 2ε mz+t 2 mz+t 2ε ach 3.6 absolut ud lokal gleichmäßig für ε > 2 kovergiert, also auch eie i 0 stetige Fuktio defiiert, erhalte wir: + lim G 2,ε z ε 0 I ε mz = 2 = 2 + 2 = mz + 2 mz + t 2 Für festes m N gilt Wege mz+ + mz + t 2 = mz + mz + +. 0,, folgt daraus Teleskopsumme = + mz + 2 = 0, ] 4
ud somit lim G 2,ε z ε 0 I ε mz = 2 = 2 + 2 = mz + 2 = G 2z. Weiter ist für ε > 2 I ε z = I ε x + iy = 2 = 2 = 2 = 2Iε y +2ε, x + t + iy 2 x + t 2 + y 2 ε t + iy 2 t 2 + y 2 ε t y 2+2ε y + i 2 t 2 ε + y wobei Iε := t + i 2 t 2 + ε. I obiger Rechug wurde eimal x + t, ud eimal t y y > 0 substituiert. Damit erhalte wir u für ε > 0: I ε mz = 2Iε 2Iε = my +2ε y +2ε m +2ε = 2Iε ζ + 2ε y+2ε Nach 3.5 gilt ζ + 2ε = 2ε + O, ε 0. Da mit 3.7 I stetig i 0 ist, mit I0 = 0, Iε folgt wege lim = 0 u ε 0 y +2ε lim ε 0 2Iε I ε mz = lim ζ + 2ε = lim ε 0 y+2ε ε 0 2Iε = lim 2εy+2ε ε 0 Iε εy +2ε. 3.7 liefert ausserdem och, dass I differezierbar i 0 ist mit I 0 = π. Damit folgt Iε Iε I0 lim = lim ε 0 εy+2ε ε 0 y +2ε = ε 0 y I 0 = π y. 5
Isgesamt gilt also lim ε 0 G 2,ε z = G 2 z π y = G 2 z. Das Traformatiosverhalte vo G2 erhalte wir etspreched direkt aus dem Trasformatiosverhalte vo G 2,ε. Es gilt ämlich für z H ud a b c d SL2 Z: G2 az + b az + b = lim G cz + 2,ε d ε 0 cz + d = lim ε 0 cz + d 2 cz + d 2ε G 2,ε z = cz + d 2 lim ε 0 G 2,ε z = cz + d 2 G 2 z 3.8 Bemerkug Etspreched 3.4 defiiert auch G2z 3 2πy = G 2ζ2 2 z π, z = x + iy H y eie icht-holomorphe Fuktio mit dem Trasformatiosverhalte eier Modulform vom Gewicht 2. 3.9 Korollar Trasformatioseigeschaft vo G 2 Seie z H ud a b c d SL2 Z, da gilt az + b G 2 = cz + d 2 G cz + 2 z 2πiccz + d. d Beweis Seie z = x + iy H ud a b c d SL2 Z. Da ist I az + b cz + d = y cz + dcz + d, 6
ud mit 3.4 folgt az + b G 2 = G2 cz + d az + b πcz + dcz + d + cz + d y πcz + dcz + d = cz + d 2 G 2 z + y = cz + d 2 G 2 z π πcz + dcz + d + y y cz + d cz d = cz + d 2 G 2 z πcz + d y 2cyi = cz + d 2 G 2 z πcz + d y = cz + d 2 G 2 z 2πiccz + d. 3.0 Bemerkug Trasformatioseigeschaft vo G2 Für z H ud a b c d SL2 Z gilt G 2 az + b cz + d = 2ζ2 G 2 az + b cz + d = 3 cz π 2 + d 2 G 2 z 2πiccz + d = cz + d 2 G2z 6 iccz + d π 7
4 Literaturverzeichis 4 Literaturverzeichis [] Bruiier, va der Geer, Harder, Zagier; The -2-3 of Modular Forms, Spriger- Verlag, Berli, Heidelberg, 2008 [2] A. Krieg, Fuktioetheorie II, 203, Skript zur Vorlesug 8