Ausglechungsrechnung Modellbldung, Auswertung, Qualtätsbeurtelung Frank Netzel 3manz Insttut für Raumbezogene Informatons- und Messtechnk Fachhochschule Manz Lucy-Hllebrand-Str. 5518 Manz netzel@geonform.fh-manz.de 1 Enletung Geodätsche Arbeten verfolgen das generelle Zel, ele der geometrschphyskalschen Realtät auf der Grundlage von Messungen zu beschreben. Da es jedoch n fast allen Fällen ncht möglch st, alle Parameter, de de geometrsch-physkalschen Verhältnsse beschreben, drekt zu messen, muss en funktonales Modell aufgestellt werden. Mt desem soll de Verknüpfung des Vektors der Messungen L mt dem gesuchten Parametervektor u n der Form L = F( u ) (1) erfolgen. In deser Darstellung repräsentert L den Vektor fehlerfreer Messwerte, F(u) en funktonales Modell, das den Zusammenhang zwschen den Messwerten und den gesuchten Größen vollständg beschrebt. Da fehlerfree Messungen aufgrund technsch-mechanscher Unzulänglchketen und der Unvollkommenhet der menschlchen Snne ncht möglch snd, erhält man anstelle des Vektors L n der Realtät den Vektor l, der zufällge Abwechungen 1 ε z enthält und grobe Fehler ε g sowe systematsche Abwechungen 1 ε s enthalten kann. Zudem st es n der Realtät ncht möglch, alle Modellenflüsse vollständg zu erfassen. 1 Zufällge bzw. systematsche Abwechungen, sehe DIN 1319, el 3, wurden früher als zufällge Fehler bzw. systematsche Fehler bezechnet. 1
Es können jewels nur de Hauptenflüsse mt Hlfe enes Modells f(x) erfasst werden. Somt erhält man anstelle von (1) ene Glechung n der Form l = f ( x) + εs + εz + ε g. () De erforderlchen Verarbetungsschrtte, damt l ene möglchst zutreffende quanttatve Aussage über de Messgrößen lefert, werden n Abschntt aufgezegt. De Möglchketen ener möglchst realtätsnahen Modellbldung werden n Abschntt 3 vorgestellt. De Lösung überbestmmter Problemstellungen mt Hlfe der Ausglechungsrechnung wrd n Abschntt 4 gezegt. In desem Abschntt werden auch de Auswertemodelle nnerhalb der Methode der klensten Quadrate vorgestellt und das Konzept der robusten Parameterschätzung wrd erläutert. Daran anschleßend folgt ene Enführung n de Anwendung statstscher estverfahren. De verschedenen Kenngrößen zur Qualtätsbeurtelung von Ausglechungsergebnssen werden n Abschntt 6 vorgestellt. Messwerte Das grundsätzlche Zel von Messungen st de quanttatve Aussage über ene Messgröße, z.b. de Länge der Schrägstrecke zwschen zwe Punkten. Dese quanttatve Größe wrd als Messwert bezechnet. In velen Fällen repräsenteren de Geräteablesungen jedoch ncht den gesuchten Messwert, da noch folgende Enflüsse zu berückschtgen snd: Enflüsse aus dem Messsystem, z.b. Instrumentenmaßstab und Addtonskonstante be der elektrooptschen Entfernungsmessung. Enflüsse aus der Umwelt, z.b. Laufzetverzögerungen n der Atmosphäre be der elektrooptschen Entfernungsmessung. Für de Enflüsse aus dem Messsystem snd n regelmäßgen Abständen Kalbrerparameter zu bestmmen, mt denen de Rohdaten korrgert werden können. Für enen automatserten Messwertfluss empfehlt es sch, dese Kalbrerparameter am Instrument, z.b. achymeter, enzugeben, so dass dese sofort angebracht werden können. Enflüsse aus der Umwelt snd durch Messung zusätzlcher Größen we Luftdruck und emperatur zu erfassen. Auch her empfehlt es sch, dese Werte drekt am Gerät enzugeben, damt de Korrekturwerte sofort angebracht werden können. Durch dese Korrektonen erhält man aus der Geräteablesung enen Messwert, der m Rahmen der Genaugket des engesetzten Instrumentarums ene quanttatve Aussage über ene Messgröße lefert.
De wetere Verarbetung der Messwerte erfolgt m Hnblck auf de Rechenfläche, n der de Auswertung letztendlch erfolgen soll. Zur Unterschedung zu den zuvor beschrebenen Korrektonen wrd deser Verarbetungsschrtt als Redukton bezechnet. Da de Auswertung n fast allen Fällen n enem ebenen Koordnatensystem, Gauß-Krüger- oder UM-Koordnatensystem, stattfndet, snd de Messwerte zunächst n ene lokale Horzontalebene zu reduzeren. Für Horzontalrchtungen entfällt deser Schrtt, da se sch berets auf ene Horzontalebene bezehen, de Streckenmessungen snd jedoch mt Hlfe von Zentwnkelmessungen jewels n ene Horzontalebene auf Höhe der Instrumentenkppachse zu reduzeren. Von dort snd de Werte mt Hlfe geometrscher Reduktonen auf den Horzont des Bezugsellpsods zu bezehen. Danach werden de Strecken mt Hlfe enes Maßstabsfaktors n de Gauß-Krüger- oder UM- Ebene übertragen. Nach desen Verarbetungsschrtten steht der Vektor l der auf de Rechenfläche reduzerten Messwerte zur Verfügung. Deser Vektor wrd m Allgemenen, und somt auch n desem Betrag, als Beobachtungsvektor und sene Komponenten als Beobachtungen bezechnet. Dese Bezechnung st jedoch ncht ganz sachgerecht, da se de Verwendung orgnärer Messwerte mplzert, was jedoch nur für enen el der Messwerte, z.b. Rchtungsmessungen, zutreffend st. Bezüglch des Fehlerhaushaltes des Beobachtungsvektors st folgendes festzustellen: Der Vektor l st mt zufällgen Abwechungen ε z behaftet, da es aufgrund technsch-mechanscher Unzulänglchketen und der Unvollkommenhet der menschlchen Snne kene fehlerfreen Messwerte geben kann. Der Vektor l kann mt groben Fehlern ε g behaftet sen, de z.b. durch Punktverwechslungen entstanden snd. Der Vektor l kann mt systematschen Abwechungen ε s behaftet sen, de z.b. durch Nchtberückschtgung von Kalbrerparametern verursacht werden. 3 Modellbldung 3.1 Das funktonale Modell Nach der Beretstellung des Beobachtungsvektors l besteht de Aufgabe, en funktonales Modell aufzustellen, das de gesuchten Parameter mt den Messwerten l verknüpft. Da ene vollständge Modellbldung z.b. aufgrund von sys- 3
tematschen Enflüssen, deren Exstenz oder deren funktonales Gesetzt ncht bekannt st, ncht möglch st, besteht de Aufgabe en bestmöglches funktonales Modell f(x) aufzustellen. Entschedenden Enfluss auf de Art und Anzahl der Parameter m Vektor x - de Modellbldungstefe - hat zum enen der Grad der Berückschtgung von Korrektonen und Reduktonen m Vektor l und zum anderen de Auswahl der Rechenfläche für de Auswertung. De Auswahl der Rechenfläche wrd n fast allen Fällen von den gesuchten Parametern bestmmt. Wrd z.b. en Lagenetz zur Bestmmung von UM-Koordnaten gemessen, wrd de Auswertung n der UM-Koordnatenebene stattfnden. Wurden m Vektor l alle erforderlchen Korrektonen und Reduktonen angebracht, so dass sch de Beobachtungen auf de UM-Koordnatenebene bezehen, kann en funktonales Modell mt den Parametern Y, X, (Koordnatenunbekannte) und o (Orenterungsunbekannte) als Komponenten des Vektors x aufgestellt werden. Wurde de UM-Projektonsverzerrung be der Aufstellung des Vektors l ncht berückschtgt, so st es auch möglch, dese auf Seten des funktonalen Modells durch Enführung enes Maßstabs als festen Parameter zu berückschtgen. Weterhn besteht de Möglchket, z.b. Kalbrerparameter, de be der Aufstellung des Vektors l ncht berückschtgt wurden, als unbekannte Parameter auf Seten des funktonalen Modells zu berückschtgen. Sollen z.b. Instrumentenmaßstab und Addtonskonstante be der elektrooptschen Entfernungsmessung als Unbekannte engeführt werden, ergbt sch ene Streckenbeobachtung mt l = f ( Y, X, Y, X, a, m) (3) k k j j als Funkton der Koordnaten des Standpunktes j, der Koordnaten des Zelpunktes k, der Addtonskonstanten a sowe des Instrumentenmaßstabs m. De Enführung von Kalbrerparametern als Unbekannte m funktonalen Modell fndet z.b. be der Bestmmung von Kalbrerparametern für Amateurkameras n der Nahberechsphotogrammetre Anwendung, was als calbraton-on-the-job bezechnet wrd. Grundsätzlch st be der Aufstellung des funktonalen Modells zu beachten, dass sch der Beobachtungsvektor l und das funktonale Modell f(x) auf ene gemensame Rechenfläche bezehen und dass alle Korrektonen und Reduktonen entweder auf der Sete der Beobachtungen oder auf der Sete des funktonalen Modells als feste oder unbekannte Parameter berückschtgt werden. Ene unvollständge funktonale Modellbldung führt unwegerlch zu ener systematschen Verfälschung der gesuchten Parameter. 4
3. Das stochastsche Modell De gesuchten Parameter x sowe deren Genaugketen werden durch de Genaugketen der enzelnen Beobachtungen l drekt beenflusst. Daher st es erforderlch, dass für de Beobachtungen möglchst zuverlässge Genaugketsangaben n Form von Standardabwechungen vorlegen. In der Regel snd de Herstellerangaben für das verwendete Instrumentarum zu verwenden, möglch st auch, Werte zu verwenden, de aus der Erfahrung über enen längeren Zetraum mt dem Messsystem gesammelt wurden. De Genaugketsangaben setzen sch n den mesten Fällen aus enem konstanten und enem entfernungsabhänggen Antel zusammen. De Genaugket der Rchtungsmessung kann mt B1 σ r = B0 + ρ s (4) angegeben werden, wobe B 0 de nnere Rchtungsmessgenaugket und B 1 den entfernungsabhänggen Antel enes vermarkungsspezfschen Zentrer- bzw. Zelenstellfehlers n Bezug zur Zelwete s repräsentert. De Genaugket von Streckenmessungen kann mt σ s = A1 + A s (5) angegeben werden, wobe A 1 den konstanten und A den entfernungsabhänggen Antel der Streckenmessgenaugket repräsentert. Fasst man de Genaugketsangaben σ n ener Matrx zusammen, erhält man mt Σ ll σ 1 0 σ = 0 σ n (6) de Varanz-Kovaranzmatrx der Beobachtungen, wobe mt n de Anzahl der Beobachtungen bezechnet st. De Kovaranzen (Nebendagonalelemente) werden n velen Anwendungen zu null gesetzt, da sch de eventuell bestehenden Korrelatonen zwschen den Beobachtungen ncht erfassen lassen. 5
4 Ausglechungsrechnung 4.1 Enführung In den Ausführungen der vorangegangenen Abschntte st bsher kene Aussage zur Anzahl der Beobachtungen n m Verhältns zur Anzahl der gesuchten Parameter u getroffen worden. Das legt darn begründet, dass de Konzepte zur Beretstellung des Beobachtungsvektors und zur Modellbldung sowohl für Mnmalkonfguratonen mt m = u als auch für überbestmmte Konfguratonen mt m > u gelten. Mt Hlfe ener Mnmalkonfguraton können de gesuchten Parameter aus mathematscher Scht endeutg bestmmt werden, de Angabe von Standardabwechungen für de gesuchten Parameter st mt Hlfe des Varanz-Fortpflanzungsgesetzes möglch. Allerdngs hat deser Fall den entschedenden Nachtel, dass Beobachtungsfehler ncht erkannt werden können und sch somt auf de gesuchten Parameter durchschlagen. De Zuverlässgket des Ergebnsses aus ener Mnmalkonfguraton st daher glech Null! Aus desem Grund soll nun der Fall betrachtet werden, dass mt n > u mehr Beobachtungen als Unbekannte vorlegen. Man sprcht dann von enem Ausglechungsproblem. Nehmen wr zunächst an, dass de Messwerte ledglch mt zufällgen Abwechungen behaftet snd. Dann können mt v = ε (7) de so genannten Verbesserungen engeführt werden, womt () übergeht n z l + v = f ( x ). (8) Zur Lösung des Ausglechungsproblems bedarf es für ene Funkton deser Verbesserungen ener zusätzlchen Forderung. De am häufgsten aufgestellte Forderung st, dass de Quadratsumme der gewchteten Verbesserungen mt zum Mnmum wrd. Mt P st de Gewchtsmatrx v P v mn (9) 1 Q = Σ, P = Q (10) 1 ll ll ll σ 0 6
bezechnet, de man aus (6) erhält, wobe mt σ 0 der (unbekannte) theoretsche Varanzfaktor bezechnet st, der vor der Ausglechung (a pror) oftmals mt σ 0 = 1 gewählt wrd. Ene Ausglechung mt der Zelfunkton (9)wrd als Methode der klensten Quadrate bezechnet, de m folgenden Abschntt näher erläutert wrd. Ausglechungsmethoden mt alternatven Zelfunktonen werden n Abschntt 4.3 vorgestellt. 4. De Methode der klensten Quadrate 4..1 Allgemenes De Methode der klensten Quadrate wurde etwa zetglech von C.F. GAUß und A.M. LEGENDRE zu Begnn des 19. Jahrhunderts entdeckt und zunächst auf astronomsche Problemstellungen angewendet. Enen nteressanten Enblck n de Entstehungsgeschchte beten Brefwechsel von C.F. GAUß, de unter Zur Geschchte der Entdeckung der Methode der klensten Quadrate n (Gauß 1900, S. 136-141) dokumentert snd und n denen C.F. GAUß beschrebt, dass er dese Methode set 1794 velfach angewendet hat. Ene Dskusson über de Begründung der Methode der klensten Quadrate st ebenfalls unter Krtsche Bemerkungen zur Methode der klenste Quadrate anhand von Brefwechseln n (Gauß 1900, S. 14-148) dokumentert. Ene Zusammenstellung von Abhandlungen zur Methode der klensten Quadrate st n (Gauß 1887) zu fnden. Als weteres grundlegendes Werk st (Helmert 194) anzusehen, worn neben Anmerkungen zur geschchtlchen Entwcklung unter anderem de Ausglechung nach vermttelnden Beobachtungen beschreben wrd. Ene Zusammenfassung der hstorschen Entwcklung und der Gaußschen Begründungen für de Methode der klensten Quadrate st n (Caspary 1988) zu fnden. Zudem werden krtsche Anmerkungen zur Anwendung deser Methode aufgeführt, de jedem Anwender bewusst sen sollten. Der Durchbruch deser Methode kam mt den Anwendungen n der Landesvermessung ab ca. 1850. Heutzutage st de Methode der klensten Quadrate de Standard-Auswertemethode für nahezu alle Fragestellungen n der Geodäse und Geonformatonstechnk. Umfangreche Softwarepakete erlechtern de Anwendung, so dass dese Methode (leder) oftmals als Black-Box-Verfahren angewendet wrd. Auch n der DIN 1319, el 4 st de Anwendung deses Schätzprnzps be überbestmmten Problemstellungen verankert. 7
Neben ener ren geometrschen Interpretaton der Ausglechung nach klensten Quadraten, nämlch der Mnmerung ener Norm, lässt sch auch ene statstsche Begründung fnden (Maxmum-Lkelhood-Schätzung). Des setzt aber voraus, dass es sch be den Beobachtungsfehlern um normalvertelte Zufallsgrößen handelt. In (Helmert 194, S. 115) wrd dazu ausgeführt: Lässt sch nachwesen, dass das Fehlervorkommen der Gaußschen Form (Anm.: Normalvertelung) [...] entsprcht, so erhalten wr [...] durch de Methode der klensten Quadrate de wahrschenlchsten Werte der Unbekannten. Zuglech bestzen dese Werte de größten Gewchte bzw. de klensten mttleren Fehler. Entsprcht aber das Fehlervorkommen dem Gaußschen Fehlergesetze ncht, so haben wr ncht mehr de wahrschenlchsten Werte der Unbekannten, dagegen n hrer Bestmmung mmer noch de klensten mttleren Fehler [...]. Desen warnenden Hnwes kann man an mehreren Stellen n der Lteratur fnden, so führt z.b. (Lnnk 1961, S. 84) aus, dass de Optmalegenschaften der Methode der klensten Quadrate auf das engste mt der Normalvertelung des Fehlervektors der Beobachtungen verbunden snd. Es st aber unbedngt zu beachten, dass Beobachtungsfehler de Forderung nach strenger Normalvertelung ncht erfüllen und auch ncht erfüllen können; se snd bestenfalls näherungswese normalvertelt, sehe herzu z.b. (Caspary 1988) oder (Petrovc 003, S. 1). Es gbt nämlch kene Messungen mt ener unbeschränkten Auflösung m Klenen, weterhn st en wahrer Fehler von 10 km be der Messung ener 10 m langen Strecke statstsch zwar sehr unwahrschenlch, aber dennoch möglch. Be tatsächlchen Messungen kann aber ene derartge zufällge Abwechung überhaupt ncht vorkommen. Wrd den Beobachtungsfehlern dennoch ene Normalvertelung zugesprochen, handelt es sch ledglch um ene Annahme, de der tatsächlchen Natur der Messungen mal mehr und mal wenger gut entsprechen kann. Bestzt de Vertelungsfunkton ledglch de Egenschaft der Symmetre, werden de Ergebnsse ener Ausglechung nach klensten Quadraten oftmals de plausbelsten oder günstgsten genannt (sehe z.b. Welsch et al. 000). Doch gerade der Begrff plausbel sollte mt großer Vorscht verwendet werden, da mt hm oftmals ene statstsche Interpreterbarket der Ergebnsse verbunden wrd, de aber nur für normalvertelte Beobachtungsfehler sachgemäß st. Für den Fall, dass de Messfehler ncht normalvertelt snd, oder de Messwerte mt groben Fehlern behaftet snd, oder de Modellbldung unvollständg st (systematsche Abwechungen), 8
lefert de Anwendung der Methode der klensten Quadrate zwar mmer noch en Ergebns, das de Forderung (9) erfüllt (also m Snne der Mnmerung ener Norm en günstges Ergebns lefert), ene statstsche Interpretaton deser Ergebnsse st jedoch ncht mehr möglch. De atsache, dass de Optmalegenschaften der Methode der klensten Quadrate auf das engste mt der Normalvertelung des Fehlervektors ε z der Beobachtungen verbunden snd, hat drekte Auswrkung auf de Erkennbarket von groben Fehlern und systematschen Abwechungen. Dese lassen sch nur dadurch erkennen, dass de Verbesserungen nach der Ausglechung en anderes Verhalten aufwesen, als sch n Abwesenhet deser Fehler ergeben würde. De Erkennung fehlerhafter Beobachtungen kann gelngen, wenn nur en gernger el der Engangsdaten verfälscht st. Aufgrund der bekannten Verschmerungseffekte (Enfluss grober Fehler auf Nachbarbeobachtungen) be der Anwendung der Methode der klensten Quadrate, stößt deses Verfahren bem Vorlegen mehrerer Ausreßer schnell an sene Grenzen. Der prozentuale Antel fehlerhafter Daten an den Gesamtdaten, be dem ene Ausglechungsmethode noch brauchbare Ergebnsse lefert, wrd als Bruchpunkt bezechnet. Be der Methode der klensten Quadrate beträgt deser ledglch ca. 3% bs 5%, sehe (Nemeer 008, S. 18). Ist en größerer Prozentsatz fehlerhafter Beobachtungen n den Daten zu befürchten, st en Preprocessng mt ener anderen Zelfunkton ratsam. Herzu zählt de Anwendung der robusten Ausglechungsmethoden, de n Abschntt 4.3 vorgestellt werden. 4.. Ausglechungsmodelle Hat man sch für de Anwendung der Methode der klensten Quadrate entscheden, stellt sch als nächstes de Frage nach enem geegneten Ausglechungsmodell, um de Zahlenergebnsse für de gesuchten Parameter zu berechnen. De Wahl hängt von der Art des funktonalen Modells ab, mt dem de Beobachtungen und de gesuchten Parameter mtenander verknüpft snd. 4...1 Der Allgemenfall der Ausglechungsrechnung In (8) wurde davon ausgegangen, dass sch je ene Beobachtung als Funkton der gesuchten Parameter darstellen lässt. reten n den funktonalen Bezehungen glechzetg mehrere Beobachtungen und Unbekannte auf, ergbt sch mt ( ) h ( ) ψ v, x = l + v, x = 0 (11) 9
ene mplzte Form der funktonalen Bezehungen, de als bedngte Beobachtungen mt Unbekannten (Helmert 194, S. 85 ff.) den Allgemenfall der Ausglechungsrechnung darstellt. Deser Fall trtt z.b. be der Berechnung ener ausglechenden Geraden auf, be der sowohl de Werte y als auch de Werte x als fehlerbehaftete Beobachtungen engeführt werden. Deser Allgemenfall wrd als Gauß-Helmert-Modell (GH-Modell) bezechnet, das mt Hlfe ener sachgerechten Lnearserung und Iteraton gelöst werden kann. Sachgerecht bedeutet n desem Fall, dass de Lnearserung der Bedngungsglechungen korrekt und somt sowohl an der Stelle der Näherungswerte x 0 für de Unbekannten als auch an der Stelle der Näherungswerte v 0 für de Verbesserungen erfolgt (alternatv kann de Lnearserung an der Stelle l + v 0 vorgenommen werden). Obwohl auf de Notwendgket deser sachgerechten Lnearserung set den 1970er Jahren n mehreren Publkatonen hngewesen wurde, sehe z.b. (Pope 197) fndet man heutzutage n allen Lehrbüchern ledglch ene näherungswese Auswertung des GH-Modells, de ener Lnearserung an der Stelle v 0 = 0 entsprcht. Ene derartge Lösung kann nsbesondere be großen Resduen m Verhältns zu den Beobachtungen zu ener unbrauchbaren Lösung führen. Lenzmann und Lenzmann (004) grefen dese Problemstellung erneut auf und präsenteren ebenfalls ene strenge Auswertung des GH-Modells, wobe se sehr anschaulch zegen, unter welchen Vernachlässgungen sch de n der Lteratur üblcherwese verwendeten Formeln ergeben. De nachfolgend aufgeführte strenge Auswertung des GH-Modells basert auf der Darstellung n (Lenzmann und Lenzmann 004). Durch Enführung geegneter Näherungswerte lnearserten Bedngungsglechungen 0 v und 0 0 0 0 (, ) ( ) ( ) (, ) 0 x können für (11) de f v x = B v v + A x x + ψ v x = 0 (1) angegeben werden, mt den Matrzen der partellen Abletungen (, ) B v x (, ) ψ v x = v v, x 0 0 und A( v, x) (, ) ψ v x = x v, x 0 0 (13) de jewels an der Stelle der Näherungswerte Wderspruchsvektor 0 v und 0 x zu blden snd. Mt dem 10
(, ) 0 0 0 w = Bv + ψ v x (14) erhält man de Lösung für de Unbekannten aus dem Glechungssystem 1 BQllB A Q11 Q1 = = 0 A 0 Q1 Q k w w ˆ x x 0 0, (15) de Verbesserungen erhält man aus v = QllB k. (16) 0 0 De Lösungen v, ˆx snd solange als neue Näherungswerte v, x enzusetzen, bs en snnvoll gewähltes Abbruchkrterum errecht st. Den Schätzwert für den Varanzfaktor erhält man aus s 0 = v P v, (17) f wobe mt f der Frehetsgrad (Redundanz) des Ausglechungsproblems bezechnet st. De Kofaktorenmatrx der ausgeglchenen Parameter erhält man aus Q = Q, (18) xx de Kofaktorenmatrx der Verbesserungen der Beobachtungen ergbt sch zu Q = Q B Q BQ. (19) vv ll 11 ll Anzumerken st, dass Ausglechungsprobleme mt funktonalen Modellen n der Form (11) n der Lteratur zur mathematschen Statstk set ca. 1980 als so genannte otal Least-Squares Probleme behandelt werden, für de spezelle Lösungsalgorthmen zu entwckeln snd, sehe z.b. (Golub und van Loan 1980). Set enger Zet hat de otal Least-Squares Ausglechung auch Enzug n de geodätsche Lteratur gehalten, sehe z.b. Schaffrn (007). De atsache, dass sch otal Least-Squares Problemstellungen problemlos durch ene sachgerechte Auswertung des GH-Modells lösen lassen, wrd z.b. n (Netzel und Petrovc 008) am Bespel der ausglechenden Geraden gezegt. Aus dem n desem Abschntt vorgestellten Allgemenfall der Ausglechungsrechnung lassen sch alle weteren Ausglechungsmodelle ableten. 11
4... Ausglechung nach bedngten Beobachtungen reten n (11) kene Parameter x auf, resultert aus dem GH-Modell der Fall der Ausglechung nach bedngten Beobachtungen. De strenge Lösung st ebenfalls n (Lenzmann und Lenzmann 004) dargestellt. De Verbesserungen und der Schätzwert für den Varanzfaktor ergeben sch we n (16) und (17), de Kofaktorenmatrx der Verbesserungen erhält man nach (Nemeer 008, S. 184) aus ( ) 1 Q = Q B BQ B BQ. (0) vv ll ll ll 4...3 Ausglechung nach vermttelnden Beobachtungen reten n (11) nur Glechungen auf, n denen jewels nur ene enzelne Beobachtung l enthalten st, legt der Fall der Ausglechung nach vermttelnden Beobachtungen vor, der auch als Gauß-Markov-Modell bezechnet wrd. Aus ˆ = erhält man de Lösung für de Unbekannten De Verbesserungen A PAx A Pl (1) ( ) 1 xˆ = A PA A Pl = Q A Pl. () xx v = Axˆ l (3) ergeben sch zu ( xx ) v AQ A Pl l AQ A P E l. (4) = xx = De Berechnung der Kofaktorenmatrx der Verbesserungen erfolgt mt Hlfe des Varanz-Fortpflanzungsgesetzes und lefert was sch zu ( ) ( ) Q = AQ A P E Q PAQ A E, (5) vv xx ll xx Q Q AQ A (6) vv = ll xx zusammenfassen lässt. Ene ausführlche Herletung der Gebrauchsformeln st z.b. n (Nemeer 008, S. 13 ff.) zu fnden. 1
4.3 Alternatve Ausglechungsmethoden Snd de Voraussetzungen für ene sachgerechte Anwendung der Methode der klensten Quadrate (vollständges funktonales Modell, normalvertelte Beobachtungsfehler) ncht erfüllt, lefert de Ausglechung unrealstsche Modellparameter. Zudem snd, aufgrund der bekannten Verschmerungseffekte, fehlende Modellantele und Ausreßer n den Beobachtungen oftmals ncht mehr anhand der Resduen zu dentfzeren. Mt der Ausglechung bem Vorlegen von Modell- und Beobachtungsfehlern unbekannter Art beschäftgen sch de so genannten robusten Methoden, deren Entwcklung mt den Arbeten von HUBER und HAMPEL n den 1960er Jahren begann. En Überblck über de Entwcklung deser Methoden st n (Hampel 001) zu fnden. Set den 1970er Jahren haben de robusten Methoden auch Enzug n de geodätsche Anwendung gefunden, sehe z.b. (Caroso 1979). Enen aktuellen Überblck beten (Nemeer 008) und (Jäger et al. 005). In (Petrovc 003) wrd mt der Ausglechung nach maxmaler Korrelaton ene ren geometrsch begründete Ausglechungsmethode vorgestellt, de zur Parameterschätzung für unvollständge Modelle angewendet werden kann. Zur Beurtelung der Lestungsfähgket ener Ausglechungsmethode wrd deren Bruchpunkt angegeben. Der Bruchpunkt st der Prozentsatz von fehlerhaften Daten belebger Größe, der erlaubt st, bevor das Schätzverfahren falsche Werte lefert bzw. zusammenbrcht (Nemeer 008, S. 18). Der Bruchpunkt für de L 1 -Schätzung mt der Zelfunkton n v mn (7) = 1 und de LMS-Schätzung (LMS = Least Medan Squares) mt der Zelfunkton medan ( ) v mn (8) beträgt bs zu 50%. In (Hekmoglu und Koch 1999) wrd dazu ausgeführt, dass deser Wert de Fähgket ener Ausglechungsmethode charaktersert, mt sehr großen Ausreßern zurechtzukommen. Da dese aber n der geodätschen Praxs eher selten auftreten, wurde en Zuverlässgketsmaß entwckelt, für den Fall, dass mehrere klene Ausreßer m Datenmateral vorhanden snd. Deses wrd defnert als mnmale mttlere Erfolgsrate, n enem gegebenen Ausreßerntervall für ene bestmmte Anzahl von Ausreßern. 13
Untersucht wurden de Schätzverfahren nach HUBER, en modfzerter M- Schätzer, de LMS-Methode, der ANDREWS-Schätzer und de L 1 -Norm-Schätzung. Für de Darstellung der Zelfunktonen sowe de detallerten Ergebnsse der Untersuchung an Bespelen der enfachen und multplen lnearen Regresson se auf (Hekmoglu und Koch 1999) verwesen. Als Zusammenfassung der Untersuchungen lässt sch angeben: Be den alternatven Ausglechungsmethoden kann es vorkommen, dass dese Ausreßer produzeren, obwohl m Datenmateral kene enthalten waren. De Zuverlässgket robuster Methoden st abhängg von der Anzahl der Unbekannten, der Anzahl und Größenordnung der Ausreßer und von der Art der Ausreßer und der Poston (Geometre) der Beobachtungen. De Zuverlässgket robuster Methoden nmmt rapde ab, wenn de Anzahl der Unbekannten zunmmt. Abschleßend blebt also festzustellen, dass es ene Unversalmethode für de Datenanalyse ncht gbt und der Erfolg ener gewählten Methode mmer sehr stark von der Geometre des jewelgen Ausglechungsproblems abhängt. Weterhn st anzumerken, dass es sch nsbesondere be der L 1 - und der LMS- Schätzung um rene Dagnosewerkzeuge handelt. Daraus folgt, dass nach der Datenberengung ene Ausglechung nach klensten Quadraten als endgültge Parameterschätzung folgen muss. De folgenden Abschntte befassen sch mt der Erkennung fehlerhafter Beobachtungen nnerhalb der Ausglechung nach klensten Quadraten. Dazu werden an mehreren Stellen Entschedungen mt Hlfe statstscher ests getroffen, de daher m folgenden Abschntt kurz erläutert werden. 5 Statstsche estverfahren Be allen geodätschen Aufgabenstellungen kommt der Beurtelung der Messergebnsse oder daraus abgeleteten Größen ene zentrale Bedeutung zu. We dese Beurtelung, de grundsätzlch unter Berückschtgung der Messgenaugket erfolgt, generell durchgeführt wrd, lässt sch an folgendem Bespel veranschaulchen. Gegeben snd zwe Messwerte x und x j für deselbe Größe (z.b. Strecke zwschen zwe Punkten). De Annahme, dass de Abwechung x = x j - x ledglch auf Messungenaugketen beruht, wrd angenommen, falls x σ. (9) 14
In deser Darstellung repräsentert σ ene Genaugketsangabe für de Größe x, der Wert stellt enen snnvoll zu wählenden Faktor dar. De Genaugketsangabe sollte auf möglchst gescherten Erkenntnssen beruhen. Be Streckenmessungen z.b. sollte man enen Wert wählen, der als theoretsche Standardabwechung σ s vom Gerätehersteller angegeben wrd. Denkbar st auch, de emprsche Standardabwechung s s, de aus der Erfahrung mt dem verwendeten Gerät über enen längeren Zetraum stammt, als Grundlage zu nehmen. Entnmmt man de Fehlerschätzung ener Ausglechung, so sollte dese enen möglchst großen Frehetsgrad aufwesen. Auch für den Wert besteht de Möglchket, desen anhand von Erfahrungswerten abzuschätzen und das Produkt σ als ene Grenze für de Beurtelung der Abwechung x aufzufassen. En Bespel dafür st de Anwendung der bekannten 3σ - Regel, be der = 3 gewählt wrd. Heutzutage wrd de Beurtelung von Messergebnssen.d.R. unter Anwendung statstscher estverfahren durchgeführt. Voraussetzung für deren Anwendung snd mmer gewsse Annahmen über de Vertelung der zu testenden Größen. Derartge ests können also nur nsowet snnvolle Ergebnsse lefern, we dese Annahmen auch tatsächlch gelten. De Auswahl enes Schrankenwertes, unterhalb dessen ene Hypothese angenommen werden kann, erfolgt durch de Festlegung ener Irrtumswahrschenlchket α., de n velen Anwendungen mt α = 5% festgelegt wrd. De Grundlagen der statstschen estverfahren snd z.b. n (Welsch et al. 000) und (Nemeer 008) zu fnden, so dass auf ene ausführlche Darstellung an deser Stelle verzchtet werden kann. Der grundsätzlche Ablauf enes statstschen ests gestaltet sch we folgt: 1. Aufstellen der Nullhypothese H 0, Formulerung der Alternatvhypothese H A als zwesetge oder ensetge Fragestellung.. Festlegung der Irrtumswahrschenlchket (Sgnfkanznveau) α, bzw. der Scherhetswahrschenlchket P = 1 - α. 3. Berechnung ener Prüfgröße. 4. estentschedung aufgrund des Verglechs der Prüfgröße mt enem Schrankenwert. De statstschen ests für de Anwendungsbespele a) Verglech ener normalvertelten Größe mt hrem gegebenen Erwartungswert, b) Verglech des Erwartungswertes zweer normalvertelter Messgrößen, de das gleche Phänomen beschreben, 15
c) Verglech ener emprschen Standardabwechung s 0 mt der theoretschen Standardabwechung σ 0, d) Verglech von zwe emprsch ermttelten Standardabwechungen s 01 und s 0 snd n ab. 1 zusammengefasst. De Alternatvhypothese st zunächst als zwesetge Fragestellung, danach jewels als ensetge Fragestellung formulert. ab. 1: Zusammenstellung statstscher estverfahren est Nullhypothese H 0 a) t-est E{ x } = µ b) t-est E { x} { j} E{ x} = 0 E x = c) χ -est E{ s } d) F-est = σ 0 0 { 01} { } E s E s = = σ 0 0 H A E{ x } µ ; E{ x } < µ, E{ x } > µ E{ x} 0; E{ x} < 0, E{ x} > 0 E{ s } 0 σ 0 ; E{ s } 0 < σ 0, E{ s } 0 > σ 0 { 01} E{ s0} { 01} E{ s0} { 01} > E{ s0} E s E s E s ; <, Prüfgröße x µ s Alternatvhypothese Schrankenwert t Annahme von H 0, wenn t α t = f,1 α t f, 1 x t χ x t t α = f s ges,1 α t f ges, 1 x f s σ 0 = χ f,1 α χ χ f, 1 α 0 s F = s mt s > s 01 0 01 0 F α F Ff, f,1 α f1, f,1 1 Hat man sch für de Anwendung enes statstschen ests entscheden, stellt sch als nächstes de wchtge Frage nach der estgüte. Statstsche ests snd nur mt ener Irrtumswahrschenlchket α möglch. Mt desem Wert st de Wahrschenlchket festgelegt, mt der de Nullhypothese verworfen wrd, obwohl se rchtg st (Fehler erster Art). Am Bespel von Deformatonsuntersuchungen bedeutet des, dass Deformatonen angezegt werden, obwohl se ncht vorhanden snd. De Wahrschenlchket, dass de Nullhypothese angenommen wrd, obwohl se falsch st (Fehler zweter Art), wrd mt β bezechnet. Es st sofort enzusehen, dass das Begehen enes Fehlers zweter Art z.b. be Deformatonsuntersuchungen schwerwegende Folgen haben kann, denn n desem Fall werden Deformatonen ncht angezegt, obwohl se vorhanden snd. 16
De Wahrschenlchket γ = 1 - β, mt der de Alternatvhypothese angenommen werden kann, wrd als estgüte (rennschärfe, Macht des ests) bezechnet. De estgüte nmmt also umso mehr zu, je klener der Wert β wrd. Ene Verklenerung von β entsprcht anderersets ener Vergrößerung von α (vgl. Welsch 1975). Zudem hängt de Wahrschenlchket β von dem Nchtzentraltätsparameter λ ab. Je größer deser Wert st, umso weter legen Null- und Alternatvhypothese ausenander, d.h. de rennschärfe des ests wrd größer. Wählt man be glech blebender Nchtzentraltät λ enen größeren Wert für de Irrtumswahrschenlchket α, so nmmt de estgüte γ zu, sehe Abb. 1. Deser Vortel bedngt aber wederum, dass de Wahrschenlchket, enen Fehler erster Art zu begehen, anstegt. Somt st lecht enzusehen, dass de Wahl von α enen sehr sorgfältg auszuwählenden Kompromss zwschen Irrtumswahrschenlchket und estgüte darstellt. H 0 trfft zu 1P = 1-1 H A trfft zu = 1 1-1 1 1 y P = 1- H 0 trfft zu H A trfft zu = 1- y Abb. 1: Zunahme der estgüte γ > γ 1 wenn be glech blebender Nchtzentraltät λ mt α > α 1 de Irrtumswahrschenlchket erhöht wrd 6 Qualtätsbeurtelung En zentrales Anlegen des Geodäten besteht darn, Aussagen über de Qualtät der Messungen und der mt Hlfe des funktonalen Modells ermttelten Parameter zu machen. De erforderlchen Qualtätskrteren werden dabe n de Kategoren Genaugket und Zuverlässgket untertelt, sehe z.b. (Nemeer 008, S. 70 ff). 17
De gebräuchlchen Genaugketsmaße werden aus der Kofaktorenmatrx der gesuchten Parameter abgeletet. Es st aber unbedngt zu beachten, dass de Angabe von Genaugketsmaßen nur dann snnvoll st, wenn de Modellbldung möglchst vollständg st. Weterhn st von entschedender Bedeutung, dass das Ergebns m Idealfall ncht oder zumndest nur n gerngem Umfang von groben Fehlern n den Engangsdaten beenflusst wrd, zudem muss der Enfluss der zufällgen Abwechungen durch de aufgestellte Varanz-Kovaranzmatrx zutreffend beschreben sen. Erst wenn dese Punkte erfüllt snd, machen de Angaben zur Genaugket Snn, da es ansonsten passeren kann, dass z.b. unentdeckte grobe Fehler das Ergebns beenflussen können. De Qualtät enes Ausglechungsergebnsses st daher untrennbar mt dem Begrff der Zuverlässgket verbunden. Deser beschrebt de Kontrollmöglchketen, nnerhalb der Ausglechung grobe Fehler n den Beobachtungen zu lokalseren, den Enfluss eventuell ncht erkannter grober Fehler auf de Parameter abzuschätzen, de gegensetge Kontrolle von Beobachtungen abzuschätzen. Da de Genaugketsmaße vornehmlch den Anwender oder Auftraggeber nteresseren und de Zuverlässgketskrteren den Geodäten ntern abschern, sprcht man auch von äußeren und nternen geodätschen Krteren, sehe (Nemeer 008, S. 70 ff). 6.1 Genaugketskrteren 6.1.1 Lokale Genaugketsmaße Ausgehend von der Kofaktorenmatrx Q xx der Unbekannten können für de Neupunkte punktbezogene Genaugketsmaße berechnet werden. Wenn en belebger ausgeglchener Netzpunkt P de Koordnaten x ˆ und y ˆ n enem Lagenetz hat, können dese n enem Subvektor xˆ x ˆ = yˆ (30) aus dem gesamten Parametervektor ˆx zusammengefasst werden. 18
Zu jedem Subvektor x ˆ gehört ene entsprechende Submatrx qx x q x y q xx qxy Q xx, = = q q y yx q (31) yy x q y y als Ausschntt aus der Kofaktorenmatrx Q xx. Aus den Dagonalelementen deser Submatrx lassen sch für de Koordnatenunbekannten de Standardabwechungen s = s q, s = s q (3) x 0 x x y 0 y y angeben. Es st jedoch zu beachten, dass dese Standardabwechungen von der jewelgen Lage des Netzes m Koordnatensystem abhängen. Als skalares Maß zur Beurtelung der Punktgenaugket kann man aus (3) mt s = s + s (33) H P x y den mttleren Punktfehler angeben, der auch als Helmertscher Punktfehler bezechnet wrd. Als weteres skalares Maß kann der Werkmestersche Punktfehler s = s s s (34) W P x y x y angegeben werden, sehe z.b. (Nemeer 008, S. 79). Aus (31) lässt sch en weteres Genaugketsmaß ableten, nämlch de Helmertsche Fehlerellpse mt 1 AF = s0 ( qxx + qyy + ω), (35) 1 BF = s0 ( qxx + qyy ω), (36) 1 q arctan xy Θ F = qxx q yy (37) und der Hlfsgröße ( ) ω = q q + 4q. (38) xx yy xy 19
Mt A F bzw. B F snd de große bzw. de klene Halbachse bezechnet, Θ F bezechnet den Rchtungswnkel der großen Halbachse. De Wahrschenlchket, dass de wahre Punktlage nnerhalb deser Fehlerellpse legt, hängt vom Netzfrehetsgrad ab und beträgt zwschen 9% und 39%, sehe Nemeer (008, S. 78 ff.). Möchte man dese Wahrschenlchket auf enen vorgegebenen Wert, z.b. P = (1 - α) = 95% brngen, snd de Achsen der Fehlerellpse zu vergrößern, so dass man de so genannte Konfdenzellpse erhält. Wurden de Achsen unter Verwendung des Schätzwertes für den Varanzfaktor s 0 berechnet, so snd dese mt dem Quantl F der F-Vertelung zu multplzeren. Der Wert f f1, f,1 α 1 bezechnet den ersten Frehetsgrad, der mt f 1 = zu wählen st, der Frehetsgrad f entsprcht der Redundanz des Ausglechungsproblems. Mt α st de Irrtumswahrschenlchket bezechnet. Damt ergeben sch de Achsen der Konfdenzellpse nach (Nemeer 008, S. 77) zu A = F A, (39) K, f,1 α F B = F B, (40) K, f,1 α F Θ = Θ. (41) K Dese Genaugketskrteren, de sch auf enen Punkt und dessen Koordnaten bezehen, werden lokale Genaugketskrteren genannt. 6.1. Globale Genaugketsmaße Werden Genaugketsmaße aus der gesamten Kofaktorenmatrx Q xx abgeletet, sprcht man von globalen Genaugketsmaßen. Dese Maße werden nsbesondere be der Netzplanung und -optmerung engesetzt, um z.b. ene bestmmte Form und Größe der Fehlerellpsen zu errechen. In Anlehnung an de Konfdenzellpse m zwedmensonalen Fall wrd en u-dmensonales Konfdenzhyperellpsod betrachtet. De gewünschten Egenschaften enes Netzes führen dann zu Forderungen, de von den Halbachsen des Hyperellpsods zu erfüllen snd. In Analoge zum Helmertschen Punktfehler kann z.b. gefordert werden, dass de Summe der Achslängen deses Hyperellpsods mnmal wrd. Ene A- naloge zum Werkmesterschen Punktfehler besteht n der Forderung nach enem mnmalen Volumen des Hyperellpsods. De Forderung nach enem möglchst sotropen Netz, d.h. kresrunde Fehlerellpsen, führt zu der Forderung nach glech großen Halbachsen des Hyperellpsods. Ene ausführlche Vorstellung der globalen Genaugketsmaße st n (Nemeer 008, S. 8) zu fnden. F 0
6. Zuverlässgketskrteren 6..1 Redundanzantele der Beobachtungen De Abletung von Zuverlässgketsmaßen steht m engen Zusammenhang mt den Redundanzantelen der Beobachtungen. Zur Abletung deser Größen werden de Ergebnsse der Ausglechung m Gauß-Markov-Modell, sehe Abschntt 4...3, betrachtet. Multplzert man de Kofaktorenmatrx der Verbesserungen Q vv n (6) von rechts mt P ergbt sch Setzt man desen Ausdruck n (4) en erhält man Setzt man QvvP = E AQ xxa P. (4) v = Q Pl. (43) vv Qvv P = R, (44) erhält man für de Verbesserungen be dfferentellen Änderungen v = R l. (45) Geht man davon aus, dass l nur enen Fehler l benhaltet, so wrd deser durch de Multplkaton mt R auf alle Verbesserungen übertragen. Von besonderem Interesse st de Auswrkung enes Fehlers l auf de korresponderende Verbesserung v. Mt der Beschränkung auf den Fall, dass nur en Beobachtungsfehler vorhanden st, gelangt man über ( ) v = R l = r l (46) zu dem von (Förstner 1979) engeführten Begrff des Redundanzantels r, der das -te Dagonalelement der Matrx R st. Der Redundanzantel stellt damt enen Übertragungsfaktor dar, der angbt, we stark en Beobachtungsfehler auf de korresponderende Verbesserung übertragen wrd. Um Ausreßer m Beobachtungsmateral erkennen zu können, snd folglch hohe Redundanzantele erforderlch. 1
Im Extremfall kann en Redundanzantel den Wert r = 1 annehmen, d.h., dass sch en Beobachtungsfehler vollständg n der Verbesserung zegt. Des st der Fall, wenn ene Strecke zwschen zwe Festpunkten beobachtet wrd. Im anderen Extremfall, r = 0, zegt sch en Beobachtungsfehler ncht n den Verbesserungen und kann daher ncht lokalsert werden. Des st der Fall, wenn en Neupunkt nur durch enfaches polares Anhängen bestmmt st. In der Praxs wrd der Redundanzantel als Maß für de Kontrollerthet ener Beobachtung n Prozent angegeben und als EV -Wert (Enfluss auf de Verbesserung) EV = r 100% (47) n den Berechnungsprotokollen ausgegeben. De Summe aller Redundanzantele n r = spur ( QvvP ) = r (48) = 1 ergbt de Gesamtredundanz des Ausglechungsproblems, sehe (Förstner 1979). De Forderung nach möglchst hohen Redundanzantelen steht n Konkurrenz zu Wrtschaftlchketsüberlegungen. In der Praxs hat sch daher folgendes Bewertungsschema für de Beurtelung von Beobachtungen durchgesetzt: 0% EV < 1% ncht kontrollert 1% EV < 10% schlecht kontrollert 10% EV < 30% ausrechend kontrollert 30% EV < 70% gut kontrollert 70% EV < 100% Beobachtung kann ohne Verlust an Zuverlässgket entfallen Zur ersten Beurtelung von Ausglechungsaufgaben kann mt r u = 1 (49) n der mttlere Redundanzantel ener Beobachtung abgeschätzt werden, sehe (Nemeer 008, S. 93). Betrachtet man das Bespel enes bedsetg n Lage und Rchtung angeschlossenen Polygonzugs mt fünf Neupunkten, erhält man mt n = 0 Beobachtungen und u = 17 Unbekannten für den mttleren Redundanzantel den Wert r = 15%, was berets vor Begnn der Messungen auf ene schlechte Kontrollerthet der Beobachtungen hnwest. Mt Hlfe der Redundanzantele lassen sch Krteren für de nnere und äußere Zuverlässgket ableten, de n den Abschntten 6..3 und 6..4 vorgestellt werden.
6.. Ausreßersuche Das folgende Konzept für de Lokalserung von Ausreßern wurde von (Baarda 1968) entwckelt und als Data Snoopng bezechnet. 6...1 Globaltest Im ersten Schrtt, der als Globaltest bezechnet wrd, erfolgt ene Untersuchung des Ausglechungsergebnsses dahngehend, ob de Standardabwechung der Gewchtsenhet nach der Ausglechung (a posteror) s 0 = v P v (50) f mt dem vor der Ausglechung (a pror) vorgegebenen Wert der theoretschen Standardabwechung σ 0 überenstmmt. Dese Beurtelung erfolgt mt Hlfe enes χ -ests, dessen Ablauf n ab. 1 dargestellt st. Kann de Nullhypothese, dass sch bede Werte nur zufällg unterscheden, ncht angenommen werden, können folgende Ursachen dafür verantwortlch sen: Das funktonale Modell st unvollständg. Das stochastsche Modell wurde unzutreffend gewählt, z.b. durch de Festlegung zu optmstscher Genaugketen. Das Beobachtungsmateral enthält grobe Fehler. Bevor aber das funktonale und das stochastsche Modell angezwefelt werden, st scherzustellen, dass das Beobachtungsmateral fre von groben Fehlern st. 6... Lokaltest Hat der Globaltest ergeben, dass s 0 sgnfkant größer st als σ 0, st m nächsten Schrtt ene Analyse der enzelnen Beobachtungen durchzuführen, was als Lokaltest bezechnet wrd. Es stellt sch de Frage, welche Beobachtungen als Ausreßer dentfzert werden können. Ausgangspunkt für de Ausreßersuche st de Überlegung, dass en grober Fehler n der Beobachtung l hauptsächlch de korresponderende Verbesserung v beenflussen wrd. Daher verwendet man als estgröße de Normerte Verbesserung NV v σ = = σ v ( q ) v 0 vv. (51) 3
Mt σ 0 st de theoretsche Standardabwechung und mt q vv das -te Dagonalelement der Kofaktorenmatrx der Verbesserungen bezechnet. Zu beachten st her de Verwendung von σ 0 anstelle von s 0, da deser Wert durch enen eventuellen groben Fehler verfälscht sen könnte. Baarda (1968) hat gezegt, dass de NV der standardserten Normalvertelung mt N(0, 1) folgen, wenn kene Ausreßer n den Beobachtungen vorhanden snd. En Ausreßer legt somt vor, wenn der Wert NV größer st als der aus der standardserten Normalvertelung abzuletende Grenzwert. Deser beträgt für α = 0,1% be zwesetger Fragestellung y 1-α/ = 3,9. Da be n Beobachtungen folglch n Enzeltests durchzuführen snd, st de Irrtumswahrschenlchket deser ests darauf abzustmmen, damt sch m Lokaltest Ausreßer zegen, wenn zuvor de Nullhypothese des Globaltests verworfen wurde. De Abstmmung des estnveaus wrd n (Nemeer 008, S. 30 ff.) beschreben. In der Praxs erfolgt de Beurtelung der normerten Verbesserungen oftmals nach folgendem Bewertungsschema: NV <,5 Ken grober Fehler erkennbar,5 NV < 4,0 Grober Fehler möglch 4,0 NV Grober Fehler sehr wahrschenlch 6..3 Innere Zuverlässgket Um grobe Fehler aufzudecken, kann zunächst mt Hlfe von (46) de Größe enes etwagen Groben Fehlers GF v = l =, (5) r abgeschätzt werden. Es st sofort erschtlch, dass gernge Redundanztele r zu großen Werten GF führen. Um beantworten zu können, we gut de nnere Zuverlässgket z.b. enes geodätschen Netzes st, kann für jede Beobachtung untersucht werden, we groß en Fehler sen muss, damt er zum Verwerfen des ests führt. Dazu st erforderlch, den Enfluss enes groben Fehlers auf de normerte Verbesserung abzuschätzen. 4
Setzt man (46) n (51) en, erhält man den Ausdruck v r l l r GF r NV = = = = σ r σ r σ σ l l l l. (53) De NV folgen der standardserten Normalvertelung mt N(0, 1), wenn kene Ausreßer n den Beobachtungen vorhanden snd. Legt en Ausreßer vor, folgen se der nchtzentralen Normalvertelung mt N(δ 0, 1), wobe mt δ 0 der Nchtzentraltätsparameter bezechnet st. De Null- und de Alternatvhypothese für enen statstschen est auf enen groben Fehler l lauten somt { } { } H : 0, 0 E l = H : E l = l. A (54) De Nullhypothese kann angenommen werden, wenn de normerten Verbesserungen mt NV ~ N(0, 1) der standardserten Normalvertelung folgen, de Nullhypothese wrd zugunsten der Alternatvhypothese verworfen, wenn de NV mt NV ~ N(δ 0, 1) der nchtzentralen Normalvertelung folgen. We wet Null- und Alternatvhypothese ausenander legen, wrd durch δ 0 bestmmt. Für ene Irrtumswahrschenlchket von α = 0,1% be zwesetger Fragestellung und ener estgüte von 1-β mt β = 0% be ensetger Fragestellung erhält man aus der standardserten Normalvertelung y 1-α/ = 3,9 und y 1-β = 0,84. Somt muss NV mndestens sen. Aus (53) folgt für den unteren Grenzwert 0NV = δ0 = 3, 9 + 0,84 = 4,13 (55) l 0 0NV = δ0 =. (56) σ l Stellt man desen Ausdruck um, ergbt sch der GrenZWert für ncht erkennbare Fehler r GRZW l = l = = 0 δ σ δ σ 0 0 0 r r p. (57) 5
Deser Wert kann für jede Beobachtung be Vorgabe der Irrtumswahrschenlchket α und der estgüte 1-β für δ 0 berechnet werden und gbt Auskunft darüber, ab welcher Größenordnung grobe Fehler überhaupt aufgedeckt werden können. En grober Fehler unter dem Grenzwertfehler glt als zufällg und blebt somt unentdeckt. Neben den Werten α und β erkennt man aus (57) sofort de Enflussgrößen für de GRZW : Standardabwechungen der Beobachtungen, Redundanzantele der Beobachtungen und somt de Netzgeometre. 6..4 Äußere Zuverlässgket De äußere Genaugket beschrebt den Enfluss von Beobachtungsfehlern auf de gesuchten Parameter und Funktonen von desen. Von hoher äußerer Zuverlässgket kann gesprochen werden, wenn ncht lokalserte oder ncht lokalserbare grobe Fehler n den Beobachtungen de gesuchten Parameter möglchst weng beenflussen. De Beurtelung der äußeren Zuverlässgket bestzt somt oftmals ene größere Bedeutung als de Beurtelung der nneren Genaugket. Betrachtet man ausgehend von () den Enfluss dfferenteller Änderungen m Beobachtungsvektor, erhält man = x Q xxa P l. (58) Betrachtet man den Fall, dass l nur enen Fehler l benhaltet, so wrd deser durch de Multplkaton mt Q xx A P auf alle Parameter übertragen. Es kann a- ber davon ausgegangen werden, dass sch der Hauptenfluss auf den Anfangsund Endpunkt der Messung auswrkt. Scher bestmmte Punkte werden dabe ene gerngere Koordnatenveränderung aufwesen als schlecht bestmmte. Verwendet man nun für l das Maß für de nnere Zuverlässgket 0 l erhält man aus (58) mt x = Q A P l (59) 0 xx 0 en Maß für de äußere Zuverlässgket, das jedoch datumsabhängg st. Überträgt man de Auswrkung mt Hlfe des Varanz-Fortpflanzungsgesetzes auf de entsprechende Strecke erhält man = s AQ xxa P l. (60) 6
Setzt man (4) und (44) en, ergbt sch s = ( E R) l. (61) Durch de Annahme, dass l nur enen Fehler l benhaltet, glt ( 1 ) s = r l (6) für de -te Messung und unter Verwendung von 0 l = GRZW der Ausdruck EGK ( 1 ) = r GRZW, (63) wobe EGK den Enfluss des Grenzwertes auf de Koordnaten der berührenden Punkte bezechnet. Berechnet man de äußere Zuverlässgket aus dem Wert GF (5), erhält man für den Enfluss enes eventuellen groben Fehlers auf den de Messung berührenden Punkt ( 1 ) EP = r GF. (64) Legt als vermutlch grob falsche Messung ene Rchtungsbeobachtung vor, st das Wnkelmaß n ene Querabwechung umzurechnen. Zudem st der Redundanzantel um den an andere Parameter, z.b. Orenterungsunbekannte, abfleßenden Antel zu vermndern. 6.3 Praktsche Handhabung der Qualtätskrteren Da sch en Beobachtungsfehler auch auf de ncht mt deser Beobachtung korresponderenden Verbesserungen auswrkt, werden bem Vorhandensen enes Ausreßers.d.R. mehrere Werte NV den Grenzwert überschreten. Daher st mmer nur de Beobachtung mt dem größten Betrag von NV aus dem Beobachtungsmateral zu entfernen. Anschleßend st de Ausglechung mt n - 1 Beobachtungen erneut durchzuführen. Dese sukzessve Untersuchung und Elmnaton enzelner Beobachtungen wrd so lange fortgesetzt, bs sch kene Ausreßer m Beobachtungsmateral mehr zegen. Für de praktsche Handhabung der Qualtätskrteren der Genaugket und Zuverlässgket kann folgendes Schema verwendet werden. Zunächst st ene zu errechende Genaugket vorzugeben, z.b. n Form enes Helmertschen Punktfehlers oder durch Vorgabe der Halbachsen von Fehler- oder Konfdenzellpsen. Des Weteren st en Schrankenwert c zu wählen, bs zu dessen Errechen ene normerte Verbesserung akzeptert wrd. 7
alle Werte EV > 30%, alle Werte NV < c, alle Werte EP < σ P Das Ergebns erfüllt de Anforderungen bezüglch der Genaugket und Zuverlässgket. alle Werte EV > 30%, en Wert NV > c, alle Werte EP < σ p In ener Beobachtung legt vermutlch en Ausreßer vor. Da deser aber nur enen gerngen Enfluss auf den de Messung berührenden Punkt hat, kann dese Beobachtung n den Engangsdaten verbleben. alle Werte EV > 30%, en Wert NV > c, en Wert EP > σ p In ener Beobachtung legt vermutlch en Ausreßer vor, dessen Enfluss auf den de Messung berührenden Punkt ncht tolererbar st. De entsprechende Beobachtung st aus dem Beobachtungsvektor zu strechen. En Wert EV < 10%, alle Werte NV < c, alle Werte EP < σ p Obwohl alle normerten Verbesserungen und alle mttleren Punktfehler unterhalb der festgelegten Schrankenwerte legen, kann en Ausreßer n der Beobachtung mt EV < 10% ncht ausgeschlossen werden, da der Redundanzantel sehr gerng st. Abhlfe kann n desem Fall nur durch de Enführung zusätzlcher Beobachtungen oder durch de Stegerung der Genaugket von Nachbarmessungen geschaffen werden. Da de Ausglechung nach klensten Quadraten auf das engste mt der Annahme ledglch zufällger Abwechungen der Beobachtungen verknüpft st, beenflussen Ausreßer das Ergebns für de gesuchten Parameter n erheblchem Umfang. Dadurch st de Lestungsfähgket der Ausreßersuche stark begrenzt. Praktsche Erfahrungen haben gezegt, dass de her vorgestellte Ausreßersuche ledglch ca. 5% fehlerhafter Beobachtungen an der Gesamtanzahl der Beobachtung verkraftet. Deser Wert st kene feste Größe, sondern er varert je nach der Geometre und der Redundanz des Ausglechungsproblems. Um tatsächlch de Güte der Beobachtungen zu überprüfen, st z.b. be der Verdchtung enes Festpunktfeldes folgendes Ablaufschema zu wählen: 1. Free Netzausglechung, um den Enfluss von Netzspannungen auf de Analyse der Beobachtungen auszuschleßen.. Ausglechung mt stochastschen Anschlusspunkten. Herbe werden de Anschlusspunkte als Beobachtungen engeführt, de mt den vorgestellten Konzepten untersucht werden können. 3. Ausglechung mt festen Anschlusspunkten. Da dese Ausglechung das Endprodukt darstellt, muss herbe ene engehende Analyse der Zuverlässgket erfolgen. 8
6.4 Wetere Möglchketen der Qualtätsbeurtelung 6.4.1 Untersuchung auf systematsche Abwechungen De bshergen Ausführungen bezogen sch auf de Erkennung von groben Fehlern n den Beobachtungen. Im Folgenden soll kurz de Erkennung systematscher Fehlerenflüsse mt Hlfe der Untersuchungen der Verbesserungen der Beobachtungen aufgezegt werden, was als Resduenanalyse bezechnet wrd. Zu der Frage, ob sch systematsche Abwechungen mmer n den Resduen erkennen lassen, wrd n (Helmert 194) ausgeführt, dass dese de Resduen ändern können, jedoch ncht ändern müssen. Ausgehend davon, dass de Resduen sch von denen unterscheden können, de sch n Abwesenhet von groben Fehlern ergeben, kann jedoch de Vertelung der Resduen überprüft werden. In ener ersten Untersuchung kann geprüft werden, ob de Vertelung der Resduen en gerades Gesetz befolgt. Dafür sollen de gemessenen Größen laut (Helmert 194) glechartg oder glechsnng angeordnet werden. Des kann z.b. dadurch erfolgen, dass man de Streckenbeobachtungen mt enem bestmmten Instrument n ener Lste zusammenstellt und de entsprechenden Resduen betrachtet. Der Erwartungswert für de Vorzechensumme be ren zufällgen Abwechungen st Null mt ener Standardabwechung von n, wobe mt n de Anzahl der zu untersuchenden Beobachtungen bezechnet st. Ist der Betrag der Vorzechensumme s größer als n, hat man en erstes Anzechen, systematsche Enflüsse zu vermuten. Mt deser Untersuchung kann der Nachwes systematscher Enflüsse erbracht werden, über de Art der systematschen Abwechung lassen sch jedoch.d.r. kene Rückschlüsse zehen. An deser Stelle st der Sachverstand des Ingeneurs gefragt, der n desem Fall de gesamte Prozesskette von der Aufberetung der Messwerte bs zur Modellbldung überprüfen muss. 6.4. Varanzen von Beobachtungsgruppen Kann angenommen werden, dass aufgrund der Voruntersuchungen kene groben Fehler und kene systematschen Abwechungen mehr vorhanden snd, kann das stochastsche Modell erneut überprüft werden. Ergbt der Globaltest, sehe Abschntt 6...1, dass de Standardabwechung der Gewchtsenhet nach der Ausglechung s 0 mt dem vor der Ausglechung vorgegebenen Wert σ 0 überenstmmt, so st des noch kene Gewähr dafür, dass de Genaugketsrelatonen der Beobachtungsgruppen unterenander zutreffend abgeschätzt wurden. 9