Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um dies zu präzisieren, betrachten wir die zugehörigen Partialsummen s n := n a ν = a 0 + a 1 +... + a n. 1

Definition. Konvergiert die Folge der Partialsummen (s n ), so heisst die obige Reihe konvergent und man nennt a ν := lim s n n die Summe der Reihe. Divergiert (s n ), so heisst die Reihe divergent. Beachte die Doppelbedeutung des Symbols a ν einerseits als Bezeichnung für die Reihe und andererseits für die Summe (falls diese existiert). 2

Geometrische Reihe Beispiel. Die geometrische Reihe qν = 1 + q + q 2 +... hat die Partialsummen (Beweis mit Induktion). s n = 1 + q + q 2 +... + q n = 1 qn+1 1 q Für q < 1 gilt lim n q n = 0. Folglich konvergiert die geometrische Reihe in diesem Fall und hat die Summe q ν = 1 1 q. Im Falle q 1 ist die geometrische Reihe divergent, da sie die nachfolgende Konvergenzbedingung verletzt. 3

Satz. Ist die Reihe a ν konvergent, so gilt lim a ν = 0. ν Diese Bedingung ist für Konvergenz notwendig, aber nicht hinreichend. Damit die Reihe a ν konvergiert, müssen die Glieder a ν genügend schnell gegen Null konvergieren. Dazu folgendes Beispiel. 4

Harmonische Reihe Wir untersuchen die harmonische Reihe 1 ν = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +.... ν=1 Man nennt die Partialsumme H n := n ν=1 1 ν die n-te harmonische Zahl. 5

Physikalische Interpretation: d 4 d 3 d 2 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 00000000000000000000 d 5 Wir möchten mit Bauklötzen gleicher Grösse und Gewicht einen Turm am Rande einer Tischkante bauen, der so weit wie möglich über den Tisch übersteht, ohne umzufallen. Die Bauklötze haben die Länge 2 und haben den Schwerpunkt in der Mitte. Es bezeichne d n den Abstand der rechten Kante des ersten (obersten) Bauklotzes vom n-ten Klotz (n 2). 6

Gleichgewichtsbedingung: Der gemeinsame Schwerpunkt der oberen n Klötze liegt vertikal über dem (n + 1)-ten Klotz, für alle n 1. Dies liefert die folgende Bedingung 1 n [1 + (d 2 + 1) + (d 3 + 1) + + (d n + 1)] d n+1. (n Objekte gleichen Gewichts mit Schwerpunkt an den Positionen p 1,..., p n haben Gesamtschwerpunkt an der Position (p 1 +... + p n )/n.) Im Grenzfall (Gleichheit) erhalten wir die harmonischen Zahlen d n+1 = d n + 1 n = d 2 + 1 2 + + 1 n = H n. 7

H 1 = 1, H 2 = 1.5, H 3 1.83, H 4 2.08 Bei vier Klötzen ist der oberste Klotz erstmals vollständig ausserhalb des Tisches. Wie weit ausserhalb des Tisches kann der Turm theoretisch reichen? Beliebig weit, denn es gilt: Satz. Die harmonische Reihe ist divergent. Das heisst lim H n =. n 8

Der Beweis lässt allerdings vermuten, dass die Divergenz der harmonischen Reihe sehr langsam ist. In der Tat ist H n 10 erstmals bei n = 12367. (Wie bestimmt man dieses n?) Eine analytische Beschreibung des asymptotischen Wachstums von H n werden später kennenlernen (natürlicher Logarithmus). 9

Bei den bisher betrachteten Reihen waren alle Glieder positiv. Da jede monotone beschränkte Folge konvergiert, erhalten wir allgemein: Satz. Eine Reihe a ν mit reellen nichtnegativen Gliedern a ν 0 ist genau dann konvergent, wenn ihre Folge der Partialsummen beschränkt ist. 10

Beispiel. Betrachte die Reihe ν=1 1 ν 2. Wir zeigen, dass s n := n ν=1 1 ν 2 2. Daraus folgt mit dem Satz, dass die Reihe konvergiert. Euler zeigte, dass die Summe dieser Reihe gleich π 2 /6 ist! 11

Aus den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir sofort die folgenden Regeln für das Rechnen mit Reihen. Satz. Sind a ν und b ν konvergente Reihen und λ C, so sind auch die Reihen (a ν + b ν ) und λa ν konvergent und es gilt: (a ν + b ν ) = a ν + b ν, λa ν = λ a ν. 12

4.2. Konvergenzkriterien Das Cauchy-Kriterium für Reihen ist die Grundlage für die meisten Konvergenzkriterien, die wir im folgenden besprechen werden. Satz. (Cauchy-Kriterium für Reihen) Eine Reihe a ν ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ɛ > 0 eine Schwelle n ɛ gibt, mit m > n n ɛ m ν=n+1 a ν < ɛ. 13

Die sogenannt absolut konvergenten Reihen sind besonders einfach zu analysieren und zu handhaben. Definition. Eine Reihe Betragsreihe a ν konvergiert. a ν heisst absolut konvergent, wenn die zugehörige Satz. Absolut konvergente Reihen sind konvergent. Zum Beispiel ist die geometrische Reihe andernfalls divergent. q ν absolut konvergent für q < 1, 14

Im nächsten Abschnitt werden wir zeigen, dass die alternierende harmonische Reihe konvergiert. ( 1) ν+1 1 ν = 1 1 2 + 1 3 1 4 +... ν=1 Weil die Reihe der Absolutbeträge divergiert (harmonische Reihe) ist diese alternierende Reihe nicht absolut konvergent. Allgemeiner nennt man konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihen bedingt konvergent. Die Eigenschaften solcher Reihen werden im nächsten Abschnitt diskutiert. 15

Die absolute Konvergenz einer Reihe lässt sich in der Regel leicht nachweisen durch Vergleich mit einer bekannten Reihe. Satz. (Majorantenkriterium) Gilt a ν b ν für alle ν ν 0 und ist die Reihe a ν absolut konvergent. Man nennt die Reihe b ν eine konvergente Majorante von b ν konvergent, so ist die Reihe a ν. Beispiel. Ist die Reihe absolut konvergent? ν + ( 1) ν ν (2ν 1) 3 16

Durch Reihenvergleich lässt sich auch die Divergenz einer Reihe nachweisen. Der Beweis ist offensichtlich. Satz. (Minorantenkriterium) Gilt 0 b ν a ν für alle ν ν 0 und ist die Reihe Reihe a ν divergent. Die Reihe b ν heisst divergente Minorante von a ν. b ν divergent, so ist auch die Beispiel. Konvergiert die Reihe ν=1 1 ν + ν? 17

Besonders nützlich ist oftmals der Vergleich mit der geometrischen Reihe in Form folgender Kriterien. Satz. (Quotientenkriterium) Für die Reihe a ν existiere der Grenzwert α = lim ν a ν+1 a ν Gilt α < 1, so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt hingegen α > 1, so ist die Reihe divergent.. 18

a Bemerkung. Im Falle lim ν+1 ν a ν = 1 kann keine allgemeine Aussage gemacht werden kann. Beide Reihen ν=1 1 ν 2 und erfüllen nämlich diese Bedingung, aber die linke Reihe ist konvergent und die rechte divergent. ν=1 1 ν 19

Ein weiteres nützliches Kriterium ist das Wurzelkriterium. Satz. (Wurzelkriterium) Für die Reihe a ν existiere der Grenzwert β := lim ν Gilt β < 1, so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt hingegen β > 1, so ist die Reihe divergent. ν aν. Die Beispiele von vorher, ν=1 1 ν und 2 ν=1 1 ν, zeigen, dass wiederum im Fall lim ν ν a ν = 1 keine allgemeine Aussage gemacht werden kann. 20

Beipiel. Die Exponentialreihe konvergiert für jedes z C absolut. z ν ν! Beispiel. (1) Die Reihe (2) Für q 1 ist die Reihe νq ν ist für q < 1 absolut konvergent. νq ν divergent. 21

4.3. Bedingte Konvergenz Definition. Eine Reihe ( 1)ν a ν, bei der die Glieder a ν eine strikt monoton fallende Nullfolge bilden, d.h. mit heisst alternierend. a ν > a ν+1 > 0 und lim ν a ν = 0, Beispiel. Die Reihe ( 1) ν+1 /ν heisst alternierende harmonische Reihe. ν=1 22

Satz. (Leibnizsches Konvergenzkriterium) Eine alternierende Reihe ( 1)ν a ν ist konvergent. Ausserdem ist der Abbruchfehler stets kleiner als das erste vernachlässigte Glied, d.h. ν=n+1 ( 1)ν a ν < a n+1. Zum Beweis: Setze s n := n ( 1) ν a ν. S 1 a 2 S S S S 3 a 4 S 4 a 3 2 a 1 0 23

Beim Rechnen mit bedingt konvergenten Reihen ist Vorsicht geboten, wie folgendes Beispiel zeigt. s = 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 1 6 + 1 7 1 8 + s 2 = 1 2 1 4 + 1 6 1 8 + s + s 2 = 3s 2 = 1 + 1 3 1 2 + 1 5 + 1 7 1 4 + Die untenstehende Reihe besteht aus den gleichen Gliedern, wie die alternierende harmonische, nur erscheinen die Glieder in anderer Reihenfolge. Offenbar hat sich der Wert dieser Reihe durch Umordnen der Glieder um den Faktor 3 2 vergrössert! 24

Allgemein kann man sogar folgendes beweisen. Satz. (Riemannscher Umordnungssatz) Durch Umordnen der Glieder kann jede reelle, bedingt konvergente Reihe jede reelle Summe annehmen oder sogar divergent gemacht werden. Zum Glück ist dies nicht der Fall bei absolut konvergenten Reihen, die sich in vielerlei Hinsicht ähnlich wie endliche Summen verhalten. Satz. Es sei a ν eine absolut konvergente Reihe mit Summe s. Dann ist jede durch eine Permutation der Glieder a ν entstehende Reihe absolut konvergent mit Summe s. 25

Motivation: ( N ) ( ) N a µ b ν a µ b ν = 2N n a ν b n ν. = µ,ν µ=0 n=0 Satz. (Multiplikation absolut konvergenter Reihen) Es seien a ν und b ν absolut konvergente Reihen mit Summen α bzw. β. Wir definieren für n 0 das Faltungsprodukt (c n ) der Folgen (a n ) und (b n ) durch c n := n a ν b n ν. Dann ist die zugehörige Reihe n=0 c n absolut konvergent mit Summe α β. 26