Funktionen mit mehreren Variablen Voraussetzungen: Grundlegende Kenntnisse über Ableiten (Zu inden in dem Artikel Dierential und Integralrechnung au www.antigauss.de), sowie eine Vorstellung davon, was eine reelle Funktion ist (Zu inden in dem Artikel Reelle und spezielle Funktionen au www.antigauss.de). Funktionen mit mehreren Variablen: Eine Reelle Funktion in der mehrere Variablen vorkommen, ist eine Abbildungen die einem Zahlentupel eine einzige reelle Zahl zuordnet (Zahlentupel = ein Gebilde aus mehreren Zahlen). Ein Vektor kann auch als Tupel angesehen werden. Man kann also au diese Weise einem Vektor eine reelle Zahl zuordnen. In Formeln heißt dies: : R n! R, x! (x) = (x 1,x 2,...,x n ) x ist dann ein Vektor und x 1 bis x n sind dessen Komponenten. Beispiel ür eine Funktion mit mehreren Variablen: Die Funktion (x 1,x 2 ) = sin(x 1 ) @ sin(x 2 ) ordnet zwei X-Werten einen Y Wert zu. Der Graph der Funktion würde in etwa so aussehen: Der Gipel dieses Hügels wäre bei x 1 = J/2, x 2 = J/2 und y = 1, denn sin(j/2) @ sin(j/2) = 1 @ 1 = 1. Ist einer der beiden X Werte etwas größer oder kleiner als J/2, so ist auch das Ergebnis von
sin(x 1 ) @ sin(x 2 ) kleiner als 1 und der Hügel an dieser Stelle nicht ganz so hoch wie am Gipel. Je weiter wir uns mit den X Werten von J/2 enternen, desto größer wird dieser Eekt, bis y = 0 ist. Ab dort steigt der Graph wieder an. Wie man zu dem Graen kommt, kann man sich auch anders veranschaulichen. Man könnte zum Beispiel nacheinander Parallele zu einer der beiden X Achsen zeichen. Dazu hält man einen der beiden X Werte (wir nehmen mal x 2 ) bei einem konstanten Wert. Für x 2 = J/2 ergebe ich y = 1 @ sin(x 1 ). Wir erhalten also die Sinuskurve. Nun setzen wie x 2 au 2 und erhalten y = sin(2,5) @ sin(x 1 ) = 0,6 @ sin(x 1 ). Das entspricht einer abgelachten Sinuskurve, die im olgenden Bild als rote Linie dargestellt ist. Wir können natürlich auch x 1 konstant lassen und so die Parallelen zur X 2 Achse gewinnen. Nach und nach erhalten wir au dieses Weise ein Bild von unserem Hügel.
Niveaulinien: Wenn wir eine Karte von unserem Hügel zeichnen wollten, dann würden wir wie bei Landkarten au sogenannte Höhenlinien zurückgreien um die Bereiche mit gleicher Höhe au unserer zweidimensionalen Karte darzustellen. In der Mathematik nennt man diese Höhenlinien Niveaulinien. Zu einer Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche Y Wert zugeordnet wird. In Formeln: Für alle Punkte (x 1,x 2 ) au einer Niveaulinie gilt: (x 1,x 2 ) = c (c ist eine beliebige reelle Zahl) In der olgenden Abbildung sind die Stellen des Graen rot gekennzeichnet, welche die Y Werte y 1, y 2 oder y 3 haben. Die zu den roten Kreisen gehörenden Punkte (x 1,x 2 ) liegen wie olgt au der X1-X2 Ebene: Dies sind die Niveaulinien zu y 1, y 2 und y 3.
Partielle Ableitungen: Partielle Ableitungen werden benötigt um Funktionen mit mehren Variablen zu dierenzieren. Bei Funktionen mit einer Variablen war die erste Ableitung die Steigung des Graen. Dies ist auch bei Funktionen mit mehreren Variablen so, allerdings gibt es ür jede Variable eine separate Steigung. In unserem Beispiel von oben haben wir zwei Variablen. Wenn wir dies Steigung in einem Punkt betrachten, dann können wir beispielsweise zu dem Ergebnis kommen, daß die Steigung entlang der x 1 -Achse recht groß ist, aber entlang der x 2 -Achse ziemlich klein. Anschaulich heißt das, wir können von unserem Punkt aus in Richtung der x 2 -Achse au dem Hügel bequem weitergehen, aber in Richtung der x 1 -Achse müßten wir klettern. Wenn man mehrere Steigungen ür einen Punkt hat, dann braucht man auch genauso viele Gleichungen, um alle zu berechnen. Wenn wir ür eine Variable x i die Funktionsgleichung der Steigung ableiten wollen, dann tun wir dies, indem wir alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln und die Funktion nach den gewohnten Regeln ableiten. In dem Beispiel von oben sähe das so aus: (x 1,x 2 ) = sin(x 1 ) @ sin(x 2 ) Die beiden Ableitungen: x1 = cos( x1) ) sin( x2 123 alskons tan te betrachtet = sin( x1) cos( 2 ) 123 x2 x alskons tan te betrachtet Achtung! Die Schreibweisen (x 1 ) und (x 2 ) ür die ersten partiellen Ableitungen nach x 1 und x 2 sind alsch. Die Variable, nach der abgeleitet wurde schreibt man als Index neben das. Wir können nun ür jeden Punkt die Steigung entlang jeder Achse berechnen. Könnte man daraus nicht eine Art resultierende Gesamtsteigung bilden? (Wenn ich schon so doo rage, dann kann man das natürlich). Wenn man die Steigungen in einem Punkt entlang aller Achsen in vektorieller Form auschreibt, dann zeigt dieser Vektor in die Richtung der größten Steigung in diesem Punkt und die Länge des Vektors entspricht dann dieser Steigung. Man nennt diesen hilreichen Vektor Gradient und bildet ihn ormal wie olgt: Das ging jetzt alles ein bißchen schnell. Versuchen wir und das also noch einmal graphisch zu veranschaulichen: (nächste Seite) X X = M 1 2 Xn
Ich gebe zu, daß geht jetzt schon an die Grenzen der Anschaulichkeit, aber versuchen kann man es ja mal. Es soll hier die Steigung im Punkt P betrachtet werden. Mit dem roten Steigungsdreieck wird die Steigung entlang der x 2 und mit dem blauen entlang der x 1 Achse veranschaulicht. Man erkennt (mit ein wenig dreidimensionalem Vorstellungsvermögen), daß die Steigung entlang der x 1 Achse etwas doppelt so groß ist wie entlang der x 2 Achse. Unser Gradient sieht also wie olgt aus: = X 1 X 2 ( p) 2 = ( p) 1 Dieser Vektor ist in der Graik grün dargestellt:
Wenn man etwas schie guckt kann man erkennen, daß der Vektor in die Richtung des steilsten Anstieges im Punkt p zeigt. Wenn man noch etwas schieer guckt, dann erkennt man eine weitere interessante Eigenschat des Gradienten. Na? Erkannt? Ok, ich löse au: Der Gradient steht senkrecht au der Niveaulinie von dem Punkt p! Höhere partielle Ableitungen: Wir wissen jetzt wie man die erste Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen bildet, aber wie sieht es mit der zweiten und dritten usw. aus? Das Prinzip ist das gleiche. Man betrachtet alle Variablen bis au eine als Konstante und leitet ab, um die Ableitung nach dieser Variablen zu erhalten. Bei einer Funktion mit zwei Variablen hatten wir nach dem ersten mal Ableiten zwei Funktionen erhalten. Wenn wir nun ein weiteres mal ableiten, dann müssen wir das ganze mit jeder der beiden Funktionen tun und erhalten somit vier Funktionen. Es olgt nun ein Beispiel, in dem die ersten beiden Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen gebildet werden: (x) = x 1 ² - 4x 2 x 1 Die ersten partiellen Ableitungen: x1 = 2x1 4 x 2 = 0 4x1 { x2 alskons tan te betrachtet Und nun die zweiten partiellen Ableitungen: Fangen wir mit x1 an: 4x 2 als Konstante angesehen 2x 1 als Konstante angesehen = 2 0 = 0 4 x1x1 x 1x2 Und nun x 2 : 0 als Konstante angesehen 4x 1 als Konstante angesehen 4 0 x2 x1 = x 2 x2 = Schreibweisen: In der Tradition der Dierentialrechnung sind olgende Schreibweisen üblich: Für die erste partielle Ableitung der Funktion nach der Variablen x i : xi = x i Für die zweite partielle Ableitung nach der Variablen x n, die durch Ableiten der Funktion xi entstanden ist: xixn = x x i n