Kontaktzeitmessungen beim Venustransit und die Ableitung der Sonnenentfernung Udo Backhaus 14. Dezember 2004 1 Prinzip Die Messung der Astronomischen Einheit durch Kontaktzeitmessungen beim Venustransit beruht auf folgender Grundidee: Im Sonnensystem sind alle Winkel und alle Winkelgeschwindigkeiten bekannt. Jedoch ist zu keinem dieser Winkel die gegenüber liegende Länge bekannt. Gelingt es, bei nur einem Planeten zu einem Zentralwinkel die zugehörige Bogenlänge zu messen, dann kennt man seine Entfernung zur Sonne und damit alle Entfernungen. Bei einem Venustransit wird die Erde von dem Schatten getroffen, den Venus bei ihrem Umlauf um die Sonne in den Weltraum wirft. Wenn es gelingt, die Geschwindigkeit v Sch dieses Schattens relativ zur Erde in absoluten Einheiten (z.b. km/s oder Erdradien/min) zu messen, dann kann man einem bekannten Winkel, den Venus in einer bestimmten Zeit auf ihrer Bahn um die Sonne überstrichen hat, die zugehörige Bogenlänge auf der Erde zuordnen. Wenn man z.b. den Zeitpunkt t 1 misst, an dem die Erde zum ersten Mal von dem Schatten getroffen wird (Beginn des 1. Kontakts, Abb. 1, oben), und den Zeitpunkt t 2, zu dem sie ganz in den Schatten eingetaucht ist (Ende des 1. Kontakts, Abb. 1, Mitte), dann beträgt zu dem bekannten Zentralwinkel ω syn t ges (in Abb. 1, unten, rot hervorgehoben) gerade zwei Erdradien. Also 2 Verfeinerungen ω syn t = 2R E r E = π S = R E r E = 1 2 ω syn t ges (1) Die Zeitdauer t ges des Schattendurchganges kann nicht direkt gemessen werden, weil an den entsprechenden Orten auf der Erde die Sonne gerade auf- bzw. untergeht, also direkt am Horizont steht. Außerdem wäre eine Einzelmessung nicht genau genug. Deshalb misst man den Moment des Schattendurchganges, den so genannten Kontaktzeitpunkt, an vielen Orten auf der Erde. Allerdings wird dann die Auswertung schwieriger, weil die Erde eine Kugel ist und der Schatten deshalb nicht gleichförmig über ihre Oberfläche wandert. 1
Abbildung 1: Beim Venustransit ergibt sich zu einem bekannten Winkel eine messbare Länge, z.b. der Durchmesser der Erde. 2.1 Drehung des Koordinatensystems Um diese Rechnung zu vereinfachen, berechnet man zunächst aus den geografischen Koordinaten (λ, ϕ) der Beobachtungsorte die zugehörigen rechtwinkligen Koordinaten r: r = r x r y r z = R E cos ϕ cos λ cos ϕ sin λ cosλ (2) Das zugehörige Koordinatensystem ist zunächst so orientiert, dass die z-achse durch den Nordpol der Erde, die x-achse durch den Längengrad von Greenwich geht. Durch geeignete Tranformation dreht man das Koordinatensystem so, dass die z-achse zum Nordpol der Ekliptik, die x-achse von der Sonne zur Erde zeigt. Diese Transformation wird durch eine Drehmatrix D 1 vermittelt: r = D 1 r (3) Nach dieser Drehung kann der Schattenlauf über die Erde dargestellt werden (Abb. 2) 1. Wenn nun noch, durch eine weitere Drehmatrix D 2, das Koordinatensystem so um die y-achse gedreht wird, dass der Venusschatten genau von rechts nach links, d.h. entgegengesetzt zur x-richtung, verläuft, r = D 2 r = D 2 D 1 r = D r, (4) dann ist die neue x-koordinate der Beobachtungsorte gerade ein Maß für ihren Abstand vom Schattenrand, dessen konstante Geschwindigkeit nur eine x-komponente hat (Abb. 4). 1 Dass die Schattengrenzen auf der Erde nicht geradlinig verlaufen, erkennt man deutlich, wenn man sich die Szene aus einem anderen Blickwinkel ansieht (s. Abb.??). 2
Abbildung 2: Ansicht des Schattendurchganges von der Sonne aus. Die Linien markieren die Schattenpositionen in Abständen von einer Minute. Abbildung 3: Der Schattendurchgang wie in Abb. 2, betrachtet aus anderer Perspektive (Suhr) 3
Abbildung 4: Das Koordinatensystem aus Abbildung 2 wurde so gedreht, dass sich die Schattenfront entlang der x-achse bewegt. In dieser Darstellung muss also gelten: x R E = 1 + v Sch R E (t t 1 ) (5) Dabei ist t 1 die, zunächst unbekannte, Zeit, zu der die Erde erstmals von dem Schatten getroffen wird. Trägt man also die Kontaktzeiten t über den entsprechenden x-koordinaten der Beobachtungsorte auf, dann müsste sich ein linearer Zusammenhang ergeben. Statistische Messfehler können durch eine Ausgleichsgerade kompensiert werden, deren Steigung gerade die Schattengeschwindigkeit ist. Extrapolation der Ausgleichsgeraden nach x = 1 und x = 1 liefert dann die in (1) auftretende Gesamtdauer t des Schattendurchganges. 2.2 Berechnung der Geschwindigkeit des Schattenrandes Im vorangehenden Abschnitt wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass sich die Geschwindigkeit des Schattenrandes leicht aus der Winkelgeschwindigkeit der Venus berechnen lässt. Allerdings ist dabei noch zu berücksichtigen, dass sich Venus weder Abbildung 2, noch in Abbildung 4 parallel zur x-achse bewegt: In Abbildung 2, in dem die x-achse in der Ebene der Ekliptik liegt, beruht diese Abweichung auf der Neigung der Venusbahnebene gegen die Ekliptikebene. In Abbildung 4 wird dieser Winkel weiter vergrößert, weil der Mittelpunkt des Schattens den Erdmittelpunkt verfehlt, die Schattenfront also nicht senkrecht zur Richtung der Venusbewegung ist. Die Schattengeschwindigkeit muss deshalb noch mit dem Kosinus der Bewegungsrichtung korrigiert werden: 4
v Sch R E Dabei ist n die Normale auf der Schattenfront. 2.3 Idealisierungen = r E R E ω syn cos( n, v syn ) (6) 1. Während der ca. 15 Minuten des Schattendurchganges wird von der Erddrehung abgesehen. 2. Die Schattenfront wird als geradlinig angenommen. Tatsächlich ist sie natürlich kreisförmig. Allerdings ist dieser Kreis mehr als 40-mal so groß wie die Erde. Tatsächlich wurden die Abbildungen 2 und 4 mit maßstabsrichtigen Schattenkreisen gezeichnet. 2.4 Berechnung der Drehmatrix Auf dem Bild zeigt die x-achse nach rechts, die z-achse nach oben. In der Ausgangsstellung liegt also Greenwich am rechten Rand der Erdkugel, während Amerika mit seinen westlichen Längen zu sehen ist (Abb. 5, links oben). Zunächst wird das Koordinatensystem so gedreht, dass die x-achse durch den Längengrad geht, auf dem der subsolare Punkt liegt (Abb. 5, rechts oben). Da an diesem Punkt die Sonne gerade kulminiert, gilt: Θ SSP = α Sonne Die Sternzeit des subsolaren Punktes hängt folgendermaßen mit der von Greenwich zusammen: Θ SSP = Θ Gr + λ SSP Die geografische Länge λ SSP des subsolaren Punktes lässt sich also berechnen: λ SSP = α Sonne Θ Gr D 1 = D z ( λ SSP ) = D z (Θ Gr α Sonne ) (7) Mit der zweiten Drehung wird erreicht, dass die x-achse durch den subsolaren Punkt geht (Abb. 5, unten links). Dessen geografische Breite muss mit der Deklination der Sonne übereinstimmen: D 2 = D y (ϕ SSP ) = D y (δ Sonne ) (8) In dieser Stellung zeigt die Rotationsachse der der Erde nach rechts oben wie zu Frühlingsanfang. Im weiteren Verlauf des Jahres wendet sich der Nordpol, entsprechend der ekliptikalen Länge der Sonne λ Sonne, zunächst immer weiter der Sonne zu. Mit der 5
Abbildung 5: Drehungen der Erdkugel (x-achse zeigt nach rechts, z-achse nach oben): oben links: Original, oben rechts: nach Drehung um z-achse, unten links: nach zusätzlicher Drehung um y-achse, unten rechts: nach zusätzlicher Drehung um z-achse 6
dritten Drehung muss das Koordinatensystem also um diese Länge um die z-achse gedreht werden (Abb. 5, rechts unten). D 3 = D z ( λ Sonne ) (9) Mit der vierten Drehung um die y-achse wird schließlich die Schattengrenze in z- Richtung gedreht: D 4 = D y (α vsyn ) (10) Die Matrix der gesamten Drehung ergibt sich als Produkt der einzelnen Drehmatrizen: 2.5 Zahlenwerte D = D 4 D 3 D 2 D 1 (11) Am 8. Juni 2004 gelten für den 1./2. Kontakt folgende Zahlenwerte: λ Sonne = 77.7 (12) α Sonne = 76.7 (13) δ Sonne = 22.9 (14) Θ Gr = 307.9 = 20h31m36s (15) R Schatten = 43.4R E (16) ω syn = 1.58 /min (17) v syn = 0.132R E /min (18) cos( n, v syn ) = 0.882 (19) v Schatten = 0.116R E /min (20) Gesamtdauer des Durchlaufes: t ges = 17.2min (21) D 11 D 21 D 31 0.92 0.40 0.07 D = D 12 D 22 D 32 = 0.33 0.84 0.44 (22) D 13 D 23 D 33 0.23 0.38 0.90 Die Transformation der Ortskoordinaten wird vermittelt durch: x = D 11 cos ϕ cos λ + D 21 cos ϕ sin λ + D 31 sin ϕ (23) 3 Auswertungsergebnisse 3.1 Quarks Abbildung?? zeigt die linearisierten Ergebnisse des Quarks-Projektes für den 2. Kontakt 2. Als Ausgleichsgerade wird von Excel angegeben: 2 Die Ergebnisse des 1. Kontaktes sind nicht auswertbar, 7
Abbildung 6: Quarks-Ergebnisse für den 2. Kontakt t 2 5h = 6.34 x R E + 34.3min (24) Setzt man für x -1 und 1 ein, ergibt sich für die Gesamtdauer des Schattendurchlaufs: t 2 t 1 = 5h40.6min 5h28min = 12.6min (25) Für v Sch ergibt sich v Sch = 0.158 R E min und daraus eine Schattengeschwindigkeit von v Sch v Sch = cos( n, v syn ) = 0.179 R E min Aus der Ephemeridenrechnung ergibt sich v Sch = ω syn r E = 1.58 /min 1.015AE = 1.60 /min AE Zusammen genommen ergibt sich damit: π S = R E AE = 1.60 0.179 = 8.9 (26) Dies perfekte Ergebnis dürfte angesichts der Datenlage Zufall sein. 8
3.2 ESO Abbildung 7: ESO-Ergebnisse für den 1. Kontakt Ganz entsprechend ergeben sich mit den deutlich zahlreicheren (und besseren?) Messergebnissen des ESO-Projektes 1. für den 1. Kontakt (s. Abb. 7 2. für den 2. Kontakt (s. Abb. 8 v Sch = 0.15 R E min = π S = 9.4 v Sch = 0.12 R E min = π S = 11.8 9
Abbildung 8: ESO-Ergebnisse für den 2. Kontakt 10