Thea: Mechanik/ Gavitation Die Gavitation und die keplechen Geetze Die keplechen Geetze Vogehenweie: A Anfang tellen wi tellen wi die von Keple epiich gefundenen Geetze auf, dann dikutieen wi den Zuaenhang it de newtonchen Gavitationgeetz Hitoie De giechiche Gelehte Claudiu Ptoleäu entwaf u 40 nch in Alexandia da nach ih benannte Modell de Univeu - die de teht i Zentu, welche von de Sonne und de Mond auf einfachen Keibahnen ulaufen wid, - Die andeen Planeten bewegen ich nach diee Modell auf koplizieten Bahnen: Sie betehen au kleinen Keien, den ogenannten pikzyklen, die von gößeen Keibahnen übelaget ind - Rund 400 Jahe wude diee Weltbild akzeptiet Zu Beginn de 6 Jahhundet entwickelte Nikolau Kopeniku ein weentlich einfachee Modell: betachtet die Sonne und die andeen Stene al fet, wähend die Planeten, einchließlich de de, ich auf Keibahnen u die Sonne heu bewegen ollten Die Theoie vebeitete ich in Fachkeien eh ach, echien al geduckte Wek abe et 543, de Todejah von Kopeniku, unte de Titel De evolutionibu ; inteeanteweie it da Wek de daaligen Papt Paul III gewidet
De bekanntete Anhänge und Vebeite de kopenikanichen Lehe vo heliozentichen Weltbild wa Galileo Galilei, gegen den au diee Gund 633 in Ro da Inquiitiontibunal eöffnet wude De Poze endet a Juni 633 it de beühten, gegen die eigene Übezeugung geleiteten Wideuf de heliozentichen Lehe duch Galilei t i Jahe 993 hat de Vatikan eine Vowüfe gegen Galilei offiziell zuückgenoen und ihn dait a poteioi ehabilitiet Gegen nde de 6 Jahhundet unteuchte de Atono Tycho Bahe die Planetenbewegung und achte Beobachtungen, die weentlich genaue waen al die bi dahin bekannten Johanne Keple fand unte Vewendung diee Daten nach viele Pobieen heau, da die Planeten die Sonne nicht auf Keibahnen, onden auf llipenbahnen ulaufen zeigte auch, da ich die Planeten nicht it kontante Gechwindigkeit bewegen, onden da die Gechwindigkeit uo göße it, je nähe ich ein Planet bei de Sonne befindet Schließlich entwickelte Keple eine atheatiche Beziehung zwichen de Ulaufdaue eine Planeten und eine duchchnittlichen Ditanz zu Sonne Keple dückte eine gebnie in Fo deie epiiche Geetze fü die Planetenbewegung au Die dei keplechen Geetze lauten: Alle Planeten bewegen ich auf elliptichen Bahnen u die Sonne, wobei die Sonne in eine de Bennpunkte de llipe teht Die Vebindunglinie (Leittahl) zwichen de Sonne und eine Planeten übeteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächenatz) 3 Da Quadat de Ulaufdaue eine Planeten it popotional zu ditten Potenz eine ittleen ntfenung zu Sonne
Dait egibt ich fü die atheatiche Datellung: Alle Planeten bewegen ich auf elliptichen Bahnen u die Sonne, wobei die Sonne in eine de Bennpunkte de llipe teht Die Vebindunglinie (Leittahl) zwichen de Sonne und eine Planeten übeteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächenatz) da dt A kon tan t 3 Da Quadat de Ulaufdaue eine Planeten it popotional zu ditten Potenz eine ittleen ntfenung zu Sonne T 3 kon tan t Da newtonche Gavitationgeetz Da newtonche Gavitationgeetze Die keplechen Geetze waen ein wichtige Schitt zu Vetändni de Planetenbewegung handelt ich bei ihnen abe nu u epiich aufgetellte Regeln, die au den atonoichen Beobachtungen von Bahe hevogingen t Newton tat den ieigen Schitt
nach vone und chieb die Bechleunigung eine Planeten auf eine Bahn eine Kaft zu, die zwichen de Sonne und de Planeten wikt Nach de newtonchen Gavitationgeetz übt jede Köpe eine anziehende Kaft auf jeden andeen Köpe au fouliete: N F γ it γ 6,67 0 kg Newton veöffentlichte ein Gavitationgeetz i Jahe 686, abe e dauete noch etwa ein N Jahhundet, bi Cavendih die Kontante γ 6,67 0 expeientell elativ genau kg betien konnte Wi können da Gavitationgeetz dazu vewenden U die Anziehungkaft zweie Köpe zu beechnen Beipiel Betien ie die Kaft zwichen zwei Kugeln, die beide die Mae kg haben, wenn ihe Mittelpunkte 0c voneinande entfent ind Löung N kg kg 9 F γ 6,67 0 6,67 0 N kg ( 0, ) Nach Newton können wi jeden aenbehafteten Köpe al Zentu eine Kaftfelde auffaen, in de ein andee aenbehaftete Köpe eine Anziehungkaft efäht, die wie vo Abtand hängt Diee Feld it ein Zentalfeld Man picht auch von ogenannten konevativen Kaftfelden Newton zeigte weitehin die Richtigkeit de keplechen Geetze und da fü die Bewegung eine Objekte in eine Feld vo Typ genau dei vechiedene Bahnfoen gibt: Die Bahn u entwede eine llipe, eine Paabel ode eine Hypebel ein Auf paabolichen und hypebolichen Bahnen bewegen ich genau die Objekte, die einal an de Sonne vobeifliegen und dann nie eh wiedekehen Die einzigen gechloenen Bahnen, die ich in eine Kaftfeld vo Typ egeben können, ind llipen Dehalb it da ete kepleche Geetz eine Diekte Konequenz von Newton Gavitationgeetz Da zweite kepleche Geetz, de Flächenatz, egibt ich au de Tatache, da die Kaft, die die Sonne auf einen Planeten auübt, zu Sonne hin geichtet it ine olche Kaft heißt Zentalkaft, da entpechende Kaftfeld Zentalfeld Da die Kaft auf einen Planeten entlang de Vebindunglinie von ih zu Sonne wikt, teten keine Dehoente bezüglich de Sonne auf it bekannt, da de Dehipul ehalten bleibt, wenn da eultieende Dehoent auf ein Objekt null it
Die og Skizze zeigt einen Planeten, de die onne auf eine elliptichen Bahn uläuft I Zeitintevall dt bewegt ich de Planet u die Stecke v dt weite und ein Radiuvekto übeteicht die in de Abbildung eingezeichnete Fläche; ie it genau halb o goß wie da duch die Vektoen und v dt gebildete Paalleloga it de Fläche v dt Dehalb it die Fläche da, die i Zeitintevall dt vo Radiuvekto übetichen wid, gegeben duch da vdt vdt ode da L dt Hie it L v de Dehipul de Planeten elativ zu Sonne Wi zeigen de weiteen, da da newtonche Gavitationgeetz da ditte kepleche Geetz fü den Spezialfall eine Keibahn einchließt Wi betachten einen Planeten, de ich it de Gechwindigkeit v auf eine Keibahn it de Radiu u die Sonne bewegt Soit gilt da newtonche Gundgeetz: F P a Die Radialkaft wid duch die Gavitationkaft ebacht Soit gilt: S P vb γ P, wobei S die Sonnenae und P die de Planeten it Soit gilt: S vb γ Die Gechwindigkeit de Planeten lät ich duch eine Ulaufzeit audücken v P π T Soit gilt: 4π S T 4π vb γ ode kon tan t 3 T γ Die Gavitationfeldtäke und die Betiung de Gavitationkontante Die Gavitationfeldtäke Die Gavitationfeldtäke egibt ich au de Quotienten Kaft po vohandene Mae S
g F S γ () γ Fü einen Köpe auf de dobefläche gilt: g S ( ) S S F γ it 6370k al dadiu Da die Fallbechleunigung leicht betiba it, lät ich eh leicht die Gavitationkontante an de dobefläche beechnen Aufgabe Wie goß it die Fallbechleunigung eine Gegentande, de ich 00k übe de dobefläche befindet? Löung: F 9, g γ ( R + 00k) Aufgabe In welche Höhe h übe de dobefläche it die Fallbechleunigung nu noch halb o goß wie auf Meeehöhe? Aufgabe 3 in Satellit bewegt ich auf eine Keibahn u die de Betien Sie die Ulaufdaue, a) wenn ich de Satellit diekt übe de dobefläche befindet, b) wenn de Satellit eine Höhe von 300k hat Löung: a) T 4 3 π R 5,06 0 3 84,4 in, γ b) Bei eine Höhe von 300k gilt: ( 84,4in) 90,4 in Meung de Gavitationkontante 3 T it 300 k + R R Die Kenntni de Gavitationkontante it nicht nu von gundätzliche Inteee, onden hat auch paktiche Anwendungen, zu Beipiel bei de Betiung de Dichteveteilung i Innen de de, de Monde, andee Planeten und entfente Stene 798 gelang Heny Cavendih die ete Meung von γ Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Schea de Appaatu, die e benutzte, u die Gavitationkaft zwichen zwei Kugelpaaen zu een, bei denen die Kugeln die Maen und haben
Die kleineen Kugeln (beide it de Mae ) befinden ich an den nden eine leichten Stabe, de an einen dünnen Daht aufgehängt it Die goßen Kugeln (Mae ) ind ebenfall duch eine leichte Stange iteinande vebunden und weden o angeodnet, da ihnen jeweil eine de kleineen Kugeln in eine kleinen Abtand gegenübeteht Betachten wi zunächt nu da an de dünnen Daht aufgehängte Paa de kleineen Kugeln U die beiden Kugeln u den Winkel ϑ au ihe Gleichgewichtpoition zu dehen, u ein Dehoent wiken, da de Daht vedillt weden u Sogfältige Meungen zeigen, da da Dehoent popotional zu Dehwinkel it M D ϑ Die Popotionalitätkontante heißt Toionkontante ine olche Anodnung nennt an auch Toion- ode Dehwaage welche i 8 Jahhundet von John Michell efunden wude I Cavendih-xpeient weden, wie geagt, zwei goße Kugeln it gleiche Mae nahe an die kleinen Kugeln gebacht eine olche Anodnung wid al Gavitationwaage bezeichnet Duch die zwichen den beiden Kugelpaaen wikende Gavitationkaft wid de Aufhängedaht vedillt, und da Paa au den kleinen Kugeln beginnt Toionchwingungen auzufühen Dann watet an ab, bi die Waage i Gleichgewicht it Da die Appaatu eh epfindlich und die Gavitationkaft eh klein it, kann die einige Stunden dauen Antatt nun den Aulenkwinkel ϑ diekt zu een, odnet Cavendih die goßen Kugel u 0 90 gedeht an (getichelte Linie in Abb B) Wenn die Gavitationwaage wiede i Gleichgewicht it, hat ie ich geade u den Winkel ϑ gedeht, entpechend de Ukehung de Dehoente Bei bekannte Toionkontante kann an die Kaft zwichen den Maen und au de Meung diee Winkel betien Mit den Weten de Maen, de Abtande und de Kaft lät ich dann die Gavitationkontante beechnen
Abeit und potentielle negie i Gavitationfeld und die dei koichen Gechwindigkeiten Gegeben ei ein konevative Kaftfeld eine vohandenen Mae Äquipotentiallinien Mit zunehende ntfenung nit die Gavitationkaft tak ab Äquipotentiallinien ind die Vebindunglinien it den Punkten innehalb eine Kaftfelde, die vo Mittelpunkt de Mae die gleiche potentielle negie beitzen Beipiel: Höhenlinien auf eine Wandekate ode de Luftduck auf eine Wettekate Mit Hilfe olche Linien it eine deidienionale Votellung in olchen Katen öglich Alle Punkte auf diee Linie haben dieelbe potentielle negie ntlang olche Wandewege wid keine echaniche Abeit veichtet, weil Gewichtkaft un Weg enkecht zueinande tehen Fü die Abeit i allgeeinen Feld gilt: W F ode W F d unte de gilt fü da Skalapodukt: W ( ) De ( ( F 0 co ; ) fü einen Winkel von 90 betägt 0 Voauetzung, da die Kaft zeitunabhängig und fü den Vogang kontant it F co( F; ) P P Die Bahn lät ich in genügend kleine echtwinklige Deiecke zelegen, o da de Weg enkecht zu den Feldlinien keinen Beitag zu Betag de veichteten Abeit liefet Da gilt auch in Radialfelden Skizze fü da Radialfeld:
U die Potentialdiffeenz bzw die Vechiebungabeit beechnen zu können, benutzen wi den Anatz: d F W it de kontanten Gavitationkaft entlang de Äquipotentiallinien F γ Soit gilt fü die Vechiebungabeit bzw de Potentialdiffeenz (potentielle negie): d d F W γ Die Potentialdiffeenz it dezufolge: ( ) ( ) Pot Pot Pot d d γ γ Pot γ Pot γ
Pot γ + Sollte die Vechiebung von de dobefläche zu eine Satelliten efolgen, o it und de Betag de negie negativ, wa nu bedeutet, da an diee Satelliten Abeit veichtet weden ute Die Gleichung fü die potentielle negie wid auch al Gavitationpotential bezeichnet Beechnung de koichen Gechwindigkeiten: U entpechende Flugbahnen fü Satelliten zu eeichen, ind Mindetgechwindigkeiten notwendig Newton zeigte unte Vewendung de Gavitationgeetze, da nu dei Bahnfoen fü Flugköpe (Planeten, Satelliten, Koeten etc) öglich ind llipenbahn (Keibahn) Paabelbahn 3 Hypebelbahn Zu in Köpe oll auf eine keiähnliche Bahn tanpotiet weden Köpe Dann beitzt de Köpe auf de Ulaufbahn potentielle und kinetiche negie owie eine Radialkaft, die duch die Gavitationkaft aufgebacht wid Soit gilt: v S S γ Multipliziet an it den Te o ehält an fü die kinetiche negie: S S kin v γ Die Ulaufgechwindigkeit it unabhängig von de Mae de Satelliten Soll de Köpe in eine Höhe eine keiföige Bahn becheiben, o u ih die kinetiche negie owohl zu eichen al auch fü die Bahn bei Stat duch die Anfanggechwindigkeit itgegeben weden Soit ehält an die ete koiche Gechwindigkeit Fü dieen Fall gilt de negieehaltungatz: Mit + kin ( A) kin( ) pot( ) R R und h R S S kin A S v 0 γ γ kin ( ) gilt: R S S ( A) S v0 γ γ γ S R R Fü die Ulaufbahn in unittelbae Nähe de Obefläche de Zentalköpe ( R) hält an daau übe:
S S v0 γ R die Abchugechwindigkeit (i Falle de de die ogenannte koiche Gechwindigkeit) k v0 γ 7,8 R Soll de Köpe da Gavitationfeld de Zentalköpe velaen, o füht de Auduck fü die kinetiche negie it: li kin( A) S v0 liγ S übe R S v0 γ S zu Abchugechwindigkeit, i Falle de de zu R koichen Gechwindigkeit: k v γ gr, R Die 3 koiche Gechwindigkeit zu Velaen de Sonnenyte, auf deen k Heleitung vezichtet wid betägt v 3 6, 7 U entpechende Bahnen zu eeichen üen fü die Gechwindigkeiten, auf Gund entpechende Kegelchnitte, die nachfolgenden Bedingungen gelten: