Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse

Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse Friedrich-Schiller-Universität Jena Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik Prof. Dr. P. Kischka Sommersemester 2011

Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvariablen als Träger des Risikos 1 2 Stochastische Dominanz 1 2.1 Stochastische Dominanz 1. Ordnung.............. 1 2.2 Hazard-Rate-Ordnung...................... 2 2.3 Stochastische Dominanz 2. Ordnung.............. 3 2.4 Konvexe Dominanzbeziehungen................. 3 3 Risikomaße 5 3.1 Value-at-Risk (VaR)....................... 5 3.1.1 Definition......................... 5 3.1.2 VaR für normalverteilte Zufallsvariablen........ 5 3.1.3 VaR und Dominanzbeziehungen............ 5 3.2 Conditional Value-at-Risk.................... 6 3.2.1 Definition......................... 6 3.2.2 Alternative Darstellung des CVaR I.......... 6 3.2.3 Alternative Darstellung des CVaR II.......... 6 3.2.4 Allgemeine Definition des CVaR............ 6 3.2.5 CVaR für normalverteilte Zufallsvariablen....... 7 3.2.6 CVaR als Entscheidungskriterium........... 7 3.2.7 CVaR und stochastische Dominanz........... 7 3.3 Spektrale Risikomaße....................... 7 3.3.1 Kohärente Risikomaße.................. 7 3.3.2 Spektrale Risikomaße.................. 8 3.3.3 Anwendung: Newsvendor Modell............ 9 4 Kennziffern und Abhängigkeitsstrukturen von Renditeverteilungen 10 4.1 Grundlagen............................ 10 4.2 Parametrische Verteilungen................... 10 4.2.1 Multivariate Normalverteilung............. 10 4.2.2 Elliptische Verteilungen................. 11 4.3 Copulas.............................. 11

1 Zufallsvariablen als Träger des Risikos Wahrscheinlichkeitsraum Sei Ω Ergebnismenge E P Ereignismenge mit folgenden Eigenschaften: a) Ω E b) E E Ω\E E c) E 1, E 2,... E E i E i Wahrscheinlichkeitsfunktion mit P: E [0, 1] und a) P (Ω) = 1 b) P ( E i ) = P (E i ), falls E i E j =, i j i i (Ω, E, P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum. Definition 1.1 Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, E,P ). Die Abbildung X : Ω R ω X(ω) heißt Zufallsvariable, falls für I R gilt {ω X(ω) I} E. Definition 1.2 Gegeben sei eine auf (Ω, E, P ) definierte Zufallsvariable X : Ω R. Für I R gilt Speziell gilt für x R P (X I) = P ({ω Ω X(ω) I}) =: P X (I) P (X = x) = P ({ω Ω X(ω) = x}) =: P X (x) P X heißt Verteilung der Zufallsvariable X. Verschiedene Zufallsvariablen können dieselbe Verteilung besitzen. 2 Stochastische Dominanz Basisliteratur: Müller, A., D. Stoyan: Comparison methods for stochastic models and risks. Wiley, New York, 2002. 2.1 Stochastische Dominanz 1. Ordnung Definition 2.1 Seien X und Y Zufallsvariablen mit zugehöriger Verteilungsfunktion F X, F Y. X dominiert Y stochastisch erster Ordnung, falls gilt: i. Z. X 1 Y. F X (t) F Y (t) für alle t R 1

Satz 2.1 Folgende Aussagen sind äquivalent: a) X 1 Y b) Es existieren Zufallsvariablen X : Ω R, Ŷ : Ω R, mit so dass gilt F X = F X, FŶ = F Y, X(ω) Ŷ (ω) für alle ω Ω. Satz 2.2 Es gilt X 1 Y E(f(X)) E(f(Y )) für alle monoton wachsenden Funktionen f. Insbesondere gilt a) X 1 Y E(X) E(Y ) b) Erwarteter Nutzen von X ist größer oder gleich dem erwarteten Nutzen von Y für alle Nutzenfunktionen. 2.2 Hazard-Rate-Ordnung Definition 2.2 X dominiert Y in der Hazard-Rate-Ordnung, i. Z. X hr Y, falls die Funktion t 1 F X(t) 1 F Y (t) monoton wachsend ist. Satz 2.3 X hr Y X 1 Y X hr Y (X X > t) 1 (Y Y > t) für alle t X hr Y (X X > t) hr (Y Y > t) für alle t Definition 2.3 Sei X eine stetige Zufallsvariable mit stetiger Dichtefunktion P (X t + ɛ X > t) r X (t) = lim = f X(t) ɛ 0 ɛ 1 F X (t) heißt hazard rate oder failure rate. Satz 2.4 Seien X und Y Zufallsvariablen mit stetigen Dichten X hr Y r X (t) r Y (t) 2

2.3 Stochastische Dominanz 2. Ordnung Definition 2.4 X dominiert Y stochastisch in 2. Ordnung, i. Z. X 2 Y, wenn gilt: Es gilt: Satz 2.5 t F X (z)dz t F Y (z)dz für alle t X 1 Y X 2 Y X 2 Y E(f(X)) E(f(Y )) für alle konkaven, monoton wachsenden Funktionen f Satz 2.6 Es gilt X 2 Y E(min(X, t)) E(min(Y, t)) für alle t R Satz 2.7 X 2 Y es existieren Zufallsvariablen X, Ŷ mit F X = F X, FŶ = F Y, so dass gilt: X E(Ŷ X) 2.4 Konvexe Dominanzbeziehungen Definition 2.5 X ist less dangerous als Y (i. Z. X D Y ), wenn gilt: a) Es existiert ein t 0 R mit b) E(X) E(Y ) F X (z) F Y (z) für z t 0 F X (z) F Y (z) für z > t 0 Definition 2.6 X, Y Zufallsvariablen mit E(X) = E(Y ). Y heißt mean preserving spread von X, i. Z. X MP S Y, wenn Zahlen a, b existieren mit F Y (z) F X (z) ist monoton wachsend auf ], a[, ]b, + [ F Y (z) F X (z) ist monoton fallend auf [a, b] Satz 2.8 X MP S Y X D Y Satz 2.9 X D Y E(f(X)) E(f(Y )) für alle konvexen monoton wachsenden Funktionen f 3

Definition 2.7 X ist less als Y bzgl. der konvexen Ordnung, i. Z. X cx Y, wenn gilt E(f(X)) E(f(Y )) für alle konvexen Funktionen f. X ist less als Y bzgl. der steigenden konvexen Ordnung, i. Z. X icx Y, wenn gilt E(f(X)) E(f(Y )) für alle konvexen monoton wachsenden Funktionen f. Satz 2.10 Satz 2.11 X MP S Y X D Y X icx Y X 2 Y X icx Y Satz 2.12 X icx Y E(X t) + E(Y t) + für alle t mit E((X t) + ) = (1 F X (z))dz t Satz 2.13 Satz 2.14 X MP S Y X cx Y X cx Y E(f(X)) E(f(Y )) für alle konkaven Funktionen f Folgerung X MP S Y EU(X) EU(Y ) für alle risikoaversen Nutzenfunktionen 4

3 Risikomaße Basisliteratur: Acerbi, C., Tasche, D. (2002): On the coherence of expected shortfall. Journal of Banking and Finance 26, 1487-1502. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., Heath, D., (1999): Coherent measures of risk. Mathematical Finance 9 (3), 203-228. Acerbi, C. (2002): Spectral measures of risk: A coherent representation of subjective risk aversion. Journal of Banking and Finance 26, 1505-1526. 3.1 Value-at-Risk (VaR) 3.1.1 Definition Sei F die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X. Die Funktion F : ]0, 1[ R α sup{x R F (x) α} heißt obere verallgemeinerte Inverse von F. Value at Risk (VaR) zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ heißt: V ar p (X) := max(0, F (1 p)). Existiert die inverse Verteilungsfunktion F 1 an der Stelle (1 p), dann gilt: F (1 p) = F 1 (1 p). Im Folgenden wird von F (1 p) 0 ausgegangen. 3.1.2 VaR für normalverteilte Zufallsvariablen Sei X N(µ, σ 2 ), dann gilt für den VaR zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ : V ar p (X) = σφ 1 (p) µ. 3.1.3 VaR und Dominanzbeziehungen Stochastische Dominanz 1. Ordnung Stochastische Dominanz 2. Ordnung Mean preserving spread X 1 Y V ar p (X) V ar ( Y ) X 2 Y V ar p (X) V ar p (Y ) Y MP S X es existiert ein t 0 mit F Y (t) F X (t) für t < t 0 F Y (t) F X (t) für t > t 0 Daher gilt Y MP S X, F Y (t 0 ) 1 p VaR p (Y ) VaR p (X) 5

3.2 Conditional Value-at-Risk 3.2.1 Definition Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f und invertierbarer Verteilungsfunktion F und sei x 1 p = F 1 (1 p) 0 das (1 p)-quantil, dann ist der Conditional Value at Risk (CVaR) zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ definiert durch: CV ar p (X) =E( X X x 1 p ) =E( X X V ar p (X)) x = 1 1 p xf(x)dx = 1 1 p 1 p 3.2.2 Alternative Darstellung des CVaR I CV ar p (X) = 1 1 p 1 p 0 F 1 (t)dt 3.2.3 Alternative Darstellung des CVaR II x 1 p xdf (x). { } 1 CV ar p (X) = inf 1 p E(t X)+ t t R 1 t = inf F (x)dx t t R 1 p mit (t X) + = max (0, t X) 3.2.4 Allgemeine Definition des CVaR CV ar p (X) = 1 1 p 1 p 0 F (t)dt Untere verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion von X: Es gilt: 1 1 p F (t) = inf{x R F (x) t}. 1 p 0 F (t)dt = 1 1 p 1 p 0 F (t)dt 6

3.2.5 CVaR für normalverteilte Zufallsvariablen Sei X N(µ, σ 2 ), dann gilt CV ar p (X) = µ + σ ϕ(z 1 p) 1 p mit z 1 p : (1 p)-quantil der Standardnormalverteilung ϕ : Dichte der Standardnormalverteilung. 3.2.6 CVaR als Entscheidungskriterium Bewertung von X, Y durch A) X Y CV ar p (X) CV ar p (Y ) B) X Y (1 λ)e(x) λcv ar p (X) (1 λ)e(y ) λcv ar p (Y ) für ein geg. λ [0, 1] C) Es gilt X Y (1 λ)e(x X x 1 p ) + λe(x X x 1 p ) (1 λ)e(y Y y 1 p ) + λe(y Y y 1 p ) für λ [0, 1]; p ]0, 1[ (1 λ)e(x X x 1 p )+λe(x X x 1 p ) = 1 λ p 3.2.7 CVaR und stochastische Dominanz 3.3 Spektrale Risikomaße 3.3.1 Kohärente Risikomaße X 2 Y CV ar p (X) CV ar p (Y ) Eine Abbildung ρ : X R, die die Eigenschaften A1 Monotonie: X, Y X, Y X ρ(y ) ρ(x), A2 Subadditivität: X, Y, X + Y X ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ), A3 Positive Homogenität: X X, h 0, hx X ρ(hx) = hρ(x), A4 Translationsinvarianz: X X, a R, X + a X ρ(x + a) = ρ(x) a E(X)+ 1 λ p CV ar p (X) p 7

erfüllt, heißt kohärentes Risikomaß. Satz 3.1 ρ ist kohärent genau dann, wenn eine Menge Q von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf Ω existiert, so dass gilt: 3.3.2 Spektrale Risikomaße ρ(x) = max P Q E P (X) Definition 3.1 X und Y heißen komonoton, falls für alle ω, ω Ω gilt (X(ω) X(ω ))(Y (ω) Y (ω )) 0. Die Abbildung ρ : X R heißt spektrales Risikomaß, falls ρ die Axiome (A1 - A4) und A5 Verteilungsinvarianz: X, Y X mit den zugehörigen Verteilungsfunktionen F X und F Y F X = F Y ρ(x) = ρ(y ), A6 Komonotone Additivität: für alle komonotone Zufallsvariablen X, Y X, X + Y X gilt ρ(x + Y ) = ρ(x) + ρ(y ) erfüllt. Satz 3.2 Für jedes spektrale Risikomaß gilt ρ h (X) = mit einer Funktion h für die gilt 1. h 0 2. 1 0 h(t)dt = 1 3. h ist monoton fallend. 1 Beispiel 3.1 Conditional Value at Risk h(t) = { 1 1 p Exponentielle spektrale Risikomaße h(t) = 0 F X(t)h(t)dt 0 t 1 p 0 1 p < t 1 a 1 e a e at für ein a > 0 8

3.3.3 Anwendung: Newsvendor Modell X zufällige Nachfrage y Entscheidungsvariable (Bestellmenge) c Einkaufspreis (Kosten) p Verkaufspreis z Rücknahmepreis Es gilt p > c > z. Gewinn bei Bestellmenge y: { px cy + z(y X) X < y g(y, X) = py cy X y Optimierungsproblem: = (p c)y (p z)(y X) + max E(g(y, X)) y Lösung: y = F 1 X ( ) p c p z Newsvendor-Problem unter Verwendung spektraler Risikomaße Optimierungsproblem: max ρ h (g(y, X)) y Lösung: ( ( )) p c y = F 1 H 1 p z mit H Stammfunktion von h, wobei gelten muss H(0) = 0 und H(1) = 1. Beispiel 3.2 Conditional Value at Risk ( )) p c y = F ((1 1 α) p z Exponentielle spektrale Risikomaße ( ( ) ) ln 1 p c y = F 1 p z (1 e a ) a 9

4 Kennziffern und Abhängigkeitsstrukturen von Renditeverteilungen 4.1 Grundlagen K it Kurs Aktie i zum Zeitpunkt t D it = K i,t K i,t 1 R it = ln K i,t 1 ( Kit K i,t 1 ) diskrete Rendite stetige Rendite µ = (µ 1,..., µ J ) Erwartungswertvektor von (R 1t,..., R Jt ) Σ Varianz-Kovarianz-Matrix von (R 1t,..., R Jt ). Erwartungstreue und konsistente Schätzer für µ i, σ 2 i und cov(r kt, R lt ) sind gegeben durch: r i := 1 n ŝ 2 i := â kl := n r it, t=1 1 n 1 1 n 1 n (r it r i ) 2 t=1 n (r kt r k )(r lt r l ). t=1 4.2 Parametrische Verteilungen 4.2.1 Multivariate Normalverteilung Sei X = (X 1,..., X n ) eine n-dimensionale Zufallsvariable. Definition 4.1 µ R n, Σ positiv definite (n n)-matrix. X heißt normalverteilt mit µ, Σ i. Z. X N(µ, Σ), falls für die Dichte f gilt Dabei gilt: f(x) = (2π) n 2 (detσ) 1 2 e 1 2 (x µ) 1 (x µ) E(X) = µ V ar(x) = Σ. (x R n ) Satz 4.1 X ist multivariat normalverteilt X N(µ, Σ) genau dann, wenn a 1 X 1 + + a 2 X n normalverteilt für alle a 1,..., a n R ist. Es gilt σ ij = 0 X i und X j sind unabhängig 10

Sei X = (X 1, X 2 ) mit X 1 = (X 1,..., X k ), X 2 = (X k+1,..., X n ), ( ) µ1 E(X) =, µ 2 ( ) Σ11 Σ Σ = 12, Σ 21 Σ 22 X 1 N (µ 1, Σ 11 ), X 2 N (µ 2, Σ 22 ), dann sind alle bedingten Verteilungen normalverteilt, mit (X 1 X 2 = x 2 ) = N(µ 1 + Σ 12 Σ 1 22 (x 2 µ 2 ); Σ 11 Σ 12 Σ 1 22 Σ 21) Transformation von X N(µ, Σ) mit der (n L)-Matrix A und b R L führt zu A X + b N ( A µ + b, A ΣA ) 4.2.2 Elliptische Verteilungen Definition 4.2 X = (X 1,..., X n ) heißt elliptisch verteilt mit µ R n, Σ positiv definit, falls die Dichte von X gegeben ist f(x) = det(σ) 1 2 g ( (x µ) Σ 1 (x µ) ) mit einer Funktion g : R + R (i.z. X E(µ, Σ, g)). 4.3 Copulas (X,Y) mit Verteilungsfunktion F (X,Y ) (x, y) = P (X x, Y y) und Randverteilungen F X (x) = F (X,Y ) (x, ) = P (X x) F Y (y) = F (X,Y ) (, y) = P (Y y) Satz 4.2 (Sklar)(1959) Zu F (X,Y ) existiert eine eindeutig bestimmte Funktion C : [0, 1] 2 [0, 1] mit F (X,Y ) (x, y) = C(F X (x), F Y (y)), 11

Eigenschaften a) C(u, v) = F (X,Y ) (F 1 X 1 (u), F (v)) b) U := F X X, V := F Y Y C ist die gemeinsame Verteilungsfunktion von (U,V): Y C(u, v) = P (U u, V v) (u, v [0, 1]) Es gilt: F (X,Y ) (x, y) = C(F X (x), F Y (y)) = C(u, v) mit u = F X (x), v = F Y (y) c) Es gilt: C(u, 1) = u C(1, v) = v C(0, v) = C(u, 0) = 0 d) Für u 1 u 2, v 1 v 2 gilt: P (u 1 U u 2, v 1 V v 2 ) = C(u 2, v 2 ) C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 2 )+C(u 1, v 1 ) Definition 4.3 Existiert eine Funktion c:[0, 1] 2 R t mit C(u, v) = so heißt c Dichte der Copula C. u v 0 0 c(s, t) dt ds, Satz 4.3 Besitzt F (X,Y ) eine Dichte f (X,Y ) mit Randdichten f X, f Y, so besitzt C die Dichte c(u, v) = f (X,Y )(F 1 1 X (u), FY (v)) f X (F 1 X (u)) f Y (F 1 Y (v)) Definition 4.4 Eine 2-dimensionale Copula ist eine auf [0, 1] 2 definierte 2- dimensionale Verteilungsfunktion, deren Randverteilungen Gleichverteilungen auf [0,1] sind. Bemerkung 4.1 Die nach dem Satz von Sklar existierende Funktion ist eine Copula. Satz 4.4 Für alle Copulas C gilt max(u + v 1, 0) C(u, v) min(u, v) Speziell sind W (u, v) = max(u + v 1, 0) und M(u, v) = min(u, v) Copulas. 12

Eigenschaft der Copula M F X,Y (x, y) = min (F X (x), F Y (y)) X = F 1 X (F Y Y ) X ist eine monoton wachsende Funktion von Y Eigenschaft der Copula W F X,Y (x, y) = max (F X (x) + F Y (y) 1, 0) X = F 1 X (1 F Y Y ) X ist eine monoton fallende Funktion von Y Gauss-Copula Φ 2ρ = Verteilungsfunktion einer 2-dimensionalen Normalverteilung mit µ x = µ y = 0, σ 2 x = σ 2 y = 1 und Korrelation ρ. Definition 4.5 Die Gauss-Copula ist Es gilt: C ρ (u, v) = Φ 2ρ (Φ 1 (u), Φ 1 (v)) (u, v [0, 1]) ρ=0 : C ρ (u, v) = u v ρ=+1 : C ρ (u,v) = M(u,v) ρ=-1 : C ρ (u,v) = W(u,v). Schätzung von Copulas (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) { 1 falls x i x 1 (xi x) = 0 falls x i > x x 1,..., x n ˆF X empirische Verteilungsfunktion n ˆF X (x) = 1 n 1 (xi x) i=1 Analog ergibt sich aus den Beobachtungen y 1,..., y n die emprische Verteilungsfunktion ˆF Y. û i := ˆF (x i ) ˆv i := ˆF (y i ) Aus den Beobachtungen (û 1, ˆv 2 ),..., (û n, ˆv n ) wird die Copula C von (X, Y ) geschätzt durch Ĉ(u, v) = 1 n 1 n (ûi u) 1 (ˆvi v) i=1 13

Einschübe A: Erwartungsnutzentheorie Die Zufallsvariable X wird durch den erwarteten Nutzen bewertet EU(X) = E(U(X)) = E(U X) = U(x)dF X (x) = Risikoaversion liegt vor, falls U(x)f X (X)dx im stetigen Fall EU(X) U(E(X)) für alle X Definition 4.6 (Jensen sche Ungleichung) EU(X) U(E(X)) X U konkav Risikoaversion liegt vor U ist monoton wachsend und konkav (U 0, U 0) B: Bedingte Erwartung Diskreter Fall: X, Y bedingter Erwartungswert von Y gegeben X = x bedingte Erwartung E(Y X) E(Y X = x) = y P (Y = y X = x) E(Y X) ist Zufallsvariable mit den Werten E(Y X=x) und der Verteilung P(X=x) Stetiger Fall (X, Y ) mit gemeinsamer Dichte f(x, y) E(Y X = x) = yf(y x)dy E(Y X) ist Zufallsvariable mit Werten E(Y X = x) und der Dichte f 1 (x). Es gilt: E(E(Y X)) = E(Y ) 14

C: Bedingter Erwartungswert für normalverteilte Zufallsvariablen Für X N(µ, σ 2 ) gilt ( ) a µ E(X X a) = µ + σ λ σ mit λ(z) = ϕ(z) Φ(z) wobei ϕ(z): Dichte der Standardnormalverteilung und Φ(z): Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. 15