Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär, wenn ein DEA existiert, der die Sprche erkennt. Wir geen deshl einen DEA M n, der L kzeptiert: M := ({z 0, z 1, z 2 }, {, }, δ, z 0, {z 0 }), woei die Üerführungsfunktion δ durch folgendes Zustndsüergngsdigrmm gegeen ist: z 0 z 1 z 2 M zählt die Differenz der Anzhlen der isher gelesenen s und s modulo 3. Dei edeutet Zustnd z i, dss die Differenz für ds isher gelesene Wort i (mod 3) ist. Liest der Automt ein, so steigt die Differenz um 1, woei sie von 2 wieder uf 0 springt, denn 3 0 (mod 3). Liest der Automt ein, so sinkt die Differenz um 1, woei sie von 0 uf 2 springt, d 1 2 (mod 3).
Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 2. Wir etrchten die Sprche L = { i j j i i, j 0 }. () Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G n, sodss L = L(G). Lösung: Folgende kontextfreie Grmmtik erzeugt L: G := ({S, X, Y }, {, }, P, S), woei die Menge der Produktionen wie folgt ist: P := {S ε, S X, X X, X, X Y, Y Y, Y }. L L(G), d.h. lle Wörter us L werden von G erzeugt: Mit Hilfe der Regeln S X und X X können lle Wörter der Form i X i, für i 0, erzeugt werden. Mit der Regel X Y wird drus i Y i und mit den Regeln Y Y und Y können drus lle Wörter der Form i j j i, woei i 0 und j 1, erzeugt werden. Nun muss nur noch der Spezilfll j = 0 gehndelt werden. D.h. es müssen noch die Wörter der Form i i, mit i 1, und ds leere Wort erzeugt werden. Die Wörter der Form i i können durch Anwenden der Regeln S X, X X und X erzeugt werden und ds leere Wort wird durch die Regel S ε erzeugt. D die gerde drgestellten Anwendungen von Regeln die einzig möglichen sind, gilt uch: L(G) L, d.h. lle von G erzeugten Wörter liegen in L. () Ist L regulär? Lösung: Nein! Beweis durch Pumping-Lemm: Wir nehmen n, dss L regulär wäre. Dnn sgt uns ds Pumping-Lemm, dss es ein n git, so dss für lle Wörter x L mit x n gilt: es git Wörter u, v, w Σ mit x = uvw, uv n, v 1 und uv i w L für lle i N. Wir etrchten nun ds Wort x = n n. Es gilt x = i j j i mit i = n und j = 0, d.h. x L, und ußerdem x n. Demnch git es eine Aufteilung von x in x = uvw gemäß dem Pumping-Lemm. Es gilt lso uv n, d.h. es ist u = k und v = l für k + l n und l 1. Weiterhin ergit sich us dem Pumping-Lemm, dss uv 2 w L gelten muss. Es ist er uv 2 w = n+l n. Ds edeutet uv 2 w = n + l n = uv 2 w. Für lle Wörter i j j i L gilt er i j j i = i+j = i j j i. Dmit ist uv 2 w / L. Dies ist ein Widerspruch. Demnch wr die Annhme flsch.
Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 3. Geen Sie einen deterministischen endlichen Automten n, der die gleiche Sprche kzeptiert wie der folgende nichtdeterministische endliche Automt: z 0 z 1 z 2,, Lösung: Wir nennen den NEA M. Es gilt M = ({z 0, z 1, z 2 }, {, }, δ, z 0, {z 2 }), woei δ wie oen gegeen ist. Wir verwenden die Potenzmengenkonstruktion, um einen zu M äquivlenten DEA M zu erstellen. Wir erhlten M = (P({z 0, z 1, z 2 }), {, }, δ, {z 0 }, {{z 2 }, {z 0, z 2 }, {z 1, z 2 }, {z 0, z 1, z 2 }}) woei δ durch folgendes Zustndsüergngsdigrmm gegeen ist (dei werden Zustände, die vom Strtzustnd us nicht erreichr sind, nicht eingezeichnet): q 0 q 1 q 2 q 3 q 0 := {z 0 } q 1 := {z 0, z 1 } q 2 := {z 0, z 1, z 2 } q 3 := {z 0, z 2 }
Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 4. Zeigen Sie, dss die Sprche { w Mw hält ei keiner Einge } nicht entscheidr ist. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Wir etrchten die üerll undefinierte Funktion Ω. Lut Vorlesung ist Ω erechenr. Dei gilt: Eine TM M erechnet Ω genu dnn, wenn M ei keiner Einge hält. Also gilt L = { w Mw erechnet Ω }. Die Funktionenmenge S = {Ω} (die lso nur Ω enthält) ist eine nicht leere echte Teilmenge der Klsse ller erechenren Funktionen. Nch dem Stz von Rice ist dnn er die Sprche C(S) = { w Die von M w erechnete Funktion liegt in S } nicht entscheidr. Es gilt er C(S) = { w M w erechnet Ω } = L. Also ist L nicht entscheidr.
Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 5. Wir etrchten die Sprche L = { n n c n n 0 }. Welche der folgenden Aussgen sind korrekt? Bitte kreuzen Sie die korrekten Aussgen in dem dfür vorgesehenen Kästchen n. L ist regulär. L ist kontextfrei. L ist kontextsensitiv. L ist vom Typ 0. L ist entscheidr. L ist rekursiv-ufzählr. Begründung: In der Vorlesung wurde gezeigt, dss L kontextsensitiv ist. Außerdem ist jede kontextsensitive Sprche entscheidr, rekursiv ufzählr und vom Typ 0. In der Vorlesung wurde uch gezeigt, dss L nicht kontextfrei ist. D jede reguläre Sprche uch kontextfrei ist, knn L nicht regulär sein.