Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten Tipps die Erinnerung an allgemeine Verfahren auffrischen sollen. P P P 3 Formen Sie die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 steht. Klammern Sie dann x aus. Substituieren Sie u = x. Stichwort: biquadratische Gleichung. Lösen Sie die Gleichung nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (pq-formel). Beachten Sie, dass in der Wurzel kein negativer Term stehen darf. P 4 a) Substituieren Sie u = e x. b) Substituieren Sie u = e x. c) Multiplizieren Sie die Gleichung mit e x. Substituieren Sie dann u = e x. d) Klammern Sie e x aus. e) Klammern Sie e x aus. Substituieren Sie dann u = e x. f) Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ergibt. P 5 a) Multiplizieren Sie die Gleichung mit dem Hauptnenner (x + ) x. b) Multiplizieren Sie die Gleichung mit x 4. P 6 a) Substituieren Sie u = cos x. Beachten Sie bei der Rücksubstitution, dass nur x-werte mit 0 x π verlangt sind. b) Klammern Sie sin x aus. c) Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ergibt. Welche Werte kann sin x annehmen?

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Lösungen P Umformen der Gleichung: x 3 + x(x + ) = 8x3 + 9x x 3 + x + x = 8x3 + 9x 3x3 7x + x = 0 3 7 x x + x = 0 3 3 7 x x x + = 0 3 3 Eine Lösung ist somit x = 0. Die weiteren Lösungen erhält man aus der quadratischen Gleichung: 7 x x+ = 0 3 3 7 49 7 49 4 7 5 7 5 x, 3 = ± = ± = ± = ± 6 36 3 6 36 36 6 36 6 6 x = ;x3 = 3 + + = + hat die Lösungsmenge = { } Die Gleichung x3 x(x ) 8x3 9x L 0; ;. 3 P Bei der biquadratischen Gleichung x4 6x 8 = 0 führt die Substitution u = x auf die quadratische Gleichung: u 6u 8 = 0 bzw. u 8u 9= 0. Mithilfe der pq-formel ergibt sich daraus: u, = 4± 6+ 9 = 4± 5 Aus u = 9 erhält man: 9 = x ; x, = ± 3. u = führt auf die unlösbare Gleichung = x. Die Gleichung x4 6x 8 = 0 hat die Lösungsmenge L = { 3; 3}. P 3 Die Anwendung der Lösungsformel (pq-formel) für quadratische Gleichungen führt auf: t t t t 6 x + t x+ 4= 0; x, = ± 4 = ± 4 4 Die Gleichung hat genau eine Lösung, wenn der Radikand gleich 0 ist: t 6 = 0 t 6= 0 t = 4 oder t = 4 4 Sie hat genau zwei Lösungen, wenn der Radikand der Wurzel positiv ist: t 6 > 0 t 6> 0 t > 4 oder t < 4 4 3

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Sie hat keine Lösung, wenn der Radikand negativ ist: t 6 < 0 t 6< 0 4< t < 4 4 P 4 a) Bei der Gleichung e4x 4ex + 3= 0 führt die Substitution u = e x auf eine quadratische Gleichung für u: u 4u+ 3= 0; u, = ± ; u =,u = 3. Aus u = ergibt sich: = e x; x = ln= 0; x = 0. Aus u = 3 ergibt sich: x 3= e ; x = ln3; x = ln3. Die Gleichung e4x 4ex 3 0 L= 0; ln3. b) Bei der Gleichung x x + = hat die Lösungsmenge { } e + e 3= 0 führt die Substitution u e x x = wegen ex = ( e ) = u auf eine quadratische Gleichung für u: u + u 3= 0; u = ± + 3; u = 3,u =., u = 3 führt auf die unlösbare Gleichung x 3= e x. Aus u = ergibt sich: = e ; x = ln= 0; x = 0. Die Gleichung ex + e x 3= 0 hat die Lösungsmenge L = {0}. c) Multiplikation der Gleichung e x 3e x = 0 mit e x ergibt: e x 3 e x = 0 Nun führt die Substitution u = e x auf eine quadratische Gleichung für u: u u 3= 0; u = ± + 3; u =,u = 3., (Die Substitution u = e x hätte man auch gleich zu Beginn machen können.) u = führt auf die unlösbare Gleichung = e x. Aus u = 3 ergibt sich: 3 = e x ; x = ln 3 Die Gleichung e x 3e x = 0 hat die Lösungsmenge L = {ln 3}. d) Bei der Gleichung e x + + e x = kann man e x ausklammern: x x e (e + ) = ; e = ; x = ln = ln ln( + e) = ln( + e). e+ + e Die Gleichung e x + + e x = hat die Lösungsmenge L = { ln( + e)}. 4

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre e) Bei der Gleichung e4x 4e3x 5ex = 0 klammert man zunächst e x aus: e x (ex 4ex 5) = 0 Wegen e x > 0 für alle x 0 folgt daraus: ex 4ex 5= 0 Die Substitution u = e x führt auf eine quadratische Gleichung für u: u 4u 5= 0; u = ± 4+ 5 = ± 3; u = 5, u =., 5= e x ; x = ln5 Aus u = 5 ergibt sich: u = führt auf die unlösbare Gleichung = e x. Die Gleichung e 4x 4e 3x 5e x = 0 hat die Lösungsmenge L = {ln 5}. f) Es gilt (ex + ) (3x 7) = 0 genau dann, wenn einer der beiden Faktoren null ergibt: ex + = 0; ex + = ; x+ = ln; x = ln. 3x 7 = 0; 3x = 7; x = 9; x,3 =± 3. Die Gleichung hat die Lösungsmenge L = { 3; ln ; 3}. P 5 a) Die Gleichung + = 0 x+ x hat die Definitionsmenge D = 0\{ ; 0}. Multiplikation mit dem Hauptnenner (x + ) x liefert: x + (x + ) = 0; x + = 0; x = ; x =. Da in der Definitionsmenge liegt, ist die Lösungsmenge L = { }. b) Die Gleichung 5 4 = x4 x hat die Definitionsmenge D = 0\{0}. Multipliziert man sie mit x 4, so erhält man die biquadratische Gleichung 5 4x = x4 bzw. x4 + 4x 5= 0. Die Substitution u = x führt auf eine quadratische Gleichung für u: u + 4u 5= 0 Sie hat die Lösungen: u, = ± 4+ 5 = ± 9 = ± 3; u = 5; u =. 5

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Resubstitution: x = 5, diese Gleichung ist unlösbar. x = führt auf x, =±. Die vorgegebene Gleichung hat die Lösungsmenge L = { ;}. P 6 a) Bei der Gleichung (cos x) cos x 3 = 0 führt die Substitution u = cos x zunächst auf die quadratische Gleichung u u 3= 0 für u. Ihre Lösungen lauten: u, = ± + 3 = ± ; u = ; u = 3. Aus u = ergibt sich die Gleichung: = cos x. Sie hat im Intervall [0; π] nur die Lösung x = π. u = 3 führt auf die Gleichung: 3 = cos x. Wegen cos x für alle x 0 ist sie unlösbar. Die Gleichung (cosx) cosx 3=0 hat für 0 x π die Lösungsmenge L = {π}. b) Es gilt: sin x sin x = 0; sin x(sin x ) = 0; sin x = 0 oder sin x =. π Als Lösungen im Intervall [0; π] ergeben sich x = 0, x = π; x 3 = π und x 4 =. Die Gleichung sin x sin x = 0 hat für 0 x π die Lösungsmenge π L= { 0; ; π; π }. c) Es gilt (sin x ) cos x = 0 genau dann, wenn einer der beiden Faktoren null ergibt, d. h., wenn gilt () sin x = oder () cos x = 0. Die erste Gleichung ist unlösbar, da sin x für alle x 0 gilt. Die zweite Gleichung hat für 0 x π die Lösungen 3 x = π ; x = π. 3 Die Gleichung hat die Lösungsmenge L = { π; π }. 6

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten Tipps die Erinnerung an allgemeine Verfahren auffrischen sollen. P 7 P 8 P 9 Skizzieren Sie zunächst den Graph von f. Führen Sie dann die angegebenen Abbildungen nacheinander aus. r Tipp: Für den Graph einer Funktion f bedeutet: Verschieben in x-richtung um x 0 : Ersetzen von x durch (x x 0 ) im Funktionsterm. Spiegeln an der x-achse: Multiplikation des Funktionsterms mit ( ). Verschieben in y-richtung um y 0 : Addition von y 0 zum Funktionsterm. Skizzieren Sie zunächst jeweils den Graph der Grundfunktion. Die Terme der Grundfunktionen sind hier: a) g(x) = x3 b) g(x) = c) g(x) = sin x x d) g(x) = ex e) g(x) = ex f) g(x) = x Überlegen Sie dann, welche Abbildungen Sie durchführen müssen. Beachten Sie auch die Lösungshinweise zu Aufgabe P 7. r Tipp: Für den Graph einer Funktion f bedeutet: Spiegelung an der y-achse: Ersetzen von x durch ( x) im Funktionsterm. Strecken in y-richtung mit einem Faktor a > 0: Multiplikation des Funktionsterms mit a. Strecken in x-richtung mit einem Faktor b > 0: Ersetzen von x durch x im Funktionsterm. b Stellen Sie den Funktionsterm von f als Produkt von Linearfaktoren dar. P 0 Bestimmen Sie zunächst die Nullstellen von f. P Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der Funktion. Betrachten Sie das Verhalten von f für x. r Tipps: Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für x ± wird durch die höchste Potenz von x bestimmt. Mit f(x) = a n nx + + a0 gilt für an > 0 () n ist gerade: x ± f(x) + () n ist ungerade: { x + f(x) + x f(x) Für an < 0 drehen sich die Vorzeichen bei f(x) um. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, höchstens n Extremstellen, höchstens n Wendestellen.

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen P Bestimmen Sie zunächst die Gleichungen der Asymptoten aus den Graphen. Überlegen Sie, ob Polstellen mit oder ohne Vorzeichenwechsel vorliegen. Verwenden Sie zur genauen Bestimmung des Funktionsterms Punkte des Graphen mit ganzzahligen Koordinaten. Beachten Sie auch Symmetrieeigenschaften der Graphen. r Tipps: K sei der Graph einer gebrochenrationalen Funktion f. Eine Gerade x = x 0 ist eine senkrechte Asymptote von K, wenn die Zahl x 0 eine Nullstelle des Nennerpolynoms, aber nicht des Zählerpolynoms ist (Überprüfen! Gegebenfalls muss der Bruchterm gekürzt werden.) Die Zahl x 0, z. B. x 0 =, heißt dann eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von f, wenn im Nenner des (gekürzten) Bruchterms ein Faktor der Form (x ), (x ) 3, (x ) 5 usw. als Potenz von (x ) mit der größtmöglichen Hochzahl enthalten ist. Sie ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, wenn entsprechend im Nenner ein Faktor der Form (x ), (x ) 4, (x ) 6 usw. vorkommt. Hat man eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = c gefunden, so kann man die Funktion f durch f(x) = c+ Restbruch darstellen, wobei beim Restbruch der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Beispiel: Hat die Funktion f an der Stelle x = einen Pol ohne Vorzeichenwechsel und der Graph von f die waagrechte Asymptote y =, so kann man Nennergrad vorausgesetzt folgenden Ansatz machen: a x+ b f(x) = + (x ) Aus dem Graph müssen zwei Punkte bestimmt werden. Setzt man ihre Koordinaten in die Funktionsgleichung ein, so erhält man zwei Gleichungen für a und b. P 3 Zeichnen Sie zunächst eine Parallele y = c zur x-achse so ein, dass sie durch die Wendepunkte der Kurve geht. Bestimmen Sie dann aus der Zeichnung die Periode T der Sinusfunktion. r Tipp: Eine allgemeine Sinuskurve hat die Gleichung f(x) = a sin[k(x b)] + c, wobei die Darstellung nicht eindeutig ist. Es kann jedoch immer a > 0, k > 0 erreicht werden. In diesem Fall gilt: c ist der Mittelwert des Minimums m und des Maximums M der Funktion: m+ M c = (Verschiebung in y-richtung.) M m Für die Amplitude a gilt: a = b ist gleich dem x-wert eines Wendepunktes mit positiver Steigung. (Verschiebung in x-richtung um b.) Die Periode T > 0 der Sinusfunktion ist die Differenz der x-werte zweier benachbarter Wendepunkte mit gleicher Steigung (oder zweier benachbarter Hoch- bzw. Tiefpunkte). π Es gilt: k = (Kehrwert des Streckfaktors in x-richtung.) T

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen P 4 Bestimmen Sie z. B. die Nullstellen der Funktionen. P 5 a) Überlegen Sie sich eine quadratische Gleichung, die die Lösungen und hat. b) Beachten Sie die Lösungshinweise zu Aufgabe P. P 6 a) Bringen Sie den Funktionsterm zunächst auf die Form f(x) = a sin[k(x b)] + c. Beachten Sie die Lösungshinweise zu Aufgabe P 3. b) Verwenden Sie den Ansatz g(x) = a sin(k x) + c. 3

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen Lösungen P 7 Die vier Bilder zeigen die schrittweise Durchführung der angegebenen Abbildungen: f(x) = e x Verschiebung um x 0 = + in x-richtung: g (x) = e x Spiegeln an der x-achse: g (x) = e x Verschiebung um y 0 = +3 in y-richtung: g(x) = e x + 3 Die letzte Kurve ist der Graph der Funktion g mit g(x) = e x + 3; x 0. 4

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen P 8 Beachten Sie auch die Lösungshinweise zu Aufgabe P 7. a) Die Kurve K mit der Gleichung f(x) = (x ) 3 + entsteht durch Verschiebung um (+) in x-richtung und Verschiebung um (+) in y-richtung aus der Kurve mit der Gleichung g(x) = x 3. b) Die Kurve K mit der Gleichung f(x) = + x 3 entsteht durch Verschiebung um (+3) in x-richtung und Verschiebung um (+) in y-richtung aus der Kurve mit der Gleichung g(x) =. x c) Die Kurve K mit der Gleichung π f(x) = sin x + 3 entsteht aus der Kurve mit der Gleichung g(x) = sin x zunächst π durch Verschiebung um ( + 3 ) in x-richtung, anschließender Spiegelung an der x-achse und Streckung mit dem Faktor in y-richtung. Danach erfolgt noch eine Verschiebung um (+) in y-richtung. 5

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen d) Die Kurve K mit der Gleichung f(x) = ex 3 entsteht durch Verschiebung um (+3) in x-richtung und Verschiebung um ( ) in y-richtung aus der Kurve mit der Gleichung g(x) = e x. e) Die Kurve K mit der Gleichung f(x) = e x entsteht aus der Kurve mit der Gleichung g(x) = e x durch Spiegelung an der y-achse, Streckung mit dem Faktor in y-richtung und anschließender Verschiebung um ( ) in y-richtung. f) Die Kurve K mit der Gleichung f(x) = x+ entsteht durch Verschiebung um ( ) in x-richtung und Verschiebung um ( ) in y-richtung aus der Kurve mit der Gleichung g(x) = x. 6

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen P 9 a) Die Funktion f mit f(x) = (x ) (x ) bzw. ausmultipliziert f(x) = x 3 4x + 5x hat genau die Nullstellen x = und x = und es gilt: x f(x) + b) Die Funktion f mit f(x) = (x ) (x ) bzw. ausmultipliziert f(x) = x 3 + 4x 5x + hat genau die Nullstellen x = und x = und es gilt: x f(x) P 0 Die ganzrationale Funktion f zweiter Ordnung mit f(x) = (x + ) (x 3) hat die beiden Nullstellen x = und x = 3. Ferner gilt f() = 4 < 0. Da f keine weiteren Nullstellen besitzt, gilt f(x) < 0 für alle Werte von x mit < x < 3. P a) Die Lösungen der Gleichung 4 7 x + x3 x+ = 0 sind die Nullstellen der 3 5 Funktion f mit 4 7 f(x) = x + x3 x+. 3 5 Im Graph ist bereits eine Nullstelle (x,3) erkennbar. Die drei Extremwerte von f sind ersichtlich positiv. Für x + gilt f(x). Somit muss f eine weitere Nullstelle haben. Gäbe es eine dritte Nullstelle, so müsste f auch weitere Extremstellen haben (zwischen den Nullstellen). Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann aber höchstens drei Extremstellen haben. Die Gleichung 4 7 x + x3 x+ = 0 3 5 hat somit genau zwei Lösungen. b) Die Gleichung 4 7 x + x3 x+ = c hat z. B. für 3 5 c = 5 genau zwei Lösungen, c = genau vier Lösungen. (Die Gerade y = 5 schneidet den Graphen von f in genau zwei, die Gerade y = in genau vier Punkten.) P a) Der Graph hat die waagrechte Asymptote y = 3 und die senkrechte Asymptote x = 0. Für x 0 gilt f(x), d. h., x = 0 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Ansatz: ax + b f(x) = 3+ x Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. Daher kann im Zähler keine Potenz von x mit ungerader Hochzahl stehen. Das bedeutet a = 0. 7

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen Der Punkt P( ) liegt auf dem Graph. Punktprobe mit P liefert b =. Ein Funktionsterm der zugehörigen Funktion ist: 3x f(x) = 3 = x x b) Der Graph hat die waagrechte Asymptote y = und die senkrechte Asymptote x =. Für x gilt f(x) +, d. h., x = ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Ansatz: ax + b f(x) = + (x ) Punktprobe mit P(0 ) und Q( ) liefert b =, a = 0. Ein Funktionsterm der zugehörigen Funktion ist: f(x) = + (x ) c) Der Graph hat die waagrechte Asymptote y = und die senkrechte Asymptote x =. Für x und x < gilt f(x) ; für x und x > gilt f(x) +. x = ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Ansatz: a f(x) = + x Punktprobe mit P( 5) liefert a = 3. Ein Funktionsterm der zugehörigen Funktion ist: 3 x+ f(x) = + = x x d) Der Graph hat die waagrechte Asymptote y =. Es gibt zwei senkrechte Asymptoten x = und x =. Bei x = und x = liegen Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor. Der Nenner des gesuchten Funktionsterms muss daher diese beiden Werte als Nullstellen haben. Ansatz: ax + b ax + b f(x) = + = + (x + )(x ) x Die Kurve ist achsensymmetrisch zur y-achse, d. h. a = 0. Ferner geht die Kurve durch den Ursprung O. Punktprobe mit O(0 0) liefert b =. Ein Funktionsterm der zugehörigen Funktion ist: x f(x) = + = x x 8

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen P 3 Eine allgemeine Sinuskurve hat die Gleichung π f(x) = a sin[k(x b)] + c= a sin (x b) + c. T Im Folgenden bezeichnet M das Maximum, m das Minimum der Funktion. Beachten Sie die Lösungshinweise zu dieser Aufgabe. a) Dem Graph entnimmt man hier unmittelbar: c = 0; a = ; b = ; T = 7 = 6. Ein möglicher Funktionsterm der zugehörigen Funktion f ist somit: π π f(x) = sin (x ) = sin (x ) 6 3 b) Aus dem Graph ergibt sich: M+ m 4+ 0 M m 4 0 c= = = ; b = ; a = = = ; T = 9 = 8 Ein möglicher Funktionsterm der zugehörigen Funktion f ist: π π f(x)= sin (x ) + = sin (x ) + 8 4 c) Aus dem Graph erhält man: M+ m 3+ M m 3 c= = = ; b= ; a = = = ; T = 8 = 6 Ein möglicher Funktionsterm der zugehörigen Funktion f ist: π π f(x) = sin (x ) + = sin (x ) + 6 3 d) Aus dem Graph ergibt sich: M+ m 3,5 + 0,5 M m 3,5 0,5 c= = = ; b = ; a = = =,5; T = 5 = 4 Ein möglicher Funktionsterm der zugehörigen Funktion f ist: π π f(x)=,5 sin (x ) + =,5 sin (x ) + 4 P 4 Neben den folgenden Lösungen sind weitere Begründungen denkbar. a) Für die Funktion f mit f(x) = 3x e x gilt: f(x) = 0 x = 0 f hat somit die Nullstelle x = 0 und es gilt f(x) 0 für alle x 0. Dies trifft nur auf Bild () zu. b) Für die Funktion f mit f(x) = (x ) e x gilt: f(x) = 0 x = f hat die Nullstelle x =. Dies trifft nur auf Bild (3) zu. 9

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Wichtige Funktionsklassen c) Für die Funktion f mit f(x) = xe x gilt: f(x) = 0 x = 0 f hat die Nullstelle x = 0 und es gilt f( ) = e < 0. Dies trifft nur auf Bild () zu. P 5 a) Eine gebrochenrationale Funktion f mit den Nullstellen x = und x = und der Polstelle x 3 = ohne Vorzeichenwechsel ist gegeben durch: (x ) (x + ) x 4 f(x) = = (x ) (x ) Den Term einer weiteren gebrochenrationalen Funktion mit diesen Eigenschaften kann man durch einfache Veränderungen aus dem Term von f erhalten, z. B.: 3 (x 4) x 4 g(x) = oder h(x) = (x ) (x ) 4 x b) Der Graph der Funktion g mit g(x) = hat die Asymptoten x = und y =. x Daneben sind weitere Lösungen möglich. P 6 a) Aus dem Funktionsterm f(x) =,5 sin( π x π ) + =,5 sin[ π(x )] + der Funktion f liest man für den Graph ab: π Periode: T = = ; π Amplitude: a =,5; Verschiebung in x-richtung um (+); Verschiebung in y-richtung um (+). b) Die Funktion g mit g(x) = a sin(k x) + c π hat die Periode T =. k Sie hat die Periode π, wenn k = gilt. Wählt man a = und c =, so hat die Funktion g mit g(x) = sin(x) + die Periode π und die Wertemenge W = [ ; 3]. 0

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten Tipps die Erinnerung an allgemeine Verfahren auffrischen sollen. P 7 Verwenden Sie die Produkt- und Kettenregel. r Tipps: Produktregel: f(x) = u(x) v(x) f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) Kettenregel: f(x) = u(v(x)) f'(x) = u'(v(x)) v'(x) P 8 a) Beachten Sie die Kriterien für Extrem- und Wendepunkte. r Tipps: f '(x 0 ) = 0 und f "(x 0 ) < 0 Der Graph von f hat an der Stelle x 0 einen Hochpunkt. f '(x 0 ) = 0 und f "(x 0 ) > 0 Der Graph von f hat an der Stelle x 0 einen Tiefpunkt. f "(x 0 ) = 0 und f '''(x 0 ) 0 Der Graph von f hat an der Stelle x 0 einen Wendepunkt. b) Stellen Sie ein LGS für b und c auf. P 9 Verwenden Sie beim Ableiten die Produktregel. r Tipp: Formel für den Abstand zweier Punkte P (x y ) und P (x y ): d(p ;P ) = (x x ) + (y y ) P 0 Verwenden Sie beim Ableiten die Produkt- und Kettenregel. Beachten Sie die Lösungshinweise zu Aufgabe P 8. P a) Siehe P 0 b) r Tipps: Tangentengleichung in einem Punkt P(u f(u)): y = f'(u)(x u) + f(u) Zwei Geraden y = m x + c und y = m x + c sind genau dann orthogonal, wenn gilt: m m = P r Tipp: Gleichung einer Normalen im Punkt P(u f(u)): y = (x u) + f(u) f'(u) P 3 r Tipp: Die Graphen zweier Funktionen f und g berühren sich in einem Punkt P(u v), wenn gilt: () f(u) = g(u) = v () f '(u) = g '(u) P 4 a) Beachten Sie die Lösungshinweise zu Aufgabe P. b) Bestimmen Sie zuerst die Steigung der Geraden g. 4

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren P 5 a) Beachten Sie die Lösungshinweise zu Aufgabe P. b) Überlegen Sie z. B., wie viele Nullstellen f haben kann. P 6 Betrachten Sie zunächst die Punkte der Kurve mit waagrechter Tangente. Was gilt hier für f '? Untersuchen Sie dann das Monotonieverhalten von f. r Tipp: Es sei f eine in einem Intervall I differenzierbare Funktion mit f '(x) 0 für x I. f ist auf dem Intervall I genau dann streng monoton wachsend (fallend), wenn für alle x I gilt f '(x) > 0 (f '(x) < 0). P 7 P 8 () Verwenden Sie die Vorzeichenregel für lokale Extrema. () Welche Stellen bei f ' entsprechen den Wendestellen von f? (3) Beachten Sie den Tipp zu Aufgabe P 6. (4) Beachten Sie, dass f ' die Tangentensteigung des Graphen von f beschreibt. (5) Beachten Sie, dass f eine Stammfunktion von f ' ist. r Tipps: Vorzeichenregel für lokale Extremstellen: f '(x 0 ) = 0 und f ' wechselt an der Stelle x 0 das Vorzeichen von plus nach minus f(x 0 ) ist ein lokales Maximum. f '(x 0 ) = 0 und f ' wechselt an der Stelle x 0 das Vorzeichen von minus nach plus f(x 0 ) ist ein lokales Minimum. P 9 Es ist hilfreich, zuerst die Graphen der Ableitungsfunktionen zu skizzieren. Untersuchen Sie auch das Monotonieverhalten der Ableitungsfunktionen. Beachten Sie den Tipp zu Aufgabe P 6. P 30 r Tipps: Gilt f '(x) > 0 für alle x D f, so ist f streng monoton wachsend. Gilt f '(x) < 0 für alle x D f, so ist f streng monoton fallend. 5

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren Lösungen P 7 Die Ableitungen erhält man unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel. a) f(x) = x 3 cos x f '(x) = 3x cos x + x 3 ( sin x) = x (3 cos x x sin x) b) f(x) = x x e + f '(x) = x x x e + xe = (+ x)e x x x c) f(x) = (3x + ) 8 f '(x) = 8 (3x + ) 7 3 = 4 (3x + ) 7 d) f(x) = 3x3 x f '(x) = 3 x 9x x + 3x = 3 x x e) f(x) = x sin(x 3 ) f '(x) = x sin(x3 ) + x cos(x3 ) 3x = x sin(x3 ) + 3x4cos(x3 ) f) f(x) = e x ln x f '(x) = e lnx+ e = lnx e x + x x x x g) f(x) = x x+ f '(x) = x x + + x x+ 3 h) f(x) = x + = x x + + x x + 3 x f '(x) = 4x = (x + ) (x + ) P 8 a) Aus f(3) = 0, f ''(3) = 0, f '''(3) 0 folgt: W(3 0) ist Wendepunkt von Graph f. Im Punkt H( 4) W hat Graph f wegen f() = 4, f '() = 0 eine waagrechte Tangente. Da f ganzrational vom Grad 3 ist, muss H( 4) ein Extrempunkt sein. Wegen der Punktsymmetrie des Graphen zum Wendepunkt W ist auch T(4 4) ein Extrempunkt. b) 3 f(x) = x + bx + cx 36 Mit f(3) = 0 ergibt sich 7 + 9b + 3c 36 = 0 bzw. 9b + 3c = 8 (). Aus f() = 4 erhält man 8 + 4b+ c 36= 4 bzw. 4b + c = 4 (). Auflösen von Gleichung () nach c liefert c= 3b 6; Einsetzen in Gleichung () ergibt: 4b + ( 3b 6) = 4; b = 4; b = 36; b= 8; c= 3( 8) 6 = 48. 6

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren P 9 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x e x ; x 0. Ableitung von f: f'(x) = x ex + x ex = x (+ x) e x. Punkte mit waagrechter Tangente: f'(x) = 0; x(+ x) = 0; x= 0; x=. f(0) = 0; P (0 0). f ( ) = 4e ; P ( 4e ). Abstand der Punkte P und P : 4 d = ( 0) + (4e 0) = 4+ 6e = + 4e 4. P 0 Die Ableitungen der Funktion f mit f(x) = x e x ; x 0 erhält man mithilfe der Produkt- und Kettenregel: f'(x) = e x + x e x ( ) = ( x) e x f''(x) = e x + ( x) e x ( ) = (x ) e x f'''(x) = e x + (x ) e x ( ) = (3 x) e x. Wegen f '() = 0; f "() = e < 0 hat der Graph von f an der Stelle x = einen Hochpunkt. Wegen f "() = 0; f '''() = e 0 hat der Graph von f an der Stelle x = einen Wendepunkt. P a) Ableitung der Funktion f mit f(x) = x + : x 3 x f'(x) = x =. x x Schnittpunkt N des Graphen mit der x-achse: f(x) = 0; x + = 0; x x 3 + = 0; x 3 = ; x = ; N( 0). Bestimmung des x-wertes des Tiefpunktes: f '(x) = 0; x 3 = 0; 3 x = ; x T =. 3 b) Tangente im Punkt P( ): t: y = f '() (x ) + f() = (x ) + = x +. Die Gerade g durch die Punkte P( ) und Q( 3) hat die Steigung 3 m g = =, 3 die Tangente in P die Steigung m t = f '() =. 7

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren Wegen mg mt = = 3 3 sind die Gerade g und die Tangente t nicht orthogonal zueinander. P Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x3 + 3x. 3 a) Nullstellen von f: f(x) = 0 x 3 + 3x = 0 3 x x 3 + = 0. 3 Eine Nullstelle ist x = 0. Die weiteren ergeben sich aus: x + 3 = 0; x = 9; x, 3 3 = ± 3. Die Nullstellen von f sind x = 0, x = 3 und x 3 = 3. Skizze von f: f ist ganzrational vom Grad 3, hat also höchstens zwei lokale Extremstellen. Das Verhalten von f für x ± wird von der höchsten Potenz von x samt Vorzahl im Funktionsterm bestimmt: Aus x folgt f(x) + ; aus x + folgt f(x). Zusammen mit den Nullstellen lässt sich eine Skizze des Graphen anfertigen. b) Untersuchung auf Schnittpunkte von K mit der Normalen im Ursprung: Ableitung von f: f '(x) = x + 3. Gleichung der Normalen in O(0 0): y= x = x. f'(0) 3 Schnitt von K mit der Normalen: 3 x + 3x = x 3 3 3 x3 + 9x = x x3 0x = 0 x (x 0) = 0. Die Gleichung hat die Lösungen x4= 0,x5= 0,x6= 0. 8

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren Die y-werte der Schnittpunkte erhält man durch Einsetzen der x-werte in die Normalengleichung. Die Kurve K schneidet die Normale im Ursprung O in den Punkten P (0 0), P 0 0 und P 3 0 0. 3 3 P 3 Die Graphen der beiden Funktionen berühren sich, wenn sie einen Schnittpunkt mit gemeinsamer Tangente besitzen. Untersucht werden muss daher das Gleichungssystem: () f(x) = g(x) bzw. x = x x + () f '(x) = g'(x) bzw. x = 4x Auflösen der Gleichung () liefert: x = 4x ; x = ; x =. x = ist auch Lösung der Gleichung (), wie man durch Einsetzen bestätigt: = +. Mit f() = ergibt sich: Die Graphen von f und g berühren sich im Punkt P( ). P 4 a) Der Graph der Funktion f mit f(x) = ; x 0 \{0} x hat die waagrechte Asymptote y =, die senkrechte Asymptote x = 0. Für x 0 folgt f(x) +. (x = 0 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.) Damit lässt sich eine Skizze des Graphen anfertigen. b) Gesucht ist der Punkt P auf dem Graph, in dem die Tangentensteigung gleich der Steigung der Geraden g ist. Umformen der Geradengleichung von g liefert: x + 4y + 8 = 0; 4y = x 8; y = x. 4 Die Steigung der Geraden g ist m =. 4 9

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren Ableitung von f mit f(x) = = x : x 3 f'(x) = x =. x3 Für den Punkt P muss gelten: f'(x) = ; = ; x3 = 8; x=. 4 x3 4 7 7 Mit f() = = erhält man den gesuchten Punkt P. 4 4 4 P 5 a) Gegeben ist die Funktion f mit x x f(x) = ; x 0 \{ ; }. x Die Geraden x = und x = sind senkrechte Asymptoten des Graphen von f, denn x = und x = sind keine Nullstellen des Zählerpolynoms. Wegen x x x ( x x) x x lim f (x) = lim = lim = lim = x x x x x ( x x) x ist die Gerade y = waagrechte Asymptote. b) Die Kurve K schneidet die x-achse in 4 Punkten. Die Funktion f kann aber höchstens Nullstellen haben, da die Bedingung f(x) = 0 auf die quadratische Gleichung x x = 0 führt, die höchstens zwei Lösungen hat. Somit kann K nicht den Graph von f darstellen. Daher kann nur K der Graph von f sein. P 6 Man wird zunächst die Punkte der Graphen mit waagrechten Tangenten betrachten. Ihre x-werte sind Nullstellen der Ableitungen. Sie werden zuerst auf der x-achse markiert und die Definitionsmenge dadurch in Teilintervalle zerlegt. Dann gilt: Ist f in einem Teilintervall streng monoton fallend, so ist f ' dort negativ; ist f streng monoton wachsend, so ist f ' positiv. Wendestellen von f sind Extremstellen von f '. a) b) 30

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren P 7 Für den Graph von f bedeutet: f() = : Der Punkt P( ) liegt auf dem Graph. f '() = 0: Der Graph hat in P eine waagrechte Tangente. f "() = 0 und f '''() 0: Der Punkt P ist ein Wendepunkt des Graphen. Zusammengefasst: Der Graph von f hat den Wendepunkt P( ) mit waagrechter Tangente (Sattelpunkt). P 8 Die Abbildung zeigt den Graph der Ableitungsfunktion f ' der Funktion f. () Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum. Die Aussage ist falsch. Begründung: An der Stelle x = 0 hat f ' eine Nullstelle und einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus. Somit hat f an dieser Stelle ein lokales Minimum. () Die Funktion f hat mindestens eine Wendestelle. Die Aussage ist wahr. Begründung: Die Ableitungsfunktion f ' hat mindestens zwei lokale Extremstellen. Diese sind Wendestellen von f. (3) Für < x < ist f streng monoton steigend. Die Aussage ist falsch. Begründung: Für < x < 0 gilt f '(x) < 0. Die Funktion f ist daher in diesem Bereich streng monoton fallend. (4) Der Graph von f hat mindestens drei Tangenten mit der Steigung. Die Aussage ist wahr. Begründung: In dem dargestellten Ausschnitt des Graphen von f ' schneidet die Gerade y = den Graph in drei Punkten. Es gibt somit mindestens drei x-werte mit der Tangentensteigung f '(x) =. Die Tangenten an den Graph von f an diesen Stellen sind daher parallel zur Geraden y = x 6. (5) f hat mindestens eine Nullstelle im Intervall I = [ 3; 3]. Die Aussage ist unentscheidbar. Begründung: f ist als Stammfunktion von f ' auf dem Intervall I nur bis auf einen konstanten Summanden bestimmt. D. h., ist h eine bestimmte Stammfunktion von f ' auf I, so sind alle weiteren Stammfunktionen g durch g(x) = h(x) + c gegeben. Abhängig von c sind Stammfunktionen möglich, die im Bereich I = [ 3; 3] positiv oder negativ sind oder Nullstellen haben. Welche dieser Eigenschaften die Funktion f hat, lässt sich aus dem Graph von f ' nicht erschließen, da dieses keine Aussagen über die absolute Größe der Funktionswerte von f ermöglicht. 3

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Differenzieren P 9 Die Aussage () f '() < g '() ist wahr. Begründung: Die Funktion f ist im dargestellten Bereich streng monoton fallend. Also gilt: f '() < 0. Die Funktion g ist im dargestellten Bereich streng monoton wachsend. Daher ist g '() > 0. Somit gilt: f '() < 0 < g '(). Die Aussage () f() < f '() ist falsch. Begründung: Es gilt: f() = 0 > f '() (s. o.) Die Aussage (3) f "() < g "() ist falsch. Begründung: Im dargestellten Bereich gilt: Die Kurve K f ist linksgekrümmt (f ' wächst monoton). D. h., es gilt f "() 0. Die Kurve K g ist rechtsgekrümmt (g ' fällt monoton). D. h., es gilt g "() 0. Somit erhält man: g "() 0 f "(). P 30 Wegen f(x) > 0 verläuft der Graph von f oberhalb der x-achse. Aus f '(x) > 0 folgt, dass er streng monoton steigt. f ''(x) > 0 für x < bedeutet, dass die Steigung für x < zunimmt (Linkskurve) und f ''(x) < 0 für x >, dass sie für x > abnimmt (Rechtskurve). An der Stelle liegt eine Wendestelle vor. 3

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten Tipps die Erinnerung an allgemeine Verfahren auffrischen sollen. P 3 Verwenden Sie bei den Teilaufgaben a) bis d) und f) die lineare Substitution. Beachten Sie bei Teilaufgabe b) die Darstellungsmöglichkeit = x n. x n Beachten Sie bei Teilaufgabe e) die Darstellungsmöglichkeit = = x oder x x dass f mit f(x) = x die Ableitung f'(x) = besitzt. x P 3 Bestimmen Sie zunächst die Nullstellen von f. Fertigen Sie eine Skizze an. Beachten Sie, dass eine Teilfläche unterhalb der x-achse liegt. P 33 Überlegen Sie, durch welche Abbildungen der Graph aus der Kurve y = e x hervorgeht. Beachten Sie die Lösungshinweise zu den Aufgaben P 7 und P 8. Betrachten Sie zunächst die Fläche zwischen Kurve K, y-achse und der Geraden y = über einem Intervall [0; z]. r Tipp: Fläche zwischen zwei Kurven: b A = (f(x) g(x)) dx a P 34 Überlegen Sie, durch welche Abbildungen der Graph aus der Kurve y = e x hervorgeht. Beachten Sie die Lösungshinweise zu den Aufgaben P 7 und P 8. r Tipp: b Formel für den Rauminhalt eines Drehkörpers: V =π ( f(x) ) dx P 35 Wenden Sie die lineare Substitution an. Beachten Sie die Darstellungsmöglichkeit = x 3. x3 P 36 Wenden Sie die lineare Substitution an. r Tipp: sin x dx = cosx P 37 Wenden Sie die lineare Substitution an. Beachten Sie, dass eine Stammfunktion nur bis auf einen konstanten Summanden c bestimmt ist. P 38 Bestimmen Sie eine allgemeine Stammfunktion F von f. Beachten Sie den Lösungshinweis zu Aufgabe P 37. Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte von F. a 35

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren P 39 () Beachten Sie die Vorzeichenregel für die Bestimmung von lokalen Extremstellen. () Überlegen Sie, dass die Integralfunktion I die Nullstelle haben muss. (3) Betrachten Sie die Teilflächen, die der Graph mit der x-achse einschließt. P 40 () Beachten Sie die Extremstellen von f. () Beachten Sie die Vorzeichenregel für die Bestimmung von lokalen Extremstellen. (3) Die Funktion f beschreibt die Tangentensteigungen des Graphen von F. P 4 Vergleichen Sie z. B. die Extremstellen mit den Nullstellen der Graphen. Welcher Zusammenhang muss bestehen? 36

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren Lösungen P 3 Unter Anwendung der linearen Substitution erhält man: a) b) x x ( e ) dx x e e e + = + = + 0 0 3 dx (x ) dx (x ) = + = + = (x + ) 3 0 0 0 (x ) + 0 8 4 = + = = 8 8 9 ln4 c) dx ln 3x = + = ln 4 ln = 3x + 3 3 3 3 d) e) 0 0 = 0 0 0 0 5 6 6 (x ) dx (x ) (x ) + = + = + = = 0 6 4 4 5 9 + x dx= x + x = 4 + 4 + = (4+ 8) = x π 3 3 3 3 3 f) 3 sin(4x ) dx cos(4x ) π = π = cos(3 π ) + cos π= = 0 4 π 4 4 4 4 π π = = P 3 Man bestimmt zunächst die Nullstellen der Funktion f mit f(x) = x x: f(x) = 0; x(x ) = 0; x = 0; x =. Für den Inhalt der beschriebenen Fläche gilt dann (siehe Skizze): 3 A = (x x)dx + (x x)dx 0 3 3 x x x3 x 3 0 3 = + 8 8 4 (9 9) 4 8 = + =. 3 3 3 37

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren P 33 Der Graph der Funktion f mit f(x) = e x entsteht aus der Kurve y = e x durch Spiegelung an der x- und y-achse und anschließender Verschiebung in y-richtung um (+). Man berechnet zunächst den Inhalt der Fläche zwischen der Geraden y = und dem Graph von f über dem Intervall [0; z] (z > 0): z z A(z) = ( f(x)) dx = ( + e x ) dx 0 0 z z = e x dx e x e z = = +. 0 0 Für den Inhalt der nach rechts unbegrenzten Fläche gilt dann: A = lim A(z) = lim ( e z + ) =. z z Die nach rechts unbegrenzte Fläche zwischen y-achse, der Geraden y = und dem Graph von f hat einen endlichen Inhalt. P 34 Der Graph der Funktion f mit f(x) = 3e x entsteht aus der Kurve y = e x durch Spiegelung an der y-achse und Streckung in y-richtung mit dem Faktor 3. Rauminhalt des Drehkörpers: x ( ) V =π f (x) dx =π 9e dx 0 0 9 x 9 4 9 e e e0 0 =π =π + 9 = π ( e 4 ). P 35 Eine mögliche Stammfunktion der Funktion f mit 3 f(x) = 4x + 3e 4x = 4x3+ x 3 3e 4x x3 ist gegeben durch: 4 3 = 4 x x + e 4x = 4 3 F(x) x + e 4x. 4 4 x 4 38

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren P 36 Eine mögliche Stammfunktion der Funktion f mit f (x) = 4x3 sin(3x + ) ist gegeben durch: 4 F(x) = x + cos(3x + ). 3 P 37 Für eine Stammfunktion F von f mit f(x) = x 3 e x gilt: 4 F(x) = x ex + c; c 0. 4 Aus F() = folgt für c: 5 e + c= ; c= + =. 4 4 4 Die gesuchte Stammfunktion F ist gegeben durch: 4 x 5 F(x) = x e +. 4 4 P 38 Für eine Stammfunktion F von f mit f(x) = 6x + x gilt: F(x) = x3+ 6x+ c; c 0. Ableitungen von F: F'(x) = f(x) = 6x + x; F''(x) = f '(x) = x +. Extrempunkte von F: F'(x) = 0; 6x + x = 0; 6x(x ) = 0; x = 0, x =. F "(0) = > 0; F (0) = c; Tiefpunkt: T(0 c). F "() = < 0; F () = 8 + c; Hochpunkt: H( 8 + c). Der Hochpunkt liegt auf der x-achse, wenn gilt: 8+ c= 0; c= 8. Die gesuchte Stammfunktion ist gegeben durch: F(x) = x3+ 6x 8. 39

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren P 39 Die Integralfunktion I mit x I(x) = f (t) dt bezieht sich auf den abgebildeten Graph der Funktion f. () Die Funktion I hat ein lokales Maximum. Die Aussage ist wahr. Begründung: An der Stelle x = 0 wechselt die Ableitung I' = f das Vorzeichen von plus nach minus. Somit hat I an dieser Stelle ein lokales Maximum. () Der Graph von I berührt die x-achse. Die Aussage ist wahr. Begründung: a) Es gilt: I( ) = f (t) dt = 0. Somit hat I die Nullstelle x =. b) Mit I'(x) = f(x) folgt I'( ) = f( ) = 0. Also hat der Graph von I an der Stelle x = eine waagrechte Tangente. Aus a und b folgt die Behauptung. (3) Es gilt: I() > 0. Die Aussage ist falsch. Betrachtet man die Fläche, die der Graph von f mit der x-achse einschließt, so ist der Inhalt A der Teilfläche oberhalb der x-achse ersichtlich kleiner als der Inhalt A der Teilfläche unterhalb der x-achse. I() = f (t) dt gibt den orientierten Inhalt der Gesamtfläche an, wobei gilt: I() = A A < 0. P 40 Es sei F eine Stammfunktion und f ' die Ableitung von f. () f ' hat mindestens eine Nullstelle. Begründung: Der Graph von f hat ersichtlich mindestens zwei lokale Extrempunkte. Die zugehörigen x-werte sind Nullstellen von f ', da in diesen Punkten die Tangentensteigung 0 ist. () F hat ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. Begründung: Die Funktion f ist die Ableitung von F: F ' = f. Da f an der Stelle x = eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus hat, besitzt F dort ein lokales Minimum. Entsprechend hat f an der Stelle x = eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Daher hat F dort ein lokales Maximum. 40

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Integrieren (3) Der Graph von F hat an der Stelle 0 eine Tangente, die parallel zur Geraden y = x ist. Begründung: Aus der Zeichnung entnimmt man: F'(0) = f (0) = Der Graph von F hat daher an der Stelle 0 eine Tangente mit der Steigung, die somit parallel zur Geraden y = x ist. P 4 An einer lokalen Extremstelle einer Funktion hat die Ableitung der Funktion eine Nullstelle. Eine Lösungsmöglichkeit besteht daher darin, die Nullstellen mit den lokalen Extremstellen in den Bildern zu vergleichen: Bild Bild Bild 3 Nullstelle 0 Extremstelle 0 Graph von f ' F f Bild 3 muss den Graph von f, Bild den Graph von f ' und Bild den Graph von F darstellen. Denn nur dann gilt: f() ist lokales Minimum f '() = 0. F(0) ist lokales Maximum F '(0) = f(0) = 0. (Man könnte auch mithilfe der Monotonieeigenschaften der Funktionen argumentieren.) 4

Baden-Württemberg Übungsaufgaben Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten Tipps die Erinnerung an allgemeine Verfahren auffrischen sollen. P 4 a) Es gilt F ' = f. Somit gibt f die Tangentensteigung von Graph F an. Betrachten Sie eine geeignete Tangente. b) () F hat eine Wendestelle. () Was können Sie über die Monotonie von F ablesen? (3) F ist eine Stammfunktion von f. r Tipp: b f(x)dx= F(b) F(a) a P 43 Machen Sie für den Funktionsterm den Ansatz f(x) = ax + bx + c. Aus den Angaben in der Aufgabe lassen sich drei Gleichungen für a, b und c aufstellen. P 44 Machen Sie für den Funktionsterm den Ansatz f(x) = ax 3 + bx + cx + d. Aus den Angaben in der Aufgabe lassen sich vier Gleichungen für a, b, c und d aufstellen. P 45 a) Vergleichen Sie Nullstellen mit Extremstellen der Funktionen. b) Verwenden Sie die Nullstelle und die Extremstelle von f, um Gleichungen für a und b zu finden. P 46 r Tipp: Für die Verkettung f g zweier Funktionen f und g gilt y = f(g(x)). (Erst g(x) berechnen, dann das Ergebnis in f(x) für x einsetzen.) P 47 a) Was gilt für die Geschwindigkeit, wenn der Taucher am Grund des Sees angekommen ist? b) Beachten Sie: Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate der Tauchtiefe. Bestimmen Sie die Fläche zwischen t-achse und Kurve näherungsweise durch Abzählen der Kästchen. P 48 b) Verwenden Sie die Steigung einer geeigneten Sekanten. P 49 Bestimmen Sie den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u. Beachten Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Untersuchen Sie den Inhalt A(u) auf Extremwerte. r Tipp: Flächeninhalt Dreieck: A = g h P 50 r Tipp: Ist durch die Funktion f eine Änderungsrate gegeben, so ist die Änderung des zugeb hörigen Bestandes in einem Intervall [a; b] gegeben durch f(t)dt, die mittlere b a Änderung durch f(t)dt. b a a 45

Baden-Württemberg Übungsaufgaben Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen Lösungen P 4 a) Die Funktion f ist die Ableitung von F. f(3) = F '(3) ist die Tangentensteigung von Graph F an der Stelle 3. Aus dem Graph entnimmt man: f(3). b) () F hat im Bereich 0 < x < 6 ersichtlich eine Wendestelle. Wendestellen von F sind aber Extremstellen von f = F '. Somit hat f mindestens eine Extremstelle. () Im Bereich 0 < x < 6 ist F streng monoton wachsend; somit gilt hier f(x) 0. Im Bereich 6 < x < 9 ist F streng monoton fallend; daher gilt hier f(x) 0. (3) Da F eine Stammfunktion von f ist, gilt: 3 6 f (x) dx = F(3) F(0) = 0 = ; f (x) dx = F(6) F(3) = 4 =. 0 3 Die Funktionswerte von F entnimmt man dem Graph. Somit ist: 3 6 f(x)dx= f(x)dx. 0 3 P 43 Für die gesuchte Funktion kann man ansetzen: f(x) = ax + bx + c. Aus den genannten Eigenschaften müssen drei Gleichungen für a, b und c gefunden werden. Der Graph geht durch den Punkt P( 6). Dies bedeutet: f( ) = 6 () Der Graph berührt die. Winkelhalbierende an der Stelle 0. Da die. Winkelhalbierende durch den Ursprung geht und die Steigung hat, erhält man daraus zwei Bedingungen: f(0) = 0 () und f '(0) = (3). Mit f '(x) = ax + b ergeben sich somit die drei Gleichungen: a b+ c= 6 () c= 0 () b= (3) Die Lösungen sind: a = 7, b =, c = 0. Die gesuchte Funktion f hat die Funktionsgleichung f(x) = 7x + x. 46

Baden-Württemberg Übungsaufgaben Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen P 44 Für die gesuchte Funktion kann man ansetzen: f(x) = ax 3 + bx + cx + d. Aus den genannten Eigenschaften müssen vier Gleichungen für a, b, c und d gefunden werden. Der Graph berührt die x-achse im Ursprung. Dies bedeutet: f(0) = 0 () und f '(0) = 0 (). Der Punkt W( ) ist Wendepunkt: f() = (3) und f "() = 0 (4). Mit den Ableitungen f '(x) = 3ax + bx + c; f ''(x) = 6ax + b erhält man die vier Gleichungen: d = 0 () c= 0 () a+ b+ c+ d = (3) 6a + b = 0 (4). Wegen d = c = 0 verbleibt das folgende LGS für a und b: a+ b= 6a + b = 0 ( 6) ; a+ b= 4b = ; b= 3, a=. Die gesuchte Funktion f ist gegeben durch f(x) = x 3 + 3x. P 45 a) Die Kurve C schneidet an der Stelle x 0 = die x-achse. K hat dort einen Hochpunkt. Also ist K der Graph von f und C der Graph von f ', denn nur dann gilt f '() = 0. b) Die Funktionsgleichung von f hat die Form: f(x) = 0 (x+ b)e ax. Ableitung: f '(x) = 0 eax + 0 (x+ b) a eax = 0 (ax+ ab+ )e ax. Da K die x-achse im Ursprung schneidet und an der Stelle x 0 = einen Extrempunkt hat, muss gelten: f(0) = 0; 0 (0 + b) e a 0 = 0; 0b = 0; b = 0. f '() = 0; 0 (a + a 0 + ) e a = 0; 0 (a + ) e a = 0; a =. Die Funktion f ist somit gegeben durch f(x) = 0 xe x. P 46 Mit f(x) = und g(x) = x 0 erhält man: x 6 f(5) = = ; f(g(5)) = = ; g(f(5)) = ( ) 0 = 9. 5 6 (5 0) 6 9 Allgemein gilt: f(g(x)) = =. (x 0) 6 x 6 Die Nullstellen des Nenners sind x = 4 und x = 4. Somit ist die Verkettung f g für 4 und 4 nicht definiert. 47

Baden-Württemberg Übungsaufgaben Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen P 47 a) Wenn der Taucher am Grund des Sees angekommen ist, muss seine Geschwindigkeit v = 0 sein. Dies ist nach 8 Minuten der Fall. Er verweilt dann etwa 3 Minuten bis zur. Minute dort. Anschließend steigt er wieder auf. b) Die Geschwindigkeit v(t) ist die Änderungsrate der erreichten Tauchtiefe. Für die Tiefe s (in m) des Sees gilt daher: 8 s= v(t)dt. 0 Zur Berechnung von s muss der Flächeninhalt zwischen der t-achse und dem Graph von t = 0 bis t = 8 bestimmt werden. Dies kann näherungsweise durch Abzählen der Kästchen erfolgen, da der Inhalt eines Kästchen m min = m min entspricht. Durch Auszählen und Ausgleichen erhält man ungefähr 4 Rechtecke. Die Tiefe des Sees an der untersuchten Stelle beträgt ungefähr 4 m. Ab der. Minute steigt der Taucher wieder auf. Die nach der 4. Minute erreichte Höhe über dem Grund entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graph, der t-achse und der Geraden t = 4. Durch Auszählen und Ausgleichen der Kästchen erhält man etwa 7,5 Rechtecke. Der Taucher ist also um 7,5 m aufgestiegen. Nach 4 Minuten ist der Taucher ungefähr 4 m 7,5 m = 6,5 m von der Oberfläche entfernt. P 48 a) Die Tanne wächst in den ersten Jahren nur sehr langsam. Nach 30 Jahren hat sie eine Höhe von etwa 0 Metern erreicht. Danach wächst sie einige Jahrzehnte schneller. Nach etwa 50 Jahren hat die Wachstumsgeschwindigkeit ihren größten Wert erreicht. Ungefähr nach 90 bis 00 Jahren ist die Tanne ausgewachsen und hat ihre maximale Höhe von ca. 00 m erreicht. Die Skizze zeigt den Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeit: 48

Baden-Württemberg Übungsaufgaben Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen b) Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in Meter pro Jahr zwischen dem 30. und 60. Jahr ist: 80 0 7 v = =,3. 60 30 3 (A Sekantensteigung siehe Skizze) Die Tanne wächst in dieser Zeit ungefähr,3 Meter pro Jahr. P 49 Die Kurve K mit der Gleichung f(x) = x + 4 ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel S(0 4). P(u f(u)) ist ein Punkt auf K mit 0 < u <. Das rechtwinklige Dreieck OPQ hat den Inhalt: A(u) = u f(u) = u ( u + 4) = u 3 + u. Untersuchung auf Extremwerte: 3 A'(u) = u + A''(u) = 3u. 3 4 4 4 A'(u) = 0; u + = 0; u = ; u =, u =. 3 3 3 Wegen 4 A''(u ) = 3 < 0 3 ist A(u ) ein lokales Maximum. Als einziges Extremum der (stetig differenzierbaren) Funktion A auf dem Intervall ]0; [ ist dieses Maximum auch global. 49

Baden-Württemberg Übungsaufgaben Pflichtteil Weitere funktionale Betrachtungen Mit 4 4 8 f = + 4 = 3 3 3 erhält man somit: 4 8 Für P hat das Dreieck OPQ den größten Flächeninhalt. 3 3 P 50 a) b) 30 e(t) dt beschreibt den gesamten Energieverbrauch für die ersten 30 Stunden. 0 30 e(t) dt 30 0 beschreibt den durchschnittlichen stündlichen Energieverbrauch während der ersten 30 Stunden. 50

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil LGS und Vektoren Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten Tipps die Erinnerung an allgemeine Verfahren auffrischen sollen. P 5 Bringen Sie die Gleichungssysteme auf Stufenform. Beachten Sie, dass jede Gleichung der linearen Gleichungssysteme eine Ebene im Raum beschreibt. P 5 Wählen Sie möglichst geschickt eine Ecke des Quaders als Ursprung O eines Koordinatensystems. Stellen Sie dann zunächst die Vektoren OP und OQ durch a, b und c dar. P 53 Stellen Sie ein LGS auf. Überprüfen Sie dessen Lösbarkeit. 5

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil LGS und Vektoren Lösungen P 5 a) Lösen des LGS nach dem Gauß-Verfahren: x + 4x = () (3) x 9x + x3 = 3x + x = 9 3 x + 4x = x + x = () x + x = 5 3 3 x + 4x = x + x3 = 3x3 = 39 Aus der Dreiecksform des LGS liest man ab: x3= 3; x= ; x=. Jede der drei Ausgangsgleichungen des linearen Gleichungssystems stellt eine Ebene dar. Es gibt genau einen Punkt, der in allen drei Ebenen liegt, nämlich P( 3). b) Umformen des LGS: x 3x + x3 = ( + ) 3x + x x = 0 3 x 3x + x3 = 5x x = Setzt man für x den Parameter t, so erhält man die Lösungen: x= t; x= + 5t; x3= t+ 3 ( + 5t) = + 3t; t 0. Darstellung der Lösung in Vektorform: 0 x = + t 5 ; t 0. 3 Diese Vektorgleichung stellt eine Gerade dar. Sie ist die Schnittgerade der beiden Ebenen, die durch die beiden Ausgangsgleichungen des Gleichungssystems bestimmt sind. 53

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil LGS und Vektoren P 5 Es sei O die in der Abbildung bezeichnete Ecke des Quaders. Dann gilt: OP = b + a; OQ = b + c. Daraus ergibt sich: PQ = OP + OQ = b a+ b+ c = a b+ c. P 53 a) Untersucht werden muss, ob eine Darstellung 3 8 = r 5 + r 4 möglich ist. Dazu muss das folgende LGS untersucht werden: = r + 3r 8= 5r + 4r. = r + r Aus den letzten beiden Gleichungen ergibt sich: 8= 5r + 4r 6= 3r r = ; ;. = r + r ( ) = r + r r = Die Probe mit der ersten Gleichung liefert: + 3. D. h., das LGS hat keine Lösung, der Vektor x lässt sich nicht durch die beiden anderen Vektoren darstellen. b) Zu prüfen ist, ob eine Darstellung 8 = r + r + r3 0 7 möglich ist. Dazu muss das folgende LGS untersucht werden: 8 = r r + r 3 ( + ) = r + r = r + 7r r 3 8 = r r + r3 = r + r ( 3) 9 = 3r + 6r 54

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil LGS und Vektoren 8 = r r + r = r + r = 0 3 Die letzte Gleichung ist unlösbar und damit auch das ganze LGS. Es gibt daher keine Möglichkeit, den Vektor a als Linearkombination der angegebenen Vektoren darzustellen. c) Der Ansatz a = r b+ s c führt auf das LGS: 3= r + 3s t = r s. 7= r + s Aus der ersten und dritten Gleichung erhält man: 3 = r + 3s ( + ) 3 = r + 3s r = 3 ; ;. 7 = r + s 0 = 5s s = Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt: t = 3 ( ) = 8. Für t = 8 lässt sich der Vektor a als Linearkombination der Vektoren b und c darstellen. 55

Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Geraden und Ebenen Lösungshinweise und Tipps Die Lösungshinweise beziehen sich auf die konkrete Aufgabenstellung, während die von Fall zu Fall beigefügten Tipps die Erinnerung an allgemeine Verfahren auffrischen sollen. P 54 Beachten Sie, dass die Mittelparallele zweier paralleler Geraden g und h jede Verbindungsstrecke AB halbiert, wenn A ein Punkt auf g und B ein Punkt auf h ist. r Tipp: Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren parallel sind. P 55 r Tipp: Zwei Geraden sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel sind. P 56 Überlegen Sie, welche Lage die Geraden g und h haben können, damit sie in einer Ebene liegen. Aus den Vektorgleichungen der beiden Geraden lässt sich zunächst eine Vektorgleichung dieser Ebene aufstellen. Bestimmen Sie daraus eine Koordinatengleichung der Ebene. r Tipp: n Koordinatengleichung: Sie brauchen einen Normalenvektor n = n und einen n 3 Punkt P der Ebene. Dann gilt E: nx+ n x + n3x3 = a, wobei sich a durch Punktprobe mit P bestimmen lässt. P 57 Für alle Punkte X, die zwischen P und Q auf der Verbindungsgeraden PQ liegen, gilt: x = OP+ t PQ mit 0< t <. Für t = 0 ergibt sich der Punkt P, für t = erhält man den Punkt Q. P 58 Bestimmen Sie zunächst eine Vektorgleichung der Ebene und daraus eine Koordinatengleichung. Berechnen Sie dann die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. r Tipp: Koordinatengleichung: Sie brauchen einen Normalenvektor n und einen Punkt P der Ebene. Dann gilt: E: n (x p) = 0. P 59 Man kann drei wesentliche Fälle unterscheiden. P 60 Berechnen Sie zunächst die Schnittpunkte der Ebenen mit den Koordinatenachsen. Suchen Sie Schnittpunkte von Spurgeraden in der Figur. P 6 Berechnen Sie zunächst die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen. Suchen Sie dann Schnittpunkte der Spurgeraden von E mit Quaderkanten. 58