Klausur Nr. 2 Einführung analytische Geometrie Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. VP / 2 1. Gegeben sind die Geraden und mit 1 1 0 0,5 : 0 0, bzw. : 0 0, 1 1 1 0 Beschreiben Sie die Lage jeder Geraden mit Worten kurz aber so exakt wie möglich. / 4 2. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie Sie die Lage zweier Geraden g und h zueinander mit g:, und h:, bestimmen können. / 4 bitte wenden
Wahlteil Klausur Nr. 2 Einführung analytische Geometrie Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 4. Gegeben sind die Punkte A(0/4/0), B(0/0/2) und C(4/0/0). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist mit a = c. b) Ergänzen Sie das Dreieck ABC durch einen weiteren Punkt zu einer Raute. c) Berechnen Sie die Innenwinkel der Raute auf eine Dezimale genau. VP / 6 5. Die x 1 x 2 -Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Eine Radarstation befindet sich im Punkt R(6/3/0). Das Radar erfasst ein Testflugzeug F um 7.00 Uhr im Punkt P(7/29/7) und ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs 7 3 : 29 2, t in Minuten nach 7.00 Uhr, Angaben in km 7 1 a) In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7.01 Uhr? b) Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet? c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h. d) Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde das Flugzeug bei Beibehaltung der Flugbahn auf dem Boden aufsetzen? / 6 6. Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide mit sechs gleich langen Kanten der Länge s. M 1 und M 2 sind gegenüberliegende Kantenmitten (siehe Skizze). Zeigen Sie, dass für das Skalarprodukt der Vektoren / 2 und gilt:. Viel Erfolg! Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe http://www.hoeger.org Schule Notengebung http://www.hoeger.org/m11/ m11_4_1011_anageom-einfuehrung.pdf von 30 VP Rückgabe am 25. Mai 2011 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:
Erwartungshorizont Einführung analytische Geometrie Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. VP / 2 1. Gegeben sind die Geraden und mit 1 1 0 0,5 : 0 0, bzw. : 0 0, 1 1 1 0 Beschreiben Sie die Lage jeder Geraden mit Worten kurz aber so exakt wie möglich. / 4 Die Gerade g liegt in der x 1 x 3 -Ebene und stellt dort die Winkelhalbierende zwischen den Achsen mit verschiedenen Vorzeichen, die sogenannte 2. Winkelhalbierende dar. Die Gerade h verläuft parallel zur x 1 -Achse und schneidet die x 3 -Achse im Punkt (0/0/1). 2. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie Sie die Lage zweier Geraden g und h zueinander mit / 4 g:, und h:, bestimmen können. bitte wenden
Erwartungshorizont Wahlteil 4. Gegeben sind die Punkte A(0/4/0), B(0/0/2) und C(4/0/0). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist mit a = c. Da und ist nur zu zeigen, dass gilt: : 4 0 4 0 0 0 4² 0² 2 ² 20 2 5 0 2 2 0 0 0 0 4 4 0² 4 ² 2² 20 2 5 2 0 2 Somit gilt die Behauptung. b) Für diese und die nächste Teilaufgabe siehe nebenstehende Skizze: Ergänzen Sie das Dreieck ABC durch einen weiteren Punkt zu einer Raute. Da die Seiten a und c gleich lang sind (siehe Teilaufgabe a), muss das Dreieck wie in der Skizze um den Punkt D zur Raute erweitert werden. D Skizze: 0 4 4 4 0 4 D(4/4/-2) 0 2 2 A C B c) Berechnen Sie die Innenwinkel der Raute auf eine Dezimale genau. Zunächst wird der Winkel bei B bestimmt: wegen 4 0 2 0, 4 2 [siehe a)] gilt: 78,5 Aus Symmetriegründen gilt 78,5 und damit 180 101,5
5. Die x 1 x 2 -Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Eine Radarstation befindet sich im Punkt R 1 (6/3/0). Das Radar erfasst ein Testflugzeug F um 7.00 Uhr im Punkt P(7/29/7) und ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs 7 3 : 29 2, t in Minuten nach 7.00 Uhr, Angaben in km 7 1 a) In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7.01 Uhr? Um 7.01 Uhr gilt: t = 1. Daher befindet sich das Flugzeug um diese Zeit in einem Punkt 7 3 10 Q mit dem Ortsvektor 29 1 2 27 Q(10/27/6). (1 VP) 7 1 6 b) Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet? Da die x 3 -Koordinate die Höhe des Flugzeugs beschreibt und die x 3 -Koordinate des 3 Richtungsvektors 2 negativ ist, muss sich das Flugzeug im Sinkflug befinden. 1 (1 VP) c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h. Der Betrag des Richtungsvektors gibt die Länge der in einer Minute zurückgelegten Strecke (gemessen in km) an, der 60-fache Wert den pro Stunde zurückgelegte Weg. 3 2 3² 2 1² 14, damit ergibt sich 60 14 224. 1 Das Flugzeug hat eine Geschwindigkeit von ca. 224 km/h. d) Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde das Flugzeug bei Beibehaltung der Flugbahn auf dem Boden aufsetzen? Wenn das Flugzeug auf dem Boden aufsetzt gilt x 3 =0. Man betrachtet also nur diese Koordinate: 7 1 0 und erhält t = 7, also 7.07 Uhr als Zeitpunkt des Aufsetzens. Der Ort ergibt sich durch Einsetzen in die Geradengleichung: 7 3 28 29 7 2 15 S 12 (28/15/0). 7 1 0
6. Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide mit sechs gleich langen Kanten der Länge s. M 1 und M 2 sind gegenüberliegende Kantenmitten (siehe Skizze). Zeigen Sie, dass für das Skalarprodukt der Vektoren und gilt:. Das Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken, daher haben alle Winkel der Seitendreiecke die Weite 60. Sei der Winkel zwischen den Vektoren und. Wegen cos gilt: cos. Die Länge der Vektoren und ist mit s vorgegeben. Deshalb gilt: cos 60, also. [Anmerkung: Die Punkte M 1 und M 2 sind für diesen Beweis unerheblich.]