Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung von Dr. Andreas Guthmann Universität Kaiserslautern Wissenschaftsverlag Mannheim Leipzig Wien Zürich
Inhalt Vorrede 1 Inhalt 7 Notation 14 Kapitel 0 Aus der Geschichte der Himmelsmechanik Vorgeschichte 15 Kopernikus, Brahe, Kepler 17 Das 18. Jahrhundert 18 Die Wiederentdeckung der Ceres 19 Die Entdeckung des Neptun 21 Das 20. Jahrhundert 25 Zeittafel 27 Kapitel I Die Grundlagen der Newtonschen Mechanik 1. Die Newtonschen Gesetze 29 1. Inertialsysteme 29 2. Massenpunkte und Kräfte 29 3. Newtonsche Bewegungsgesetze 32 4. Potential 33 5. Gravitationsgesetz 35 6. Beispiele 36 7. Mechanische Systeme 37 8. Realisierung von Inertialsystemen 37 Aufgaben 39 2. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz 40 9. Umformulierung der Bewegungsgleichungen 40
10. Picards Iterationsverfahren 41 11. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz 43 12. Anwendung auf das N-Körperproblem 45 13. Bewegungsgleichungen in Relativkoordinaten 47 14. Das maximale Existenzintervall 48 15. Integrale 49 Aufgaben 50 3. Die zehn klassischen Integrale des N-Körperproblems 51 16. Voraussetzungen 51 17. Der Schwerpunktsatz 52 18. Der Drehimpulssatz 52 19. Kinetische und potentielle Energie 54 20. Der Energiesatz 55 21. Folgerungen für abgeschlossene Systeme 56 22. Der Virialsatz 57 23. Energiesatz in Reiativkoordinaten 59 24. Drehimpuls in Relativkoordinaten 60 Aufgaben 61 Kapitel II Ein- und Zweikörperproblem 1. Das Einkörperproblem: Allgemeine Bahnbestimmung 65 25. Voraussetzungen 65 26. Der Flächensatz 66 27. Das begleitende Zweibein 68 28. Flächen- und Energiesatz in Polarkoordinaten 69 29. Elimination der Zeit 70 30. Die Clairautsche Gleichung 71 31. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 72 32. Beispiele 73 33. Bestimmung des Potentials aus der Bahnkurve 74 34. Der Fall C=0 75 Aufgaben 77 2. Bahnform im Gravitationspotential 78 35. Untere Schranke für die Energie 78 36. Lösung der Glairautschen Gleichung 79 37. Der Fall e < 1 81 38. Der Fall e > 1 83 39. Klassifikation nach der Energie 83 40. Berechnung der Bahn aus Anfangswerten 83
Aufgaben 85 3. Weitere Beispiele von Bahnen im Einkörperproblem 86 41. Repulsives Potential 86 42. Störung des Gravitationspotentials 87 43. Perizentrumsdrehung 90 44. Potential aus der Relativitätstheorie 91 45. Ein elliptisches Integral 92 46. Lösung der Bahngleichung 94 47. Approximation der Nullstellen 95 48. Die Periheldrehung des Merkur 97 Aufgaben 98 4. Periodische Lösungen der Fundamentalgleichung und ihre numerische Berechnung 100 49. Die kanonische Differentialgleichung 100 50. Konstruktion periodischer. Lösungen 101 51. Numerische Berechnung der Bahn 102 52. Graphische Darstellung 105 53. Beispiele 106 Aufgaben 107 5. Bahndynamik des Keplerproblems 108 54. Integration des Flächensatzes 108 55. Die exzentrische Anomalie 109 56. Das dritte Keplersche Gesetz 111 57. Berechnung des Bahnortes 112 58. Der Hodograph 114 59. Fourierentwicklung des Radiusvektors 115 60. Die Hyperbelbahn 117 61. Die Parabelbahn 118 62. Der Runge-Lenz-Vektor 119 63. Darstellung des Bahnortes aus den Anfangswerten... 119 64. Dynamik des allgemeinen Einkörperproblems 120 Aufgaben 122 6. Die Keplersche Gleichung 123 65. Eigenschaften der exzentrischen Anomalie 123 66. Reihenentwicklung der exzentrischen Anomalie 125 67. Numerische Verfahren 128 68. Auflösung der Barkerschen Gleichung 130 Aufgaben 130 7. Das abgeschlossene Zweikörperproblem 131 69. Reduktion auf das Einkörperproblem 131 70. Bahn der Massenpunkte 132 71. Das dritte Keplersche Gesetz 133
10 72. Astronomische Maßeinheiten 134 73. Anwendungen des dritten Keplerschen Gesetzes 136 74. Aus der Geschichte der Doppelsternforschung 137 Aufgaben 138 Kapitel III Koordinatensysteme und Ephemeriden 1. Sphärische Geometrie 141 75. Großkreise 141 76. Sphärische Koordinatensysteme 142 77. Umrechnungsformeln 144 78. Abstand zweier Punkte auf der Kugeloberfläche 146 79. Rotationsmatrizen.- 146 Aufgaben 148 2. Astronomische Koordinatensysteme 149 80. Typen astronomischer Koordinatensysteme 149 81. Horizontsystem 150 82. Stundenwinkel und Deklination 151 83. Transformation der Systeme 152 84. Äquator- und Ekliptiksystem 154 85. Umrechnungsformeln 156 86. Präzession und Nutation 158 87. Literatur 160 Aufgaben 160 3. Die Bahnelemente 161 88. Die klassischen Bahnelemente 161 89. Berechnung der Bahnelemente aus Anfangsbedingungen 164 90. Transformation des Bahnsystems 168 91. Berechnung der Anfangsbedingungen aus den Bahnelementen 170 Aufgaben 172 4. Ephemeridenrechnung 172 92. Rechenschema im Überblick 172 93. Ausführung des Rechenschemas 173 94. Ephemeridenrechnung für mehrere Zeitpunkte 176 95. Die geozentrischen Sonnenkoordinaten 177 96. Geozentrische Phänomene 180 97. Die geozentrische Bewegung 181 Aufgaben 183
11 Kapitel IV Bahnbestimmung 1. Die Methode von Laplace 185 98. Prinzip des Verfahrens 185 99. Die Lagrangesche Gleichung 187 100. Diskussion der Lagrange-Gleichung 189 101. Numerische Berechnung der Nullstellen 192 102. Berechnung der Koeffizienten 194 103. Rechenschema der Laplaceschen Methode 196 104. Numerische Experimente 197 Aufgaben 200 2. Bahnbestimmung nach dem Gaußschen Prinzip 201 105. Das Verhältnis Sektor zu Dreieck 201 106. Die erste Gaußsche Gleichung 203 107. Die zweite Gaußsche Gleichung 205 108. Berechnung des Verhältnisses Sektor zu Dreieck 208 109. Berechnung der Bahnelemente aus Randwerten 209 110. Die geozentrischen Distanzen 209 111. Überblick auf das Gaußsche Verfahren 210 112. Integralgleichung für die Dreiecksverhältnisse 211 113. Approximation der Dreiecksverhältnisse 213 114. Beispiel 215 115. Literatur 216 Aufgaben 216 Kapitel V Das Dreikörperproblem 1. Elementare Eigenschaften 219 116. Koordinaten 219 117. Der Jacobische Knotensatz 222 118. Das Hauptproblem der Mondbewegung 223 119. Kollisionen 226 120. Keplerbahnen im Dreikörperproblem 228 Aufgaben 232 2. Das eingeschränkte Dreikörperproblem 232 121. Die Bewegungsgleichungen 232 122. Bewegungsgleichung im rotierenden System 235 123. Das Jacobiintegral 238 124. Definition des eingeschränkten Dreikörperproblems.. 240
12 125. Die Librationspunkte 126. Die Hillschen Grenzflächen 241 244 127. Literatur Aufgaben 245 245 Kapitel VI Numerische Integration von Bewegungsproblemen 1. Die numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen 248 128. Vorbemerkungen *. 248 129. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 250 130. Globale und lokale Fehler 252 131. Automatische Schriftweitensteuerung 254 132. Verfahren höherer Ordnung 255 133. Einbettungsformeln 257 134. Formeln von Dormand und Prince 260 135. Ephemeridenrechnung 262 136. Mehrschrittverfahren 137. Adams-Bashforth-Formeln 264 266 138. Adams-Moulton-Formeln 139. Prädiktor-Korrektor-Verfahren 268 269 140. Abschließende Bemerkungen 271 Aufgaben 272 2. Dreikörperprobleme 141. Störungen von Planetoidenbahnen 273 273 142. Das eingeschränkte Dreikörperproblem 276 143. Das Kopenhagener Problem 277 144. Das pythagoräische Dreikörperproblem 282 145. Regularisierung 283 146. Das planetare Dreikörperproblem 287 147. Diskussion der Ergebnisse 148. Integration über eine Million Tage 289 297 149. Die große Ungleichheit Aufgaben 299 305 3. Mehrkörperprobleme 306 150. Die äußeren Planeten 306 151. Datenaufbereitung ; 310 152. Diskussion einiger Ergebnisse 312 153. Die großen Planeten 314 Aufgaben 318
13 Anhang Grundbegriffe aus der Analysis 319 Aus der linearen Algebra 319 Plots der Bahnelemente der äußeren Planeten 321 Oskulierende Bahnelemente der großen Planeten 338 Verzeichnis wichtiger Algorithmen 348 Literatur Zur Geschichte der Himmelsmechanik 350 Klassiker der Himmelsmechanik 350 Neuere Werke 354 Bücher für praktische Anwendungen 355 Moderne Gesamtdarstellungen 356 Bücherverzeichnis.* 357 Jahrbücher 363 Register 365