Baudynamik und Zustandsanalyse

Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [http://www.wolfram.com] geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [http://www.htw-dresden.de] veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 25 Glockenschwingungen und ihre Wirkungen 25.1 Glocken als mathematisches Pendel 25.1.1 Eine Glocke ist ein hohler, meist konkav gewölbter Klangkörper, der entweder von innen mit einem frei beweglichen Klöppel (Läuten) oder von außen mit einem Hammer (Schlagen) zu Eigenschwingungen angeregt wird. Der Glockenklang setzt sich aus überwiegend nichtharmonischen Teilschwingungen zusammen (vgl. hierzu Absatz 11.1. f.) Das handwerkliche Ziel des Glockengießens besteht darin, im unteren Bereich (erster bis fünfter Teilton) möglichst harmonische Frequenzen zu erreichen. Bild 25.1.1: Glocken mit Klöppel und Glockenstuhl (HTW Dresden) 25.1.2 In diesem Kapitel wollen wir uns jedoch nicht mit den Klangerscheinungen von Glocken beschäftigen, sondern mit den beim Glockenläuten entstehenden Kräften, die vom Glockenstuhl aufgenommen und weitergeleitet werden. Die Glocke selbst stellt ein physikalisches Pendel dar, in dem sich ein zweites Pendel, der Klöppel, befindet, dessen Einfluss man aber meistens vernachlässigt (siehe hierzu Abschnitt 25.3). Ein Pendel ist ein um eine Achse frei drehbar gelagerter Starrkörper. Lenkt man diesen aus seiner statischen Gleichgewichtslage um einen bestimmten Winkel φ 0 aus und lässt ihn dann los,

2 baudyn_25_glocken.nb entstehen infolge der einwirkenden Schwerkraft periodische Bewegungen φ(t). Bei Vorhandensein von Reibungskräften schwingt das Pendel in seine ursprüngliche statische Gleichgewichtslage zurück (Auspendeln). y x L 0 - Auslenkwinkel 0 L - Pendellänge m - Pendelmasse G - Eigengewicht x 0 m m F t, g 0 F n, g G Bild 25.1.2: Mathematisches Pendel 25.1.3 Ausgangspunkt für die Untersuchung von Pendelschwingungen ist in der Regel nicht das physikalische sondern das mathematische Pendel, auch Fadenpendel genannt (Bild 25.1.2). Darunter versteht man ein Pendel, bei dem die Masse des Pendelstabes vernachlässigt und die des Pendelkörpers als Punktmasse idealisiert werden. Im Bild 25.1.2 sind die am Massepunkt m wirkenden Kräfte infolge der Erdbeschleunigung g = 9.812601 ms -2 (Eichzone Berlin-Potsdam) dargestellt. Die Gewichtskraft G = m g kann in eine Kraft F t, g tangential zur Bahnkurve und in eine Komponente F n, g senkrecht dazu zerlegt werden: Normalkraft F n,g = m g Cos[φ] und Tangentialkraft F t,g = m g Sin[φ] 25.1.4 Lenken wir die Pendelmasse, wie im Bild 25.1.2 gezeigt, um ein Maß x 0 aus, dann treibt die Tangentialkraft F t, g das Pendel in die Ruhelage zurück. Sie ruft dabei ein Drehmoment hervor, dem das Massenträgheitsmoment (siehe Absatz 5.2.18) entgegen wirkt, wodurch es zum zeitabhängigen Pendelschwingen φ(t) kommt. Die Normalkraftkomponente F n, g findet ihren unmittelbaren Widerstand im dehnstarren Pendelstab. Dieser Eigengewichtskraftkomponente überlagert ist die Zentripetalkraft F n des auf einer Kreisbahn bewegten Massepunktes (siehe Absatz 5.2.13). Sie ist die Ursache der Zentralbewegung. Folglich wirkt die Zentripetalkraft in Richtung des Drehpunktes. Ihr entgegen, also vom Rotationszentrum weggerichtet, ist die Zentrifugalkraft, die man auch Fliehkraft nennt. Sie ist gemäß dem Prinzip von d ALEMBERT (siehe Absatz 5.2.10) eine Trägheitskraft, oder anders ausgedrückt, der Widerstand gegenüber dem Zwang der steten Richtungsänderung. 25.1.5 Dem angreifenden Moment M t wirkt das Rotationsträgheitsmoment M Trägheit der Einzelmasse m entgegen (vgl. hierzu Abschnitt 5.2). Mit dem Massenträgheitsmoment J der rotierenden Punktmasse, der Winkelgeschwindigkeit ω und dem Bahnradius L gilt:

baudyn_25_glocken.nb 3 Winkelgeschwindigkeit ω = t φ[t] Winkelbeschleunigung α = t,t φ[t] Massenträgheitsmoment der Punktmasse J = m L 2 Angreifendes Drehmoment M t = F t,g L Widerstehendes Drehmoment der Punktmasse M Trägheit = J α = m L 2 t,t φ[t] 25.1.6 Die Gleichgewichtsbedingung M 0 liefert uns die nichtlineare Differenzialgleichung des mathematischen Pendels, wobei bemerkenswert ist, dass die Masse m eliminiert werden kann: M t + M Trägheit = 0 F t,g L + m L 2 t,t φ[t] = 0 m g Sin[φ] L + m L 2 t,t φ[t] = 0 25.1.7 Für die Bahngeschwindigkeit v, die Normalbeschleunigung a n, die Tangentialbeschleunigung a t, die Tangentialkraft F t sowie die Zentrifugalkraft F n des bewegten Massepunktes gelten die nachfolgend ausgewiesenen Beziehungen (vgl. hierzu Abschnitt 5.2): v = L ω, a n = L ω 2, a t = t v, F t = m L t,t φ[t], F n = m L ( t φ[t]) 2 25.1.8 Die Gesamtlösung der Pendeldifferenzialgleichung (25.1.6) erfolgt im Absatz 25.1.10 numerisch. Wenn die Basisdaten eines realen physikalischen Pendels, z. B. einer Glocke zur Verfügung stehen, bestimmt man zuerst die idealisierte mathematische Pendellänge L mathe (vgl. hierzu Absatz 25.2.1 f.). Hierfür benötigen wir die Masse m [kg], das Massenträgheitsmoment J [kg m²] und den Abstand s [m] des Massenschwerpunktes zum Drehpunkt: In[8]:= {J vorh = 240, m = 600, s vorh = 0.55}; L mathe Jvorh Out[8]= L mathe 0.727273 m s vorh 25.1.9 In der Regel fehlen uns aber exakte Angaben zum Massenträgheitsmoment und zur Schwerpunktlage. Für Glocken des mitteleuropäischen Raumes ist jedoch eine Abschätzung nach DIN 4178 [55] möglich. Dafür benötigt man aber wenigstens die Klöppelanschlagzahl A, die uns die Bestimmung der Anregungskreisfrequenz Ω erlaubt. In der Norm finden wir dann Angaben zur Masse verschiedenster Glocken und zum sogenannten Glockenformbeiwert c. Eine weitere wichtige Bezugsgröße stellt der Näherungsfaktor Z = 1 + φ 02 der Schwingungsdauer T = Z 2π (L/g) eines mathematischen Pendels 16 dar [27], der für Öffnungswinkel φ 0 70 ausreichend genaue Werte liefert. Bei Glocken entspricht φ 0 dem Läutewinkel. Anmerkung: Die Maßeinheiten aller ausgewiesenen Parameter basieren auf den drei Grunddimensionen [kg], [m] und [s].

4 baudyn_25_glocken.nb In[8]:= {m = 600, A = 65, c =.76, φ 0 = 65 Degree}; Z = 1 + φ02 // N, g = 9.812601 ; 16 Ω Glocke = A π 120 TGlocke // N, TGlocke = // N, L mathe = 60 A Z 2 π 2 g, s = c L mathe, J = m s2 c ; Out[11]= Berechneter Korrekturfaktor Z: 1.08044 Anregungskreisfrequenz Ω Glocke in [s -1 ]: 3.40339 Anregungsfrequenz f Glocke in [Hz]: 0.541667 Schwingungsdauer T Glocke in [s]: 1.84615 Fiktive Pendellänge L mathe in [m] 0.725706 Geschätzter Schwerpunktabstand s in [m]: 0.551536 Geschätztes Massenträgheitsmoment J in [kg m²]: 240.152 25.1.10 Im nächsten Schritt erfolgt die Bereitstellung der Zeitfunktion des Auslenkwinkels φ(t) für die gegebenen Randbedingungen. Solange eine reibungsfreie Lagerung angenommen und auch der Luftwiderstand vernachlässigt wird, erhält man unendlich lange periodische Pendelvorgänge. Anmerkung: Im Weiteren verzichten wir bei L mathe auf den Index mathe. In[12]:= L = 0.725706, φ 0 = 65 Degree, ω 0 = 0, TUE = 4.5 2 π L / g, maxn = 800, Δt = TUE maxn ; In[13]:= phi = NDSolve g L Sin[φ[t]] + L 2 φ [t] 0, φ[0] φ 0, φ [0] ω 0, φ[t], t, 10-10, TUE, StartingStepSize Automatic, PrecisionGoal Automatic Out[13]= φ[t] InterpolatingFunction Domain: 1. 10-10, 7.69 Output: scalar [t] Out[17]= Eigengewicht des Pendels G = m g in [N]: 5887.56 Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: 7.68919 Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: 65. Berechnete maximale Winkelgeschwindigkeit ω(t) in [ rad ]: 3.95145 s 25.1.11 Im Bild 25.1.11 werden die Zeitverläufe des Auslenkwinkels, der Winkelgeschwindigkeit und der Winkelbeschleunigung dargestellt. Des Weiteren sind auch die Bahngeschwindigkeit und die Normalbeschleunigung der idealisierten Pendelmasse ausgewiesen.

baudyn_25_glocken.nb 5 Out[18]= Out[19]= Bild 25.1.11: Auslenkwinkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Bahngeschwindigkeit und Normalbeschleunigungdes idealisierten mathematischen Pendels 25.1.12 Den Abschluss der nachfolgenden Darstellungen zu den verschiedenen an einem mathematischen Pendel wirkenden Kräfte bilden zwei Grafiken, die die resultierenden Horizontal- und Vertikalkräfte in der Pendelaufhängung zum Gegenstand haben. Diese Verläufe werden mit den Ergebnissen aus [26] verifiziert, die auf der Basis der elliptischen Integrale ermittelt worden waren.

6 baudyn_25_glocken.nb Out[34]= Bild 25.1.12 a: Vergleich von Zentrifugalkraft F n und Tangentialkraft F t des idealisierten mathematischen Pendels Out[35]= Bild 25.1.12 b: Vergleich von Zentrifugalkraft F n, Eigengewichtsnormalkraft F n, g = m g cos(φ) und der Summe beider Kräfte am idealisierten mathematischen Pendel

baudyn_25_glocken.nb 7 Out[36]= Bild 25.1.12 c: Verlauf der Summe von Zentrifugalkraft F n und Eigengewichtsnormalkraft F n, g aus Bild 25.1.12 b in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel φ in [Altgrad] Out[37]= Bild 25.1.12 d: Vertikaler und horizontaler Kraftverlauf im Lagerpunkt (Aufhängung) des idealisierten mathematischen Pendels

8 baudyn_25_glocken.nb Out[38]= Bild 25.1.12 e: Auf das Eigengewicht bezogene Verhältniswerte der vertikalen und horizontalen Kräfte des Bildes 25.1.12 d in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel φ in [Altgrad] 25.1.13 Die im Bild 25.1.12 d ausgewiesen Kurven der infolge einer bestimmten Anfangsauslenkung φ 0 auftretenden horizontalen bzw. vertikalen Pendellagerkräfte zeigen eine vollkommene Übereinstimmung mit den Ergebnissen von [26, S.27]. In dieser Arbeit ist aber eine Kraftzerlegung vorgenommen worden, die indirekt eine Querkraftübertragung im Pendelstab erlaubt. Von einem Fadenpendel können jedoch weder Quer- noch Druckkräfte übertragen werden. Die Fadenkraft (Normalkraft) rekrutiert sich allein aus der Zentrifugalkraft F n und der Kosinuskomponente des Eigengewichtes G. Dieser Vorgehensweise sind wir in den obigen Ableitungen gefolgt. Würde an dem Pendelstab im Zustand der statischen Ruhelage ein Dehnungsmessstreifen (DMS) aufgebracht werden, erhielten wir folgenden Verlauf der zeitlichen Veränderung der gemessenen Normalkraft: Out[40]= 25.1.14 In [27] wird für das mathematische Pendel eine bemerkenswerte Überlegung angestellt. Startet man die Pendelbewegung aus der statischen Ruhelage mit einer Anfangswinkelgeschwindigkeit, die eine maximale Pendelauslenkung von φ max 180 bewirkt, dann wird bei einem Winkel von φ 132 die Fadenkraft negativ. Ein Fadenpendel könnte also in der Realität nicht weiter als bis zu diesem Winkel ausgelenkt werden. Mit den obigen Berechnungsalgorithmen ist dieser Effekt relativ einfach

baudyn_25_glocken.nb 9 nachweisbar. 25.1.15 Dazu bestimmen wir uns zunächst gemäß Absatz 25.1.10 die maßgebende Startgeschwindigkeit. Mit dieser werden dann in einem zweiten Rechengang für φ 0 = 0 und ω 0 = ω max einige der uns aus Absatz 25.1.12 bereits bekannten Diagramme entwickelt: In[41]:= L = 0.725706, g = 9.812601, φ 0 = 179.998 Degree, ω 0 = 0, TUE = 12 2 π L / g, maxn = 800, Δt = TUE maxn ; Out[46]= Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: 20.5045 Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: 179.998 Berechnete maximale Winkelgeschwindigkeit ω(t) in [ rad ]: 7.35307 s Out[47]= In[48]:= L = 0.725706, m = 600, g = 9.812601, φ 0 = 0 Degree, ω 0 = 7.35307, TUE = 6 2 π L / g, maxn = 800, Δt = TUE maxn ; phi = NDSolve g L Sin[φ[t]] + L 2 φ [t] 0, φ[0] φ 0, φ [0] ω 0, φ[t], t, 10-10, TUE, StartingStepSize Automatic, PrecisionGoal Automatic ; Out[53]= Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: 10.2523 Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: 177.899 Berechnete maximale Winkelgeschwindigkeit ω(t) in [ rad ]: 7.35307 s

10 baudyn_25_glocken.nb Out[54]= Out[66]=

baudyn_25_glocken.nb 11 Out[67]= Anfang Ende 25.1.16 Der obige Ausschnitt aus dem Diagramm Summe von Zentrifugalkraft F n und Eigengewichtsnormalkraft F n, g in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel φ in [Altgrad] bestätigt den Wechsel des Vorzeichens der Pendelkraft bei φ 132. Anmerkung: Diese Grafik ist mit der Built-In-Funktion Manipulate des Programmsystems MATHEMATICA erstellt worden. Somit ist eine anschauliche interaktive Variation des Parameters φ(t) für beliebige Zeitfenster innerhalb dieser Darstellung möglich.

12 baudyn_25_glocken.nb 25.2 Glocken als physikalisches Pendel 25.2.1 Um die Pendelbewegungen und die daraus resultierenden Kräfte einer Glocke wirklichkeitsnah erfassen zu können, müssen wir diese als ein physikalisches Pendel ansehen. Dieses unterscheidet sich vom mathematischen Pendel darin, dass jetzt nicht eine Punktmasse sondern ein starrer Körper der Masse m drehbar um eine Achse gelagert ist. Es gilt formal dieselbe Pendeldifferenzialgleichung (25.1.6). Doch statt des Trägheitsmomentes einer Punktmasse muss nun das Massenträgheitsmoment des jeweiligen Körpers, z. B. das einer Glocke eingeführt werden (vgl. hierzu auch Absatz 25.1.5). Der Schwerpunktabstand des Starrkörpers zum Drehpunkt wird mit s bezeichnet. g m s Sin[φ] + J φ [t] = 0 25.2.2 Vergleicht man die Parameter der Differenzialgleichung (25.1.6) des mathematischen Pendels mit denen des physikalischen Pendels DGL (25.2.1), erkennt man, dass zwischen beiden eine einfache analoge Beziehung auf Basis ihrer Pendellängen besteht (siehe Absatz 25.1.8). Das mit einem physikalischen Pendel vergleichbare idealisierte mathematische Pendel hat eine Pendellänge von L mathe = J m s : g Sin[φ[t]] + L mathe φ [t] = 0 g Sin[φ[t]] + J m s φ [t] = 0 25.2.3 Zwecks einer besseren Verständlichkeit der Gesamtproblematik betrachten wir als Beispiel das im Bild 25.2.3 dargestellte physikalische Pendel. Der vorliegende schmale Balken habe über seine Länge eine konstante Biegesteifigkeit und Massebelegung μ. Er ist nur der Erdbeschleunigung g ausgesetzt. Gesucht werden die Schnittgrößen N(x), Q(x) und M(x) zum Zeitpunkt einer schlagartigen Entfernung der vertikalen Aufhängung im linken Lagerpunkt a. Trennen der Verbindung - siehe Bild 25.1.2 = 90 + L - Länge des physikalischen Pendels a h b x G = g L MTrägheit - Rotationsträgheitsmoment Bild 25.2.3: Horizontal gelagerter schmaler Balken gemäß [28] 25.2.4 Die Gleichgewichtsbedingung M 0 liefert die Winkelbeschleunigung φ '' (t) zum Zeitpunkt t

baudyn_25_glocken.nb 13 = 0 mit den Anfangsbedingungen φ 0 = - 90 und ω 0 = 0. Dafür werden das Massenträgheitsmoment J (vgl. hierzu Absatz 5. 2.19) sowie das angreifende Drehmoment M t benötigt (siehe Absatz 25.1.5): J = m L 2 12 + m L 2 2, M Trägheit = J φ''[t], M t = μ L L g -1 Cos[90 Degree + φ[t]] ; 2 Reduce[{M t + M Trägheit 0, m L μ}, φ [t]] (m 0 && L 0) (μ 0 && m 0) (Sin[φ[t]] 0 && m 0 && L 0 && μ 0) μ 0 && L m μ && m 0 && φ [t] - 3 g μ Sin[φ[t]] 2 m (m 0 && L 0 && Sin[φ[t]] 0 && g 0 && μ 0) φ [t] - 3 g μ Sin[φ[t]] 2 m /. t 0, φ[t] -90 Degree, μ m L φ [0] 3 g 2 L 25.2.5 Die Schnittkräfte ergeben sich gemäß Bild 25.2.5. Für den Teilschnitt der Länge x müssen, wenn der Balken in der horizontalen Ausgangslage liegt, nachfolgende Kräfte und Momente in Ansatz gebracht werden. Anmerkung: Es sei darauf hingewiesen, dass die tangentiale Trägheitskraft dem STEINERschen Anteil im Massenträgheitsmoment zuordenbar ist. x x_ ² 12 (t) - Eigenträgheitsmoment x ( ) (t) x L- x_ 2 - tangentiale Trägheitskraft L - Länge des physikalischen Pendels N(x, t) - Normalkraft H (t) F n - Zentrifugalkraft M(x, t) - Biegemoment Drehpunkt b (t) Q(x, t) - Querkraft H, V - Lagerreaktionen in b bei fiktiver Drehung (t) gx gx cos ( (t)) V Bild 25.2.5: Linker Teilschnitt des Balkens vom Bild 25.2.3 nach Lösen des Lagerpunktes a Anteil Eigengewicht ΔG: g x μ Anteil Zentrifugalkraft ΔF n: L - x 2 x μ (φ ) 2 Anteil Tangentialkraft ΔF t: L - x 2 x μ φ Anteil Eigenträgheitsmoment ΔM Trägheit : 1 12 x3 μ φ 25.2.6 Im Sonderfall φ 0 = - 90 und ω 0 = 0 beträgt die Beschleunigung gemäß Absatz 25.2.4 φ (0) = 3g/(2L). Die Normalkräfte bleiben vorerst null. Mittels der Bedingungsgleichungen V 0 und M 0

14 baudyn_25_glocken.nb erhalten wir die gesuchten Zustandsfunktionen der Querkräfte und Biegemomente (siehe hierzu u. a. auch [58, Kapitel 21]). Die Querkraft-Zustandslinie zeigt, dass im Augenblick des Abtrennens des Lagerpunktes a bei dem vorliegenden Fall statt der ursprünglich halben Eigenlast G = ( μ L) 2 nur noch ein Viertel der Eigenlast im Lager b vorhanden ist. m = 600; s = 0.55; L = 2 s;; μ = m L ; g = 9.812601; quer = Factor Solve Eliminate -ΔF t + ΔG + Q 0, φ moment = Factor Solve Eliminate M - ΔM Trägheit + 1 2 ΔG x - ΔFt x 3 g 2 L, φ, Q, 2 0, φ 3 g 2 L, φ, M {{Q -3649.31 x (-0.733333 + 1. x)}}, M -1216.44 x 2 (-1.1 + 1. x) Test von Q(x) mittels xm(x): -3649.31 x (-0.733333 + 1. x) Gesamtgewicht G in [N]: 5887.56 Teilgewicht [N] = 1471.89 G 4 25.2.7 Wir betrachten jetzt den gesamten Bewegungsvorgang des physikalischen Pendels vom Bild 25.2.3 und führen eine Vergleichsanalyse zu dem mathematischen Pendel der Absätze 25.1.9 ff. durch. Anmerkung: Man aktiviere nur die INPUTzellen zu den Absätzen 25.1.9 bis 25.1.12 sowie zur Graphikdarstellung! m = 600; s = 0.55; L = 2 s; J = m L 2 12 + m L 2 2 ; μ = m L ; g = 9.812601; Massenträgheitsmoment J in [kgm 2 ]: 242. Physikalische Pendellänge L physikalisch in [m]: 1.1 Mathematische Pendellänge L mathe in [m] : 0.733333 physphi = NDSolve g m s -1 Cos[90 Degree + φ[t]] + J φ [t] 0, φ[0] φ 0, φ [0] ω 0, φ[t], t, 10-10, TUE, StartingStepSize Automatic, PrecisionGoal Automatic ;

baudyn_25_glocken.nb 15 Eigengewicht des physikalischen Pendels G = m g in [N]: 5887.56 Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: 7.68919 Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: 65. 25.2.8 Bei der Ermittlung der Schnittkräfte muss beachtet werden, dass die Eigengewichtsresultierende

16 baudyn_25_glocken.nb ihre Richtung nicht ändert. Die Schnitt- und Stützgrößen lassen sich mittels der bekannten drei Gleichgewichtsbedingungen N 0, Q 0 und M 0 berechnen (vgl. Bild 25.2.5 bzw. Absatz 25.2.6). Im Anschluss an die Darstellung der Zustandslinien werden die Zeitverläufe der Schnittgrößen im Lagerpunkt b ausgewiesen. ΔG = μ g x, ΔF n = μ x L - x 2 ( t φ[t])2, ΔF t = μ x L - x 2 t,t φ[t], ΔM Trägheit = μ x x2 t,t φ[t] ; 12 Solve[Normalkraft[t] - ΔG Sin [90 Degree + φ[t]] - ΔF n 0, Normalkraft[t]], Solve[-ΔF t + ΔG Cos [90 Degree + φ[t]] + Querkraft[t] 0, Querkraft[t]], Solve Moment[t] - ΔM Trägheit + 1 2 ΔG Cos [90 Degree + φ[t]] x - x ΔFt 0, Moment[t] 2 Normalkraft[t] 1 2 2 g x μ Cos[φ[t]] + 2 L x μ φ [t] 2 - x 2 μ φ [t] 2, Querkraft[t] 1 2 2 g x μ Sin[φ[t]] + 2 L x μ φ [t] - x 2 μ φ [t], Moment[t] 1 6 3 g x2 μ Sin[φ[t]] + 3 L x 2 μ φ [t] - x 3 μ φ [t] Versteckte Zelle mit Zeitschnittdarstellungen der obigen Grafiken zwecks Testung der Ergebnisse. 25.2.9 In diesem Absatz analysieren wir sowohl den Verlauf der resultierenden Pendelnormalkraft als auch der Horizontal- und Vertikalkraft im Lagerpunkt b bei x = L.

baudyn_25_glocken.nb 17 25.2.10 Wir kommen nochmals auf den Formbeiwert c des Absatz 25.1.9 zurück, der in der DIN 4178 [55] eine wichtige Komponente bei der Ermittlung der dynamischen Ersatzkräfte für Glockentürme ist. Bestimmen man in den beiden oberen Darstellungen die Verhältniswerte der Maximalwerte vom mathematischen Modell zum physikalischen Modell, erhalten man im Mittel einen Abminderungsfaktor, der in der Größenordnung des im Absatz 25.1.9 verwendeten Wertes c 0,76 liegt. 25.2.11 Es wird jetzt ein physikalisches Pendel mit beidseitiger Masseverteilung untersucht (Bild 25.2.11). Um Glocken mit Jochen näherungsweise analysieren zu können, ist eine getrennte Eingabe

18 baudyn_25_glocken.nb der Basisparameter beider Pendelteile zweckmäßig. Wir nehmen wieder eine gleichmäßige, jedoch links und rechts unterschiedliche Masseverteilung an. Wirkungsrichtung von g M Q 1 2 M 2 N 1 N 2 Q 1 L1 L2 x1 L1- x1 L 2 - x 2 s 1 s 2 x 2 Bild 25.2.11: Verallgemeinertes physikalisches Pendel 25.2.12 Im folgenden Anwendungsbeispiel werden die Parameter aus dem Absatz 25.2.7 für die linke Seite des Pendels beibehalten. Die rechte Seite fungiere als Gegengewicht. Der Vergleich der beiden physikalischen Pendel miteinander zeigt bei dem Auslenkwinkel fast keine sichtbaren Abweichungen. Bei der Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung werden diese aufgrund der Frequenzbewertung zwar zunehmend deutlicher, bleiben aber geringfügig. Hingegen zeigen die Darstellungen der Lagerkräfte markantere Differenzen, wobei zwischen den horizontalen und den vertikalen Lagerkräften erwartungsgemäß gegenläufige Tendenzen zu verzeichnen sind. m 1 = 600, L 1 = 1.1, m 2 = 150, L 2 = L 1 m 2 m 1, μ 1 = m1 L 1, μ 2 = m2 Länge L 2 der Pendelmasse m 2 in [m]: 0.275 Gesamtschwerpunktabstand s gesamt in [m]: 0.4125 Massenträgheitsmoment J 1 in [kgm 2 ]: 242. Massenträgheitsmoment J 2 in [kgm 2 ]: 3.78125 Massenträgheitsmoment J gesamt in [kgm 2 ]: 245.781 Mathematische Pendellänge L mathe in [m]: 0.794444 L 2, g = 9.812601 ; φ[t] InterpolatingFunction Domain: 1. 10-10, 7.69 Output: scalar [t] Gesamtgewicht des physikalischen Pendels G = (m 1 +m 2 ) g in [N]: 7359.45 Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: 7.68919 Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: 65.

baudyn_25_glocken.nb 19 Bild 25.2.12: Vergleich zwischen dem Pendel gemäß Absatz 25.2.3 (rot) und dem nach Absatz 25.2.12 (blau) 25.3 Glocken als physikalisches Doppelpendel 25.3.1 In diesem Abschnitt untersuchen wir ein Doppelpendel gemäß Bild 25.3.1. Eine solche aus zwei ebenen mathematischen Pendeln zusammengesetzte Struktur [27] wird durch die Winkel φ 1 und φ 2 hinreichend beschreiben. Laut dem Abschnitt 2.6 zur Analytischen Mechanik stellt sie ein konservatives System mit holonom-skleronomen Zwangsbedingungen dar. Zur Aufstellung der mathematischen Beziehungen bieten sich folglich die Gleichungen zweiter Art nach Joseph Louis de LAGRANGE (1736-1813) an. Hierbei werden die beiden Auslenkwinkel als generalisierte Koordinaten betrachtet. Mit der LAGRANGEschen Funktion LAG = T - U kinetische Energie - potentielle Energie (Potenzial) gilt: d dt ( φ i'[t] LAG) - φi[t] LAG 0 für i = {1, 2}

20 baudyn_25_glocken.nb y R x 1 P(x,y ) 3 3 L 2 g L1 2 m (x,y ) 1 1 1 m (x,y ) 2 2 2 Bild 25.3.1: Beispiel eines mathematischen Doppelpendels 25.3.2 In der Ebene existieren, streng gesehen, vier holonom-skleronomezwangsbedingungen. Für die Anzahl der Freiheitsgrade f des Doppelpendels findet man schließlich f = 2 3-4 = 2. z 1 = z 2 = konstant, x 1 2 + y 1 2 - L1 2 = 0, (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2 - L2 2 = 0 25.3.3 Die geometrischen Transformationsbeziehungen lauten: {x 1 = L 1 Sin[φ 1[t]], y 1 = -L 1 Cos[φ 1[t]], x 2 = R Sin[φ 1[t]] + L 2 Sin[φ 2[t]], y 2 = -R Cos[φ 1[t]] - L 2 Cos[φ 2[t]]} 25.3.4 Mit der kinetischen Energie T und dem Potenzial U erhalten wir schließlich: T = 1 2 m1 ( t x1[t])2 + ( t y 1[t]) 2 + 1 2 m2 ( t x2[t])2 + ( t y 2[t]) 2, U = (m 1 g y 1[t] + m 2 g y 2[t]) 1 2 m 1 x 1 [t] 2 + y 1 [t] 2 + 1 2 m 2 x 2 [t] 2 + y 2 [t] 2, g m 1 y 1 [t] + g m 2 y 2 [t] T = T /. {x 1 '[t] -> t (L 1 Sin[φ 1[t]]), y 1 '[t] -> t (-L 1 Cos[φ 1[t]]), x 2 '[t] -> t (R Sin[φ 1[t]] + L 2 Sin[φ 2[t]]), y 2 '[t] -> t (-R Cos[φ 1[t]] - L 2 Cos[φ 2[t]])}; U = U /. {y 1[t] -> -L 1 Cos[φ 1[t]], y 2[t] -> -R Cos[φ 1[t]] - L 2 Cos[φ 2[t]]}; LAG = (T - U); {FullSimplify[ t ( φ1 '[t] LAG) - φ1 [t] LAG 0 ], FullSimplify[ t ( φ2 '[t] LAG) - φ2 [t] LAG 0 ]}

baudyn_25_glocken.nb 21 g Sin[φ 1 [t]] L 1 m 1 + L 12 m 1 φ 1 [t] + R m 2 g Sin[φ 1 [t]] + R φ 1 [t] + L 2 Sin[φ 1 [t] - φ 2 [t]] φ 2 [t] 2 + Cos[φ 1 [t] - φ 2 [t]] φ 2 [t] 0, L 2 m 2 g Sin[φ 2 [t]] - R Sin[φ 1 [t] - φ 2 [t]] φ 1 [t] 2 + R Cos[φ 1 [t] - φ 2 [t]] φ 1 [t] + L 2 φ 2 [t] 0 {FullSimplify[ t ( φ1 '[t] LAG) - φ1 [t] LAG 0 ] /. m 2 0, FullSimplify[ t ( φ2 '[t] LAG) - φ2 [t] LAG 0 ] /. m 2 0} g Sin[φ 1 [t]] L 1 m 1 + L 1 2 m 1 φ 1 [t] 0, True 25.3.5 Auf Basis der obigen Ableitungen lässt sich die für Glockenschwingungen bekannte Tatsache bestätigen, dass auf den Einfluss der Klöppel in der Regel verzichtet werden kann, solange das Masseverhältnis von Klöppel zu Glocke klein gegenüber eins ist. Setzen wir m 2 m Klöppel = 0, erhalten wir einzig und allein die bekannte Differenzialgleichung (25.1.6) des mathematischen Pendels. 25.4 FOURIERreihenanalyse der Lagerkräfte des mathematischen Pendels 25.4.1 Wir kehren nochmals zu den Zeitfunktionen der resultierenden horizontalen und vertikalen Lagerkräfte des mathematischen Pendels vom Absatz 25.1.12 zurück und approximieren diese als FOURIERreihen, wobei wir als eine Art Nebenprodukt die Frequenzanalyse der beiden Zeitfunktionen erhalten (vgl. hierzu auch Abschnitt 2.4). Der Ausgangspunkt für die Abschätzung des erforderlichen Zeifensters für die FOURIERanalyse sind die Klöppelanschlagzahl A des Absatzes 25.1.9 sowie die gewählte Zeitdauer des Absatzes 25.1.10.. A = 65; TUE = 7.6891913560983385` ; Basisfrequenz 1 4 A 120 in [Hz]: 0.135417 Vorhandenes Zeitfenster TUE in [s]: 7.68919 Erforderliches Zeitfenster T in [s]: 7.38462 "Gewähltes Zeitfenster in [s]: "; T = 7.407; "Gewählte Anzahl an FOURIERkoeffizienten : "; imax = 25; Maximale auswertbare Frequenz in [Hz]: 3.37519

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baudyn_25_glocken.nb 23 25.4.2 Die den obigen Kurvenverläufen zugrunde liegende Glockenfrequenz betrug f Glocke 0,54 Hz (siehe Absatz 25.1.9). Die diskreten Amplituden-Frequenzgänge bestätigen die allgemein bekannte Tatsache, dass die horizontalen Lagerkräfte von den FOURIERkoeffizienten geprägt werden, die im Bereich des ersten, dritten, fünften, usw. Vielfachen der Glockenfrequenz liegen. In unserem Fall sind dies f n=1,3,5 {0.54 Hz, 1.62 Hz, 2.70 Hz}. Bei den vertikalen Kräften dominieren hingegen die Koeffizienten der geradzahligen Vielfachen der Glockenfrequenz. 25.4.3 In Mitteleuropa liegen die Glockenfrequenzen in der Regel im Bereich f Glocke 0.3... 0.6 Hz. Die Läutewinkel φ 0 befinden sich in Deutschland gewöhnlich zwischen 70 und 80. Bei Auslenkungen im Bereich φ 0 85... 155 dominiert bei den horizontalen Kräften der harmonische Kraftanteil, der zur dritten Vielfachen der Glockenfrequenz gehört, also zum Erregerfrequenzbereich f n=3 0.9... 1.8 Hz. Da nachweislich Glockentürme existieren, die Eigenwerte in diesem Frequenzbereich besitzen (siehe u. a. [71] - [73]), können bei diesen infolge von Resonanzeffekten dynamische Beanspruchungen auftreten, die zu einer erhöhten Schädigung der Bausubstanz beitragen (vgl. hierzu Tabelle 18.3.3 c). 25.5 Erregung eines fiktiven Glockenturmes 25.5.1 In Anlehnung an [74] untersuchen wir einen fiktiven Glockenturm, der den obigen horizontalen Glockenkräften ausgesetzt werden soll. Um sowohl die Schwingungsantworten eines linearen als auch eines nichtlinearen Einmassenschwingers einschließlich der instationären Einschwingvorgänge infolge einer beliebigen Krafterregung untersuchen zu können, nutzen wir die in den Abschnitten 7 und 8 entwickelte rekursive Lösungsmethode. Dazu benötigen wir einen diskretisierten Horizontalkraftverlauf H(t) mit frei wählbarer Dauer. Außerdem wollen wir jetzt mit einer Anfangswinkelgeschwindigkeit ω 0 starten, die der maximalen Winkelgeschwindigkeit ω max = 3,95053 rad/s entsprechen muss, um denselben Läutewinkel wie im Absatz 25.1.10 zu erzeugen. {m = 600, L = 0.725706, φ 0 = 0, ω 0 = 3.951, TUE = 25, maxn = 5000, g = 9.812601};

24 baudyn_25_glocken.nb phi = NDSolve g L Sin[φ[t]] + L 2 φ [t] 0, φ[0] φ 0, φ [0] ω 0, φ[t], t, 10-10, TUE, StartingStepSize Automatic, PrecisionGoal Automatic φ[t] InterpolatingFunction Domain: 1. 10-10, 25. Output: scalar [t] Eigengewicht des Pendels G = m g in [N]: 5887.56 Gewählte Zeitdauer TUE in [s]: 25 Gewählte Zeitschrittweite Δt in [s]: 0.005 Berechnete maximale Auslenkung φ(t) in [Altgrad]: 64.9914 Berechnete maximale Winkelgeschwindigkeit ω(t) in [ rad ]: 3.951 s Berechnete maximale Horizontalkraft maxh in [N]: 5506.22 Horizontalkraft H 1 in [N] des ersten Teilzeitschrittes t n=1 : 250.488 25.5.2 Als nächster Schritt erfolgt die Diskretisierung der Kraftfunktion:

baudyn_25_glocken.nb 25 25.5.3 In [74] wurde als idealisierter Glockenturm ein klassischer Kragarm gewählt, dessen Hohlquerschnitt ein Quadrat mit den äußeren Seitenlängen b = 5,50 m ist und der eine konstante Wanddicke von d = 0,75 m besitzt. Die Massendichte beträgt ρ = 2000 kg/m³, der Elastizitätsmodul des Mauerwerks EM = 8000 MN/m². Im Weiteren werden für alle Dimensionen konsequent [N], [m] und [s] verwendet. Dann erhalten wir für die Massebelegung μ, das axiale Flächenmoment 2. Grades IM yy IM zz IM und die Biegesteifigkeit B = EM IM die Werte: γ = 2000, Fläche = 5.5 2-5.5-1.5 2, EM = 8.0 10 9 ; Massebelegung μ in [kg/m]: 28 500. Flächenmoment 2.Grades IM in [m 4 ]: 54.9219 Biegesteifigkeit B in [Nm²]: 4.39375 10 11 25.5.4 Wir idealisieren diesen Kragbalken, der eine Länge von L = 38m (Turmhöhe) hat, als Einmassenschwinger (siehe Kapitel 11). Seine Biegelinie w(x,t) beschreiben wir gemäß Absatz 16.2.5 mittel dem Produktansatz w(x) q(t). Als Bezugspunkt wird das auf eins normierte freie Kragarmende gewählt. Dann gilt w(x=l,t) q(t). Nach der Ermittlung der generalisierten Masse m G und der generalisierten Federsteifigkeit k G erhält man für die erste Biegeeigenform w(x) schließlich die zugehörige Biegeeigenfrequenz f 1. L = 38, alpha = 1.8751, w[x] = 0.5 Cosh alpha L x - Cos alpha L x - 0.734095 Sinh alpha L x - Sin alpha L x ;

26 baudyn_25_glocken.nb 1 4 der Gesamtmasse des Turmes in [kg]: 270 750. Generalisierte Massse m G in [kg]: 270 748. Kehrwert von m G in [kg -1 ]: 3.69347 10-6 Generalisierte Federsteifigkeit k G in [N/m]: 2.47471 10 7 Statische Biegesteifigkeit k stat = 3 B L 3 in [N/m]: 2.40218 10 7 Verformung w[x=l] in [m] der normierten Eigenform: 0.999998 Grundfrequenz f 1 in [Hz]: 1.52159 25.5.5 Ausgangspunkt der Berechnungen im Zeitbereich ist die Differentialgleichung (7.4). Sie entspricht übrigens der ersten Gleichung im Absatz 17.6, die im Ergebnis der Modalanalyse eines Kragarms unter bewegten Einzellasten entstanden war. Die unten ausgewiesene formale Berechnung der generalisierten Kraft gemäß Absatz 16.2.10 bestätigt die Richtigkeit der weiteren Vorgehensweise. Nach (7.4) : ω 2 1 q[t] + 2 ω b1 q [t] + q [t] H[t] m G Nach 17.6 : ω 1 2 q 1[t] + 2 ω b q 1 [t] + q 1 [t] Q 1[t] p[x, t] = H[t] DiracDelta[x -.999999 L]; Q 1[t] 1 m G 0 L p[x, t] w[x] x Q 1 [t] 3.69345 10-6 H[t] 25.5.6 Die in Kapiteln 7 und 8 entwickelten Algorithmen müssen nun so modifiziert werden, dass wir die dort vorhandenen Krafterregungen durch H n ersetzen. Bei dieser Gelegenheit weisen wir für Vergleichszwecke die maxh zugeordnete quasistatische Verschiebung w stat (x = L) = maxh in [m] k G aus. Zur Bestimmung der ersten Zeitschrittverschiebung folgen wir den Überlegungen der Absätze

baudyn_25_glocken.nb 27 7.12 bzw. 8.9. Für die Ermittlung von q 1 wird angenommen, dass die Horizontalkraft im ersten Teilzeitschritt linear anwachse. Da der Turm sich zum Zeitpunkt t = 0 in absoluter Ruhe befinde, interpretieren wir das physikalische Startmodell als eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung eines Massepunktes. Als Lösung der entsprechenden Differenzialgleichung erhält man: Hor[t] = H1 Δt t; erg01 = DSolve[{Hor[t] m G q''[t], q[0] 0, q'[0] 0}, q[t], t], w 1 = erg01[[1, 1, 2]] /. t Δt, erg02 = Solve 0 Δt Hor[t] t mg v1, v1, v 1 = erg02[[1, 1, 2]] q[t] 0.0308389 t 3, 3.85487 10-9, v1 2.31292 10-6, 2.31292 10-6 EINGABEGRÖSZEN (linearer Einmassenschwinger ) Dämpfungsgrad β Startzeitpunkt t 0[s] Endzeitpunkt t nmax [s] Anzahl der FOURIERkoeffizienten imaxi {β =.015, t 0 = 0, t nmax = TUE, imaxi = 60}; Eigenkreisfrequenz ω 1 [s -1 ]: 9.56046 Eigenfrequenz f 1 [Hz]: 1.52159 Abklingkonstante ω b1 [s -1 ]: 0.143407 2 Gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω D1 = ω 12 - ω 2 b1 : 9.55938 Gedämpfte Eigenfrequenz f D1 [Hz]: 1.52142 Zeitschrittweite Δt[s]: 0.005 Statische Verschiebung w stat[m] infolge maxh: 0.0002225 Stützpkt. Zeitpkt.[s] Schwingweg [m] Geschwindigkeit [m/s] 0 0. 0 0 1 0.005 3.85487 10-9 2.31292 10-6 2 0.01 3.0808 10-8 9.99681 10-6 3 0.015 1.03823 10-7 0.0000214808 4 0.02 2.45616 10-7 0.000037473 5 0.025 4.78553 10-7 0.0000578925 6 0.03 8.24542 10-7 0.0000826381 7 0.035 1.30493 10-6 0.000111589 8 0.04 1.94043 10-6 0.000144603 9 0.045 2.75096 10-6 0.000181522 10 0.05 3.75564 10-6 0.000222167

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baudyn_25_glocken.nb 29 Anzahl FOURIERkoeffizienten : 60 Gewünschter Zeitaussschnitt [s]: 25 Maximal auswertbare Frequenz [Hz]: 2.4 Zugehörige Periodendauer T min in [s]: 0.416667 Anzahl der Stützstellen: 5000

30 baudyn_25_glocken.nb 25.5.7 Zwecks Überprüfung der Größenordnung der obigen Ergebnisse berechnen wir die quasistatische horizontale Glockenersatzlast und deren Lastwirkungsprozess gemäß DIN 4178 [55]: c = 1, β h 1 =.8, β h 3 =.5, β h 5 =.05, A = 65, ω 01 = 2 π f 1 ;

baudyn_25_glocken.nb 31 25.5.8 Gegenüber dem linearen Beispiel des Absatzes 25.5.6 werden jetzt die Parameter der Federsteifigkeit zu einer nichtlinearen Kennlinie (siehe Absatz 8.3) verändert: k 3 F feder = k G κ 1 w[x = L] + κ 3 w[x = L] 3 k G κ 1 = 1, κ 3 = -1, k 3 = 4 10 12 ; 25.5.9 Für die Berechnung des nichtlinearen Einmassenschwingers übernehmen wir sowohl die Anfangsbedingungen als auch die Eingabegrößen des linearen Falles vom Absatz 25.5.6.

32 baudyn_25_glocken.nb Stützpkt. Zeitpkt.[s] Schwingweg [m] Geschwindigkeit [m/s] 0 0. 0 0 1 0.005 3.85487 10-9 2.31292 10-6 2 0.01 3.0808 10-8 9.99681 10-6 3 0.015 1.03823 10-7 0.0000214808 4 0.02 2.45616 10-7 0.000037473 5 0.025 4.78553 10-7 0.0000578925 6 0.03 8.24542 10-7 0.0000826381 7 0.035 1.30493 10-6 0.000111589 8 0.04 1.94043 10-6 0.000144603 9 0.045 2.75096 10-6 0.000181522 10 0.05 3.75564 10-6 0.000222167

baudyn_25_glocken.nb 33 25.5.10 Zum Abschluss vergleichen wir die Schwingwege sowie die Schwinggeschwindigkeiten der beiden Einmassenschwingermodelle. Erwartungsgemäß sind die Beanspruchungen im nichtlinearen Fall geringer, was einer stärkeren Aufspaltung des Frequenzspektrums geschuldet ist, wie man am unten angeführten diskreten Amplituden-Frequenzgangerkennen kann.

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