HTBLA Neufelen Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Seite 1 von 7 Peter Fischer pe.fischer@atn.nu Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Lineare Differentialgleichungen erster Ornung; homogene versus inhomogene Differentialgleichung; Störfunktion; partielle Lösung; Integrationskonstante; Anfangswertproblem bzw. Ranwertproblem. Analytische un numerische Lösung Kurzzusammenfassung Zu Beginn wir ie homogene lineare Differentialgleichungen erster Ornung mit konstanten Koeffizienten gelöst; Dann wir ie homogene lineare Differentialgleichung erster Ornung er Gestalt y/t + a(t).y(t) = behanelt un für a(t) = t analytisch un numerisch gelöst. Schließlich weren für inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ornung numerische Lösungen gezeigt. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstan / Abteilung / Jahrgang): Angewante Mathematik, alle Abteilungen, 4. Jahrgang Mathca-Version: Mathca 11 Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Differentialgleichungen sin eine ausgezeichnete Beschreibungsmöglichkeit für kontinuierlich ablaufene vor allem zeitlich oer räumlich variierene Prozesse y(t) oer y(x). Zur Untermauerung führe ich ein berühmtes Zitat (über en Laplace'schen Dämon) an. Diese Intelligenz, er "Laplacesche Dämon", verkörpert en klassischen Stanpunkt es Determinismus un begrünet as araus entstehene mechanistische Weltbil. Eine Intelligenz, welche zu einem bestimmten Zeitpunkt alle in er Natur wirkenen Kräfte sowie ie gegenseitigen Lagen er sie bilenen Elemente kennte un über ies umfassen genug wäre, um iese Größen er Analysis zu unterwerfen, würe in erselben Formel ie Bewegungen es größten Weltkörpers wie es leichtesten Atoms erfassen; nichts würe ihr ungewiß sein, un Zukunft un Vergangenheit wären ihrem Blick gegenwärtig. Es läßt sich eine Stufe er Naturerkenntnis enken, auf er sich er ganze Weltvorgang urch eine mathematische Formel arstellen ließe, urch ein System von Differentialgleichungen, aus em sich Ort, Bewegungsrichtung un Geschwinigkeit jees Atoms im Weltall zu jeer Zeit ergäben. Pierre Simon e Laplace (1814, Essai philosophique sur les probilités) 1. Die homogene lineare Differentialgleichung erster Ornung Wenn eine Größe y proportional zu ihrer ifferentiellen Änerung y/t mit einer bestimmten Größe t ist, so erhält man bereits eine homogene Differentialgleichung erster Ornung. k := y := 1 = k t Die Proportionalitätskonstante wir festgelegt. Die Anfangsgröße wir festgelegt. Hanelt es sich um zeitlich variable Prozesse, so spricht man von Anfangswertproblemen; bei räumlich variablen gerne von Ranwertproblemen. Peter Fischer
HTBLA Neufelen Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Seite von 7 Durch Trennung er Variablen (y/y = kt) un anschließene Integration erhält man ie bekannte Funktion für exponentielles Wachstum (k > ) oer exponentiellen Zerfall (k < ). := y e k t y( ) Nebenstehen erkennt man en graphischen Verlauf eines exponentiellen Wachstums mit er Wachstumskonstante k =. Wegen e = 7.389 entspricht ies einer Zunahme von 638,9 Prozent pro Zeiteinheit. k := 1 1 Bei einer negativen Wachstumskonstante ergibt sich ein exponentieller Abfall. y := 1 Der Anfangswert ist mit 1 vorgegeben. := y e k t y( ) 1 4 6 Da ie Halbwertszeit τ gemäß ln( ) τ := k efiniert ist, ergibt sich: τ = 1.386 Man erkennt im nebenstehenen Graphen nach 1,386 Zeiteinheiten jeweils einen Abfall auf ie Hälfte es Wertes zur Zeit (t - 1.386). In Mathca steht ie numerische Lösung von Differentialgleichungen zur Verfügung, was hier zum Vergleich gezeigt wir. t 1 = y( ) = 1 y := Gglösen( t, 6) 1 y( ) Die Übereinstimmung beier Graphen wir mit Freue zur Kenntnis genommen. 4 6 Ist er multiplikative Ausruck bei er Funktion y nicht mehr konstant, so erhält man für ie lineare homogene Differentialgleichung erster Ornung folgene Gleichung: t + a( t) = Peter Fischer
HTBLA Neufelen Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Seite 3 von 7 Durch Trennung er Variablen erhält man: = a( t) t a( t) := t Durch Integration erhält man für ie Lösung yh er homogenen Differentialgleichung: yh( t) := C e a( t) t Die Konstante C berücksichtigt en Anfangswert yh(t). Ist y eine Funktion von x, so spricht man auch vom Ranwertproblem. Für C = erhält man folgene Funktion. t yh( t) := e yh( ) 1 4 Auch für iese Differentialgleichung soll ie numerische Lösung geliefert weren. t = t y( ) = y := Gglösen( t, 4) y( ) 1 Die Übereinstimmung beier Graphen wir mit Freue zur Kenntnis genommen. 4 Peter Fischer
HTBLA Neufelen Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Seite 4 von 7. Die inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ornung Die Differentialgleichung t + a( t) = s( t) heißt inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ornung, falls s( t) gilt. Die Lösung setzt sich ann aitiv aus er Lösung er homogenen Differentialgleichung y h (t) un einer partikulären Lösung y p (t) zusammen. Die partikuläre Lösung finet man analytisch beispielsweise urch Variation er Konstanten C(t) in er homogenen Lösungsfunktion oer urch einen er Störfunktion angepassten Ansatz. Als Beispiel für eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ornung betrachten wir eine homogene Kugel mit Raius r (Dichte ρ), welche in einer Flüssigkeit (er Dichte ρ Fl un er Zähigkeit η) aus em Ruhezustan frei fallen gelassen were. Als Reibungskraft verwenen wir gemäß em Stoke'schen Gesetz F R = 6πηrv. r :=.4 ρ := 6 Um as Beispiel numerisch lösen zu können, wir ein Kugelraius von 4 Zentimeter, eine Dichte von 6 Kilogramm pro Kubikmeter für eine Glaskugel bzw. von 13 für ie Flüssigkeit sowie eine Zähigkeit von 1, Pas (Glyzerin) angenommen. ρfl := 13 η := 1. 4r 3 π V := 3 m := ρ V g := 9.81 Gemäß em zweiten Newtonschen Axiom (mv/t = mg - F Reibung - F Auftrieb ) ergibt sich amit folgene Differentialgleichung: t v( t) + a v( t) = s ( ρ ρfl) V g s := m a := V =.68 m =.697 a = 1.63 s = 4.9 v( t) 6 π s := a s = 3.3 a r η m ( ) 1 e a t Die Störfunktion s ist - wie ie Schreibweise bereits symbolisiert - von er Zeit unabhängig. Daher ist auch ie partikuläre Lösung vp eine kontstante Funktion, welche sich urch Einsetzen von vp in ie inhomogene Differentialgleichung un Auflösen er entstehenen Gleichung als v p = s/a ergibt. Die Integrationskonstante C ergibt sich aus er Anfangswertbeingung v() = zu -s/a. v() = beeutet eben, ass ie Kugel zur Zeit t = fallen gelassen wir. Die Gesamtlösung v(t) ergibt sich somit aitiv aus v h (t) un v p (t) zu v(t) = v h (t) + v p (t). Das ist ie Lösung, welche er Anfangsbeingung v() = genügt. Man erkennt, ass sich ie Geschwinigkeit asymptotisch an en Wert s/a annähert. Peter Fischer
HTBLA Neufelen Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Seite von 7 :=,.1.. v( ) 4 Zu welchem Zeitpunkt sin 9% bzw. 99% er asymptotischen Grenzgeschwinigkeit erreicht un wie groß ist iese? Wie sieht er Graph er urchfallenen Strecke aus un an welche Funktion nähert sich ie Funktion s(t) an? Bestimmung er asymptotischen Grenzgeschwinigkeit. lim t v( t) 3.9333333333333333 Man erkennt ie Bestätigung von s/a als asymptotische Grenzgschwinigkeit. v( t) =.9 3.3 v( t) =.99 3.3 auflösen, t 1.4 gleit, auflösen, t.8 gleit, Nach 1.4 Sekunen sin 9 % er asymptotischen Grenzgeschwinigkeit erreicht. Nach.8 Sekunen sin 99 % er asymptotischen Grenzgeschwinigkeit erreicht. Die urchfallene Strecke ergibt sich als Integral über ie Geschwinigkeitsfunktion, wobei eine Anfangsstrecke s zu berücksichtigen ist.. s := 1.86 s( t) := v( t) t + s s( t) 3.9333333333333333 t + 1.863617839617 exp( 1.6961384613846 t) 1.86 3. + 1.86 exp( 1.6 ) 1.86 1 3 Man erkennt sowohl aus er Funktionsgleichung als auch aus em Graph, ass sich ie Funktion sehr rasch (nach 1.4 Sekunen sin bereits 9% er Engeschwinigkeit un nach.8 Sekunen bereits 99% von ieser erreicht) an eine lineare Funktion mit er Gleichung s(t) = 3.t anschmiegt. Diese ergibt sich aus er asymptotischen Grenzfallgeschwinigkeit von 3. m/s, bei welcher ie Gewichts- sowie ie Auftriebs- un ie Stoke'sche Reibungskraft einaner aufheben, un ie Bewegung aher unbeschleunigt un aher mit konstanter Geschwinigkeit verläuft. Peter Fischer
HTBLA Neufelen Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Seite 6 von 7 Auch hier wir zum Vergleich ie numerische Lösung vorgestellt. t v( t) + a v( t) = s v( ) = v := Gglösen( t, 4) v( ) Die Übereinstimmung beier Graphen wir mit Freue zur Kenntnis genommen. 4 Nun ist es von Interesse, wie sich ie eingehenen Parameter (Dichte er Kugel, Dichte es Meiums, Zähigkeit es Meiums sowie er Raius er Kugel) auf ie Geschwinigkeitsfunktion un insbesonere auf ie asymptotische Grenzgeschwinigkeit auswirken. Der Phantasie er SchülerInnen ist hierbei kaum eine Grenze gesetzt un sie weren aufgeforert, möglichst unterschieliche Situationen zu erproben. Natürlich lohnt sich auch eine experimentelle Überprüfung, wobei sich als Meium sicherlich Wasser empfiehlt. Zum Abschluss weren noch einige inhomogene Differentialgleichungen erster Ornung numerisch gelöst. t = ( t + t 1) + t y( ) = 1 y := Gglösen( t, 7) 1 y( ) t = t + cos ( t ) y( ) = y := Gglösen( t, ) Peter Fischer
HTBLA Neufelen Lineare Differentialgleichungen erster Ornung Seite 7 von 7. Sehr schön erkennt man ie geämpfte Schwingung. y( ). 1 t = sin( t) + t 3 y( ) = y := Gglösen( t, ) 1 y( ) Gut erkennt man as Anwachsen er Werte von y für größere Zeiten t, wofür ie Inhomogenität t/3 - also ie Störfunktion welche linear mit er Zeit wächst - sorgt. 1 Peter Fischer