WILLERS ELEMENTAR-MATHEMATIK Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik 13., durchgesehene Auflage von Dr.-Ing. G. Opitz und Dr. phil. H. Wilson Mit 189 Abbildungen VERLAG THEODOR STEINKOPFF DRESDEN 1968
Inhaltsverzeichnis Aus dem Vorwort zur ersten Auflage Aus dem Vorwort zur fünften Auflage Vorwort zur zwölften und dreizehnten Auflage Griechisches Alphabet Arithmetik und Algebra V V VI XI I. Die vier Grundrechenarten 1. Addition und Subtraktion 1 2. Negative Zahlen 2 3. Multiplikation 2 4. Division 3 5. Faktorenzerlegung 5 II. Bruchrechnung 6. Allgemeines 6 7. Addition und Subtraktion 7 8. Multiplikation und Division 7 9. Aufgaben 8 III. Gleichungen 1. Grades mit einer Unbekannten 10. Allgemeines 9 11. Beispiele 10 IV. Systeme linearer Gleichungen 12. Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 12 13. Allgemeine Lösung von zwei linearen Gleichungen 15 14. Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten 17 15. Dreireihige Determinanten 18 V. Die lineare Funktion 16. Der Begriff der Funktion 23 17. Graphische Darstellung der Funktion y = mx 25 18. Die Funktion y = mx + n 26 19. Graphische Lösung einer linearen Gleichung 27 20. Graphische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten 29 VI. Potenzrechnung und Potenzfunktion 21. Potenzen mit ganzen positiven Exponenten 30 22. Erste Erweiterung des Potenzbegriffes 32 23. Die Potenzfunktion y = x* 34 VII. Wurzelrechnung 24. Das Radizieren 37 25. Rationale und irrationale Zahlen 40 26. Rechengesetze 42 27. Rationalmachen des Nenners 47 28. Zweite Erweiterung des Potenzbegriffes 48 29. Die Umkehrfunktion 49 30. Die Exponentialfunktion 53 VII
VIII. Die quadratische Gleichung 31. Sonderfälle und vierte Erweiterung des Zahlenbereiches 55 32. Der allgemeine Fall Ax 2 + Bx+ C=0 57 33. Beziehungen zwischen Koeffizienten und Lösungen 60 34. Aufgaben 61 35. Die Beträge beider Lösungen sind sehr verschieden 63 jj 36. Wurzelgleichungen 65 37. Die quadratische Funktion 66 38. Graphische Lösung der quadratischen Gleichung 68 IX. Ungleichungen 68 X. Der Logarithmus 39. Der Begriff des Logarithmus 70 40. Die logarithmische Funktion 71 41. Logarithmengesetze 72 42. Zusammenhang zwischen den Logarithmensystemen 74 43. Der Zehner-Logarithmus 75 44. Lineare Interpolation 77 45. Beispiele 78 XL Die arithmetische und die geometrische Reihe 46. Die arithmetische Reihe 81 47. Die endliche geometrische Reihe 83 48. Das Summenzeichen 86 XII. Der binomische Satz 49. Die Binomialkoeffizienten 90 50. Beweis des binomischen Satzes durch vollständige Induktion... 93 51. Die Ungleichung von Bernoulli 95 52. Symmetriesatz der Binomialkoeffizienten 95 Goniometrie und Trigonometrie XIII. VIII Goniometrie 53. Gradmaß und Bogenmaß 97 54. Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 99 55. Verallgemeinerung des Winkelfunktionsbegriffes 100 56. Verlauf der trigonometrischen Funktionen 101 57. Beziehungen zwischen verschiedenen Funktionen des gleichen Winkels 105 58. Benutzung der Funktionstafeln 107 59. Werte der Funktionen von beliebigen Winkeln 108 60. Die Additionstheoreme 110 61. Folgerungen aus den Additionstheoremen 111 62. Summe und Differenz der sin- und cos-werte zweier Winkel... 112 XIV. Goniometrische Bestimmungsgleichungen 63. Gleichungen mit einer Unbekannten 113 64. Goniometrische Gleichungen mit zwei Unbekannten 115 XV. Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks 65. Der Sinussatz 116 66. Anwendung des Sinussatzes auf die Dreiecksberechnung 118 67. Der Cosinussatz 120 68. Weitere Dreiecksformeln 122 69. Aufgaben 124 XVI. Komplexe Zahlen 70. Imaginäre Zahlen 125 71. Komplexe Zahlen 126 72. Gaußsche Zahlenebene 128 73. Die vier Grundrechenarten in der Gaußschen Zahlenebene 130
74. Das Eechnen mit den Beträgen komplexer Zahlen 133 75. Der Satz von Moivre 133 76. Das Radizieren einer komplexen Zahl 136 77. Die binomische Gleichung 138 Analytische Geometrie der Ebene XVII. Die Strecke 78. Länge und Richtung einer Strecke 141 79. Innere und äußere Teilung einer Strecke 143 80. Dreiecks- und Vielecksinhalt 145 XVIII. Die Gerade 81. Verschiedene Formen der Geradengleichung 147 82. Punktrichtungs- und Zweipunktgleichung 149 83. Die Hessesche Normalform 150 84. Die Gleichungen der Winkelhalbierenden 152 85. Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden 153 86. Koordinatentransformation 157 XIX. Der Kreis 87. Die Kreisgleichung 159 88. Die Gleichung der Kreistangente 162 XX. Die Kegelschnitte 89. Erste Definition der Kegelschnitte 164 90. Zweite Definition der Kegelschnitte 169 91. Die Scheitelgleichung der Kegelschnitte 171 92. Die Parabel 173 93. Die Ellipse 174 94. Die Hyperbel 177 95. Die Asymptoten der Hyperbel 180 96. Geometrische Eigenschaften der Mittelpunktskegelschnitte... 183 97. Geometrische Eigenschaften der Parabel 186 98. Transformation der Kegelschnittgleichungen durch Parallelverschiebung und Drehung des Koordinatensystems 188 99. Das Hauptachsenproblem 191 100. Polarkoordinaten 199 101. Die Polargleichung der Geraden 200 102. Die Polargleichung der Kegelschnitte 201 XXI. Aufstellen von Kurvengleichungen 103. Die Parameterdarstellung 203 104. Geometrische Örter 207 Vektoralgebra XXII. Das räumliche kartesische Koordinatensystem 105. Rechts- und Linkssysteme 214 106. Der räumliche Pythagoras 215 107. Die Richtungscosinus 215 108. Abstand zweier Punkte 217 109. Aufgaben 217 XXIII. Der Vektor 110. Der Begriff des Vektors 218 111. Rechenregeln 218 112. Spezielle Vektoren 221 113. Vektoren in der Physik 221 114. Komponenten 222 115. Beispiele 225 116. Aufgaben 228 IX
XXIV. Das skalare Produkt 117. Definition 229 118. Rechenregeln 230 119. Das skalare Produkt in Komponentendarstellung 231 120. Folgerungen 232 121. Anwendungsbeispiele 233 122. Aufgaben 237 XXV. Das Vektorprodukt 123. Definition 238 124. Rechenregeln 238 125. Komponentendarstellung 239 126. Beispiele 240 127. Aufgaben 242 XXVI. Mehrfache Vektorprodukte 128. Das Spatprodukt 242 129. Beispiele 244 130. Das dreifache Vektorprodukt 246 131. Produkte mit mehr als drei Faktoren 247 132. Aufgaben 249 Anhang XXVII. Unendliche Folgen und Reihen 133. Die unendliche geometrische Reihe 251 134. Die unendliche Folge 253 135. Die unendliche Reihe 256 Lösungen 258 Namen- und Sachverzeichnis 315 X