Laplace-Transformation Gegeben: Funktion mit beschränktem Wachstum: x(t) Ke ct t [, ) Definition: Laplace-Transformation: X(s) = e st x(t) dt = L{x(t)} s C Re(s) >c Definition: Inverse Laplace-Transformation: x(t) = 1 2πj d+j d j e st X(s) ds = L 1 {X(s)} t [, ) d>c
Für die Praxis wichtigste Eigenschaften: 1 Linearität: L{a 1 x 1 (t) +a 2 x 2 (t)} = a 1 L{x 1 (t)} + a 2 L{x 2 (t)} Zur Ermittlung von Laplace-Tranformierten: 2 Integrationssatz: { t } L x(τ ) dτ = 1 s X(s) 3 Dämpfungssatz: L{e at x(t)} = X(s + a)
Zum Lösen von Differentialgleichungen: 4 Faltungssatz: { t L } g(t τ )u(τ ) dτ = L{g(t)}L{u(t)} = G(s)U(s) 5 Differentiationssatz: L{ẋ(t)} = sx(s) x()
Tabelle 1: Wichtigste Laplace-Transformierte x(t) (t ) X(s) δ(t) 1 h(t), 1(t) t 1 s 1 s 2 t k (k =1, 2,) k! s k+1 e at 1 s a 1 e at a s (s + a) cos ωt s s 2 + ω 2 sin ωt ω s 2 + ω 2 cos(ωt + ϕ) sin(ωt + ϕ) cosh at sinh at s cos ϕ ω sin ϕ s 2 + ω 2 ω cos ϕ + s sin ϕ s 2 + ω 2 s s 2 a 2 a s 2 a 2
Tabelle 2: Eigenschaften der Laplace-Transformation Originalfunktion Transformierte Bemerkungen a 1 x 1 (t) +a 2 x 2 (t) a 1 X 1 (s) +a 2 X 2 (s) Superpositionsprinzip ẋ(t) sx(s) x() Differentiationsregel ẍ(t) s 2 X(s) sx() ẋ() t x(τ )dτ x(t T ) x(at) t } für { t T t<t 1 s X(s) e st X(s) 1 a X ( ) s a Integrationsregel Verschiebungssatz Ähnlichkeitssatz x 1 (t τ )x 2 (τ )dτ = x 1 x 2 X 1 (s)x 2 (s) Faltungssatz e bt x(t) X(s b) Dämpfungssatz tx(t) d X(s) Multiplikationssatz ds x(t) t s X(s) ds Divisionssatz x(t) periodisch mit Periode T T e st x(t) dt 1 e st Periodische Funktion x(+) = lim t x(t) = lim s sx(s) Anfangswertsatz ) lim x(t) =lim t s Endwertsatz ) x(t) 2 dt = 1 X(jω) 2 dω 2π Parseval-Theorem ) sofern die zeitlichen Grenzwerte existieren
Laplace-Transformierte (Beispiele): 1 Einheits-Impuls, Dirac-Stoss δ(t): δ 1 ε Fläche =1 ε t L{δ(t)} = e st δ(t) dt =1
Anwendungen der Integrationsregel: 2 Einheits-Sprung h(t): h 1 t h(t) = t δ(σ) dσ L{h(t)} = 1 s L{δ(t)} = 1 s
3 Einheits-Funktion 1(t): 1 1 t L{ 1(t)} = L{h(t)} = 1 s
4 Einheits-Rampe x(t) = t: x t t = t 1(σ) dσ L{t} = 1 s L{ 1(t)} = 1 s 2
5 Potenzen von t: { t 2 } L = 1 2 s L{t} = 1 s 3 { t 3 } L = 1s { t 2 } 3! L = 1 2 s 4 L { t k k! } = 1 s L { t k 1 (k 1)! } = 1 s k+1
6a Harmonische Funktion cos ωt: t t ω 2 cos ωt dt = ω sin ωt ω sin ωt dt = cos ωt t t = ω sin ωt =1 cos ωt Somit: Resultat: 1 s 2 L{ω2 cos ωt} = L{1 cos ωt} ( ω 2 ) s +1 L{cos ωt} = 1 2 s s L{cos ωt} = s 2 + ω 2
6b Harmonische Funktion sin ωt: t t ω 2 sin ωt dt = ω cos ωt (ω ω cos ωt) dt =(ωt sin ωt) t = ω ω cos ωt t = ωt sin ωt Somit: Resultat: 1 s 2 L{ω2 sin ωt} = L{ωt sin ωt} ( ω 2 ) s +1 L{sin ωt} = ω 2 s 2 ω L{sin ωt} = s 2 + ω 2
6c Phasenverschobene harmonische Funktionen cos(ωt+ϕ) und sin(ωt+ϕ): Hilfsmittel: Additionstheoreme der Trigonometrie: cos(ωt+ϕ) = cos ωt cos ϕ sin ωt sin ϕ L{cos(ωt+ϕ)} = s cos ϕ ω sin ϕ s 2 + ω 2 sin(ωt+ϕ) = sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ L{sin(ωt+ϕ)} = ω cos ϕ + s sin ϕ s 2 + ω 2
Anwendungen des Dämpfungssatzes: 7 Exponential-Funktion e at : L{e at } = L{e at 1(t)} = L{ 1(t)} s+a = 1 s + a
Lösen von Differentialgleichungen: 1 Laplace-Transformieren der Differentialgleichung 2 Auflösen nach Y (s) 3 U(s) =L{u(t)} einsetzen 4 y(t) =L 1 {Y (s)} (Partialbruch-Zerlegung, Tabelle)
Beispiel: System 1 Ordnung: Differentialgleichung: ẏ(t) +ay(t) =bu(t) Anfangsbedingung: y() = y Eingangssignal (von uns frei wählbar): u(t) für t Gesucht: Ausgangssignal: y(t) für t
1 Laplace-Transformieren der Differentialgleichung: L{ẏ(t) +ay(t)} = L{bu(t)} sy (s) y + ay (s) =bu(s) 2 Auflösen nach Y (s): Y (s) = y s + a + b s + a }{{} G(s) U(s) 3 U(s) =L{u(t)} einsetzen 4 y(t) =L 1 {Y (s)}
Eigenantwort: u(t) U(s) = Y (s) = y s + a y(t) =y e at
Eigenantwort des Systems 1 Ordnung: y(t) =y e at y y τ = 1 a 2τ 3τ 4τ t
Einheits-Impulsantwort: y = u(t) =δ(t) U(s) =1 Y (s) =G(s) = b s + a y(t) =g(t) =be at für t> Die Übertragungsfunktion G(s) ist die Laplace-Transformierte der Einheits-Impulsantwort g(t)
Einheits-Impulsantwort des Systems 1 Ordnung: y(t) = { für t = be at für t> y b τ = 1 a 2τ 3τ 4τ t
Einheits-Sprungantwort: y = u(t) =h(t) U(s) = 1 s Y (s) = b (s + a)s = A s + B b s + a = a s b a s + a y(t) = b a (1 e at)
Einheits-Sprungantwort des Systems 1 Ordnung: y(t) = b ( 1 e at ) a y b a τ = 1 a 2τ 3τ 4τ t
Einheits-Rampenantwort: y = u(t) =t U(s) = 1 s 2 Y (s) = b (s + a)s = A 2 s + a + B s + C s = 2 A s + a + Bs + C s 2 A = b a 2 B = b a 2 C = b a y(t) = bt a b a 2 + b a 2 e at
Einheits-Rampenantwort des Systems 1 Ordnung: y(t) = bt a b a + b 2 a 2 e at y b a 2 bt y(t) a τ = 1 a 2τ 3τ 4τ t
Antwort auf eine harmonische Anregung mit der Kreisfrequenz ω: y = u(t) =û cos ωt U(s) = ûs s 2 + ω 2 Y (s) = bûs (s+a)(s 2 +ω 2 ) = Aû s + a + (Bs+Cω)û s 2 + ω 2
y(t) = ab û a 2 +ω 2 e at + ŷ { }} { b a2 +ω 2 }{{} G(jω) ( ( ω )) û cos ωt arctan a }{{} arg{g(jω)} G(jω) : Amplitudengang (Verhältnis der Scheitelwerte) arg{g(jω)} : Phasengang (Phasenverschiebung)
Antwort des Systems 1 Ordnung auf das harmonische Eingangssignal u(t) =û cos(ωt): û u û bû a 2 +ω 2 bû a 2 +ω 2 2π ω arctan( ω a ) y 2π ω 4π ω 4π ω t t
Stationärer Antwortanteil: Scheitelwert des Eingangssignals: û Scheitelwert des Ausgangssignals: ŷ = b a2 +ω 2 û Verhältnis der Scheitelwerte: ŷ û = G(jω) = b jω+a = b a2 +ω 2 Phasenverschiebung: ( ω ) y u = arg{g(jω)} = arctan a < (nacheilendes Ausgangssignal)
Bode-Diagramm: Amplitudengang: log - db G(jω) db =2 log 1 G(jω) Phasengang: log - lin
Tiefpass 1 Ordnung: G(s) = 1 s+a 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 rad s ω G(jω) db 4 2 2 4 a b a db 3dB 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 rad s ω arg{g(jω)} π 4 π 2 a