Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick: Zunächst ein kleiner Abstecher zu den Wurzeln: Die Gleichung x 2 = 6 lässt sich durch Wurzelziehen lösen. Hier sieht mn sehr leicht, dss eine Lösung 4 ist. Sehr oft ist ber die Lösung nicht gnzzhlig und lässt sich uch nicht durch einen Bruch usdrücken. Deshlb ht mn ein spezielles Zeichen entwickelt, ds Wurzelzeichen, und schreibt dnn: x = 6. Bei Aufgben mit einem größeren Exponenten schreibt mn ebenflls die Lösung mit diesem Wurzelzeichen, setzt ber den Exponenten links oben uf die Wurzel druf. Beispiel: x = 024 x = 024 = 2 0 0 Allgemein gilt: x = b x = b. Eigentlich ht mn mit dem Hinschreiben der Wurzel noch nicht die Lösung erhlten sondern nur die Aufgbe: Suche die (positive) Zhl, die -ml mit sich selbst multipliziert die Zhl b ergibt. Jetzt ber zu den Logrithmen: Auch die Lösung einer Gleichung wie 2 x = 6, in der x im Exponenten steht, lässt sich meist nicht exkt durch eine gnze Zhl oder einen Bruch ngeben. Eigentlich fände ich es gut, wenn mn uch hier so eine Art Wurzelzeichen benutzen würde, um zu sgen: Deine Aufgbe besteht jetzt drin, eine Zhl zu finden, mit der du 2 potenzieren musst, dmit 6 heruskommt. Vielleicht könnte mn ds Wurzelzeichen einfch uf den Kopf stellen, d j die Orte von 2 und x usgewechselt wurden. Ds sähe dnn etw so us: x= 2 6 Stttdessen ht mn folgende Schreibweise gewählt: x = log 2 6 = 4 oder uch x= 2log6 = 4 und spricht: x ist gleich dem Logrithmus von 6 zur Bsis 2. x Allgemein folgt (gnz ähnlich wie beim Wurzelziehen) us = b x = log b die Aufgbe: Suche eine Zhl x so, dss du b erhältst, wenn du x-ml mit sich selbst multiplizierst. Mit dem Tschenrechner knn mn jeden beliebigen Logrithmus berechnen, wenn mn folgende Formel verwendet: log b logb = log. Dbei steht log für einen Logrithmus mit beliebiger Bsis. Früher benutze mn viel die Logrithmen zur Bsis 0 (uf dem Tschenrechner LOG oder LG). In wissenschftlichen Anwendungen wird meist der Logrithmus zur Bsis e=2,828828... (uch wenn es so ussieht, die Zhl ist nicht periodisch!) verwendet. (LN oder ln x uf dem Tschenrechner). Während heute der Logrithmus oft ein Schttendsein fristet, mussten bis in die 960-er Jhre die Schüler wochenlng ein Trining zum Rechnen mit Logrithmen über sich ergehen lssen. Es gb j noch keinen Computer, keinen Tschenrechner und uch noch keinen Rechenstb (drüber n nderer Stelle mehr). Einfche Rechnungen wie Additionen und Subtrktionen mussten im Kopf erledigt werden. Für schwierigere Aufgben wie z.b. 65, 36 98, 25, 35, 4 24 oder 32, 98 oder 23, 682 oder 532, 945 nhm mn umfngreiche (Logrithmen-)Tfeln zu Hilfe, die je nch gewünschter Rechengenuigkeit mehr oder minder dicke Bücher füllten. Eine Sprversion ist uf den folgenden zwei Seiten bgedruckt. Erläuterungen dzu und Rechenbeispiele sind uf den nschließenden Seiten zu finden. Seite /
Logrithmus zur Bsis 0 Zhl 0 2 3 4 5 6 8 9 00 00000 00043 0008 0030 003 002 00260 00303 00346 00389 0 00432 0045 0058 0056 00604 0064 00689 0032 005 008 02 00860 00903 00945 00988 0030 002 05 05 099 0242 03 0284 0326 0368 040 0452 0494 0536 058 0620 0662 04 003 045 08 0828 080 092 0953 0995 02036 0208 05 029 0260 02202 02243 02284 02325 02366 0240 02449 02490 06 0253 0252 0262 02653 02694 0235 026 0286 0285 02898 0 02938 0299 0309 03060 0300 034 038 03222 03262 03302 08 03342 03383 03423 03463 03503 03543 03583 03623 03663 0303 09 0343 0382 03822 03862 03902 0394 0398 0402 04060 0400 0 0000 0043 0086 028 00 022 0253 0294 0334 034 044 0453 0492 053 0569 060 0645 0682 09 055 2 092 0828 0864 0899 0934 0969 004 038 02 06 3 39 3 206 239 2 303 335 36 399 430 4 46 492 523 553 584 64 644 63 03 32 5 6 90 88 84 85 903 93 959 98 204 6 204 2068 2095 222 248 25 220 222 2253 229 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 8 2553 25 260 2625 2648 262 2695 28 242 265 9 288 280 2833 2856 288 2900 2923 2945 296 2989 20 300 3032 3054 305 3096 38 339 360 38 320 2 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 354 3560 359 3598 23 36 3636 3655 364 3692 3 329 34 366 384 24 3802 3820 3838 3856 384 3892 3909 392 3945 3962 25 399 399 404 403 4048 4065 4082 4099 46 433 26 450 466 483 4200 426 4232 4249 4265 428 4298 2 434 4330 4346 4362 438 4393 4409 4425 4440 4456 28 442 448 4502 458 4533 4548 4564 459 4594 4609 29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 43 428 442 45 30 4 486 4800 484 4829 4843 485 48 4886 4900 3 494 4928 4942 4955 4969 4983 499 50 5024 5038 32 505 5065 509 5092 505 59 532 545 559 52 33 585 598 52 5224 523 5250 5263 526 5289 5302 34 535 5328 5340 5353 5366 538 539 5403 546 5428 35 544 5453 5465 548 5490 5502 554 552 5539 555 36 5563 555 558 5599 56 5623 5635 564 5658 560 3 5682 5694 505 5 529 540 552 563 55 586 38 598 5809 582 5832 5843 5855 5866 58 5888 5899 39 59 5922 5933 5944 5955 5966 59 5988 5999 600 40 602 603 6042 6053 6064 605 6085 6096 60 6 4 628 638 649 660 60 680 69 620 622 6222 42 6232 6243 6253 6263 624 6284 6294 6304 634 6325 43 6335 6345 6355 6365 635 6385 6395 6405 645 6425 44 6435 6444 6454 6464 644 6484 6493 6503 653 6522 45 6532 6542 655 656 65 6580 6590 6599 6609 668 46 6628 663 6646 6656 6665 665 6684 6693 602 62 4 62 630 639 649 658 66 66 685 694 6803 48 682 682 6830 6839 6848 685 6866 685 6884 6893 49 6902 69 6920 6928 693 6946 6955 6964 692 698 Seite 2/
Logrithmus zur Bsis 0 Zhl 0 2 3 4 5 6 8 9 50 6990 6998 00 06 024 033 042 050 059 06 5 06 084 093 0 0 8 26 35 43 52 52 60 68 85 93 202 20 28 226 235 53 243 25 259 26 25 284 292 300 308 36 54 324 332 340 348 356 364 32 380 388 396 55 404 42 49 42 435 443 45 459 466 44 56 482 490 49 505 53 520 528 536 543 55 5 559 566 54 582 589 59 604 62 69 62 58 634 642 649 65 664 62 69 686 694 0 59 09 6 23 3 38 45 52 60 6 4 60 82 89 96 803 80 88 825 832 839 846 6 853 860 868 85 882 889 896 903 90 9 62 924 93 938 945 952 959 966 93 980 98 63 993 8000 800 804 802 8028 8035 804 8048 8055 64 8062 8069 805 8082 8089 8096 802 809 86 822 65 829 836 842 849 856 862 869 86 882 889 66 895 8202 8209 825 8222 8228 8235 824 8248 8254 6 826 826 824 8280 828 8293 8299 8306 832 839 68 8325 833 8338 8344 835 835 8363 830 836 8382 69 8388 8395 840 840 844 8420 8426 8432 8439 8445 0 845 845 8463 840 846 8482 8488 8494 8500 8506 853 859 8525 853 853 8543 8549 8555 856 856 2 853 859 8585 859 859 8603 8609 865 862 862 3 8633 8639 8645 865 865 8663 8669 865 868 8686 4 8692 8698 804 80 86 822 82 833 839 845 5 85 856 862 868 84 89 885 89 89 8802 6 8808 884 8820 8825 883 883 8842 8848 8854 8859 8865 88 886 8882 888 8893 8899 8904 890 895 8 892 892 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 89 9 896 8982 898 8993 8998 9004 9009 905 9020 9025 80 903 9036 9042 904 9053 9058 9063 9069 904 909 8 9085 9090 9096 90 906 92 9 922 928 933 82 938 943 949 954 959 965 90 95 980 986 83 99 996 920 9206 922 92 9222 922 9232 9238 84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 924 929 9284 9289 85 9294 9299 9304 9309 935 9320 9325 9330 9335 9340 86 9345 9350 9355 9360 9365 930 935 9380 9385 9390 8 9395 9400 9405 940 945 9420 9425 9430 9435 9440 88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 944 949 9484 9489 89 9494 9499 9504 9509 953 958 9523 9528 9533 9538 90 9542 954 9552 955 9562 9566 95 956 958 9586 9 9590 9595 9600 9605 9609 964 969 9624 9628 9633 92 9638 9643 964 9652 965 966 9666 96 965 9680 93 9685 9689 9694 9699 903 908 93 9 922 92 94 93 936 94 945 950 954 959 963 968 93 95 9 982 986 99 995 9800 9805 9809 984 988 96 9823 982 9832 9836 984 9845 9850 9854 9859 9863 9 9868 982 98 988 9886 9890 9894 9899 9903 9908 98 992 99 992 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 99 9956 996 9965 9969 994 998 9983 998 999 9996 Seite 3/
Aufbu der Tbelle: Die Logrithmen zur Bsis 0 (kurz: lg) der Zhlen von,00 bis 9,99 sind im Huptteil der Tbelle ufgelistet. D lle Ergebnisse mit 0,... beginnen, ht mn die 0 und ds Komm weggelssen. Ebenso wird ds Komm der Zhlen unterschlgen. Logrithmieren und Delogrithmieren: Um die Logrithmen sämtlicher Zhlen ermitteln zu können, mcht mn sich zu Nutze, dss gilt: lg 0, 0 = 2 ; lg 0, = ; lg = 0 ; lg 0 = ; lg00 = 2 usw., llgemein: lg0 n = n Zur Berechnung von lg43, überlegt mn sich (mit dem Rechengesetz log( b)=log + log b) : lg43,=lg(0 4,3)=lg0+lg4,3=+lg4,3 Also: Ds Ergebnis fängt mit,... n. Die Nchkommstellen findet mn nun in der Tbelle, indem mn die ersten 2 Ziffern (Ziffer vor und erste Ziffer nch dem Komm, lso 43) in der Splte gnz links sucht. So findet mn die Zeile, in der ds Ergebnis steht. Die Splte erhält mn us der 2.Nchkommstelle der Zhl, hier lso die.splte. Dort stehen die Ziffern: 6405, ds bedeutet: lg4,3=0,6405 und lg43,=,6405. Kennt mn den Wert des Logrithmus und möchte die Zhl ermitteln, geht mn umgekehrt vor. Beispiel: lg x = 4,3945. Mn sucht in der Tbelle die Ziffernfolge 3945 und findet links die Zhl 24 und oben 8, lso 2,48. Die 0-er-Potenz ergibt sich us der 4, lso 0 4 = 0000. Die gesuchte Zhl ist lso 0000 2,48 = 24800. Interpolieren (der Schrecken gnzer Schülergenertionen): Ws mcht mn bei Aufgben wie x = lg 3,486 oder lg y =,4335, wenn ds Ergebnis nicht genu in der Tbelle zu finden ist? Dnn wird der Zhlbereich zwischen zwei gegebenen Werten in 0 gleich große Teile unterteilt und dmit die Genuigkeit der Tbelle in diesem Bereich entsprechend vergrößert. Die Beispielrechnungen zu den ngegebenen Aufgben sollen ds verdeutlichen.. Berechnung von x= lg 3,486 3,486 liegt zwischen 3,48 und 3,49. Dzu gehören die Tbellenwerte 546 und 5428. Der Abstnd dieser Werte voneinnder beträgt 2. Wegen der letzten Nchkommstelle der Zhl (der 6) muss mn 6/0 von diesen 2 nehmen und zum ersten Tbellenwert hinzuzählen: 6/0 von 2 sind,2. 546+,2=5423,2 oder gerundet 5423. Als Ergebnis schreibt mn dmit: lg 3,486 = 0,5423. 2. Berechnung von lg y =,4335 4335 kommt in der Tbelle nicht vor. Die Nchbrwerte sind 4330 und 4346. Diese Werte hben den Abstnd 6. D 4335 um 5/6 des Intervlls von 4330 entfernt ist, muss mn zum Wert für 4330 noch 5/6 von /0 im Ergebnis ddieren. Zum Tbellenwert 4330 gehören die Zhlen 2. Es gilt:5/6=0,325. Also ist die Ergebniszhl mit 2+0,325=2,325 oder genähert 2,3 zu berücksichtigen. Wegen,4335 liegt ds Ergebnis zwischen 0 und 00, lso gilt y=2,3. Seite 4/
Und wozu nun diese Plckerei? Ht mn erst einml die Benutzung der Tbelle eingeübt, knn mn nur mit deren Hilfe und ein bisschen Addition und Subtrktion die schwierigsten Aufgben lösen. Mn nutzt dzu die Rechengesetze für Logrithmen us: ) Multiplizieren mit der Logrithmentfel Es gilt: lg ( b) = lg + lg b Aufgbe: 65,36 98,24 Zuerst logrithmiert mn diesen Term, vereinfcht ihn und delogrithmiert dnn ds Ergebnis: lg (65,36 98,24) = lg 65,36 + lg 98,24 Tbelle benutzen:. lg 65,36 : Suche unter Zhl 6 in linker Splte und (gerundet) 5 in oberster Zeile. Mn findet 25. D 65,36 zwischen 00 und 000 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die 2 (wegen 0 hoch 2 = 00). Also gilt: lg 65,36 = 2,25 2. lg 98,24 : Suche unter Zhl 98 in linker Splte und (gerundet) 2 in oberster Zeile. Mn findet 992. D 98,24 zwischen 0 und 00 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die (wegen 0 hoch = 0). Also gilt: lg 98,24 =,992 {Nur für begeisterte Interpolierer: Unter Berücksichtigung der Nchkommstellen ergeben sich die Werte 2,284 und,9923} Weiter gilt lso: lg (65,36 98,24) = lg 65,36 + lg 98,24 = 2,25 +,992 = 4,2096 Delogrithmieren: 2096 findet mn nicht in der Tbelle, wohl ber die Werte 2095 und 222. Wegen des geringen Abstndes nehmen wir einfch den Wert für 2095. Es ist 62. Wegen 4,... liegt ds Ergebnis zwischen 0000 und 00000, lso ist 6200 ds Ergebnis. {Wird uch hier interpoliert, ergibt sich 62+/2=62+0,03, lso gerundet 62,0} Der Tschenrechner sgt 6244,9664. b) Dividieren mit der Logrithmentfel Es gilt: lg (/b) = lg - lg b Aufgbe: 25,35/32,98 Zuerst logrithmiert mn diesen Term, vereinfcht ihn und delogrithmiert dnn ds Ergebnis: lg (25,35/32,98) = lg 25,35 - lg 32,98 Tbelle benutzen:. lg 25,35 : Suche unter Zhl 2 in linker Splte und (gerundet) 5 in oberster Zeile. Mn findet 0969. D 25,35 zwischen 00 und 000 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die 2 (wegen 0 hoch 2 = 00). Also gilt: lg 25,35 = 2,0969 2. lg 32,98 : Mn rundet uf 33,0 und sucht unter Zhl 33 in linker Splte und 0 in oberster Zeile. Dort steht 585. D 32,98 zwischen 0 und 00 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die (wegen 0 hoch = 0). Also gilt: lg 32,98 =,585 Weiter gilt lso: lg (25,35/32,98) = lg 25,35 - lg 32,98 = 2,0969 -,585 = 0,584 Delogrithmieren: Seite 5/
584 findet mn nicht in der Tbelle, wohl ber die Werte 55 und 586. Wegen des geringen Abstndes nehmen wir einfch den Wert für 586. Es ist 39. Wegen 0,... liegt ds Ergebnis zwischen und 0, lso ist 3,9 ds Ergebnis. Der Tschenrechner sgt 3,99988. c) Potenzieren mit der Logrithmentfel Es gilt lg b = b lg. Aufgbe: 23 68 2,, 4 Zuerst logrithmiert mn diesen Term, vereinfcht ihn und delogrithmiert dnn ds Ergebnis: 2, lg 23, 68 4 = 2, 4 lg 23, 68 Tbelle benutzen: lg 23,68 : Suche unter Zhl 23 in linker Splte und (gerundet) in oberster Zeile. Mn findet 34. D 23,68 zwischen 0 und 00 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die (wegen 0 hoch = 0). Also gilt: lg 23,68 =,34 Nun muss mn rechnen: 2,4,34 (s.o. bei )): lg(2,4,34) = lg 2,4 + lg,34 = 0,3304 + 0,383 = 0,468 Delogrithmieren gibt 294, lso 2,4,34 = 2,94 (Tschenrechner: 2,94858) Delogrithmieren von 2,9400: 9400 findet mn in der Tbelle, dzu gehört die Zhl 8. Wegen 2,... liegt ds Ergebnis zwischen 00 und 000, lso ist 8 ds Ergebnis. Der Tschenrechner sgt 83,690525. d) Rdizieren (Wurzelziehen) mit der Logrithmentfel b b Es gilt lg = lg = lg. b Aufgbe: 532, 945 Zuerst logrithmiert mn diesen Term, vereinfcht ihn und delogrithmiert dnn ds Ergebnis: lg 532, 945 lg 532, 945 = lg 532, 945 = lg 532, 945 = Tbelle benutzen: lg 532,945 : Suche unter Zhl 53 in linker Splte und (gerundet) 3 in oberster Zeile. Mn findet 26. D 532,945 zwischen 00 und 000 liegt, ist die Zhl vor dem Komm die 2 (wegen 0 hoch 2 = 00). Also gilt: lg 532,945 = 2,26 Nun muss mn rechnen: 2,26/, ds geht hier wohl im Kopf, sonst s. b) : 2,26:=0,389528 Delogrithmieren gibt für die Ziffernfolge 3892 die Zhl 245. Wegen 0,... liegt ds Ergebnis zwischen und 0, lso ist 2,45 ds Ergebnis. Der Tschenrechner sgt 2,45203562. Für lle, die es nicht mehr erwrten können und selbst rechnen wollen, jetzt noch ein pr Aufgben (Quelle unbeknnt). Aber wirklich nur mit der Logrithmentfel lösen! ;-) Übrigens: Es hndelt sich um eine Strfrbeit us den 960-er Jhren... Seite 6/
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