Lösungsvorschläge zu ausgewählen Übungsaufgaben aus Sorch/Wiebe: Lehrbuch der Mahemaik Band, 3.Aufl. Version, Kapiel 6 6 Sammfunkionen und Inegrale Abschni 6.A, Variane zu Aufg. 5, p. 44.4. : Man gebe Sammfunkionen der folgenden raionalen Funkionen an, deren Parialbruchzerlegungen bereis in den Lösungen zu Abschni.B. besimm wurden. 6 4 + +, 6 + 4 +, 5 + 4 4 + 6 3 + 4 + 6+ 7 + + Lösung: Uner Verwendung der bereis berechneen Parialbruchzerlegungen erhäl man: 6 4 + + d + + d + d + d + 6 + 4 + d 5 + 4 4 + 6 3 + 4 + 6+ 7 + + Abschni 6.A, Variane zu Aufg. 5, p. 44.4. : 3 3 + + + ln 4 ln +, d + d d + d 3 3 + ln + ln + + arcan, d d + + d + + d +. + d + + d + ln + + + ln + + arcan. + Man gebe eine Sammfunkion an zu +. Lösung: Wir verwenden Parialbruchzerlegung und machen dazu den Ansaz: + + a + + b + + c a+ + b + c+ + a+c + a+b+ c + a b+c + Der Vergleich der Koeffizienen von, und in den Zählern dieser Brüche liefer die Bedingungsgleichungen a+ c, a+ b+ c, a b+ c für a, b, und c, aus denen wir a 3, b, c errechnen. Es gil also: 3 + + d 3 + d + d + 3 d 3 ln + + + + 3 ln + + 3 ln +..
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Abschni 6.B, Teil von Aufg., p. 454.4. : Man berechne Sammfunkionen zu den folgenden Funkionen jeweils dor, wo sie auf R definier sind : sin, sin, cos, cos, Lösung: Parielle Inegraion liefer ln, arcan, arcsin, e sin, sin + cos, Mi der Subsiuion u, du d erhäl man +, sin d cos + lnln a, a, b R, a b. b, + ln, cos d cos + sin. sin d sin u du cos u cos. ln ln ln Parielle Inegraion liefer d ln d ln ln d, also d ln, ln d ln. Man häe hier auch die Subsiuion u ln, du d verwenden können: ln d u du u ln. Indem man zunächs parielle Inegraion verwende und dann u +, d.h. du d, subsiuier, sieh man: arcan d arcan d arcan + d arcan du u arcan ln u arcan ln +. Indem man zunächs parielle Inegraion verwende und dann u, d.h. du d, subsiuier, sieh man wegen arcsin / : du arcsin d arcsin d arcsin d arcsin + u arcsin + u arcsin +. Zweimalige parielle Inegraion bei der e jeweils inegrier und sin bzw. cos differenzier wird liefer e sin d e sin e cos d e sin e cos e sin d. Indem man das Inegral e sin d auf die linke Seie bring, folger man daraus e sin d e sin e cos e sin cos. Mi der Subsiuion u ln, du / d, e u und dann parieller Inegraion erhäl man: lnln d ln u du u ln u u ln lnln ln.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 3 Mi der Subsiuion u + ln, du / d erhäl man d + ln du ln u ln + ln. u Indem wir die Subsiuion u : sin, also du cos d, verwenden, erhalen wir aus Inegral über eine raionale Funkion: cos cos d cos d cos sin d ln +u ln u ln +u u du u du du +u + u + sin ln sin + sin ln cos ln cos + sin cos d ein Mi den Halbwinkelformeln sin sin cos und sin + cos sowie an π und dem 4 Addiionsheorem des Tangens aus.e, Aufg. 9 ergib sich daraus cos d + sin ln sin ln sin + cos + sin cos sin + cos sin cos sin ln + cos cos sin ln sin + cos cos sin ln an + an ln an + an π 4 an an π ln an + π. 4 4 Indem man zunächs u, d.h. u, u du d subsiuier und dann pariell inegrier, sieh man cos d u cos u du u sin u sin u du u sin u+cos u sin + cos.. Indem wir die Subsiuion u : an, also arcan u, d du/+u, mi u +u an + an cos sin cos sin + cos, cos u +u an + an cos sin sin sin + sin cos verwenden, erhalen wir aus d ein Inegral über eine raionale Funkion: sin + cos sin + cos d du du u +u + u +u +u u u + du u du ln u ln u + u + ln u u + ln an + an Mi dem Addiionsheorem von Tangens aus.e, Aufg. 9 ergib sich an π 4 an π an π 8 8 an π, 8 also an π 8 + an π 8, d.h. an π 8 / + wegen an π >, und ferner 8 sin + cos d ln an + an ln an π + 8 an + an π 8 an an π 8 ln an π 8 + ln an + an π 8 an an π ln an π 8 8 + ln an + π. 8
4 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Alernaiv kann man das berachee Inegral auch mi Hilfe von sin π 4 cos π 4 / auf das oben berechnee Inegral über / cos zurückführen: d sin + cos d sin sin π 4 + cos cos π 4 ln an π/4 + π 4 cos π 4 d ln an + π 8 Die beiden berechneen Sammfunkionen unerscheiden sich nur um die addiive Konsane ln an π 8.. Wir verwenden zunächs die Subsiuion u +, u + + 4 u, also + 4 +, u + u + 4, d.h. d u u du, dann parielle Inegraion u + 4 und schließlich die Subsiuion u sinh, du cosh d : + d u u u du u + 3 u3 u u + 4 + u + 4 du 4 3 u3 u u + 4 + u u + 4 + Arsinh u 8 + 3 + + + 3 8 Arsinh + 3 + + + 6 4 8 Arsinh +. a Indem man die ganze Wurzel subsiuier, also u b, u b a, d.h. u b a u, sez mi d a bu du und dann Parialbruchzerlegung mach, sieh man u a a bu b d du a b du u u + du du u u+ + du u+ a b ln u u+ u a b ln u u u+ u+ u a b a b a b ln a b a b + a b a b a b ln + a b Sign b a + b a b a b ln a b + a b Sign b a b a b ln + a b Sign b. a b Dabei wurde benuz, dassa undb> gelen muss oder abera undb<, dami dieausgangsfunkion definier is. In jedem Fall gil dann a b a b. Schließlich is auch die Funkion a b ln a b + a b Sign b, die sich von dem berechneen Inegral nur a um eine addiive Konsane unerscheide, eine Sammfunkion zu b.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 5 Abschni 6.B, Variane zu Aufg., p. 454.4. : Man berechne Sammfunkionen zu den folgenden Funkionen jeweils dor, wo sie auf R definier sind : sinh, sinh, ln, cos 3, cos 4, e cos e, sin 3, cos 3, sin cos 3, cosh, cosh sin sinh, cosh sin, sin ln, ln, +,, +, Lösung: Mi parieller Inegraion erhäl man, +, sin + cos, + 3 cos. sinh d cosh +, sin cos, ln, +, ln 4 cosh d cosh sinh., Die Subsiuion u, du d liefer sinh d sinh u du cosh u cosh. Parielle Inegraion liefer ln d ln d ln d ln 4 ln. Uner Verwendung von cos sin sieh man mi der Subsiuion u sin, du cos d : cos 3 d cos sin d u du u 3 u3 sin 3 sin3. Parielle Inegraion liefer unerverwendung von cos sin und cos d + sin cos : cos 4 d sin cos 3 3 sin cos sin d sin cos 3 + 3 cos d 3 cos 4 d, also 4 cos 4 d sin cos 3 + 3 + 3 sin cos, cos 4 d 4 sin cos3 + 3 8 + 3 sin cos. 8 Mi der Subsiuion u e, du e d sieh man e cos e d cos u du sin u sin e. Durch parielle Inegraion führ man berechnee Inegral über / cos zurück: cos 3 d cos cos d cos 3 sin cos + d cos 3 mi Hilfe von an cos d an cos an sin cos d cos sin +sin cos + ln cos ; auf das bereis weier ober d sin cos cos d, cos 3 d cos 3 sin cos + ln +sin cos. also Die Subsiuion u cos, du sin liefer Die vorsehende Subsiuion liefer ferner sin du cos 3 d u 3 u cos. sin d cos du u u cos.
6 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Indem man zunächs u 3, d.h. u 3, 3u du d, subsiuier und dann zweimal pariell inegrier, sieh man sin 3 d 3u sin u du 3u cos u + 6 u cos u du 3u cos u + 6u sin u + 6 cos u 3 3 cos 3 + 6 3 sin 3. Indem man zunächs u, d.h. u, u du d, subsiuier und dann zweimal pariell inegrier, sieh man cosh u cosh u du u sinh u 4 u sinh u du u sinh u 4u cosh u + 4 cosh u du u sinh u 4u cosh u + 4 sinh u sinh 4 cosh + 4 sinh. Mi der Subsiuion u sinh, du cosh d sieh man: cosh sin sinh d sin u du cos u cos sinh. Zweimalige parielle Inegraion liefer cosh sin d sinh sin sinh cos d sinh sin cosh cos also cosh sin d sinh sin cosh cos. cosh sin d, Indem man u ln, d.h. e u, e u du d, subsiuier, führ man das folgende Inegral auf das weier oben berechnee Inegral über e u sin u zurück: sin ln d e u sin u du eu sin u cos u sin ln cos ln. Parielle Inegraion liefer ln d d ln + ln. Parielle Inegraion liefer ebenfalls ln d d ln ln 4 ln. Uner Verwendung der Subsiuion u ln, du / d erhäl man ln 4 u 4 du 5 u5 5 ln 5. Übrigens könne man hier auch parielle Inegraion verwenden, wobei / inegrier und ln 4 differenzier wird. Das Ergebnis folg dann aus der Gleichung ln 4 d ln 5 4 ln ln 3 d, d. h. 5 ln 4 d ln 5. Mi der Subsiuion u ln, du / d, e u und dann parieller Inegraion erhäl man: ln u d e du ue u du ue u + e u du e u +u e ln +ln u ln. Übrigens könne man hier auch direk parielle Inegraion verwenden, wobei / inegrier und ln differenzier wird: ln d ln + ln. Mi der Subsiuion sinh,
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 7 d cosh, Arsinh bekomm man wegen cosh sinh und cosh, also cosh +sinh +, und mi Hilfe der nachfolgenden Subsiuion u cosh, du sinh : + d cosh sinh + sinh ln cosh cosh + ln + + +. sinh du sinh cosh du u ln u u+ Mi der Subsiuion sin, d cos, arcsin bekomm man wegen sin cos sin d cos du sin cos cos sin arcsin, wobei wir sin mi Hilfe parieller Inegraion aus sin sin cos + cos sin cos + sin sin cos sin berechnen. Die Subsiuion sinh, d cosh ergib wegen cosh sinh nach parieller Inegraion: + d cosh cosh sinh sinh cosh sinh + cosh, d.h. + cosh cosh sinh, und somi d cosh + Arsinh. Die Subsiuion cosh, d sinh ergib wegen cosh sinh nach parieller Inegraion: d sinh sinh cosh cosh sinh cosh + sinh, d.h. sinh sinh cosh, und somi d sinh Arcosh. Die Subsiuion sinh, d cosh ergib wegen cosh sinh nach parieller Inegraion: + cosh d sinh cosh sinh + + d Arsinh. Die Subsiuion u +, d.h. u +, + u + und u +, schließlich u 4u, d du, liefer mi nachfolgender parieller Inegraion: +u + d +u u u +u du u + + arcan +u +u + arcan u du +u arcan u +. Die Subsiuion u +, u +, u, u 4 u +, d 4u 3 4u du liefer + d u 4u 3 4u du 4u 4 4u du 4 5 u5 4 3 u3 4 5 u3 u 3 4 + + 4 + +. 5 3 5 3 3
8 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Wir verwenden zur Berechnung einer Sammfunkion zu /sin + cos die Subsiuion u an, also arcan u, d du/+u, mi u +u an + an u +u an + an cos sin sin + cos cos sin sin + cos und erhalen ein Inegral über eine raionale Funkion: d sin + cos du u +u + u +u +u ln u 5 + 5 ln u 5 ln 5 cos cos, sin sin du u u 5 du u + 5 5 du u 5 u + 5 u 5 ln an + 5 5 an. 5 Wir verwenden wieder die Subsiuion u an, also arcan u, d du/+u, und erhalen ein Inegral über eine raionale Funkion: + 3 cos d du du u + 3 +u +u u u+ u+ du u du ln u+ ln u ln u+ u ln an + an. Abschni 6.B, Variane zu Aufg., p. 454.4. : Man berechne für m, n N die folgenden besimmen Inegrale: e ln d, e e ln ln d, + n d, n d, π sin m cos n, π sin m sin n, π cos m cos n. Lösung: Die Subsiuion u ln, du d/, mi u ln und ue ln e liefer: e ln d ue u u du 3 u3 3. Die Subsiuion u ln, du d/ mi ue ln e und ue ln e liefer: e e ln ln d ue ue ln u du u ln u u ln.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 9 Die Subsiuion u +, du d, u liefer wegen u und u : + n u n u du u n u n+ du un+ n+ un+ u n+ u n+ n+ n+ n+ n+ + n+ n+ n 3 n+n+. Mi parieller Inegraion liefe die Rechnung übrigens folgendermaßen: + n +n+ n+ + + n+ n+ n+ + +n+ n+n+ n+ + n+ n+n+ n+n+ n+ n 3 n+n+. Mi Hilfe der Subsiuion u u, du d erhalen wir wegen u, u : n d u u n du u n u n+ +u n+ du un+ n+ un+ n+ + un+3 n+ 3 n+ n+ + n+ 3 n+n+ n+ 3. Mi zweimaliger parieller Inegraion liefe die Rechnung übrigens folgendermaßen: n n+ + n+ + n+ n+ n+ n+n+ n+ n+n+ n+3 n+n+n+3 + n+n+n+3. Mi sin m cos n sin m cos n + cos m sin n + sin m cos n cos m sin n sin m+n + sin m n bekomm man bei m n : π sin m cos n π sin m+n + π sin m n m+n cos m+n π m n cos m n π. Bei m n is sin m n und bei m n auch sin m+n. Das Ergebnis is dann in beiden Fällen auch gleich. Das Addiionsheorem sin m sin n cos m cos n +sin m sin n cos m cos n sin m sin n cos m n cos m+n liefer bei m n : π sin m sin n π cos m n π cos m+n m n sin m n π m+n sin m+n π.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Bei m n is cos m n und oben is das erse Inegral gleich π, während das zweie Inegral nach wie vor verschwinde; das Ergebnis is dann gleich π. Bei m n is auch cos m+n und beide Inegrale haben den Wer π; das Ergebnis is dann π. Das Addiionsheorem cos m cos n cos m+n + cos m n liefer bei m n π cos m cos n π cos m+n + π cos m n m+n sin m+n π + m n sin m n π +. Bei m n is cos m n und oben is der zweie Summand gleich π, während der erse Summand nach wie vor verschwinde; das Ergebnis is dann gleich π. Bei m n is auch cos m+ n und beide Summanden haben den Wer π; das Ergebnis is dann π. Auch die drei lezen Inegrale ließen sich durch zweimalige parielle Inegraion berechnen. Abschni 6.B, Aufg. 3, p. 457.4. : π/ π/ b Die Funkion f : [, ] K sei seig. Dann gil f sin f cos π π/ π/ f sin. Beweis: Die Subsiuion u π, du, π u liefer wegen sin π u cos u: π/ f sin f π/ sin π u du f π/ sin π u du f cos u du. Die Subsiuion u π, du, π u liefer wegen sin π u sin u: π/ π/ f sin f sin π u du π π/ π/ π π f sin π u du f sin u du Abschni 6.B, Aufg. 3, p. 457.4. : Für n N sei D n : an n, < π/. a Es is D :, D : ln cos und nd n+ an n nd n, n. b Für d n : D n π/4 is lim d n. n c Für m N is d m m m π 4 k, d m+ m ln k + k d Aus b und c folgere man noch einmal Beweis: a Offenbar is D D k k k + π 4 und k m k k ln. k k. k. Wegen ln cos an und ln cos ln is an ln cos für <π/. Ferner gil wegen an +an : nd n+ + nd n n an n+ + an n n an n an + an n ann.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 b Da der Tangens im Inervall ], π/4] posiiv is, sind alle d n. Wegen anπ/4 is π D n+ dn+ 4 n D π n 4 n d n n. Es folg lim d n. n Bemerkung: Dies ergib sich auch aus dem folgenden allgemeinen Resula: Is f : [a, b] C seig mi b f < bis auf endlich viele Sellen in [a, b], so is lim n a f n. Zum Beweis können wir wegen b a f n b a f n annehmen, dass die Were von f in R + liegen. Ferner genüg es dann den Fall zu berachen, dass f nur an einer Selle c [a, b] den Wer ha. Sei dann ε > vorgegeben. Wir wählen ein Inervall posiiver Länge ε um c in [a, b]. Die Were von f auf dem Komplemen dieses Inervalls sind dann alle kleiner als C mi fesem C < und es gib ein n N mi f n ε/b a auf diesem Koplemen. Für n n gil dann b a f n ε + ε/b a b a ε. Für eine Verallgemeinerung siehe Band 3, 4.D, Aufg. 5. cwir verwenden Indukion überm N. Für m sind die angegebenen Formeln richig wegend : π 4 und d : ln. Der Schluss von m auf m+ ergib sich mi der Formel aus a und der Indukionsvoraussezung aus d m+ m+ d m m m+ m π 4 k m+ π k+ 4 m k und k+ k k d m+3 m+ d m+ m+ m ln m k m+ ln m+ k. k k d Wegen lim n d n folg aus der ersen Formel sofor der zweien Formel k k k lim m m k k k k k k k m k + lim k m k + π 4 k sowie aus ln ln. Abschni 6.B, Aufg. 6, p. 457.4. : Man gebe die Poenzreihenenwicklungen um an für die Funkionen ln + /, ln / und arcan / und gewinne dami ln + arcan n n π, n n ln n n n+ 6 m 6m : G. m n π 6, Der Wer G,95965594... des drien Inegrals heiß die C a a l a n s c h e K o n s a n e. Lösung: Die Logarihmusreihen ln + n n n und ln n jeweils für n < liefern n ln+ n n n n n n π und n n π 6 ln+ n n n n n und ln n n n, vgl. Beispiel 4.E.3, bekomm man n n. Mi den Summenformeln n n n n n n π, n
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 ln n n n n n Mi der Reihe des Arcusangens erhäl man arcan n n n n π 6. n n für < und folglich n+ arcan n n n n n+ n n n+ n n+ n+ n n+ m n 4m 4m+ m 6m 6m. Abschni 6.B, Variane zu Aufg. 6, p. 457.4. : Man berechne Aranh. Lösung: Mi Hilfe der Poenzreihenenwicklung von Aranh aus 4.B, Aufg. 6c bekomm man Aranh n n n+ n n+ n Abschni 6.B, Zusazaufgabe zu Aufg. 6, p. 457.4. : n Man zeige für die Caalansche Konsane G aus Aufg. 6 die Formeln G π 8 m Man folgere die Summenformeln und G 4m+3 m Beweis: Wie in den beiden vorsehenden Aufgaben gezeig, gil G arcan n ln + n π 6 4 π 6 π 8. ln τ τ + dτ. 4m+3 π 6 G, 4m+ π 6 + G. n n n+ π 8 n+ n m m m 4m+ 4m+3 4m+ + 4m+3 Differenzbildung liefer G π 8, woraus auch die angegebenen Summenformeln 4m+3 m sofor folgen. Mi parieller Inegraion erhäl man ferner G wegen arcan ln π 4 arcan arcan lim arcan ln lim arcan ln ln + und da man mi der Regel von de l Hôpial sieh: lim ln / lim + lim. ln + / / lim.,
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 3 Die Subsiuion /τ, /τ dτ liefer die zweie Inegraldarsellung. 6.C, Aufg. 3, p. 46.4. : a Der Flächeninhal des links in der folgenden Zeichnung skizzieren Einheiskreissekors {z C z, Arg z } mi dem Öffnungswinkel is / für π. b Der Flächeninhal des rechs in der folgenden Zeichnung skizzieren Einheishyperbelsekors zum Parameer is / für. c Der Flächeninhal der Ellipse {, y R /a + y/b } mi Halbachsen der Länge a und b is πab für a, b >. Beweis: a Is F der Flächeninhal des Dreiecks, das durch die -Achse, die Gerade durch den Nullpunk und cos, sin sowie die Parallele zur y-achse durch den Punk cos, begrenz wird, und is F A der Inhal der Fläche, die von dieser Parallelen, dem Kreis und der -Achse begrenz wird, so sieh man mi der Subsiuion cos τ, d sin τ dτ, cos und der durch parielle Inegraion zu erhalenden Formel sin τ dτ τ sin τ cos τ, dass der gesuche Flächeninhal folgenden Wer ha: F + F A cos sin cos sin cos + d + τ sin τ cos τ τ cos sin τ. + sin τ dτ b Is F der Flächeninhal des Dreiecks, das durch die -Achse, die Gerade durch den Nullpunk und cosh, sinh sowie die Parallele zur y-achse durch den Punk cosh, begrenz wird, und is F A der Inhal der Fläche, die von dieser Parallelen, der Hyperbel und der -Achse begrenz wird, so sieh man mi der Subsiuion cosh τ, d sinh τ dτ, cosh und der durch parielle Inegraion zu erhalenden Formel sinh τ dτ sinh τ cosh τ τ, dass der gesuche Flächeninhal folgenden Wer ha: F F A cosh sinh cosh sinh cosh d cosh sinh sinh τ cosh τ τ τ τ. sinh τ dτ c Die Gleichung der Ellipse is y ± b a a. Mi der Subsiuion a sin τ, d a cos τ dτ, a a sin π/, a a sin π/, und der durch parielle Inegraion zu erhalenden Formel cos τ dτ τ + sin τ cos τ sieh man, dass der gesuche Flächeninhal folgenden Wer ha: b a a a a d b a π/ π/ ab a a sin τ a cos τ dτ ab τ + sin τ cos τ τπ/ τ π/ πab. π/ π/ cos τ dτ
4 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 7 Uneigenliche Inegrale Abschni 7.A, Teil von Aufg., p. 468.4. : Man zeige, dass die folgenden uneigenlichen Inegrale eisieren und die angegebenen Were haben: + π ; + π 3 3 3 ; π/ ; π an + π 4 π/ an ; + 4 ; + π ; ; e ; ln ; e e + 4 ; e a sin b b, falls a, b R, a > ; a + b Lösung: Wegen arcan /+ gil + arcan lim arcan lim arcan π π π, Da Nullselle von + 3 is, liefer Division mi Res die Produkdarsellung + 3 + +. Wie in.b, Aufg. 3 berechnen wir die Parialbruchzerlegung + 3 3 + + 3 + 3 und bekommen + + 3 3 + + 3 + + 3 3 ln + 6 ln + 6 6 ln + + + ln ln + 3 3 + + 6 + 3 4 / 3 / + 3 6 + + lim arcan τ arcan π τ 3 3 + π 6 wegen anπ/6 sinπ/6 / cosπ/6 / 3 / 3. + + ln + + arcan 3 3 π 3 3 Wie in.a, Aufg. berechnen wir die Fakorisierung + 4 + + + und dann wie in.b, Aufg. 3 die beiden Parialbruchzerlegungen + + 4 + + Dami bekommen wir: + + + und + 4 + + + +.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 5 4 + 4 + + 4 + + + + + 4 + + + 4 ln + + ln + + + + 4 ln + + 4 4 π ln ln + + π + π 4 π 4 + 4 + + 4 + + + + 4 + + arcan + arcan + + π, + 4 ln 4 + ln + + + + + 4 ln + + 4 π ln ln + + π + π 4 π 4 + + + + + + 4 + + arcan + arcan + π, + + + + + + + + Bemerkung: Die Formelsammlungen von Bronsein-Semendjajew und Råde-Wesergren Springers Mahemaische Formeln geben für /+ 4 die Sammfunkion 4 ln + + + + arcan mi der obiges Inegral absurderweise wäre. Diese ha für ± die richige Ableiung, aber in eine Sprungselle der Höhe π/. Sie enseh aus der hier benuzen Sammfunkion durch falsches Anwenden des Addiionsheorems des Arcusangens. Ensprechendes gil für die Sammfunkion zu /+ 4. Teubners Taschenbuch der Mahemaik gib die richigen Sammfunkionen an. Die Subsiuion u, du liefer du u du u. u Die Subsiuion u, du liefer du u du u u.
6 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Mi Hilfe der Subsiuion u an, arcan u, Inegrale auf bereis oben berechnee Inegrale zurückführen: π/ Es is u an +u du π 4 π, e e e. π/ u du lassen sich die beiden nächsen +u4 an Mi parieller Inegraion und der Regel von de l Hôpial sieh man: ln du +u 4 π π. ln ln ln lim ln lim ln / / lim + lim /. Mi der Subsiuion u e, du e, e sieh man e e + du u+ / u+ 4. Zweimalige parielle Inegraion liefer also + b a e a sin b a e a sin b b a e a cos b e a sin b b a e a cos b + b a b a Abschni 7.A, Variane zu Aufg., p. 468.4. : Man berechne die folgenden uneigenlichen Inegrale: + 3, cosh, π/ sin 3 cos, 3 + 8, e a cos b b a e a sin b, b a b a, + cosh, π 3 + 8, + 3 cos, + e,, e +, e a cos b e a sin b a + b. b e +, + arcan, e.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 7 Lösung: Wie oben erhalen wir die Produkdarsellung + 3 + + und berechnen wie in.b, Aufg. 3 die Parialbruchzerlegung + 3 3 + + 3 + 3. Dies liefer + + 3 3 + + 3 + + 3 3 ln + + 6 ln + 6 ln + + 6 ln ln + 3 + + + 6 + 3 4 + / 3 / 3 + 3 + + lim arcan τ arcan π τ 3 3 + π 6 wegen anπ/6 sinπ/6 / cosπ/6 / 3 / 3. + 6 ln + + arcan + 3 3 π 3 3 Mi Hilfe der Subsiuion u 4, du 4 3 und u, u, lim u sieh man 3 8 + 3 8 + 4 arcan u du 4 u + 4 arcan u π 4 π π 4 4 π 6. π 4 π 6, Die Subsiuion u, u, du liefer u u du u u du du u u du u 3 u 3 4 3. Mi Hilfe der Subsiuion u e +, e u, ln u, lim u erhäl man e + du u u u+ du u ln u+ u u und u, ln +. Indem wir die Subsiuion u : sinh, du cosh mi sinh, lim cosh verwenden, erhalen wir aus ein Inegral über eine raionale Funkion: cosh cosh cosh cosh cosh + sinh du +u arcan u π π.
8 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Wegen coh / sinh und cosh sinh gil + cosh cosh sinh cosh cosh cosh sinh sinh cosh sinh sinh + sinh cosh + lim cosh sinh e e e + e +. Zweimalige parielle Inegraion liefer + e e Die Subsiuion u arcan, du + e + arcan e + e + 3. + e liefer wegen arcanπ/4, lim + arcan u : u π/ π/ π/4 du u ln u π/ π/4 ln π ln π 4 ln π/ π/4 ln. Die Subsiuion u cos, du sin liefer wegen sin cos und sin π/, cos : π/ sin 3 cos u du u du u u 3/ du u 5 u5/ 5 8 5. Mi parieller Inegraion, bei der cos im ersen Inegral inegrier und im zweien Inegral differenzier wird, sieh man: + cos cos + 3 cos 3 sin + sin cos sin sin cos, π + 3 cos sin cos cos π π π π. Bemerkung: Die beiden nächsen Inergale sind Spezialfälle von 7.B, Aufg. 4. Zur Berechnung von e + erweiern wir zunächs mi e, verwenden dann die Summenformel für die geomerische Reihe und die Verauschung von Inegraion und Summaion die möglich is, da e für ln eine konvergene Majorane für die Parialsummen der Reihe liefer. Anschließend benuzen wir parielle Inegraion und die Seigkei der gleichmäßig konvergenen Reihe k k+ + e k+ im k+ k Punk und schließlich die Summenformel aus Beispiel 4.E.3 :
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 9 lim > lim > e + k k k e +e lim > e k+ lim > e +e lim > k e k+ k k k+ e k+ k k k+ e k+ + k+ e k+ k + k+ e k+ k k+ π. Zur Berechnung von e erweiern wir zunächs mi e, verwenden dann die Summenformel für die geomerische Reihe und die Verauschung von Inegraion und Summaion die möglich is, da e für ln eine konvergene Majorane für die Parialsummen der Reihe liefer. Anschließend benuzen wir parielle Inegraion und die Seigkei der gleichmäßig konvergenen Reihe k+ + e k+ k+ k im Punk und schließlich die Summenformel aus Beispiel 4.E.3 : lim > lim > e k k e e lim > e k+ lim > k+ e k+ + k e e lim > k+ e k+ k+ e k+ k k + e k+ k+ e k+ k+ π 6. Abschni 7.A, Teil von Aufg., p. 468.4. : Man enscheide, ob die folgenden Inegrale konvergieren: + 3 +, Lösung: Für alle gil 3 + + und folglich +. Da 3 + gil dies nach dem Majoranenkrierium auch für + 3 +. π/ an. nich konvergier, Die Subsiuion u cos, du sin, liefer π/ an π/ sin cos du u ln u. Abschni 7.A, Variane zu Aufg., p. 468.4. : Man enscheide, ob die folgenden Inegrale konvergieren: π/ cos und cosh.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 + cos Lösung: Es gil cos sin sin + cos sin co sin cos +, sin d.h. cosh cos + sin π/ + konvergier nich. Mi der Subsiuion u e, du e, mi e, e e, sieh man wegen cosh e +e, dass das zweie Inegral ebenfalls nich konvergier: cosh e e e e du u u Abschni 7.A, Aufg. 6, p. 469.4. : f : R + R sei seig und monoon. Eisier e du u u u e. f, so is lim f. du u u+ Beweis: Nach dem Cauchy-Krierium gib es zu ε> ein mi + f < ε. Wegen der Seigkei von f gib es dann nach dem Mielwersaz der Inegralrechnung ein c zwischen und + mi f c < ε. Da f monoon is, muss dann lim f sein. Abschni 7.A, Teil von Aufg. 9, p. 469.4. : Mi 7.A.3 ese man die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz: n3 n ln n lnln n ; n3 ln n ln n. Lösung: Da die Funkionen f / ln ln und / ln ln für 3 monoon fallend sind, können wir das Inegralkrierium 7.A.3 verwenden und haben die zugehörigen Inegrale auf Konvergenz zu esen. Die Subsiuion u ln, du /, e u e du, liefer u du. Für u e gil ln u, 3 ln ln ln 3 u u also e u e u ln u u u e und somi u u u e u e. Daher besiz das Inegral u du die konvergene Majorane ln 3 u u e u du e u du. ln 3 Die Subsiuion u ln, du /, e u du, gefolg von der Subsiuion ln u, d du/u, liefer ferner ln lnln du u ln u d ln. lnln 3 3 ln 3 lnln 3 Die erse Reihe is also konvergen, die zweie divergen. Abschni 7.A, Aufg., p. 469.4. : Für n N berechne man ln n. Lösung: Durch Indukion über n N zeigen wir zunächs lim ln n. Der Indukionsanfang n is rivial, und beim Schluss von n auf n+ verwenden wir die Regel von de l Hôpial: lim ln n+ lim ln n+ / lim n+ln n / / n+ lim ln n.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Durch Indukion über n N beweisen wir dami ln n n n!. Der Indukionsanfang n is bei 7.A, Aufg. bereis behandel worden. Der Schluss von n auf n+ folg durch parielle Inegraion: ln n+ ln n+ ln n+ n+ / ln n lim ln n+ n+ ln n n+ n n! n+ n+!. Abschni 7.A, Aufg., p. 469.4. : g sin und g cos eisieren für jede seige und monoone Funkion g : R + R mi lim g. Es is g sin π g sin g. Beweis: Da g monoon is und g für gegen geh, ha g in ganz R + dasselbe Vorzeichen und g is monoon fallend. Da das Vorzeichen von sin in den Inervallen [kπ, k+π] abwechselnd überall k+π posiiv bzw. überall negaiv is, sind somi auch die Inegrale I k : g sin abwechselnd bzw.. Nach dem verallgemeineren Mielwersaz der Inegralrechnung gil wegen der Monoonie von g k+π gkπ gkπ sin I k kπ k+π kπ g sin k+π kπ kπ gk+π sin gk+π, und die I k bilden eine monoon fallende Nullfolge. Das Leibniz-Krierium liefer nun die Konvergenz der alernierenden Reihe k I k gegen einen Grenzwer I mi I I g. Wir zeigen schließlich, dass auch das uneigenliche Inegral g sin gegen I konvergier. Sei dazu ε > vorgegeben. Dann gib es ein n mi k+π g sin I k I k I ε/ für alle k n. Wegen der Voraussezungen über g gib es ein S > mi g ε/π für alle S. Is nun Ma n π, S und is k : [/π], d.h. k n und k π < k + π, so folg mi der Dreiecksungleichung und dem Mielwersaz der Inegralrechnung g sin I g sin k +π k +π g sin I + k +π k +π g sin I g sin ε + k +π ε π k ε + πε π ε. Die Aussage über das ensprechende Kosinusinegral wird analog bewiesen oder durch die Subsiuion z + π auf ein Sinusinegral zurückgeführ.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Abschni 7.A, Aufg., p. 469.4. : Für alle z C ha Gz : Für z ai, a R, ergib sich e +z den Wer π. Beweis: Nach Beispiel 7.A. is G e cos a e a /4 π. e π. Wenn wir zeigen, dass G differenzierbar is mi G z für alle z C, so folg die erse Behaupung, da G nach Korollar 4.A.6 dann konsan is. Für z ai/, a R, ergib sich dann e ai/ e a /4+ai e e a /4 cos a i sin a, also π e ai/ d.h. e cos a e a /4 π. e e a /4 cos a i e e a /4 sin a e e a /4 cos a, Sei nun R R + beliebig. Es genüg, die Differenzierbarkeisaussage über G auf dem offenen Kreis E : {z C z < R} zu zeigen. Sezen wir z + iy,, y R, so gil für R, z E die Abschäzung Re+z Re++ iy + + y + + y z R, also e +z e Re+z e R e / und somi +z e +z e R +R e /. Auf E R folg z e +z +z e +z e R +R e /. Mi 7.A. gil e R +R e / 4e R 4e R e / e / + e R R e / + er R π e R R π + <. Daher is g : e R + R e / eine inegrierbare Majorane zu allen Funkionen z e +z, z E. Wir können folglich 7.A.9 anwenden und erhalen G z d dz e +z z e +z +z e +z e +z. Abschni 7.B, Aufg. a, p. 48.4. : Sei C mi Re >. Dann gil Ŵ ln. Beweis: Wir subsiuieren τ ln, e τ, e τ dτ und erhalen: ln τ e τ dτ τ e τ dτ Ŵ.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 3 Abschni 7.B, Aufg. a, p. 48.4. : Seien, z C, z, und µ R +. Dann gil e zµ Ŵ/µ µz /µ. Beweis: Mi der Subsiuion τ z µ, also τ /µ, τ /µ z µ z /µ e zµ τ /µ e τ τ /µ dτ z µ z /µ µ z /µ dτ, erhäl man τ /µ e τ dτ µ z Ŵ. /µ µ
4 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 8 Approimaion von Inegralen Abschni 8.B, Zusazaufgabe, p. 53.4. : Man beweise ln e + ln. Dies is das Keks-Problem Nr. 7 der Uni Würzburg, vgl. hp://www.mahemaik.uni-wuerzburg.de/ keks. Beweis: Wir verwenden zunächs der Reihe nach die Summenformel für die geomerische Reihe, die Verauschung von Inegraion und Summaion die möglich is, da das uneigenliche Inegral über e eine konvergene Majorane is, die Subsiuion u k, die Summenformel k ln, ferner k und erhalen: ln e + ln u e u du Ŵ γ e ln +e k k γ ln + k ln ln u/k k k ln k k k e k+ k e u du. vgl. 7.B.7 sowie k k k k k k ln u e u du e u du ln e k k k ln k k e u du Nach Beispiel 8.B.4 besiz die Riemannsche Zea-Funkion ζs : eine Enwicklung der Form ks k ζs s + γ + c m s m um, woraus sich durch gliedweises Differenzieren ergib: m ζ s s + c m s m m mi geeigneen Koeffizienen c m, c m. Außerdem benuzen wir vgl. 6.A, Aufg. a k k k s k Durch Differenzieren erhalen wir daraus k s k ζs s ζs s s ζs. k k k ln k k s ln s ζs + s ζ s. Uner Verwendung der Poenzreihenenwicklung s e ln s ln s + ln s + folg: k k ln k k lim s ln s ζs + s ζ s lim ln ln s + s ln s + s + γ + + ln s ln s + s + c + lim γ ln ln + s ln + m c m s m γ ln ln
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 5 mi weieren Koeffizienen c m. Sez man dies oben ein, so bekomm man ln e + γ ln + k k ln k k ln, d.h. ln e + ln. Für die numerischen Berechnungen in den folgenden Aufgaben wurde das Programm Maple benuz. Abschni 8.C, Zusazaufgabe, p. 55.4. : Das Inegral I : e ha den Wer,74684384754.... a Man berechne I durch Rechnen mi Poenzreihen bis auf einen Fehler < 3. b Man berechne I mi der Trapezregel bis auf einen Fehler < 3. c Man berechne I mi der Simpson-Regel bis auf einen Fehler < 5. d Man berechne I uner Verwendung des Romberg-Verfahrens mi mindesens 8 Sellen hiner dem Komma. Lösung: a Da man Poenzreihen im Inneren des Konvergenzkreises gliedweise inegrieren darf, ergib sich I k k k! k k k k k! k k 4 k+ k! k k k+ k! 565 756,7475, wobei der Fehler nach dem Leibniz-Krierium dem Berage nach höchsens gleich dem ersen nich berücksichigen Glied der Reihe is, also 5! 3 < 3 is. b Für f : e is f e, f 4 e, f 3 8 3 e. f 3 besiz in [, ] nur die Nullselle, d.h. das globale Maimum M von f in diesem Inervall wird am Rande angenommen. Somi is M das Maimum von f und f, also Ma,,475. Für die Anzahl n der nowendigen Inervalle bei der Trapezregel gil die Abschäzung M 3/ n < 3, d.h. n> /,9. Wir nehmen also n3, h /3, k : k/3, und erhalen I T 3 h f +f + +f +f 3,74646. c Wir schließen an die Lösung von b an. Weiere Ableiungen von f sind f 4 6 4 48 e, f 5 3 5 + 6 3 e. f 5 besiz im Inervall [, ] die Nullsellen und,9585746, d.h. das globale Maimum M 4 von f 4 in diesem Inervall is gleich dem Maimum von f 4, f 4 7,35759, f 4,9585746 7,4948 also gleich. Für die Anzahl n der nowendigen Doppelinervalle bei der Simpson-Regel gil die Abschäzung M 4 5/ 88n 4 < 5, d.h. n > 4 /88 4,5. Wir nehmen also n 5, h /, k : k/, und erhalen I S 5 h 3 f +4f +f + +f 8 +4f 9 +f,746849485. d Das Romberg-Verfahren mi n is durch T m,k 4 k T 4 k m+,k T m,k gegeben, wobei T m, : T m die Were nach dem Trapezverfahren mi m Teilinervallen sind: T, T, T, T 4, T, T,... T m,k T m+k, T m+k, T m+k, T m+,k T m,k.........
6 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 In unserem Fall ergib sich der Wer I,746843, da das Romberg-Schema folgende Form ha:,6839397,73375,747843,74984,74685538,7468337,7458656,74686,746847,74684,7465846,746846,746843,746843,746843,7467646,746844,746843,746843,746843,746843. Abschni 8.C, Zusazaufgabe, p. 55.4. : Mi Hilfe der Subsiuion u, du sieh man I : 8 4 + 4 u + du 4 arcan u 4 arcan 4 π 4 π. a Man berechne I durch Rechnen mi Poenzreihen bis auf einen Fehler < 3. b Man berechne I mi der Trapezregel bis auf einen Fehler < 3. c Man berechne I mi der Simpson-Regel bis auf einen Fehler < 5. d Man berechne I uner Verwendung des Romberg-Verfahrens mi mindesens 8 Sellen hiner dem Komma. Lösung: a Da man Poenzreihen im Inneren des Konvergenzkreises gliedweise inegrieren darf und da die inegriere Reihe in den Punken auf seinem Rand, in denen sie konvergier, nach dem Abelschen Grenzwersaz noch seig is, liefer die Summenformel für die geomerische Reihe I lim < n 8 4 n lim < n n 8 n 4n+ lim < 999 n 4 n+ n 4 n+ 3,49654, n wobei der Fehler nach dem Leibniz-Krierium dem Berage nach n 8 4n+ 4n+ n 4 + < 3 is. b Für f : 8 4 + is f 83 4 4 +, f 33 4 5, f 3 965 8 4 +5. f 3 4 + 3 4 + 4 besiz in [, ] nur die Nullsellen und,74538, d.h. das globale Maimum M von f in diesem Inervall wird am Rande angenommen oder in,74538. Somi is M das Maimum von f, f, f,74538, also Ma, 8, 5 5. Für die Anzahl n der nowendigen Inervalle bei der Trapezregel gil die Abschäzung M 3/ n < 3, d.h. n> 5/ 45,6. Wir nehmen also n46, h /46, k : k/46, und erhalen I T 46 h f +f + +f 45 +f 46 3.44. c Wir schließen an die Lösung von b an. Weiere Ableiungen von f sind f 4 95 35 8 + 4 5 4 + 5, f 5 96 6 336 +546 8 4 + 4 + 6. f 5 besiz im Inervall [, ] nur die Nullsellen,3577639,,774387735, d.h. das globale Maimum M 4 von f 4 in diesem Inervall is gleich dem Maimum von f 4, f 4, f 4,3577639, f 4,774387735, also Ma ; 44 ; 3 ; 536 536. Für die Anzahl n der nowendigen Doppelinervalle bei der Simpson-Regel gil dieabschäzungm 4 5/ 88n 4 < 5, d.h.n> 4 536 5 /88,68. Wir nehmen also n, h /4, k : k/4, und erhalen I S h 3 f +4f +f + +f +4f 3 +f 4 3,459386.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 7 d Das Romberg-Verfahren mi n is durch T m,k 4 k T 4 k m+,k T m,k gegeben, wobei T m, : T m die Were nach dem Trapezverfahren mi m Teilinervallen sind: T, T, T, T 4, T, T,... T m,k T m+k, T m+k, T m+k, T m+,k T m,k......... In unserem Fall ergib sich der Wer I 3,459653, da das Romberg-Schema folgende Form ha:,,883594 3,7647588 3,786968 3,444478 3,498977 3,594349 3,46995 3,4584 3,4578 3,37684876 3,4598785 3,459576 3,4593595 3,459388 3,465996 3,459336 3,459653 3,459654 3,45965 3,459649 3,434857 3,459677 3,459653 3,459653 3,459653 3,459653
8 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 9 Einfache Differenzialgleichungen Abschni 9.A, Teil von Aufg., p. 53.4. : Man löse die folgende Differenzialgleichung mi gerennen Variablen: y e y cos. Lösung: Wir suchen ein Lösung y, die der Anfangsbedingung y y für, y R genüg. Da die Funkion e y keine Nullsellen besiz, gib es keine saionären Lösungen. Trennung der Variablen liefer e y y cos, e y e y e y y y y y e y dy cos d sin e y e y + sin sin ;, d.h. y ln e y + sin sin. Abschni 9.A, Variane zu Aufg., p. 53.4. : Man löse die folgenden Differenzialgleichungen mi gerennen Variablen: y y ln y y y sin sin, ; y y sin ; y + +y ; y y ; + ; y y cos ; y y cos. Lösung: Wir suchen jeweils Lösungen y, die der Anfangsbedingung y y für, y R genügen. Die Angabe des jeweiligen genauen Defiionsbereichs überlassen wir dem Leser. Die reche Seie der Differenzialgleichung y y ln y is nur füranfangswere y > und definier. Für y bekomm man die saionäre Lösung y. Bei y is y nirgendwo gleich, da u andernfalls nach Saz 9.A. konsan gleich wäre. Dann haben also ln y und ln y nach dem Zwischenwersaz ses das gleiche Vorzeichen, und Trennung der Variablen liefer y /y ln y /, d.h. für mi > gil: ln y ln ln ln y ln y y y y y dy y ln y ln y ln y, y y /. d ln ln ln ln, Für y ha y y sin die saionäre Lösung y. Bei y liefer Trennung der y Variablen y y sin, dy y y sin d, y + y cos + cos, y cos cos + /y, also y y + cos cos y cos cos +. Für y ha y + +y die saionäre Lösung y. Bei y is y nirgendwo gleich, da u andernfalls nach Saz 9.A. konsan gleich wäre. Dann haben also + y und +y nach dem Zwischenwersaz ses das gleiche Vorzeichen, und Trennung der Variablen liefer: y +y +, y y dy +y +, ln +y ln +y ln +y +y + 3 + 3 3 3 3 3 + +, also y + +y ep 3 3 3 + +.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 9 Für y ± ha y y die saionären Lösungen y ±. Für y > is die reche Seie der Differenzialgleichung nich definier. Bei y < liefer Trennung der Variablen / y, d.h. arcsin y arcsin y y dy d, y sin arcsin y +. y y Für y ha y y die saionäre Lösung y. + Bei y is y nirgendwo gleich, da y andernfalls nach Saz 9.A. konsan gleich wäre. Dann haben also y und y nach dem Zwischenwersaz ses das gleiche Vorzeichen, und Trennung der Variablen liefer: y /y /+, folglich ln y y y ln y ln y dy y d + ln + ln + + ln +, y y + y +. + Für y ± ha y y cos die saionären Lösungen y ±. Für y > is die reche Seie der Differenzialgleichung nich definier. Bei y < liefer Trennung der Variablen y / y cos und folglich arcsin y arcsin y arcsin y y y y y dy y Die gesuche Lösung is also y sin arcsin y sin + sin. cos d sin sin. Für y ± ha y y cos die saionären Lösungen y ±. Bei y ± is y nirgendwo gleich ±, da y andernfalls nach Saz 9.A. konsan gleich ± wäre. Dann haben also y und y sowie +y und +y nach dem Zwischenwersaz ses das gleiche Vorzeichen, und Trennung der Variablen liefer y / y cos, folglich +y ln y y ln y + ln y + ln +y ln +y +y y y dy y + y y dy +y y +y y y +y e sin sin e sin e sin y dy y, cos d sin sin, +y c y e sin mi c : +y y e sin, y c e sin c e sin +.
3 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Abschni 9.A, Teil von Aufg. 3, p. 53.4. : Man löse die homogene Differenzialgleichung y y +y. Lösung: Wir suchen eine Lösung y, die der Anfangsbedingung y y für, y R, genüg. Sei zunächs. Wir ransformieren die Differenzialgleichung durch die Subsiuion u : y/, d.h. u y y y y y +y y y/ +y/ y u +u u u u, +u in eine Differenzialgleichung für u mi gerennen Variablen und Anfangsbedingung u u : y /. Da u u die Nullsellen ± besiz, ha diese bei u ±, d.h. y ±, die saionären Lösungen u ±, d.h. y ±. Bei u ± is u niemals eine dieser Nullsellen von u + u, da u andernfalls nach Saz 9.A. konsan gleich einer davon wäre. Dann haben also u + u und u + u nach dem Zwischenwersaz ses das gleiche Vorzeichen, und Trennung der Variablen liefer für mi > : u u +u du u u d, ln u u u ln ln ln, u ln u + u u + u ln u u ln u u ln ln, u + u c mi c : u + u y + y c, u ± +, c y u ± + ± c +. Wegen y y ± y + y + ± y + y + ± y + is dabei das Vorzeichen Signy + zu wählen, d.h. es folg y + Signy + c +. Man beache, dass der Fall +y nich aufreen kann, da dafür die reche Seie der Differenzialgleichung nich definier is. Auch im Fall liefer die erhalene Funkion die Lösung y + Sign y y + des Anfangswerproblems, wie man leich besäig. Abschni 9.A, Variane zu Aufg. 3, p. 53.4. : Man löse die homogenen Differenzialgleichungen y y + y und y y4 4 y 3. Lösung: Wir suchen jeweils eine Lösung y, die deranfangsbedingung y y für, y R, genüg. Wir ransformieren die Differenzialgleichung y y + y durch die Subsiuion u : y/, d.h. u y y y u, in eine Differenzialgleichung für u mi gerennen Variablen und Anfangsbedingung u u : y /. Bei u >, d.h. y >, is die reche Seie der Differenzialgleichung nich definier. Für u ±, d.h. y ±, ha man die saionären Lösungen u ±, d.h. y ±. Bei u <, d.h. y <, liefer Trennung der Variablen für mi > : u u du d u, arcsin u arcsin u arcsin u u u ln ln, u sin ln + arcsin u sin ln cos arcsin u + cos ln u,
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 3 u sin ln u + cos ln u, y sin ln y + cos ln y. Wir ransformieren die Differenzialgleichung y y4 4 u y y y y y 3 y y 3 y durch die Subsiuion u : y/, d.h. u u 3 u 4 u 3, in eine Differenzialgleichung für u mi gerennen Variablen und Anfangsbedingung u u : y /. Bei u ±, d.h. y ±, bekomm man die saionären Lösungen u ±, d.h. y ±. Bei u ±, d.h. y ±, is u für kein eine dieser Nullsellen von u 4, da u andernfalls nach Saz 9.A. konsan gleich einer davon wäre. Dann haben also u 4 und u 4 nach dem Zwischenwersaz ses das gleiche Vorzeichen und Trennung der Variablen liefer für mi > : u u u 3 du u 4 d, 4 ln u4 u 4 4 ln u4 u u ln u 4 u 4 4 / u 4, u ± 4 4 4 / 4+, y ± 4 y 4/4 4 / 4+ ± 4 y 4 4 4 + 8. ln ln ln, Die Anfangsbedingung y erforder dabei das Vorzeichen Sign y, d.h. es is y Sign y 4 y 4 4 4 + 8. Abschni 9.B, Teil von Aufg., p. 534.4. : Man löse die lineare Differenzialgleichung y + y e. Lösung: Wir suchen eine Lösung y, die der Anfangsbedingung y y für, y R, genüg. Die zugehörige homogene lineare Differenzialgleichung y + y ha ϕ ep d e als Lösung mi ϕ. Für die Sörfunkion g : e y ϕ y + g ϕ e y + e e e is die Lösung also e y e + e y e +. Abschni 9.B, Variane zu Aufg., p. 534.4. : Man löse die linearen Differenzialgleichungen y an y sin und y y + cos. Lösung: Wir suchen jeweils eine Lösung y, die deranfangsbedingung y y für, y R, genüg. Die zu y an y sin gehörende homogene lineare Differenzialgleichung y an y ha ϕ ep an d e ln cos +ln cos cos cos cos cos als Lösung mi ϕ, wobei und im selben Definiionsinervall des Tangens, also Inervall der Form ]k π, k+ π [, liegen sollen.
3 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Für die Sörfunkion g : sin is die Lösung dann y ϕ y + g ϕ cos + y cos cos cos cos sin cos y cos + y cos cos cos + cos. Die zu y y + cos gehörende homogene lineare Differenzialgleichung y y ha d ϕ ep e ln ln für alle mi > als Lösung mi ϕ. Für die Sörfunkion g : cos is die Lösung dann y ϕ y + g ϕ y + Abschni 9.B, Teil von Aufg., p. 534.4. : cos / Man löse die folgenden Bernoullischen Differenzialgleichungen: y sin + sin. y 3 y + 3 y4, y + y 3 y 3, y y + y 5. Lösung: Wir suchen jeweils eine Lösung y, die deranfangsbedingung y y für, y R, genüg. Im Fall y is y die gesuche Lösung. Sei daher y. Bei y 3 y + 3 y4 handel es sich um eine Bernoullische Differenzialgleichung, die durch die Subsiuion u y 3 in die lineare Differenzialgleichung u 3y y 4 y 3 u + mi der Anfangsbedingung u u : y 3 überführ wird. Die zugehörige homogene lineare Differenzialgleichung u u ha die Lösung ϕ e, die der Anfangsbedingung ϕ genüg. Dann ha das Anfangswerproblem u u +, u u, die Lösung u e u + e e u e + e e u + e + e e u + +. Die gesuche Lösung des Ausgangsproblems is dann y 3 u 3 e y 3 + +. Im Fall y is y die gesuche Lösung von y + y 3 y 3. Sei daher y. Es handel es sich um eine Bernoullische Differenzialgleichung, die durch die Subsiuion u y in die lineare Differenzialgleichung u y y 3 4u 4 3 mi deranfangsbedingungu u : y überführ wird. Die zugehörige homogene lineare Differenzialgleichung u 4u ha die Lösung ϕ e, die der Anfangsbedingung ϕ genüg. Dann ha das Anfangswerproblem u 4u 4 3, u u, die Lösung
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 33 u e u + e 4 3 e u + e e u + e e e e u + e + e Die gesuche Lösung des Ausgangsproblems is dann y u 4e e e e u + +. e y + +. Im Fall y is y die gesuche Lösung von y y + y 5. Sei daher y. Es handel es sich um eine Bernoullische Differenzialgleichung, die durch die Subsiuion u y 4 in die lineare Differenzialgleichung u 4y y 5 4y 4 4 4u 4 mi der Anfangsbedingung u u : y 4 überführ wird. Die zugehörige homogene lineare Differenzialgleichung u 4u ha die Lösung ϕ e 4+4, die der Anfangsbedingung ϕ genüg. Dann ha das Anfangswerproblem u 4u 4, u u, die Lösung u e 4+4 u + e 4 4 4 e 4+4 u e 4 4 + e 4 4 e 4+4 u + e 4+4 + e 4+4 e 4+4 u + + 4 4 4. Die gesuche Lösung des Ausgangsproblems is dann y 4 u 4 e 4+4 u + 4. + 4 Abschni 9.B, Aufg. 5, p. 535.4. : Sei y f y + g eine lineare Differenzialgleichung erser Ordnung mi den seigen Funkionen f, g : [a, [ K, a R. Es gebe ein c R + mi f c für alle a. a Is g beschränk, so is auch jede Lösung y von y f y + g beschränk. b Gil lim g, so gil auch lim y für jede Lösung y der Gleichung y f y + g. Beweis: a Sei F : a f d. Dann is F F Lösung y von y f y + g mi ya y folg y e F y + a e F g y e F + a f d c für a. Für eine e F F g y e c + a e c g. Der erse Summand geh für gegen. Is g M für alle a, so is der zweie Summand beschränk durch M a e c M c eca M c. b Sei ε> vorgegeben. Nach Voraussezung gib es ein mi g εc/ für und es sei weierhin g M für alle a. Wegen lim e c gib es ein > mi y + M e c e c ca e c ε.
34 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Sei y eine Lösung von y f y + g mi ya y. Dann gil für den zweien Summanden in der obigen Abschäzung von y : a e c g a e c g + e c g M a e c + εc e c M c e c e ca e c + ε e c M c e c e ca e c + ε, also y y e c + M c e c e ca e c + ε y + M e c e c ca e c + ε ε + ε ε für. Es folg lim y. Abschni 9.C, Aufg. 3b, p. 56.4. : Seien y bzw. y die Anzahlen der U 38 - bzw. U 35 -Aome in einer gegebenen Uranprobe zur Zei. Die Halbwerszeien von U 38 bzw. U 35 beragen T 4,5 9 Jahre bzw. T,7 9 Jahre. In einem Probesück habe das Verhälnis von U 38 und U 35 den Wer 37, 8. Uner der Annahme, dass zur Zei der Ensehung die Aneile von U 38 und U 35 gleich waren, berechne man das Aler der Probe. Lösung: Sei y die Anzahl der Aome eines Isoops mi der Halbwerszei T zur Zei, zur Anfangszei seien y Aome vorhanden. Die Zerfallsrae dy/ is proporional zu y, also dy/ λy, wobei λ > die Zerfallskonsane is. Es folg y y e λ. Wegen yt y folg e λt, d.h. λ ln /T. Für die Zerfallskonsanen von U 38 und U 35 ergib sich daraus λ,54 9 und λ,99 9 sowie λ λ,836 9. Mi Obigem folg 37,8 y y y e λ y e λ y y eλ λ e,836 9 e,836 9, woraus sich für das Aler der Probe der Wer 5,89 9 ergib. Das Aler der Erde wird heue mi ca. 4,5 9 Jahren angegeben. Abschni 9.C, Variane zu Aufg. 4, p. 564.4. : Die Luf in der Wüse habe abends um 8 Uhr eine Temperaur von 4 C; die Temperaur eines Seines, der dor in der Sonne gelegen ha, berage gleichzeiig 8 C. Von da an sinke die Temperaur T L der Luf. Die Temperaur des Seines T S ändere sich mi einer Rae, die proporional zur Temperaurdifferenz zwischen Luf und Sein is, d.h. zu jedem Zeipunk sei T S β T L T S N e w o n s c h e s A b k ü h l u n g s g e s e z. Man berechne die Temperaur des Seines um 4 Uhr am nächsen Morgen uner der Annahme β, a falls die Temperaur T L der Luf gleichmäßig um 4 C pro Sunde sink, b falls die Temperaur T L der Luf mi einer Abkühlungsrae sink, die proporional zur Temperaurdifferenz zwischen Luf und Sein is, d.h. Ṫ L α T L is, ewa mi dem Proporionaliäsfakor α 4. Lösung: a Es is T L 4 4, also T S β 4 4 T S. Diese lineare Differenzialgleichung ha die Lösung T S e β 8+ βe β 4 4 e β 4+e β 4 4+ 4 e β β 4 4 e β +4 4+ 4 β β. Für β und ergib sich die gesuche Temperaur zu 8+ 3e 5 8, C. b Es is T L + 3e α, also T S β + 3e α T S mi der Lösung T S e β 8 + βe β + 3e α 7e β + + 3β e α e β. β α Für α 4, β und ergib sich die gesuche Temperaur zu +e 5 +6e 5/ 5 C.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 35 Abschni 9.C, Teil von Aufg. 5, p. 565.4. : Nach Torricellis Gesez ha Wasser, das aus einem bis zur Höhe h gefüllen Behäler aus einer kleinen Öffnung am Grunde des Behälers fließ, die Geschwindigkei c gh mi einer Konsanen c < c, die im Idealfall is. Is A die Fläche der Ausflussöffnung und ha der Behäler in der Höhe h den Querschni Fh, so erfüll h die Differenzialgleichung ḣ Ac gh/fh. Man beschreibe die Höhe h als Funkion der Zei und besimme die Zei, bis der Behäler leer is, für a ein zylindrisches Fass mi Radius R; b einen kegelförmigen Tricher mi Öffnungswinkel α. Lösung: a Es is Fh πr für alle Were von h. Wir haben also die Differenzialgleichung ḣ Ac h g πr für die Anfangsbedingung h H zu lösen und erhalen durch Trennen der Variablen: also h h H h h H h H dh A h πr c g A πr c g, A H πr c g. Wegen ht ergib sich für die gesuche Zei T : H A πr c g T, d.h. T πr Ac H g. b Wir bezeichnen die Höhe des Trichers mi H, seinen oberen Radius mi R und seinen uneren Radius mi r < R. Dann is s : an α R r. Die Querschnisfläche des Trichers in der Höhe h ha dann den H Radius r+hs und die Fläche Fh πr+hs. Wir haben also die Gleichung ḣ Ac h g πr+hs für die Anfangsbedingung h H zu lösen und erhalen durch Trennen der Variablen: Ac π h H h g H r+hs h dh Ac g π Ac g, π s h 3/ + rsh / + r h / dh 5 s h 5/ + 4r 3 sh3/ + r h / h H. Dies liefer eine Gleichung 5. Grades für h, aus der sich h, ewa mi dem Newon-Verfahren, besimmen läss. Für die gesuche Zei T, bis das Gefäß geleer is, ergib sich wegen ht : Ac g T π 5 s H 5/ 4r 3 sh 3/ r H / π, also T Ac g 5 s H 5/ + 4 3 sh 3/ +r H /. Mi ρ : sh/r erhäl man: T πr Ac H g 5 ρ + 3 ρ +. Im Fall r R is ρ, und wir erhalen die Formel aus a, im Fall A πr ergib sich einfach T H c g 5 ρ + 3 ρ +.
36 Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 Abschni 9.C, Variane zu Aufg. 9, p. 566.4. : Ein Körper der Masse m falle aus der Ruhelage mi der Geschwindigkei v. Er unerliege dabei zwei Kräfen, nämlich der Schwerkraf mg und einer Widersandskraf der Form αv β mi Konsanen α >, β >. Berechnen Sie v und die Grenzgeschwindigkei lim v in den Fällen β und β. Lösung: Wegen Kraf Masse mal Beschleunigung gil die Kräfebilanz m v mg αv β. Dies is eine Differenzialgleichung mi gerennen Variablen für v. Trennung der Variablen liefer v dv g α m vβ. Sei zunächs β. Inegraion liefer m α ln g m α ln g α m v m α ln g α m v v g α m, v e g α/m. Auflösen nach v liefer g α m v e α/m g, d.h. v mg e α/m. Es folg: α mg lim v α. Sei nun β. Inegraion liefer mi Hilfe von 4.B, Aufg. 6b : v dv g α m v g v dv α mg v g α mg v anh αg m, v mg α α Aranh mg v v m α αg Aranh mg v, mg α anh αg m. Wegen lim anh folg mg lim v α. Abschni 9.C, Zusazaufgabe, p. 57.4. : Ein gleichmäßiger sarker Schneefall begann Sunden vor Miernach. Genau um Uhr fuhr ein Schneepflug los und räume mi konsaner Leisung, d.h. er schaffe immer die gleiche Menge Schnee pro Zeieinhei. In der zweien Sunde kam er nur halb so wei wie in der ersen Sunde, weil der Schnee inzwischen viel höher lag. Sellen Sie fes, wann es zu schneien begann, d.h. besimmen Sie. Lösung: Die Geschwindigkei des Schneepflugs sei v, die Anfangsgeschwindigkei sei v v und der zurückgelege Weg sei s. Wegen der Konsanz der Räumleisung und da die Schneehöhe proporional zur verflossenen Zei is, is die Geschwindigkei des Schneepflugs umgekehr proporional zur Zei, die sei dem Einsezen des Schneefalls verflossen is. Es gil also v : v : +, d.h. + v v, und mi ṡ v, s folg s v v + v ln + v ln + v ln v ln +. Wegen s 3 s is ln + + 3 ln +, + 3. Es folg + + 3, +, d.h. + 5,68 Sunden 37 Minuen. Abschni 9.C, Zusazaufgabe, p. 57.4. : Das mechanische Zählwerk eines Kasseenrekorders zeige die Umdrehungszahl n der anfangs leeren Spule. Es sei n die zur Anzeige n gehörende Spieldauer. Bei Spielbeginn werde das Zählwerk auf gesell, d.h. es sei. Die Bandgeschwindigkei sei v 4,75 cm/sec. Man gebe n in Abhängigkei vom Radius R der leeren Spule und der Banddicke d an. Es sei n nach und n nach 8 Minuen erreich. Man berechne d und R.
Sorch/Wiebe, Band, Kapiel 6 37 Lösung: Es is n+h n + h R+nd π, also v dn lim n+h h R+nd π h h v folg: n v πrn + n πd. Einsezen der Were liefer R 4,5 mm und d,8 mm.. Daraus Abschni 9.D, Variane zu Aufg., p. 58.4. : Für die folgenden linearen Differenzialgleichungen besimme man alle komplewerigen und alle reellwerigen Lösungen: ÿ 3ẏ + y 3e + 4 ÿ 3ẏ 4y e, y 4ẏ + 4y + e, ÿ + ẏ + y + e, ÿ ẏ + y + sin 3, ÿ ẏ + y e + e sin, y + y + y e + e cos, y 3 ÿ + 4ẏ 6 e sin 3, y 3 ÿ + ẏ 5 e cos. Lösung: Die zu ÿ 3ẏ+y 3e +4 gehörende homogene lineare Differenzialgleichung ÿ 3ẏ+y mi konsanen Koeffizienen ha das charakerisische Polynom PX : X 3X + X X mi den Nullsellen und. Ihre sämlichen Lösungen sind also c e + c e, c, c K. Die inhomogene lineare Differenzialgleichung ÿ 3ẏ+y 3e lös man durch einen Ansaz vom Typ der rechen Seie. Da keine Nullselle von P is, erhäl man als eine Lösung 3/P e 3 6 e e. Die inhomogene lineare Differenzialgleichung ÿ 3ẏ + y 4e lös man ebenfalls durch einen Ansaz vom Typ der rechen Seie. Da keine Nullselle von P is, erhäl man als eine Lösung 4/Pe 4. Alle Lösungen der Ausgangsgleichung haben also die Form y c e + c e + e +, c, c K. Die zu ÿ 3ẏ 4y e gehörende homogene lineare Differenzialgleichung ÿ 3ẏ 4y mi konsanen Koeffizienen ha das charakerisische Polynom PX : X 3X 4 X 4X + mi den Nullsellen 4 und p,q-formel!. Ihre sämlichen Lösungen sind also c e 4 + c e, c, c K. Die inhomogene lineare Differenzialgleichung ÿ 3ẏ 4y e lös man durch einen Ansaz vom Typ der rechen Seie. Da keine Nullselle von P is, erhäl man als eine Lösung /Pe 6 e 3 e. Die inhomogene lineare Differenzialgleichung ÿ 3ẏ 4y e lös man ebenfalls durch einen Ansaz vom Typ der rechen Seie. Da keine Nullselle von P is, erhäl man als eine Lösung /Pe /4. Alle Lösungen der Ausgangsgleichung haben also die Form y c e 4 + c e 3 e + 4, c, c K. Die zu ÿ 4ẏ + 4y + e gehörende homogene Differenzialgleichung ÿ 4ẏ + 4y ha P X 4X+4 X mi der doppelen Nullselle als charakerisisches Polynom und daher e, e als Basis des Lösungsraums über R und über C. Die zugehörige inhomogene Differenzialgleichung mi recher Seie ha die Lösung /P e 4. Die inhomogene Differenzialgleichung mi recher Seie e ha die Lösung y /P e /6 e. Superposiion liefer die allgemeine Lösung y 4 + 6 e + c e + c e, c, c K. Die zu ÿ + ẏ + y + e gehörende homogene Differenzialgleichung ÿ + ẏ + y ha P X + X+ X+ mi der doppelen Nullselle als charakerisisches Polynom und daher e, e als Basis des Lösungsraums über R und über C. Die zugehörige inhomogene Differenzialgleichung mi recher Seie lösen wir mi dem Ansaz y a+b e a+b und bekommen a, b 4, d.h. die Lösung 4. Die inhomogene Differenzialgleichung mi recher Seie e lösen wir mi dem Ansaz y he a e und bekommen a, d.h. die Lösung e. Superposiion liefer die allgemeine Lösung y 4 + e + c e + c e, c, c K.