Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen und frbige Hervorhebungen mit Textmrker ber sonst keine Veränderungen und Zusätze gemcht werden. Kpitel 1 1.3 Vektoren Ein n-dimensionler Vektor besteht us n reellen Zhlen, wobei uf die Reihenfolge zu chten ist. Schreibweisen sind x = [x 1,..., x n ] ls Zeilenvektor und x = ls Spltenvektor. R n ist die Menge ller n-dimensionlen Vektoren. x 1. x n 1.4 Addition [x 1,..., x n ]+[y 1,..., y n ] = [x 1 +y 1,..., x n +y n ] und [x 1,..., x n ] = [x 1,..., x n ] für R, x, y R n. 1.5 Mit diesen Opertionen knn mn wie üblich rechnen (llerdings gibt es keine Division). 1.6 Bsen Eine Menge {z 1,..., z n } von n Vektoren des R n heißt Bsis, flls jedes x R n eine eindeutige Drstellung ls Linerkombintion x = 1 z 1 +... + n z n ht. Wichtigstes Beispiel: e k = [0,..., 0, 1, 0,..., 0] k-ter Einheitsvektor, dnn ist {e 1,..., e n } eine Bsis. 1
1.7 Sklrprodukt Für x, y R n heißt x, y = x 1 y 1 +... + x n y n Sklrprodukt. Flls x, y = 0 heißen x und y orthogonl oder senkrecht zueinnder. x = x n = x, x heißt euklidische Länge von x, und x y heißt euklidischer Abstnd. 1.8 () x, y = y, x (b) x, y + bz = x, y + b x, z (c) x + y 2 = x 2 + 2 x, y + y 2 (d) x, y senkrecht x + y 2 = x 2 + y 2 (e) x = x (f) x, y x y Cuchy-Schwrz (g) x + y x + y (h) x y x y. 1.11 Ausgleichsgerde Für Dten (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) heißt die Funktion f(x) = x + b die zugehörige Ausgleichsgerde, flls d(, b) = n n (y k f(x k )) 2 miniml ist. Mit x = 1 n x k und entsprechendem ȳ sind Kpitel 3 = 3.2 Linere Abbildungen k=1 x, y n xȳ x 2 n x 2 und b = ȳ x. Eine Abbildung f : R n R m heißt liner, flls f(x) = f(x) und f(x + y) = f(x) + f(y) für lle x, y R n, R. 3.6 Mtrizen Eine m n Mtrix P R m n ist Tbelle reeller Zhlen mit m Zeilen (der p 1,1 p 12 p 1,n Länge n) und n Splten (der Länge m): P =.... p m,1 p m,2 p m,n Für x = x 1. x n R n ist P x = p 1,1 x 1 + + p 1,n x n.. p m,1 x 1 + + p m,n x n k=1. Jede 2
linere Abbildung f : R n R m ist von der Form f(x) = P x, wobei P = [f(e 1 ),..., f(e n )] die Mtrix mit den Splten f(e k ) ist. 3.8 Linere Gleichungssysteme Ein LGS m n ist eine Gleichung der Form P x = y, wobei P R m n und y R m gegeben sind und x R n gesucht wird. 3.10 Der Guß-Algorithmus Gegeben LGS m n P x = y, lso p 1,1 x 1 + + p 1,n x n = y 1... p m,1 x 1 + + p m,n x n = y m I m,n Vertusche nötigenflls Zeilen, so dss p m,n 0. Flls lle p j,n = 0, löse ds LGS m,n 1 P x = y, wobei P durch Streichung der letzten Splte hervorgeht und setze x = [ x 1,..., x n 1, x n ] mit beliebigem x n. II m,n Für j = 1,..., m 1 setze α j = pj,n p m,n letzten Zeile zur j-ten Zeile) (und ddiere ds α j -fche der III m,n Löse ds LGS m 1,n 1 P x = ỹ mit Pj,k = p j,k +α j p m,k und ỹ j = y j +α j y m IV m,n Ist x = [x 1,..., x n 1 ] Lösung von P x = ỹ, so ist x = [x 1,..., x n 1, x n ] Lösung von P x = y für x n = 1 p m,n (y m p m,1 x 1 + p m,n 1 x n 1 ). Beispiel. 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 5 2x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 + x 2 x 3 = 1 α 1 = 4 (ddiere 4-fches der dritten Gleichung zur ersten) α 2 = 1 (und subtrhiere dritte Gleichung von der zweiten) Ds LGS 3 3 ht dieselben Lösungen wie 7x 1 + 6x 2 = 1 x 1 2x 2 = 3 x 1 + x 2 x 3 = 1 α 1 = 3 (ddiere 3-fches der zweiten Gleichung zur ersten) Ds LGS ht dieselben Lösungen wie 10x 1 = 10 x 1 2x 2 = 3 x 1 + x 2 x 3 = 1 Die eindeutige Lösung ist x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1. 3
3.14 Mtrix-Produkt Ds Produkt zweier Mtrizen P R m n und Q R n s ist eine (m s)-mtrix mit den Einträgen [P Q] j,l = n k=1 p j,k q k,l = Sklrprodukt der j-ten Zeile von P mit der k-ten Splte von Q. Für P R m n und Q R t s mit n t ist kein Mtrixprodukt definiert. 3.15 A (B C) = (A B) C, flls A B und B C definiert sind. A (B + C) = A B + A C, flls A B und A C definiert sind. 3.17 Inverse Mtrix Die Mtrix E n R n n, deren Digonlelemente 1 und lle nderen 0 sind, heißt Einheitsmtrix. Eine qudrtische Mtrix A R n n heißt invertierbr, flls es B R n n gibt mit A B = E n. Dnn schreibt mn B = A 1 und nennt B die inverse Mtrix von A. Flls A B = E n, gilt uch B A = E n. 3.18 Stz () Ist A invertierbr, so besitzt für jedes y R n ds LGS A x = y genu eine Lösung x = A 1 y. (b) Sind die n LGS A x = e k lle lösbr, so ist A invertierbr und die Lösungen sind die Splten von A 1. [ ] b Ü 14. A = R c d 2 2 invertierbr d bc und dnn ist A 1 = [ ] 1 d b d bc. c Kpitel 4 4.2 Stetigkeit Eine Abbildung f : A R m mit A R n heißt stetig im Punkt x A, flls es zu jeder Outputtolernz ε > 0 eine Inputtolernz δ > 0 gibt, so dss jeder Input, der die Tolernz δ einhält zu einem Output führt, der die Tolernz ε einhält, lso ( ) ε > 0 δ > 0 y A x y n < δ f(x) f(y) m < ε. Die Funktion heißt stetig uf A, flls sie in jedem Punkt stetig ist. 4
4.3 Linere Abbildungen f : R n R m sind uf R n stetig. 4.4 (b) Linerkombintionen stetiger Funktionen f, g : A R m sind stetig. (c) Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig. (d) f : A R und g : A R m beide stetig fg : A R m stetig. Kpitel 5 5.2 Offene Mengen Eine Menge A R n heißt offen, flls jeder Punkt von A Mittelpunkt einer kleinen Kugel ist, die gnz in A liegt, ds heißt A r > 0 K(, r) A, wobei K(, r) = {x R n : x < r} 5.3 Richtungsbleitung Seien A R n offen, x A und v R n eine Richtung. Eine Funktion f : A R m heißt richtungsdifferenzierbr in x in Richtung v, flls 1 D v f(x) = lim t 0 t (f(x + tv) f(x)) in Rm existiert. Dnn heißt D v f(x) Richtungsbleitung in x in Richtung v. Ht f die Komponentenfunktionen f 1,..., f m, so ht D v f(x) die Komponenten g k (0) mit g k(t) = f k (x + tv). 5.4 Notwendiges Optimlitätskriterium für f : A R. Ist f(x) = mx{f(y) : y A} (oder min{f(y) : y A}), so gilt D v f(x) = 0 für jede Richtung v, in die f richtungsdifferenzierbr ist. Dies wendet mn fst usschließlich uf die prtiellen Ableitungen n. 5.6 Prtielle Ableitungen D j f(x) = D v f(x) (für v = e j = j-ter Einheitsvektor) heißt j-te prtielle Ableitung von f. Berechnung: Fsse lle x k für k j ls fest uf, und differenziere die Funktion x j f(x 1,..., x j,..., x n ). Für prtiell differenzierbres f : A R m mit Komponentenfunktionen f k : A R heißt Df(x) = D 1 f 1 (x) D n f 1 (x). D 1 f m (x) D n f m (x) Jcobi-Mtrix von f in x. 5
Für m = 1 ht Df(x) nur eine Zeile, und mn schreibt f(x) = Df(x) = [D 1 f(x),..., D n f(x)] = Grdient von f in x. 5.7 Totle Differenzierbrkeit f : A R m heißt totl differenzierbr, wenn es eine Mtrix f (x) R m n gibt mit f(y) f(x) f (x) (y x) m lim = 0 y x x y n 5.8 Stz. f totl differenzierbr in x es existieren lle Richtungsbleitungen D v f(x) = f (x) v und f (x) = Df(x) = Jcobi-Mtrix. 5.10 Interprettion des Grdienten Der Grdient von f : A R ist die Richtung des steilsten Anstiegs, ds heißt D 1 f(x) für v =. D n f(x) und lle v R n mit v = v gilt D v f(x) D v f(x). 5.11 Rechenregeln (f + bg) (x) = f (x) + bg (x) für, b R und f, g : A R m und (fg) (x) = f(x)g (x) + g(x)f (x) für f : A R und g : A R m 5.13 Kettenregel f : A B und g : B R p totl differenzierbr in x A beziehungsweise f(x) B (g f) (x) = g (f(x)) f (x) (Mtrixprodukt). 5.15 Kriterium für totle Differenzierbrkeit f : A R m in jedem Punkt prtiell differenzierbr und D 1 f,..., D n f lle stetig in x A f totl differenzierbr in x. 5.16 f : A R m heißt stetig differenzierbr, flls lle prtiellen Ableitungen überll existieren und in jedem Punkt stetig sind. Ü 36. Kompositionen stetig differenzierbrer Funktionen sind stetig differenzierbr. Ds Gleiche gilt für Linerkombintionen, Produkte und Quotienten (sofern sie definiert sind). 6
Kpitel 6 6.2 Konvexität A R n heißt konvex, flls für lle x, y A ds Segment S = {x + t(y x) : t [0, 1]} A ist. f : A R heißt konvex, flls A konvexe Menge ist und f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) für lle x, y A, t [0, 1]. 6.3 Stz. Ist f : A R konvex und totl differenzierbr in x mit f(x) = 0, so ist f(x) = min{f(x) : x A}. 6.4 f : A R heißt zweiml stetig differenzierbr, flls lle D j f : A R stetig differenzierbr sind. Dnn heißt D 1 (D 1 f)(x) D 2 (D 1 f)(x)... D n (D 1 f)(x) H f (x) =. D 1 (D n f)(x) D 2 (D n f)(x)... D n (D n f)(x) die Hesse-Mtrix von f in x. Eine Mtrix H R n n heißt (streng) positiv definit, flls v t Hv 0 (beziehungsweise > 0) für lle v R n \ {0} (dbei ist v t = [v 1,..., v n ] der zu v trnsponierte Zeilenvektor). 6.5 Stz. Ist f : A R zweiml stetig differenzierbr uf der konvexen Menge A und H f (x) in jedem Punkt x A positiv definit, so ist f konvex. [ ] b Ü 34. Eine symmetrische Mtrix H = ist genu dnn (streng) positiv b c definit, wenn 0, c 0 und c b 2 (beziehungsweise > 0 und c > b 2 ). 6.6 Hinreichendes Optimlitätskriterium Für f : A R zweiml stetig differenzierbr gilt: f(x) = 0 und H f (x) streng positiv definit x lokles Minimum, ds heißt, es gibt δ > 0, so dss f(x) f(y) für lle y A mit x y < δ. Anwendung uf f liefert Mximlitätskriterium. Gibt es v, w R n mit v t H f (x)v > 0 und w t H f (x)w < 0, so ist x kein lokles Extremum. 7
6.8 Stz von Schwrz. Für zweiml stetig differenzierbres f : A R gilt D j (D k f)(x) = D k (D j f)(x) für lle j, k {1,..., n} und x A. Kpitel 7 7.5 Auflösemethode. Gesucht ist mx{f(x, y) : Φ(x, y) = c} mit f : A R, Φ : A R m, A R n und c R m. Es gebe B R n m und Auflösefunktion g : B R m, so dss für lle x R n m und y R m gilt [ ] x A und Φ(x, y) = c x B und y = g(x). y [ ] x Dnn ist y genu dnn eine Lösung von mx{f : Φ = c}, wenn y = g(x ) und f(x, g(x )) = mx{f(x, g(x)) : x B}. 7.6 Lgrnge-Methode Ist x A eine Lösung von mx{f : Φ = c}, so dss Φ 1 (x),..., Φ m (x) liner unbhängig sind, so gibt es Lgrnge-Multipliktoren λ 1,..., λ m R mit f(x) = λ 1 Φ 1 (x) + + λ m Φ m (x) (Lgrnge-Gleichung). Im Fll m = 1 bedeutet die linere Unbhängikeit lediglich Φ(x) [0,..., 0]. Die Lgrnge-Gleichung für die Komponenten der Grdienten liefert ein Gleichungssystem. Kpitel 8 8.3 Eine Funktion f : [, b] R heißt integrierbr mit Integrl I = f(t)dt =... flls die Riemnn-Summen f(x)dx = n R(f, P, z) = f(z k )(x k x k 1 ) ( = x 0 < < x n = b, z k [x k 1, x k ]) k=1 für mx{x k x k 1 : k {1,..., n}} 0 gegen I konvergieren. 8
8.4 Stz. () Jede stetige Funktion ist integrierbr. (b) Ds Integrl ist liner: (c) Monotonie: f g (d) -Ungleichung: (e) Intervllteilung: (αf + βg)(x)dx = α f(x)dx f(x)dx f(x)dx = c g(x)dx f(x) dx f(x)dx + c f(x)dx + β f(x)dx für c [, b]. g(x)dx 8.5 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI) f : [, b] R sei stetig. x () F (x) = f(t)dt ist eine Stmmfunktion, d.h. F = f (b) Ist G eine Stmmfunktion von f, so gilt für lle α, β [, b] β α f(x) = G β = G(β) G(α). α β α Dbei ist f(x)dx = f(x)dx, flls β < α. α β 8.7 Prtielle Integrtion Für zwei stetig differenzierbre Funktionen f, g : [, b] R gilt f (x)g(x)dx = fg b f(x)g (x)dx. 8.8 Substitution Seien ϕ : [α, β] R stetig differenzierbr und f : ϕ([α, β]) R stetig. Dnn gilt ϕ(β) β f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt. ϕ(α) α Merkregel x = ϕ(t) dx = ϕ (t)dt. 9
8.9 Stmmfunktion der Umkehrfunktion Sei f : [, b] [α, β] stetig differenzierbr und bijektiv. Ist F : [, b] R eine Stmmfunktion von f, so ist durch G(y) = yf 1 (y) F (f 1 (y)) eine Stmmfunktion G : [α, β] R der Umkehrfunktion f 1 : [α, β] [, b] gegeben. 8.11 Tbelle von Ableitungen und Stmmfunktionen f(x) f (x) F (x) Def.bereich Bemerkung x x 1 x +1 ]0, [ 1 bei F + 1 e x e x e x R x ln() x x R > 0 ln() 1 log(x) x log(x) x ]0, [ log = log x e = ln sin(x) cos(x) cos(x) R cos(x) sin(x) sin(x) R tn(x) 1 + tn 2 (x) log cos(x) ] π/2, π/2[ rcsin(x) rccos(x) rctn 1 1 x 2 1 1 x 2 [ 1, 1] F mit Stz 8.9 [ 1, 1] F mit Stz 8.9 1 1 + x 2 R F mit Stz 8.9 8.12 Ableitungsregeln Produktregel: (fg) = f g + fg Quotientenregel: ( ) f = f g fg g g 2 Kettenregel: (f g) (x) = f (g(x))g (x) 10