Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 0 4 5 4 4
Grad- und Bogenmaß Wir betrachten den Einheitskreis (Radius r = ) und einen beliebigen Winkel α. r = α Der Kreis beschreibt einen Winkel von 60 Grad. Die Länge der Kreislinie ist U = πr. Wegen r = gilt U = π. Es scheint plausibel, dass anstatt Grad auch die Länge des Kreisbogens (rot) als Maß für den Winkel α herangezogen werden kann. In beiden Fällen tun wir das in Relation zum Gesamtkreis. Es muss also gelten: α 60 = π wobei die Länge des Kreisbogens ist, den der Winkel α aufspannt. Hieraus ergeben sich unmittelbar die Umrechnungsformeln für Winkel nach Bogenmaß und umgekehrt als simpler Dreisatz. Ist α im Gradmaß gegeben, ermittelt man das Bogenmaß durch Auflösen der Verhältnisgleichung nach. = α 60 π Ist umgekehrt das Bogenmaß des Winkels gegeben, löst man die Verhältnisgleichung nach α auf: α = 60 π Beispiel: Berechne α = 0 Grad im Bogenmaß:
Einsetzen in die Formel liefert: = 0 60 π = 60 60 pi = π 6 Berechne π im Gradmaß: Einsetzen in die Formel liefert: π α = 60 π α = 0 π π α = 60. Spezielle Werte Die Werte der folgenden Tabelle sollten Sie kennen. Es wäre sinnvoll, sie mit der Formel als Übung zu verifizieren: Gradmaß 0 0 45 60 90 Bogenmaß 0 π/6 π/4 π/ π/ Sinus und Cosinus Wir betrachten wieder den Einheitskreis P r = α cosα sinα.
Der Schnittpunkt des Winkelschenkels mit der Kreislinie ist P. Analog zur Definition am rechtwinkligen Dreieck (Schule) entspricht der Sinus von α der grünen senkrechten Strecke von P auf die -Achse und die waagerechte blaue Linie dem Cosinus von α. Die Koordinaten von P sind also P = (cosα,sinα) In der Schule wurden Sinus und Cosinus am rechtwinkligen Dreieck erklärt. C b a A c B Hieraus resultieren die folgenden Zusammenhänge: sinα = a c = a = csinα cosα = b = b = ccosα c Analog ergibt sich dann für den Punkt P bei einer Drehung entlang der Kreislinie mit Radius r > 0: P = (r cosα,r sinα) Lässt man P gegen den Uhrzeigersinn um die Kreislinie laufen, erkennt man ferner, dass die Werte von Sinus und Cosinus stets zwischen und + liegen. y y f() = sin() α π π π π π f() = cos() Offensichtlich ist auch, dass sich nach Durchlauf einer kompletten Drehung alles wiederholt. sin und cos besitzen die Periode π Gewöhnen Sie sich auch bitte daran, dass die Argumente der trigonometrischen Funktionen in der Regel im Bogenmaß angegeben sind. 4
Bogenmaß 0 π/6 π/4 π/ π/ 0 4 sin =0.5 = 4 cos = =0.5 0 Beispiel: Herleitung von cos π C 60 A C 60 60 H B H B A 60 0 ABC ist gleichschenklig, also gilt ABC = ACB = (80 BAC) = ABC = ACB = (80 BAC) = (80 60) = 60 Somit ist ABC gleichseitig mit Seitenlänge. Der Höhenfußpunkt H liegt in der Mitte der Grundseite, also cos π = 0.5. Mit Pythagoras folgt, dass in einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a die Höhe a beträgt. Im rechtwinkligen Dreieck AHC ergibt sich mit Pythagoras also cos π 6 = sin π =. AH +HC = AC ( ) +HC = HC = 4 = HC = 5 da HC > 0.
Eigenschaften von sin und cos y π π π π π π. Additionstheoreme Für alle,y R gilt: sin +cos = sin(+y) = sincosy +cossiny cos(+y) = coscosy sinsiny (Pythagoras) Insbesondere gilt sin() = sincos cos() = cos sin Beweis der wichtigen Spezialfälle Schreibweise sin() = sin(+) = sincos+cossin = sincos cos() = cos(+) = coscos sinsin = cos sin sin = (sin), sin sin ( ). sin und cos sind periodisch mit Periode π, d.h. Symmetrie cos(+π) = cos, [cos(+π) = coscos(π) sinsin(π) ] }{{}}{{} = =0 sin(+π) = sin [sin(+π) = sincos(π) +cossin(π) = sin] }{{}}{{} = =0 sin( ) = sincos( ) = cos 6
Umrechnung denn: ( cos π ) ( analog sin + π ) = cos. Nullstellen im Intervall [0, π] sin = 0 {0,π,π} { π cos = 0, π } ( sin = cos π ) ( cos = sin + π ) = coscos( π/) sinsin( π/) = sinsin( π/) = sin () = sin Alle Nullstellen: Wegen der Periode π unterscheiden sich die Nullstellen jeweils um Vielfache von π: sin = 0 = 0,π,π,..., π, π... k Z : = kπ cos = 0 = π, π... π, π k Z : = π +kπ Beispiel: Bestimme alle Lösungen im Intervall [0, π] Lösung: Aus dem Additionstheorem folgt also in ( ) eingesetzt sin cos = 0 ( ). sin = sin(+) = sincos 0 = sincos cos = cos(sin) ( ) cos = 0 oder sin = Auf dem Einheitskreis: sin = = π } { π cos = 0 { π, π }. Somit ergibt sich die Lösungsmenge L =, π Beispiel: Bestimme alle reellen Lösungen. sin cos = 0 ( ). 7
Lösung: Wie oben folgt cos = 0 oder sin = Beide Gleichungen haben unendlich viele Lösungen. Man bekommt sie aus obigem Beispiel, indem man Vielfache von π addiert: Auf dem Einheitskreis: sin = k Z : = π +πk cos = 0 k Z : = π (k +). Somit ergibt sich L = { R k Z : = π (k +)} Beispiel: Löse die Gleichungen sin = cos =. zunächst auf [0,π] und dann auf R. Lösung: Laut Wertetabelle gilt sin π =. Auf dem Einheitskreisergibtsich die zweitelösungin [0,π]: = π. Durch periodische Fortsezung folgt für die erste Gleichung { π } { } π L = +kπ k Z +kπ k Z. Laut Wertetabelle gilt cos π 6 =. Auf dem Einheitskreis ergibt sich die zweite Lösung in [0,π]: = π. Durch periodische Fortsetzung folgt für die erste Gleichung 6 L = { π } { } π 6 +kπ k Z 6 +kπ k Z. 8