Seite 1 von 5 Prof. U. Stephan Wi-Ing 1. inweis: Dateien Starmath.ttf und Starbats.ttf im Verzeichnis C:\WINDOWS\FONTS erforderlich Ich vermisse im Vorspann "Was man weiß, was man wissen sollte" die trigonometrischen Funktionen. Deshalb eine Wiederholung: Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck: egeben sei ein rechtwinkliges Dreieck. Einer der beiden übrigen Winkel sei (phi): Dann haben die drei Seiten folgende Bezeichnungen: = ypotenuse = egenkathete = nkathete Die ypotenuse ist immer die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. ier unterscheidet man die beiden Katheten auf rund Ihrer Lage relativ zum Winkel (phi). Die Namen sollten klar sein. Bekannt sein sollte ebenfalls der Satz des Pythagoras: ² + ² = ² Können Sie auswendig, oder? Im rechtwinkligen Dreieck definiert man jetzt u. a. die folgenden Winkelfunktionen ( = trigonometrischen Funktionen): Sinus: sin ϕ = ; Cosinus: Mit diesen Definitionen folgt sofort: cos ϕ = ; Tangens: sinϕ tan ϕ = und sin ϕ + cos ϕ = 1 cosϕ tan ϕ = ; Diese Definitionen bzw. Beziehungen werden ständig angewendet. Sie sollte man auswendig können. Nachschlagen in der Formelsammlung ist Zeitverschwendung (besonders in einer Klausur).
Seite von 5 Wichtiger inweis: mit sin ϕ ist der Wert (sinϕ)² gemeint. elesen wird dieser usdruck als "Sinus Quadrat phi". Um den Wert auf einem Taschenrechner zu berechnen, muss man i. a. erst den Winkel eintippen, dann die Taste sin drücken (berechnet den Sinus des Winkels) und dann die Taste x² drücken (quadriert die zuletzt gesehene Zahl). uf vielen Taschenrechnern sieht man eine Taste mit der ufschrift sin -1. Mit dieser Taste berechnet man jedoch nicht den Wert (sin ) -1. Was diese Taste bedeutet, ist weiter unten erklärt. Man braucht die obigen Winkelfunktionen jedoch für beliebige Winkel. Ein technisches Beispiel: Eine Schraube wird 7 volle Umdrehungen und dann noch 53 gedreht. Der Drehwinkel ist dann gleich 7. 360 + 53, also 573, und auch von einem solchen Wert braucht man den Sinus etc. Deshalb erweitert man die Definition. Die Erweiterung muss natürlich so erfolgen, dass die bisherigen Definitionen und Eigenschaften erhalten bleiben. Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis: Q z P(x;y) +1 y x 0 90 180 70 360-1 Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 (nicht 1 cm, nicht 1 m, sondern gerade 1 Kreisradius; der Kreisradius ist also für die folgenden Berechnungen die Einheit, so wie es früher die Einheiten Fuß, Elle, Spanne etc. gab). In diesem Einheitskreis markiert man den Winkel (phi). Die Null-Richtung ist die Richtung der chse nach rechts (an der die Zahlen 0, 90 etc. stehen), positive Winkel werden in der Richtung entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen (wie erkläre ich das nur der nächsten eneration, die nur mit Digitaluhren aufwächst?). Der eingezeichnete Winkel steht also für ca. 53 oder auch für 573 (siehe das technische Beispiel oben): Der Winkel bestimmt einen Punkt P auf dem Einheitskreis. Dieser Punkt P habe die Koordinaten (x;y). Mit den Definitionen aus dem rechtwinkligen Dreieck gilt offenbar: y = sin, x = cos (man beachte, dass die ypotenuse gleich dem Radius gleich 1 ist). Der durch bestimmte Strahl schneidet die Tangente an den Einheitskreis in einem Punkt Q mit den Koordinaten (1;z). Im rechtwinkligen Dreieck gilt offenbar z = tan (die nkathete im großen Dreieck hat die Länge 1). Für beliebige Winkel und obige Konstruktion am Einheitskreis wird jetzt definiert: y = sin x = cos z = tan
Seite 3 von 5 ufgabe: Markieren Sie in obiger Zeichnung die Werte für sin und cos für die Winkel 0, 45, 90 u. s. w. in Schritten von 45 bis 360 und verbinden Sie die Punkte zu zwei Kurven (je eine Kurve für sin und für cos ). inweis: Sie sollten imstande sein, diese Definition der Winkelfunktionen am Einheitskreis aus dem Stegreif zu wiederholen und eine Skizze wie oben anzufertigen. Man braucht die Winkelfunktionen sehr oft und kann nicht jedes Mal erst in eine Formelsammlung blicken. Wenn Sie den Einheitskreis z. B. mit r = 1 cm zeichnen, sollten Sie für die Strecke von 0 bis 360 6 cm vorsehen (Begründung folgt an einem Präsenzwochenende). Dann wird die Zeichnung zwar etwas ungenau, man kann jedoch die Einteilung des karierten Papiers gut nutzen. Folgenden Verlauf der raphen von sin und cos sollte man auswendig wissen: Diese Funktionen sind nicht umkehrbar, d.h. es gibt Funktionswerte, die mehrfach auftreten. Weiß man z. B. sin α = 0.5, so kann α gleich 30, 150, 390 u. s. w. sein (nachrechnen mit TR!). Weiß man z. B. cos α = 1, so kann α gleich 0, 360, 70 u. s. w. sein (nachrechnen mit TR!). äufig braucht man aber die Umkehrfunktion. Man schränkt daher den Definitionsbereich dieser beiden Funktionen wie folgt ein: Die Funktion y = sin wird beschränkt auf den Definitionsbereich -90 90. Die Funktion y = cos wird beschränkt auf den Definitionsbereich 0 180.
Seite 4 von 5 Die umkehrbaren Funktionen haben diese raphen: Die Umkehrfunktionen haben in der Mathematik folgende Bezeichnungen: = arcsin y (elesen: gleich arcus sinus y) = arccos y (elesen: gleich arcus cosinus y) ufpassen: Manche Taschenrechner (TR) haben für diese Funktionen auf den Tasten die Bezeichnungen sin -1 bzw. cos -1. Man sollte auch auswendig wissen, dass es für einige spezielle Winkel exakte Werte für sin und cos gibt: Winkel 0 30 45 60 90 sin-wert 0 ½ ½ ½ 3 1 "Eselsbrücke" für sin-wert ½ 0 ½ 1 ½ ½ 3 ½ 4 cos-wert 1 ½ 3 ½ ½ 0 "Eselsbrücke" für cos-wert ½ 4 ½ 3 ½ ½ 1 ½ 0 Die heutigen TR sind zum lück genau genug, dass man auch den Wert (z.b. ½ ) erst mit dem TR berechnen und dann sich den arcsin geben lassen kann. Es ist jedoch bei manchen theoretischen erleitungen von Sachverhalten günstig, auch ohne TR von ½ = sin α auf α = 45 zu schließen. uf der folgenden Seite finden Sie die obigen speziellen Werte für alle Winkel von 0 bis 360, und auch für die Winkelfunktion tan (tangens).
Seite 5 von 5 Tabellen für trigonometrische Funktionen und komplexe Zahlen: Sie sollten auswendig wissen, dass man zu gewissen Werten von sin und cos den Winkel exakt angeben kann. Diese Werte und zugehörige Winkel (aus dem Intervall von 0 bis 360 ) finden Sie in der folgenden Tabelle: sin (..) 70 300 315 330 0 30 45 60 90 cos (..) 180 150 135 10 90 60 45 30 0-1 -½ 3 -½ -½ 0 ½ ½ ½ 3 1 cos(..) 180 10 5 40 70 300 315 330 360 sin (..) 70 40 5 10 180 150 135 10 90 tan (..) -90-60 -45-30 0 30 45 60 90 Funktionswert Funktionswert - - 3-1 - 1 / 3 3 0 1 / 3 3 1 3 + Zur Tangensfunktion: Das + bzw. - in der Tabelle bedeuten 1. Die Funktion tan( ) ist weder für =+90 noch für =-90 definiert.. Für +90 wächst tan( ) über alle renzen ( strebt gegen + ). 3. Für -90 fällt tan( ) unter alle renzen ( strebt gegen - ). Wie gesagt: Die Werte können Sie auswendig, sie fallen Ihnen beim Rechnen auf. Die zugehörigen Winkel entnehmen Sie der Formelsammlung / obiger Tabelle.