ELEMENTE. Grundkompetenzen DER MATHEMATIK. für die neue Reifeprüfung. Mit Lösungen

5 ELEMENTE DER MATHEMATIK GK Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Mit Lösungen

Die Formulierung der Grundkompetenzen (GK) bezieht sich auf den Stand von August 2010. 1. Auflage, 2010 Gesamtherstellung: Verlag E. DORNER GmbH, Wien zu Buch-Nr. 115 522 Geretschläger, Griesel, Postel u. a. Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung 2010 Verlag E. Dorner GmbH Ungargasse 35, 1030 Wien Tel.: 01 / 533 56 36, Fax: 01 / 533 56 36-15 E-Mail: office@dorner-verlag.at www.dorner-verlag.at ISBN 978-3-7055-0475-2

3 Zu Kapitel 1.2.1 Grundbegriffe der Mengenlehre 1) Gegeben sind die Mengen A = Z \ N, B = Z N, C = R \ Q, D = R Q, E = Q Z und F = R \ N. Welche dieser Mengen ist a) die Menge aller reellen Zahlen? b) die Menge aller irrationalen Zahlen? c) die Menge aller negativen ganzen Zahlen? d) die Menge aller ganzen Zahlen? a) D, b) C, c) A, d) E 2) Die folgenden Mengenaussagen sind alle falsch. Ändere jeweils ein Symbol oder eine Zahl in jeder Aussage, um eine wahre Aussage zu erhalten. (Hinweis: Es sind oft mehrere Antworten möglich.) a) 3 {1,2,4,5} b) {1,2} {3,4,5} = c) {1,2,3} {3,4} = {5} d) {1,2,3} {2,3,4,5} e) 2 {1,2,3,4,5} f) {1,2,3} {2,3,4,5} = {2,3} g) {1,2,3,4} {2,3} = {1,2,3,4} a) 3 {1,2,4,5} oder 3 {1,2,3,5} b) {1,2} {3,4,5} = c) {1,2,3} {3,4} = {3} d) {1,2,3} {2,3,4,5} oder {4,2,3} {2,3,4,5} e) 2 {1,2,3,4,5} oder 2 {1,6,3,4,5} f) {1,2,3} {2,3,4,5} = {2,3} g) {1,2,3,4} {2,3} = {1,2,3,4} 3) Entscheide, ob die folgenden Mengenaussagen wahr oder falsch sind. wahr falsch 4 {1,2,3} {1,2,3} {2,3} = {2,3} {1,2} {1,2,3,4,5} 3 {1,2,4,5} {1,2,3} = {1,2,3} {1,2} wahr falsch 4 {1,2,3} X {1,2,3} {2,3} = {2,3} X {1,2} {1,2,3,4,5} X

4 3 {1,2,4,5} X {1,2,3} = X {1,2,3} {1,2} X 4) Vervollständige folgende Tabelle durch Ankreuzen der jeweils richtigen Behauptung. ja nein 5 Q -5 Q -5 R 5 Q - 5 Q 5 R -5,13 Q -5,13 Z -5,13 N ja nein 5 Q X -5 Q X -5 R X 5 Q X - 5 Q X 5 R X -5,13 Q X -5,13 Z X -5,13 N X

5 Zu Kapitel 2.1 Modellieren von Sachverhalten Funktionsbegriff 1) In welchem Intervall ist die abgebildete Funktion monoton wachsend? a) überall b) nirgends c) [ 0; 3 ] d) [ 1;1] e) [ 3; 3 ] f) [ 3 ; [ d) 2) Eine reelle Funktion ist gegeben durch die Funktionsgleichung f(x) = x² 3. a) Vervollständige folgende Tabelle für diese Funktion. x 0 3 f(x) 0 1 1 2 b) Zeichne den Graph dieser Funktion im Intervall [ 3;3]. a) x f(x) 0 3 ± 3 0 3 6 ± 2 1 1 2 11 4

6 b) 3) Gegeben sind die abgebildeten Funktionskurven. Bestimme von jedem Graphen alle Punkte, für die gilt: a) y = 0 b) x = 0 c) x = 2 a) f: ( 4/0); g: ( 1/0) und (1/0); h: ( 1/0), (1/0) und (3/0) b) f: (0/1); g: (0/1); h: (0/3) 1 c) f: (2/ 1 ); g: (2/ 3); h: (2/ 3) 2

7 4) Gegeben sind die Graphen der Funktionen f(x) und g(x). a) Bestimme für jede Funktion die Menge aller x, für die gilt: i) y > 0 ii) y 0 iii) 1 2 y 2 b) Bestimme für jede Funktion die Menge aller y, für die gilt: i) x > 0 ii) x 0 iii) 2 x 1 iv) 3 x < 0 Funktion f: a) i) R\{0}, ii) {0}, iii) [1;2], [ 2; 1] b) i) ]0; [, ii) ]- ;0], iii) [0;2], iv) ]0;4,5] Funktion g: a) i) ]- ;-2[, ii) [-2; [, iii) [-3;-6] b) i) ]- ;-1[, ii) [-1; [, iii) [-1,5;0], iv) ]-1;0,5] 5) Gegeben ist der Graph der Funktion f(x). Es wird behauptet, dass die gegebenen Mengen Lösungsmengen der Ungleichung f(x) < 0 sind. Kreuze jeweils an, ob diese Behauptung wahr oder falsch ist.

8 wahr falsch ] ; 1[ ] 3;2[ [ 3;2] ] ; 3[ {x R 3 < x < 2} {x R 3 x 2} {x R x < 1} {x R x < 3 x > 2} wahr falsch ] ; 1[ X ] 3;2[ X [ 3;2] X ] ; 3[ X {x R 3 < x < 2} X {x R 3 x 2} X {x R x < 1} X {x R x < 3 x > 2} X 6) In welchen Intervallen gilt f(x) > 0? wahr falsch [ 2;1[ ]0;2[ {x R x < 1} {x R 4 x 0} {x R 4 < x < 1} wahr falsch [ 2;1[ X ]0;2[ X {x R x < 1} X

9 {x R 4 x 0} X {x R 4 < x < 1} X

10 Zu Kapitel 2.2 Geraden Lineare Funktionen 1) Bestimme jeweils die Gleichung der Geraden in der Punkt-Steigungsform (y = kx+d). g 1 : y = 0,5 x + 1; g 2 : y = 0,5 x + 1; g 3 : y = 1; g 4 : y = x 2) Im Folgenden sind Funktionstabellen linearer Funktionen gegeben. Untersuche jeweils, ob es tatsächlich eine lineare reelle Funktion gibt, die dieser Tabelle entspricht. Wenn ja, bestimme die Funktionsgleichung der Funktion und zeichne ihren Graphen. Wenn nein, begründe dies! a) b) c) x f(x) x f(x) x f(x) 0 3 2 3 1 1 1 2 0 0 0 0 2 3 2 3 3 3 3 4 6 9 4 4 a) Es handelt sich um keine lineare Funktion. Die Punkte (1/2), (2/3) und (3/4) liegen alle auf der Geraden mit der Gleichung y = x + 1, der Punkt (0/3) aber nicht. b) Die Koordinaten aller Punkte erfüllen die Gleichung 3x + 2y = 0. Alle liegen also auf der Geraden mit dieser Gleichung.

11 c) Es handelt sich um keine lineare Funktion. Die Punkte (0/0), (3/3) und (4/4) liegen alle auf der Geraden mit der Gleichung y = x, der Punkt ( 1/1) aber nicht. 3) Ordne jedem der folgenden Graphen linearer Funktionen jeweils die passende Funktionsgleichung zu. Gleichungen: a) f(x) = 3x 2, b) f(x) = x + 1, c) f(x) = 4 2x, d) f(x) = x 2, e) f(x) = 2 I II III IV

12 I d, II a, III e, IV c 4) Welche der folgenden Graphen bilden die Funktion f(x) = 10x 8 ab? a) b) c) d) e) b) und e) bilden die Funktion ab. 5) Wie lauten mögliche Funktionsgleichungen der in folgender Grafik gegebenen Funktion? a) f(x) = 4x + 8 b) f(x) = 4(x + 2) c) f(x) = 1 1 6 x + 12 d) f(x) = 1 6 x 12 1 e) f(x) = 4(x 2) f) f(x) = ( 1 1 6x + 2) a) und e) sind mögliche Funktionsgleichungen.

13 Zu Kapitel 2.3 Parabeln Quadratische Funktionen 1) Eine reelle Funktion ist gegeben durch den abgebildeten Funktionsgraphen. a) Vervollständige folgende Tabelle für diese Funktion. x 0 1 3 f(x) 0 1 b) Bestimme die Funktionsgleichung dieser Funktion unter der Voraussetzung, dass die Funktion quadratisch ist. a) x f(x) 0 0 1 1 3-3 0 0 oder 2 1 1 b) f(x) = x(x 2) = x² + 2x

14 2) Eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + c ist durch einige Funktionswerte in folgender Tabelle gegeben. x f(x) 0 1 2 3-1 1,5 a) Zeichne den Graph dieser Funktion im Intervall [ 3;3]. b) Welche der folgenden Funktionsgleichungen passt zur gegebenen Wertetabelle? f(x) = x² + 1; f(x) = 0,5 x² + 1; f(x) = 2x² 1; f(x) = 2x² + 1; f(x) = 0,5 x² 1 a) b) f(x) = 0,5 x² + 1

15 3) Ordne jedem der folgenden Graphen einer quadratischen Funktion die passende Funktionsgleichung zu. Gleichungen: a) f(x) = x² 2, b) f(x) = -x² + 1, c) f(x) = 4 x², d) f(x) = x² + 2, e) f(x) = 2x² I II III IV I a, II e, III d, IV c 4) Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 1)² + 5. Begründe, warum der Graph von f(x) die x-achse nicht schneidet. Das Quadrat einer reellen Zahl kann niemals negativ sein. Der Ausdruck (x + 1)² ist also niemals negativ, und der Ausdruck (x + 1)² + 5 daher niemals kleiner als 5, welchen Wert man für x auch einsetzt. Die Funktionskurve dieser Funktion hat somit keinen Punkt, der unterhalb der Geraden y = 5, die parallel zur x-achse verläuft, liegt. Die Funktionskurve kann somit auch niemals die x-achse schneiden.

16 Zu Kapitel 2.5 Quadratische Gleichungen 1) Ordne jeder quadratischen Gleichung die richtige Lösungsmenge zu: a) x² + 4x = 0 b) x² 4 = 0 c) 4x² = 0 d) x² + 4 = 0 e) x² + 4x + 4 = 0 f) x² 4x = 0 g) x² 4x + 4 = 0 L 1 = {}, L 2 = { 2; 2}, L 3 = {2}, L 4 = {0}, L 5 = { 2; 0; 2}, L 6 = { 2}, L 7 = {0; 4}, L 8 = { 4;0}, L 9 = {0; 2} a) L 8, b) L 2, c) L 4, d) L 1, e) L 6, f) L 7, g) L 3 2) Ordne jeder Lösungsmenge eine quadratische Gleichung richtig zu: a) iv, b) i, c) v, d) vi, e) iii a) L 1 = {} i) (x 3)² = 0 b) L 2 = {3} ii) (x 3)² = 9 c) L 3 = { 3;3} iii) x² 3x = 0 d) L 4 = { 3} iv) x² = 9 e) L 5 = {0;3} v) x² = 9 vi) x² + 6x + 9 = 0 vii) (x + 3)² = 9 3) Begründe, warum die Gleichung (x 2)² + 1 = 0 keine reelle Lösung besitzt. Das Quadrat einer reellen Zahl kann niemals negativ sein. Der Ausdruck (x 2)² ist also niemals negativ, und der Ausdruck (x 2)² + 1 daher niemals kleiner als 1, welchen Wert man für x auch einsetzt. Dieser Ausdruck kann also für kein reelles x den Wert 0 annehmen, und die Gleichung kann somit keine reelle Lösung besitzen. 4) Kreuze jeweils an, ob die gegebenen quadratische Gleichung keine (0), genau eine (1), genau zwei (2) oder unendlich viele ( ) reelle Lösungen hat. 0 1 2 x² + 2x + 1 = 0 x² + 1 = 0 x² + 1 = 1 2 (2x² + 2) 2(x 3)² 5 = 0 (x 3)² + 5 = 0

17 2 ( ) 2 3 5 x = 0 x² = x² 3x² 7x 18 = 0 0 1 2 x² + 2x + 1 = 0 X x² + 1 = 0 X x² + 1 = ½ (2x² + 2) X 2(x 3)² 5 = 0 X (x 3)² + 5 = 0 X 2 ( ) 2 3 5 x = 0 X x² = x² X 3x² 7x 18 = 0 X 5) f, g, h und k sind quadratische Funktionen. Beim grafischen Lösen der quadratischen Gleichungen f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0 und k(x) = 0 ergeben sich die abgebildeten Graphen. Wie viele Lösungen hat jede Gleichung? f(x) = 0: 2 Lösungen, g(x) = 0: 1 Lösung, h(x) = 0: 2 Lösungen, k(x) = 0: keine Lösung

18 6) Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 hat die Lösungen 1 und 3. Skizziere zwei mögliche Graphen der Funktionskurve von f(x) = ax² + bx + c. 7) Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 hat genau eine reelle Lösung an der Stelle x = 1. Skizziere zwei mögliche Graphen der Funktionskurve von f(x) = ax² + bx + c. 8) Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 hat keine reellen Lösungen. Skizziere zwei mögliche Graphen der Funktionskurve von f(x) = ax² + bx + c.

19 9) Welche der folgenden Zahlen sind Lösungen der jeweiligen Gleichung. Kreuze die Lösungen jeweils an (Mehrfachnennungen sind möglich). 2 1 0 1 2 x² + 1 = 5 (x 1)² = 9 x² + 4x + 4 = 0 x² + 2x + 8 = 0 x² 3x + 2 = 0 (x 1)(x + 2) = 0 x² 2x = 0 (x 1)² = 1 (x 1)² = (x + 1)² (x + 1)² = 2x + 1-2 -1 0 1 2 x² + 1 = 5 X X (x 1)² = 9 X x² + 4x + 4 = 0 X x² + 2x + 8 = 0 x² 3x + 2 = 0 X X (x 1)(x + 2) = 0 X X x² 2x = 0 X X (x 1)² = 1 X X (x 1)² = (x + 1)² X (x + 1)² = 2x + 1 X

20 Zu Kapitel 3 Trigonometrie 1) Zeichne im abgebildeten Koordinatensystem eine Strecke mit der Länge sin α. Begründe deinen Lösungsweg. Im entstandenen rechtwinkligen Dreieck mit dem Innenwinkel α hat die Hypotenuse die Länge 1. Der Sinus von α ist gegeben durch das Verhältnis der Längen der gezeichneten Gegenkathete und der Hypotenuse, die die Länge 1 hat. Die Länge der gezeichneten Strecke beträgt daher wie gefordert sin α. 2) In einem Dreieck ABC sind die Längen der Seiten a und b sowie die Größe des eingeschlossenen Winkels γ bekannt. a) Ist die Länge der dritten Seite c durch diese Informationen eindeutig oder mehrdeutig bestimmt oder ist die Länge c gar nicht bestimmt? Worauf stützt sich deine Behauptung?

21 b) Wie kann man die beiden Winkel α und β aus den gegebenen Größen berechnen? a) Nach dem SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite) sind zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und der Größe des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen, kongruent. Die Länge der fehlenden Seite c ist also durch die gegebenen Informationen eindeutig bestimmt. b) Mithilfe des Cosinussatzes kann zunächst die Länge von c berechnet werden, denn es gilt c² = a² + b² 2absin α. Kennt man c, können α und β mithilfe des Sinussatzes berechnet werden, denn es gilt. Es genügt auch den Sinussatz nur einmal zu verwenden, etwa zur Bestimmung von α, denn es gilt dann auch β = 180 α γ. 3) Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathetenlängen 3 und 4. a) Wie groß ist der Sinus des kleinsten Innenwinkels dieses Dreiecks? i) 0,3 ii) 0,4 iii) 0,6 iv) 0,75 v) 0,8 b) Begründe deine Antwort in a)! a) iii b) Die Hypotenusenlänge ist 5. Der kleinste Innenwinkel liegt der kleinsten Seite gegenüber. Sie hat die Länge 3. Der Sinus des kleinsten Innenwinkels ist somit 3/5 = 0,6. 4) Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathetenlängen 5 und 12. Wie groß ist der Tangens des kleinsten Innenwinkels dieses Dreiecks? i) 5/12 ii) 12/5 iii) 12/13 iv) 13/12 v) 5/13 vi) 13/5 i) 5) Für einen spitzen Winkel α ist bekannt, dass sin α = a gilt. a) Wie groß ist cos α? 2 i) 1 a ii) iii) iv) 1 a v) vi) b) Wie groß ist tan α? i) ii) iii) iv) 1 a v) vi) a) ii b) iii 6) Für einen stumpfen Winkel α ist bekannt, dass cos α = a gilt. a) Wie groß ist sin α? 2 i) a 1ii) iii) iv) 1 a v) vi) vii) b) Wie groß ist tan α? i) ii) iii) iv) 1 a v) vi) vii) a) vii b) v

22 7) Ein Stück eines Wanderweges hat eine Steigung von 40%. Wie groß ist der Tangens des Winkels, in dem dieser Weg zu einer gedachten horizontalen Ebene ansteigt? 40% Steigung bedeutet: Auf einer horizontaler Strecke von 100 m steigt der Weg um 40 m an. Es gilt für den Tangens des Steigungswinkels α: tanα = 40 = 0,4. 100 8) Wie viel % Steigung hat ein Weg, für dessen Neigungswinkel α gilt: ta nα= 1? 100% 9) In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90 gilt tan α > 1. Welchen Wert kann der Winkel β nicht haben? (Mehrere richtige Antworten sind möglich.) i) 30 ii) 44 iii) 45 iv) 46 v) 60 iii), iv), v). Weil α > 45 sein muss, gilt sicher β < 45.

23 Zu Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen 1) Eine der folgenden Grafiken zeigt eine mögliche grafische Lösung des Gleichungssystems: I: 2x + y = 5 II: x + y = 1 Welche? Lies aus der Grafik die Lösung ab und bestätige ihre Richtigkeit mithilfe einer Probe. a) b) c) Die richtige Graphik ist a). Man liest daraus die Lösung (2 1) ab. Diese wird durch die Probe 2 2 + 1 = 5 und 2 + 1 = 1 bestätigt. 2) Die Firmen Hierz und Putscher sind Autovermietungen, die Pkws vermieten. Firma Hierz wirbt mit einem Preis von15 für 50 gefahrene Kilometer und keiner anfallenden Grundgebühr. Firma Putscher verlangt a Grundgebühr und pro gefahrenen Kilometer 0,30. Wie muss a gewählt werden, damit die Miete bei Putscher für einen Fahrt von 200 km günstiger ist als bei Hierz? Hierz: h(x) = 15 50 x = 0,3x ; Putscher: p(x) = a + 0,30 x (x gefahrene Kilometer). Die Graphen beider Funktionen sind parallel zu einander, es gibt keinen gemeinsamen Schnittpunkt. p(x) > h(x) für a > 0. p(x) = h(x) für a = 0. Das heißt, dass das Angebot der Firma Putscher nie billiger ist als das der Firma Hierz. Es existiert kein entsprechender Wert für a. 3) Kreuze jeweils an, wie viele Lösungen das Gleichungssystem hat. I: x + 3y =7 II: 3y = 7 + x I: x 3y = 7 II: x + 3y = 7 I: 2x + 6y = 14 II: x + 3y = 7 0 1

24 I: y = 3x 7 II: 3x = y + 7 I: 3x = y 7 II: 7 + y = 3x I: y = 7 3 x 3 II: 14 = 2x 6y I: x + 3y =7 II: 3y = 7 + x I: x 3y = 7 II: x + 3y = 7 I: 2x + 6y = 14 II: x + 3y = 7 I: y = 3x 7 II: 3x = y + 7 I: 3x = y 7 II: 7 + y = 3x 0 1 X X X X X I: y = 7 3 x 3 II: 14 = 2x 6y X 4) Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem jeweils unendlich viele Lösungen? a) I: 3x 9y = 6 II: ax + by = 8 b) I: x + ay = 2 II: x y = 2 c) I: ax + y = 2 II: 6x + 2y = b d) I: ax + y = b II: y = 1 e) I: 4x + ay = 5 II: bx + 2y = 10 Lösung : a) a = 4, b = 12 b) a = 1, b = 1 c) a = 3, b = 4 d) a = 0, b = 1 e) a = 1, b = 8

25 5) In den nachfolgend gegebenen Gleichungssystemen werden für den Parameter a verschiedene Werte eingesetzt. Trage in die Tabelle ein, ob das jeweilige Gleichungssystem dann 0, 1 oder unendlich viele Lösungen besitzt. a) b) c) d) I: 3x ay = 1 I: ax + y = 5 I: x y = a I: 2x + y = a II: x + y = 3 II: 6x + 3y = 15 II: 4x + y = 4 II: 4x + 2y = 4 Wert für a 0 3 2 3 4 a) b) c) d) Wert für a 0 3 2 3 4 a) 1 0 1 1 1 b) 1 1 1 1 c) 1 1 1 1 1 d) 0 0 0 0 6) a) Im Folgenden werden fünf Situationen beschrieben, die jeweils in den Grafiken dargestellt sind. Ordne die Beschreibung jeweils der passenden Grafik zu. I II III

26 IV V (1) Zwei Fahrzeuge fahren mit derselben Geschwindigkeit in die gleiche Richtung. (2) Karl und Hans fahren beide unterschiedlich schnell in Richtung C-Hausen. (3) Dorothea und Yvonne fahren beide in Richtung A-Dorf. (4) Josef wartet nach einer Panne auf den Pannendienst, der aus einer anderen Stadt bestellt ist. (5) Ludwig und Monika fahren in entgegengesetzte Richtungen. b) Zu welchem Zeitpunkt trifft der Pannendienst bei Josef ein? c) In welcher Entfernung zu B-Stadt holt Karl Hans ein? d) Wann begegnen einander Ludwig und Monika? e) Mit welcher Geschwindigkeit fährt Yvonne, falls sie die Schnellere ist? a) (1) IV; (2) I; (3) II; (4) V; (5) III b) Der Pannendienst trifft um 11.40 Uhr bei Josef ein. c) Karl holt Hans 40 km von B-Stadt entfernt ein. d) Ludwig und Monika begegnen einander um 22.50 Uhr. e) Yvonne fährt mit 60 km/h.

27 Zu Kapitel 5.5 Geraden in der Ebene Darstellungsformen 1) Von einer Geraden sind in jeder Zeile ausreichend viele Informationen gegeben, um sie eindeutig zu definieren. Vervollständige die Tabelle. (Hinweis: Für jede Rubrik gibt es mehrere richtige Antworten.) P g Q g k Richtungsvektor Normalvektor Normalform (vektoriell) Normalform (Koordinaten) Parameterform Punkt Steigungsform (4/2) (0/2) 0 y = 2 y = 2 (0/ 3) (6/0) x 2y = 6 (0/1) ( 1/ 3) 4 4x y = 1 y = 4x + 1 (0/0) (3/2) 2x 3y = 0 (0/ 9) (4/ 1) 2 2x y = 9 y = 2x 9 (0/ 5) (3/1) 2 2x y = 5 y = 2x 5 (3/2) (5/0) 1 x + y = 5 y = x + 5 (0/4) ( 2/0) 2 2x + y = 4 y = 2x + 4