3.3 Heterogee Olgoole ud mooolstsche Kokurrez I desem Abschtt werde wr sehe, daß das Bertrad-Ergebs homogee Märkte stark abgeschwächt werde ka, we der Markt cht mehr homoge st. Zuächst gehe wr vo ur 2 Uterehme aus. Zur Verefachug gehe wr auch vo leare Nachfragefuktoe aus. Damt wr efacher mt der Stuato be Megeetscheduge vergleche köe, gehe wr vo folgede Pres-Absatzfuktoe aus: P (x, x 2 ) = a - bx - θbx 2 P 2 (x, x 2 ) = a - bx 2 - θbx Daraus ergebe sch de Nachfragefuktoe a θ x (, ) = + b( + θ) b( θ ) b( θ ) 2 2 2 2 a θ x (, ) = + b( + θ) b( θ ) b( θ ) 2 2 2 2 2 Falls dese Ausdrücke egatve Ergebsse habe, wrd de Nachfrage glech 0 gesetzt. Auch de Kostefuktoe see lear ud für bede Uterehme glech: C (x ) = cx. Für de Paramter gelte a(-θ) > c ud > θ > 0. De Gewfukto des erste Uterehmes st daher für ostve Nachfrage: Π (, 2 ) = ( - c) x (, 2 ) De Gewfukto des zwete Uterehmes st aalog für ostve Nachfrage Π 2 (, 2 ) = ( 2 - c) x 2 (, 2 ) Fasse wr dese bede Gewfuktoe als Nutzefuktoe zweer Seler auf, köe wr us ach dem Nash-Glechgewcht des etsrechede Sels frage. Betrachte wr zuächst de "Reaktosfukto" des erste Uterehmes. Dazu müsse wr beachte, daß durch ee zu hohe Pres de egee Nachfrage auf 0 abskt ud durch ee sehr edrge Pres dasselbe für de Nachfrage des Kokurrete gelte ka. De egee Nachfrage st geau da ostv, we ( - θ)a - + θ 2 > 0 2 > /θ - ( - θ)a/θ
2 De Nachfrage des Kokurrete st geau da ostv, we a - b 2 + θb > 0 θ + ( - θ)a > 2 Gehe wr u zuächst davo aus, daß dese Kostellatoe zutreffe. Da ergbt sch desem Berech de "Reaktosfukto" des erste Uterehmes aus der Maxmerug vo Π (, 2 ) bzgl. : ( - θ)a + c - 2 + θ 2 = 0 2 = -(( - θ)a + c)/θ + 2 /θ ( 2 ) = (( - θ)a + c)/2 + θ 2 /2 Dara ka ma ablese, daß de Postvtätsbedguge für de Nachfrage für das Glechgewcht e bded werde. Des seht ma am efachste, we ma sch de Stuato grahsch veraschaulcht: 2 x 2 < 0 x 2 > 0 2 (.) (.) x < 0 ((-θ)a+c)/2 (-θ)a I der Grahk sd de bede Begrezugsle für de Bedgug x > 0 egetrage. De Begrezugsle für x > 0 hat ee gergere Stegug als de "Reaktosfukto" des erste Uterehmes. Daher wählt - ahelegederwese - das erste Uterehme e ee Pres, der see Nachfrage auf Null drücke köte. Daraus lest ma u ab, daß sch de relevate "Reaktosfuktoe" geau emal schede. Wr habe also sowohl Exstez als auch Edeutgket des Nash-Glechgewchts. Berechet ma aus de obge Glechuge das Glechgewcht, so ergbt sch: = 2 = ( θ ) a + c ( θ)( a c) = c + 2 θ 2 θ Im Gegesatz zu dem "ree" Bertrad-Modell ergbt sch damt u e Pres deutlch über de Grezkoste, solage θ <.
3 Der Parameter θ gbt de Substtuerbarket weder. We deser Parameter glech 0 st, st de Nachfrage der ezele Uterehme bzgl. der Prese völlg uabhägg voeader. De Kude der bede Uterehme betrachte da de bede Güter als cht substtuerbar. Se stelle schlchtweg zwe völlg uterschedlche Güter dar. Je höher der Parameter st, desto höher st auch de Beweglchket der Nachfrager. We e Uterehme see Pres erhöht, werde θ) Kude zu dem adere Uterehme "überlaufe". Se betrachte also de bede Güter als zuehmed substtutv. We θ = glt, sd bede Güter erfekte Substtute (vgl. de obge Pres-Absatzfuktoe!). Da ske de Prese auf de Grezkoste. I desem Fall st de obe getroffee Aahme a(-θ) > c cht mehr möglch. Dese wurde jedoch ur getroffe, um cht mehrere Falluterscheduge vorehme zu müsse. Nmmt ma Kauf, daß ma de Zechug für a(-θ) < c etsreched aasse muß, so braucht ma ur de Aahme a > c. De etsrechede Zechug fdet ma z.b. Mart. Würde ma de obge Aalyse mt Megeetscheduge durchführe (heterogees Courot- Modell), so würde sch edrgere Prese ud Gewe estelle. De etsrechede Rechuge blebe dem Leser als Übug überlasse. Stattdesse wolle wr her utersuche, we de Preskokurrez zwsche de bede olgoolstsche Uterehme m Verhälts zu eem 2-Produktmooolste auf de Pres wrkt. Berechet ma de gewmaxmale Prese ees solche Mooolste, so ergbt sch: a c = = + 2 2 Daraus läßt sch schell ablese, daß deser Pres höher ausfällt. Des st cht überrasched. Be ostvem θ übt jedes Uterehme über see Pres ee ostve extere Effekt auf de Kokurrete aus. Da uabhägge Uterehme dese Effekt cht beachte, wähle se m Verhälts zu eem 2-Produktmooolste, der dese Effekt teralsere ka, ee zu gerge Pres. Das Ergebs st demach cht überrasched. Ma beachte jedoch, daß sch deses Ergebs herumdreht, we de Güter Komlemete sd. Aus deselbe Grüde wrd e 2-Produktmooolst dem Fall vo Komlemete ee edrgere Pres forder als des uabhägge Uterehme tu. Mehr Wettbewerb st also cht ubedgt besser für de Kosumete. De obge Aalyse läßt sch ohe große Probleme auf mehr als zwe Uterehme übertrage. Be Uterehme, wrd de Nachfrage we folgt aussehe (abgeletet aus der Verallgemeerug obger Pres-Absatzfuktoe):
4 x b a θ (, ) = + ( ) + ( ) θ, θ wobe =. Ma beachte, daß de Nachfrage sch u auf mehr Uterehme auftelt j j ud daß deshalb de Nachfrage ro Uterehme skt. Daraus ergbt sch der Glechgewchtsres ( θ)( a c) = c + 2 + ( 3) θ. ud de sch damt estellede Gewe ( + ( 2) θ)( θ) a c Π ( ) = b + ( ) θ 2 + ( 3) θ Daraus läßt sch u uschwer ablese, daß sowohl de Prese als auch de Gewe mt stegede Uterehmeszahle ske. Mehr Wettbewerb führt her zu eer bessere Versorgugslage. We gege uedlch strebt, kovergere Prese ud Gewe gege Null. Das drückt ma tyscherwese so aus: Freer Etrtt vo Uterehme führt zu eer effzete Versorgug (ud Pressetzug). Allerdgs st de krtschste Aahme, de wr her getroffe habe, de der Leartät der Koste. I aller Regel st Produkto mt Fxkoste verbude. Im efachste Fall habe wr da ee Kostefukto C(x) = F + cx. Uter dese Umstäde wäre der Gew jedes Uterehmes Π () - F. Folglch werde cht mehr uedlch vele Uterehme etrete. Velmehr werde ur solage Uterehme etrete, we der zu erwartede Gew cht egatv st. Formal werde ur sovele Uterehme * etrete, we durch de Uglechuge Π (*) - F 0, Π (* + ) - F < 0 charaktersert sd. Dese Stuato läßt sch auch als ee Art "Tagetelösug" grahsch charaktersere. Dese Tagetelösug selt der Theore der mooolstsche Kokurrez ee wchtge Rolle. Deshalb werde wr se her m Kotext der Olgooltheore scho emal besreche. Dazu gehe wr davo aus, daß * durch Π (*) - F = 0 charaktersert st. Nur desem Fall habe wr ee "rchtge" Tagetelösug. De Tagetaltät bezeht sch auf de relevate Nachfragekurve ees Uterehmes ud de Durchschttskostekurve. De Bedgug für * 2.
5 bewrkt, daß de bede Kurve tagetal zueader se müsse. Betrachte wr dazu de relevate Nachfragefukto. Be der egee Wahl des Preses geht e Uterehme davo aus, daß de adere Uterehme hre Glechgewchtsrese, *, wähle. Setzt ma de obge Prese e, so ergbt sch für de Nachfragefukto a c x (, *) ( 2 ( θ) + ( ) θ)( + ( 2) θ ( ) = + 2 θ ( ) θ b ( θ)( 2 + ( 3) θ). θ Daraus ka ma ach ege Rechuge fde, daß de Stegug der Nachfragefukto mt stegedem zummt ud daß der Pres, be dem de Nachfragefukto Null wrd, mt stegedem fällt. Betrachte wr dese Stuato der folgede Grahk. I Durchschttskostekurve II * III x* x De mt römsche Zahle gekezechete Kurve reräsetere de obge relevate Nachfragefuktoe für verschedee. De mt I gekezechete Kurve läßt offebar ostve Gewe zu: Z.B. der für x* errechbare Pres legt über de Durchschttskoste. Also ergbt sch e ostver Gew ud es fdet weterer Etrtt statt. Be der mt III gekezechete Nachfragefukto sd ur Verluste zu erwrtschafte. De Nachfragekurve legt vollkomme uter der Durchschttskostekurve. Se reräsetert ee Azahl vo Uterehme, de alle Verluste mache. Folglch muß der Etrttsrozeß vorher zum Erlege gekomme se. De mt II gekezechete Nachfragefukto schleßlch erlaubt, be (x*, *) gerade de Koste zu decke. E ostver Gew st cht möglch. Des muß daher gerade de Stuato se, der so vele Uterehme egetrete sd, daß emad ostve Gewe mache ka, jedoch auch emad Verluste macht. Se charaktersert folglch de Azahl *. De "Tagetelösug" besteht offebar dar, de vo der Azahl der Uterehme abhägede relevate Nachfragekurve zu fde, de mt der Durchschttskostekurve tagetal wrd. De Azahl, de dese Nachfragekurve charaktersert, st de Azahl der etretede Uterehme. Offeschtlch ka dese Tagetaltät ur errecht werde, we es "zufällg" e gbt, be der de etsrechede Nachfrage tagetal wrd. Es köte zum Besel se, daß de mt I
6 gekezechete Nachfragekurve zu eer Azahl gehört ud de mt III gekezechete zu der Azahl +. Zu der mt II gekezechete Kurve gäbe es also gar kee etsrechede Azahl. gerade de Azahl der etretede Uterehme, obwohl de Nachfragekurve ud de Durchschttskostekurve cht tagetal sd. Daher st dese grahsche "Lösug" ur da zu emfehle, we vo vorehere klar st, daß * sehr groß se wrd. Be sehr große werde sch de Nachfragekurve cht mehr sehr uterschede, we ma e zusätzlches Uterehme hzufügt. Jedoch wrd auch desem Fall de Lösug ur ee gewsse Aroxmato a das exakte Ergebs se köe. Be der mooolstsche Kokurrez stellt ma sch tyscherwese ee Markt mt sehr vele Uterehme vor, dere Produkte Substtute zueader sd, jedoch cht erfekte Substtute. I der Tat kam de ursrüglche Motvato zur Formulerug deser Theore vo dem Ubehage, das sch be der Betrachtug der vollstädge Kokurrez als ezgem Marktmodell estelle muß. Es wurde sbesodere hervorgehobe, daß jedes Uterehme e etwas aderes Gut abetet. Ma wollte eem Modell vo tesvem Wettbewerb e mooolstsches Elemet, de durch de (begrezte) Emalgket ees Gutes hervorgerufe wrd, hzufüge. Daher erklärt sch zum ee de Kozetrato auf ee "Tagetelösug" als grahsches Hlfsmttel zur Beschrebug des Marktergebsses. We wr gesehe habe, braucht ma dazu kee Modellbldug, de über das Olgoolmodell hausgeht. Jedoch zechet sch de Modellbldug der mooolstsche Kokurrez auch och durch ee adere Asekt aus. Se gorert m Prz de strategsche Iterdeedez zwsche de Uterehme. Damt fällt se auf e logsch deutlch ubefredgederes Nveau zurück. Hätte de Modellbldug der mooolstsche Kokurrez cht sbesodere der eue Außehadelstheore ee eorme Resoaz gefude, lohte sch der Aufwad kaum, dese Modelle zu besreche. Ageschts deses Iteresses werde wr m folgede kurz das Vorgehe ud desse Begrüdug m Rahme der Theore der mooolstsche Kokurrez skzzere. I de Aweduge (beselswese) der Außehadelstheore werde de Nachfragesysteme mest aus der Nutzefukto ees reräsetatve Kosumete abgeletet, um de Wohlfahrtsaalyse zu erlechter. Als Stadardbesel wrd dazu fast durchgägg vo der Nutzefukto (0<α,<) [ = ] 0 0 α u( x, x,..., x ) = x x α
7 ausgegage, wel se be de de Aweduge teressate Fragestelluge zu recht überschtlche Formel führt, de zudem gut terreterbar sd. Gehe wr u davo aus, daß e Kosumet mt deser Nutzefukto folgeder Budgetglechug uterlegt: 0 0 = x + x = m Daraus läßt sch über de Maxmerug des Nutzes folgede Nachfragefukto ablete: x 0 = ( α) m 0 j = j x m = α De Güter =,..., werde als Varate ees Gutes agesehe, vo dee jede Varate vo geau eem Uterehme agebote wrd. Wr sehe, daß de Nachfrage ach der Varate vo alle Prese abhägt. Der "Trck" der Modellbldug der mooolstsche Kokurrez besteht dar, de Eflüsse des Terms, der obe m Neer steht, zu gorere. Um der Begrüdug achzugehe, st es hlfrech, sch de Herletug des obge Terms für de Nachfrage ach azusehe. De Bedgug erster Ordug für de Bestmmug vo x st [ j= j ] α α αx x x = λ, 0 wobe λ der Lagragemultlkator der Budgetrestrkto st ud de Grezutze des Ekommes agíbt. Deser läßt sch zusamme mt de adere Bedguge erster Ordug bereche: α 0 x λ = m [ = x j j ] Beutzt ma des der voragegagee Glechug, so ergbt sch oder α [ j ] α mx x j = =
8 [ j= ] j. x = ( α m ) x Es st u struktv, de Efluß des Preses auf de Nachfrage x zu utersuche. Ee Presäderug hat erstes ee drekte Effekt auf x. Deser Effekt wrd durch de etsrechede Presterm der letzte Glechug wedergegebe. Ee Presäderug hat jedoch auch ee drekte Effekt auf de Bewertugsgrudlage, de Grezutze. Dort gehe de Mege aller Güter e. Ee Presäderug ka daher alle Mege äder, somt de Bewertugsgrudlage ud damt de Nachfrage selbst. I der Theore der mooolstsche Kokurrez wrd geau deser drekte Effekt verachlässgt. De Idee dabe st, daß de Presäderug ees ezele vo sehr vele (!) Uterehme ur ee sehr gerge Efluß auf de gesamte Nachfrage ach alle Varate zusamme hat (geauer auf de Ausdruck eckge Klammer). Iwewet des berechtgt st, ka ma sch am efachste klarmache, we ma de bede Ausdrücke für de Nachfrage ach der Varate mteader verglecht. Der Efluß auf de Ausdruck eckge Klammer der letzte Glechug etsrcht dem Ausdruck m Neer der Glechug weter obe. Betrachte wr u de Efluß eer Presäderug auf dese Term. Dazu zerlege wr de Nachfrageäderug de drekte Effekt ud de drekte Effekt: x αm = j= j + j= j Der erste Term der geschwefte Klammer etsrcht dem drekte Effekt. Vo Iteresse st also der zwete Term. Führt ma de Dfferetato aus, so erhält ma für de zwete Term j = 2 Da de Nachfragefuktoe für alle Varate deselbe Struktur habe, st m Glechgewcht davo auszugehe, daß alle Uterehme deselbe Pres forder werde. Setze wr alle Prese glech, so ergbt sch für dese Ausdruck j 2
9 2 = 2 2 2 2. Damt wrd klar, daß deser Ausdruck schell gege Null kovergert, we gege uedlch strebt. Für "sehr vele" Uterehme st es daher aroxmatv korrekt, de drekte Effekt zu verachlässge. Ma beachte dabe, daß der erste drekte Effekt ebefalls gege Null kovergert. Würde ma auch be hm gleche Prese aehme, so würde dem Ausdruck e Term / vorkomme. Deser kovergert jedoch lagsamer gege Null als / 2. De Aroxmato st daher gewsse Greze zu vertrete. Ma mag sch u frage, warum dese Aroxmatoe vorgeomme werde. E zetraler Grud für dese Aroxmato ud de Wahl deser sezfsche Nutzefukto st de Tatsache, daß da de Preselastztät der Nachfrage ee Kostate st. Kehre wr zu dem erste Ausdruck für de Nachfrage ach der Varate zurück: j = j x m = α ud betrachte de Ausdruck m Neer als Kostate bzgl. des egee Preses. Da ergbt sch de Preselastztät der Nachfrage als. Daraus folgt be kostate Grezkoste (we se fast ausschleßlch de Aweduge ageomme werde), daß der gewmaxmerede Pres de Bedgug c = erfüllt. Daraus läßt sch sofort der Pres ud der Gew ees jede Uterehmes agebe: Der Pres st c =.
0 Ma beachte, daß deser Pres cht vo der Azahl der Uterehme abhägt. Des mlzert de "relevate" Nachfragefukto (s.o. "Tagetelösug") x = αm c, de gewmaxmale Mege αm c ud de Gew ro Uterehme αm( ). Offebar sd des sehr efach zu hadhabede Ausdrücke, de de darauf aufbauede Aalyse deutlch verefache. Wr sehe her auch, daß der Gew cht mehr vo de Grezkoste abhägt. Außerdem läßt sch u lecht de Azahl vo Uterehme agebe, de etrete, we se mt de Fxkoste F kofrotert sd: αm( ) F Auch her wrd weder mlzt vo eer sehr große Azahl vo Uterehme ausgegage, sost macht de "Tagetelösug" kee S. Als Fazt köe wr festhalte, daß de Modellbldug der mooolstsche Kokurrez auf Koste eger Aroxmatoe deutlch efachere Edergebsse aufwest als de olgoolstsche Modellerug. Leder st es m Ezelfall cht so efach zu überrüfe, welche Fehler ma mt dese Aroxmatoe macht. Lteratur: Güth, W. (994): Markt- ud Prestheore, Srger Verlag, Ka..4 (Achtug: Güth et de obge Presglechgewchte Courotglechgewcht) Mart, S. (993): Advaced Idustral Ecoomcs, Blackwell, Ka. 2 ud Ka. 4 Trole, J. (989): The Theory of Idustral Orgazato, MIT-Press, Ka. 7.2, 7.5.2