Lineae Bewegung de Köpe.3 Regentopfen und Fallschimspinge (v 0 (t) = g v(t)) In beiden Fällen handelt es sich um Objekte, die aus goßen Höhen fallen und von dem duchfallennen Medium (Luft) gebemst weden. Um unsee Abeit zu eleichten, nehmen wi in este Näheung an, dass die Beschleunigung eine lineae Funktion von v ist a = dv = g v(t) (.3-) dt Die Lufteibung steckt in dem Tem v(t): De Tem mg wäe die Gavitationskaft, die zusammen mit de Reibungskaft am Köpe angeift. Gleichung.3- gilt nu fü einen "skydive", dessen Fallschim noch geschlossen ist. De Köpe beginnt mit v 0 = 0 seine Fallbewegung. Die Reibungskaft beginnt zu wachsen, und wid schließlich dem Betag nach de Gavitationskaft gleich. Von diesem Moment an fällt de Köpe mit konstante Geschwindigkeit v end, da die Beschleunigung ja Null ist. Ein Skydive eeicht eine Endgeschwindigkeit von ca. 50 m/s nach eine Fallstecke von ungefäh 450 m. Ein Regentopfen eeicht beeits nach etwa 6 m eine konstante Fallgeschwindigkeit von ungefäh 7 m/s. Technisch gespochen ist Gl..3- eine sepaiebae Di.-Gleichung este Odnung. Wi weden späte ausfühliche übe Di.-Gleichungen und ihe Lösungen spechen. Im Abschnitt.3. lösen wi Gleichung.3- auch "zu Fuß". Die Reibungskaft ist F = kv(t), d.h. unse ist gegeben duch = k=m, wobei k eine positive Konstante ist. Im Kapitel 2.4. weden wi ausfühlich übe Reibungskäfte eden, z.b. weden wi das Fallen von Kugeln in Flüssigkeiten untesuchen. Wi wollen die Fomeln fü die Zeitabhängigkeit von Geschwindigkeit und Höhe bestimmen. Zunächst die Geschwindigkeit: v 0 + g + v = 0 v(0) = v 0, Exact solution is: g exp t ln (g + v 0) = (ge t g + v 0 e t ) Das este Egebnis ist ein wenig unübesichtlich, mit Simplify wid es schon besse. Abe mit Handabeit bingen wi das Resultat schließlich auf die folgende Fom In MuPAD hätten wi geschieben v(t) = dy dt = g + (v 0 + g )e t (.3-2)
vel:=ode({v (t)=-g-*v(t),v(0)=v0},v(t)): velocity:=solve(vel): simplify(op(%)): expand(%) Um jetzt die Höhe in Funktion de Zeit zu ehalten, lösen wi die Di.- Gleichung y 00 + g + y 0 y 0 (0) = v 0 y(0) = y 0, Exact solution is: (g + (v 2 0 + y 0 ) gt) e t (g + v 2 0 ) Auch diesen Ausduck weden wi in eine handlichee Fom bingen y(t) = y 0 gt= + (v 0 + g)( e t )= 2 (.3-3) Fü MuPAD scheiben wi hoch:=ode({y (t)=-g-*y (t),y (0)=v0,y(0)=y0},y(t)): hoehe:=solve(hoch) Aus de Gl..3.-2 schließen wi, dass die Geschwindigkeit des Köpes mit de Zeit abnehmen wid, um gegen den Genzwet v end = g zu steben. Manchmal ist diese Endgeschwindigkeit so klein, dass ein Mensch auch einen Stuz ohne Fallschim übeleben kann -sofen Gott willens ist. Jetzt ist es an de Zeit, sich das Fallen eines Skydives (aus 500 m) einmal gaphisch anzuschauen. v/m/s 80 Skydive 60 40 20 0 0 2 3 4 5 6 7 8 Fig..3- Man sieht, dass sich de Skydive de hoizontalen Endgeschwindigkeit a- symptotisch nähet. In Wiklichkeit schließt die Annäheung natülich in endliche Zeit ab. 2
.3. Lösung mit Bleistift und Papie Wiede benutzen wi die Methode de Sepaation de Vaiablen, um Gl..3- schiftlich zu lösen. Wi notieen dv v+g = dt: Beide Seiten lassen sich leicht R R integieen: dv=(v + g) = dt + C mit dem Egebnis ln(v + g)= = t + C :Die Anfangsbedingungen eichen aus, um die Integationskonstante C zu bestimmen: C = ln(v 0 + g)=: Machen wi noch eine Umfomung: v + g = e t+ln(v0+g) = (v 0 + g)e t Nun egibt sich fü die Geschwindigkeit v(t) = dy dt = g + (v 0 + g )e t (.3-4) Wollten wi die Achse nach unten oientieen, so hätten wi g duch g zu esetzen. In dem paktisch wichtigsten Fall, dass v(0) = 0 ist, ehalten wi v(t) = g ( e t ) (.3-5) Indem wi Gl..3-4 integieen, egeben sich fü y(t) die folgenden Ausdücke: y = R g dt + (v 0 + g ) R e t dt + C 2 y = g t v 0+g 2 e t + C 2 Mit y(0) = y 0 ehalten wi fü C 2 den Ausduck C 2 = y 0 + (v 0 + g)= 2 : So ehalten wi schließlich y(t) = y 0.3.2 Radioaktive Zefall und R-L-Keis g t + v 0 + g 2 ( e t ) (.3-6) Gleichung.3- te en wi in de allgemeinen Fom y 0 (t) = dy dt = a by(t) oft als mathematisches Modell fü natüliche Zefallspozesse. Beim adioaktiven Zefall nden wi das Gesetz dn dt = a bn, wo N(t) die Anzahl de zu Zeit t noch nicht zefallenen Kene ist, a kennzeichnet die Poduktionsate. Wenn wi a = 0 annehmen und N(0) = N 0 setzen (N 0 = Anzahl de zu Zeit t = 0 vohandenen Kene), so egibt sich als Zefallsgesetz N(t) = N 0 e t (.3-7) Wi haben hie b = = Zefallskonstante gesetzt. Die Halbwetszeit ist T =2 = ln 2 (man gibt die Halbwetszeit an, weil es keinen Sinn hätte, von "Vollwetzeit" zu eden). 3
Ein Beispiel fü einen allmählich wachsenden Vogang (vegleichba dem Skydive) ist ein R-L-Schaltkeis, de zu Zeit t = 0 an eine Batteie de Spannung U angeschlossen wid. Fü die Zunahmegeschwindigkeit de Stomstäke ehält man die zu.3- analoge Gleichung di dt = U L R I(t) (.3-8) L Die Lösung diese Gleichung hat die gleiche Fom wie.3-5 I(t) = U R ( e bt ). Nach = =b = L=R Sekunden eeicht de Stom ca. 63% seines Endwetes. Wi wollen fü einen speziellen Fall die Stom-Zeit-Kuve zeichnen. Wi wählen R = 2000, L = 4 H und U = 0 V. I(t) = 0( e 2000t=4 )=2000; 0:005 (dag) I/A 0.005 0.004 0.003 0.002 0.00 0.000 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.00 R-L-Keis Fig..3-2 Nach ungefäh 0 ms eeicht de Stom seinen Genzwet von 5 ma. Nach 4/2000 s = 2 ms eeicht de Stom den Wet 0:63 0V=2000 = 3:2mA. Die MuPAD-Anweisungen können folgendemaßen aussehen: R:=2000:L:=4:U:=0: i:=t->u*(-exp(-r*t/l))/r: g:=t->u/r: kuve:=plot::function2d(i(t),t=0..0.0): geade:=plot::function2d(g(t),t=0..0.0, Colo=RGB::Geen): plot(kuve,geade, AxesTitles=["","I/A"], XTicksNumbe=Low, YTicksNumbe=Low,Heade="R-L-Keis", GidVisible=TRUE) 4
R L Keis I/A 0.004 0.002 0.000 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.00 Fig..3-3 5