in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg
: Gliederung 1 Finanzmathematik 2 Lineare Programme 3 Differentialgleichungen 4 Statistik: 5 Deskriptive Statistik 6 Wahrscheinlichkeitstheorie 7 Induktive Statistik 3 Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen
Weltkarte Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen 64
Kartenanamorphose der Bevölkerungsverteilung Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen Quelle: worldmapper.com 65
Ausgaben im tertiären Bildungssektor Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen Quelle: worldmapper.com 66
Bruttoinlandsprodukt 2002 Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen Quelle: worldmapper.com 67
BIP Wachstum zwischen 1975 und 2002 Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen Quelle: worldmapper.com 68
Makroökonomische Systeme und deren Beschreibung Lassen sich Beobachtungen an wirtschaftlichen Daten und vor allem deren Veränderung nutzen, um Entwicklungen aggregierter Größen in Volkswirtschaften wie z.b. den Beschäftigungsgrad oder das Bruttoinladsprodukt zu modellieren und zu analysieren? Dazu: Makroökonomische Modelle Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen 69
Das Modell zyklischen Wachstums von Goodwin Lohnquote und Beschäftigungsgrad: Problem Modellannahmen Betrachtung einer wirtschaftlichen Wachstumsphase Gesucht: Ausdruck für sich gegenseitig beeinflussende Lohnquote u(t) und Beschäftigungsgrad v(t) Verwendete Symbole: Wachstumsfaktor der Arbeitsproduktivität bzw. des Arbeitskräftepotentials: α, β Linearisierungskonstanten: ρ, γ Output pro Kapital: κ Modellannahmen reduzieren sich zu: v(t) v(t) u(t) u(t) = (κ α β) κ u(t) = (γ + α) + ρ v(t) Mit den Abkürzungen: Streikende bei der Telekom a 1 = κ α β ; a 2 = κ b 1 = γ + α ; b 2 = ρ ergibt sich: v(t) v(t) u(t) u(t) = a 1 a 2 u(t) = b 1 + b 2 v(t) Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen 70
Zusammenfassung Beschäftigungsgrad und Lohnquote v(t) v(t) u(t) u(t) = a 1 a 2 u(t) = b 1 + b 2 v(t) Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen Gleichungen beinhalten jeweils die gesuchte Funktion und ihre Ableitung Und nur eine Veränderliche (hier t) Solche Gleichungen nennt man gewöhnliche Differentialgleichungen Nötig für weitere Analyse der Modelle: Aussagen über Verhalten des Systems 71
Begriffe Differentialgleichung: Eine Gleichung einer gesuchten Funktion y und einigen ihrer Ableitungen Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung: Gleichung gesuchter Funktion y und einigen Ableitungen nach einer Veränderlichen x, also Gleichungen der Form: ( F x, y, dy ) dx,..., dn y = 0 dx n oder ( F x, y, y,..., y (n)) = 0 Explizite Differentialgleichung erster Ordnung: y = f(y, x) Anfangswertproblem: ) F (x, y, y,..., y (n) = 0, y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 0 72
Analyse von Differentialgleichungen Wichtige Fragen: Gibt es eine explizite Lösung? Falls vorhanden: Eindeutigkeit? Oft trotz Existenz und Eindeutigkeit analytische Lösung nicht möglich; dann zum Beispiel: Richtungsfelder Numerische Lösungen Beispiel numerischer Lösungen: dy dx = 2xy2 73
Analyse von Differentialgleichungen Wichtige Fragen: Gibt es eine explizite Lösung? Falls vorhanden: Eindeutigkeit? Oft trotz Existenz und Eindeutigkeit analytische Lösung nicht möglich; dann zum Beispiel: Richtungsfelder Numerische Lösungen Bei ohne Abhängigkeit von Parameter: Trajektorien Stabile Punkte Physikalisches Pendel, Winkel v(t), Winkelgeschwindigkeit u(t), Dämpfung λ > 0 dv = u(t) dt du = sin(v) λ u(t) dt 73
Beispiel: Räuber-Beute-Dynamik Pflanzenfresserpopulation B(t) wächst (ungestört) mit konstanter Rate a 1. Ḃ(t) B(t) = a 1 Analyse des Modells von Goodman 74
Beispiel: Räuber-Beute-Dynamik Pflanzenfresserpopulation B(t) wächst (ungestört) mit konstanter Rate a 1. Bei Existenz von Raubtieren mit den Pflanzenfressern als Beute: Raubtierbestand R(t) vermindert Wachstumsrate der Beutetiere proportional: Ḃ(t) B(t) = a 1 a 2 R(t) Analyse des Modells von Goodman 74
Beispiel: Räuber-Beute-Dynamik Pflanzenfresserpopulation B(t) wächst (ungestört) mit konstanter Rate a 1. Bei Existenz von Raubtieren mit den Pflanzenfressern als Beute: Raubtierbestand R(t) vermindert Wachstumsrate der Beutetiere proportional: Ḃ(t) B(t) = a 1 a 2 R(t) Analyse des Modells von Goodman Ohne Beute (B(t) = 0) schrumpft Raubtierbestand kontinuierlich mit konstanter Rate b 1. Ṙ(t) R(t) = b 1 74
Beispiel: Räuber-Beute-Dynamik Pflanzenfresserpopulation B(t) wächst (ungestört) mit konstanter Rate a 1. Bei Existenz von Raubtieren mit den Pflanzenfressern als Beute: Raubtierbestand R(t) vermindert Wachstumsrate der Beutetiere proportional: Ḃ(t) B(t) = a 1 a 2 R(t) Analyse des Modells von Goodman Ohne Beute (B(t) = 0) schrumpft Raubtierbestand kontinuierlich mit konstanter Rate b 1. Andererseite wächst ihr Bestand proportional zur vorhandenen Menge der Beutetiere: Ṙ(t) R(t) = b 1 + b 2 B(t) 74
Beispiel: Räuber-Beute-Dynamik Pflanzenfresserpopulation B(t) wächst (ungestört) mit konstanter Rate a 1. Bei Existenz von Raubtieren mit den Pflanzenfressern als Beute: Raubtierbestand R(t) vermindert Wachstumsrate der Beutetiere proportional: Ḃ(t) B(t) = a 1 a 2 R(t) Ohne Beute (B(t) = 0) schrumpft Raubtierbestand kontinuierlich mit konstanter Rate b 1. Andererseite wächst ihr Bestand proportional zur vorhandenen Menge der Beutetiere: Ṙ(t) R(t) = b 1 + b 2 B(t) System von Differentialgleichungen beschreibt im B-R-Diagramm zyklische Kurven. Bekannt als Lotka-Volterra-Gleichungen Analyse des Modells von Goodman 74
Analogie der Modelle Beute-Jäger-Modell Goodman-Modell Ḃ(t) B(t) = a 1 a 2 R(t) v(t) v(t) = a 1 a 2 u(t) Ṙ(t) R(t) = b 1 + b 2 B(t) u(t) u(t) = b 1 + b 2 v(t) Die Beschäftigungsgrad v(t) entspricht der Beute, Die Lohnquote u(t) den Räubern Jede Lösung: Zyklus im u-v-diagramm Anfangsbedingungen bestimmen Orbit Stationäre Lösung bei u = a 1 /a 2 und v = b 1 /b 2 Analyse des Modells von Goodman 75
Mechanik des Modells a) Beschäftigungsgrad v kleiner als b 1 /b 2 Lohndruck ist gering, Reallöhne sinken. b) Dadurch: Sinkende Lohnquote (und steigende Gewinnquote wachsende Investitionen) c) Diese erhöhen die Wachstumsrate der Produktion und sobald diese das Wachstum der Arbeitsproduktivität übersteigt, kommt es zu Neueinstellungen und der Beschäftigungsgrad nimmt zu. Richtungsfeld mit a 1 = 2, a 2 = b 1 = b 2 = 1 d) Dann: Steigender Beschäftigungsgrad und Lohndruck; Reallöhne wachsen, senken die Gewinnquote, die Investitionen und die Wachstumsrate der Wirtschaft. Sobald diese unter die Wachstumsrate der Arbeitsproduktivität gesunken ist, sinkt der Beschäftigungsgrad wieder. 2 v(t) v(t) u(t) u(t) = a 1 a 2 u(t) = b 1 + b 2 v(t) 1 2 3 Analyse des Modells von Goodman 76
Empirischer Gehalt des Modells Westdeutsche Daten 1960-1995 Analyse des Modells von Goodman Quelle: Sachverständigenrat (1996) 77