Prof Dr Dr hc W Thoms Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Präsenzüung Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik Mster (Auge) Mthemtik Bchelor Technik-Kommuniktion MA Informtik Lehrmt Informtik Promotion (Auge) Technik-Kommuniktion Bchelor Sonstige: Anzhl Punkte Aufge 1 5 Aufge 2 4 Aufge 3 12 Aufge 4 5 Aufge 5 7 Aufge 6 6 Aufge 7 6 Summe 45 Erreichte Punkte Hinweise: Geen Sie Ihre Antworten in lesrer und verständlicher Form n Schreien Sie mit dokumentenechten Stiften, nicht mit roten Stiften oder mit Bleistiften Bitte entworten Sie die Aufgen uf den Aufgenlättern (enutzen Sie uch die Rückseiten) Auf lle Blätter (inklusive zusätzliche Blätter) müssen Sie Ihren Nmen und Ihre Mtrikelnummer schreien Ws nicht ewertet werden soll, streichen Sie itte durch Werden Täuschungsversuche eochtet, so wird die Präsenzüung mit 0 Punkten ewertet Geen Sie m Ende der Üung lle Blätter zusmmen mit den Aufgenlättern 1
Mtrikelnummer: Nme: Aufge 1 (Endliche Automten): (2+3=5 Punkte) ) Betrchte die Sprche L = Σ c üer dem Alphet Σ = {,, c} Geen Sie durch einen Trnsitionsgrphen einen NEA A 1 n, der L erkennt ) Betrchte die Sprche L = (Σ )+() üer dem Alphet Σ = {, } Geen Sie durch einen Trnsitionsgrphen einen DEA A 2 n, der L erkennt Hinweis: Am esten verfhren Sie direkt Sie können er uch eknnte Konstruktionen verwenden Nur ds Endergenis zählt 2
Mtrikelnummer: Nme: Lösung: ),, c c q 0 q 1 q 2 ) q 0 q 1 q 2 q 3 3
Mtrikelnummer: Nme: Aufge 2 (Potenzmengenkonstruktion): (4 Punkte) Gegeen sei der folgende NEA A: 0 1 2 3 Führen Sie die Potenzmengenkonstruktion für A durch Lösung: 0 1, 2 2, 3 3 1, 3 1,, 4
Mtrikelnummer: Nme: Aufge 3 (Frgenktlog): (12 Punkte) Geen Sie für jede der folgenden Aussgen jeweils mit Begründung n, o sie whr oder flsch ist Antworten Sie dei so kurz und präzise wie möglich und egründen Sie Ihre Antwort durch einen kurzen Beweis zw ein Gegeneispiel Hinweise: Für eine richtige Antwort mit richtiger Begründung erhlten Sie 2 Punkte Für eine flsche Antwort erhlten Sie keine Punkte Bei einer flschen, unpräzisen oder fehlenden Begründung erhlten Sie keine Punkte ) Zu jeder regulären Sprche L existiert ein is uf Isomorphie eindeutiger, minimler nichtdeterministischer Automt A mit L(A) = L ) Sei L Σ eine elieige Sprche Jeder deterministische endliche Automt, der die Sprche L erkennt, ht mehr Zustände ls jeder nichtdeterministische endliche Automt, der eenflls L erkennt c) Reguläre Sprchen sind unter Durchschnitt geschlossen, d h für zwei reguläre Sprchen L 1, L 2 Σ ist L 1 L 2 eenflls eine reguläre Sprche 5
Mtrikelnummer: Nme: d) Sei U Σ Dnn gilt Σ \ U = ( Σ \ U ) e) Seien A 1 = (Q 1, Σ, q 1 0, δ 1, F 1 ) und A 2 = (Q 2, Σ, q 2 0, δ 2, F 2 ) deterministische endliche Automten Dnn ht jeder deterministische endliche Automt B mit L(B) = L(A 1 ) L(A 2 ) mindestens Q 1 Q 2 Zustände f) Sei Σ = Γ = {} Die Funktion f : Σ Γ mit f ( n ) = 3n für n N, n 0, ist durch eine verllgemeinerte sequentielle Mschine (GSM) üer dem Einge-Alphet Σ und dem Ausgelphet Γ erechenr Lösung: ) Flsch Die eiden folgenden NEAs sind miniml, nicht isomorph und erkennen L = q 0 q 1 q 0 q 1 6
Mtrikelnummer: Nme: ) Flsch Jeder DEA A = (Q, Σ, q 0, δ, F ) ht genu so viele Zustände wie der NEA A = (Q, Σ, q 0,, F ) mit = {(q,, p) δ(q, ) = p}, woei eide Automten die gleiche Sprche erkennen c) Whr D L 1, L 2 regulär sind, git es DEAs A 1, A 2 mit L(A 1 ) = L 1, L(A 2 ) = L 2 Die Produktkonstruktion von A 1 und A 2 (mit F = F 1 F 2 ) ergit einen DEA A = (Q 1 Q 2, Σ, (q 1 0, q 2 0), δ, F 1 F 2 ) mit L(A ) = L 1 L 2 D jeder DEA eine reguläre Sprche erkennt, ist L 1 L 2 lso uch regulär d) Flsch Wähle z B Σ = {, } und U = {, } Dnn ist Σ \ U =, er ε ( Σ \ U ) e) Flsch Betrchte zwei elieige isomorphe DEAs A 1 und A 2 mit jeweils n 2 Zuständen Es gilt L(A 1 ) = L(A 1 ) L(A 2 ) und n < n 2 f) Whr A = (Q, Σ, Γ, q 0, δ, γ) mit δ(q 0, ) = q 0 und γ(q 0, ) = 7
Mtrikelnummer: Nme: Aufge 4 (Myhill-Nerode Kongruenz): (5 Punkte) Betrchten Sie die Sprche L = {w {, } in w kommt weder ds Inx noch ds Inx vor} Geen Sie vier nicht L-äquivlente Wörter w 1, w 2, w 3, w 4 n Zeigen Sie, dss w i L w j für i j gilt, indem sie jeweils ein trennendes Wort w mit w i w L w j w L ngeen Hinweis: Es sind sechs Komintionen w i L w j zu etrchten Lösung: Wähle w 1 = ε, w 2 =, w 3 = und w 4 = Dnn gilt: ε L, denn mit w = gilt ε = L er = L ε L, denn mit w = gilt ε = L er = L ε L, denn mit w = ε gilt ε ε = ε L er ε = L L, denn mit w = gilt = L er = L L, denn mit w = ε gilt ε = L er ε = L L, denn mit w = ε gilt ε = L er ε = L 8
Mtrikelnummer: Nme: Aufge 5 (Reguläre Ausdrücke): (5+2=7 Punkte) ) Wndeln Sie folgenden NEA üer dem Alphet Σ = {, } mittels des Elimintionsverfhrens in einen äquivlenten regulären Ausdruck um Geen Sie hierei für jeden Zwischenschritt den jeweiligen VNEA n und entfernen Sie die Zustände in der Reihenfolge 2, 3, 1 Vereinfchen Sie hierei die regulären Ausdrücke nicht, sondern notieren Sie die Ausdrücke unverändert lut Verfhren Hinweis: Benutzen Sie ei Pltzprolemen itte uch eine Bltt-Rückseite!, 2 1, 3 9
Mtrikelnummer: Nme: ) Geen Sie für den regulären Ausdruck ( ( + ) ) üer Σ = {, } einen äquivlenten endlichen Automten n (ein DEA, NEA oder ε-nea ist erlut) Sie können nch dem Verfhren der Vorlesung vorgehen oder den Automten direkt ngeen Es reicht, den Trnsitionsgrphen nzugeen Lösung: ) 1 Schritt + 2 ε ε S 1 + E 3 ε 2 Schritt 3 Schritt + ( + ) ( + ) ε S 1 3 ε ε + ( ε) E ( + ) + ( + ) ( ( + ) ) ε ε + ( + ) ( ( + ) ) (ε + ε) S 1 E 4 Schritt (knn mn uch weglssen) ε (( + ) + ( + ) ( ( + ) ) ) ( ε + ( + ) ( ( + ) ) ) (ε + ε) S E 10
Mtrikelnummer: Nme: Der gesuchte reguläre Ausdruck ist lso ε (( + ) + ( + ) ( ( + ) ) ) ( ε + ( + ) ( ( + ) ) ) (ε + ε) ) Eine direkte Konstruktion liefert: 11
Mtrikelnummer: Nme: Aufge 6 (Induktion): (2+4=6 Punkte) Einfche reguläre Ausdrücke üer einem Alphet Σ sind reguläre Ausdrücke üer Σ ohne ds Vorkommen von, d h ohne den Kleene-Stern ) Sei Σ = {, } Geen Sie eine induktive Denition der einfchen regulären Ausdrücke üer Σ n ) Zeigen Sie induktiv nhnd Ihrer Denition in ): Für lle einfchen regulären Ausdrücke r üer Σ ist L(r) endlich Formulieren Sie dzu die Aussge des Induktionsnfngs, die Induktionsvorussetzung und die Induktionsehuptung explizit Lösung: ) Einfche reguläre Ausdrücke üer dem Alphet Σ = {, } sind wie folgt induktiv deniert:, ε sowie, Σ sind jeweils reguläre Ausrücke üer Σ Sind r und s einfche reguläre Ausdrücke üer Σ, so uch (r + s) und (r s) ) Induktion üer den Aufu der einfchen regulären Ausdrücke: Induktionsnfng: Für r = ist L(r) =, lso endlich Für r = ε ist L(r) = {ε}, lso endlich Für r = ist L(r) = {}, lso endlich Für r = ist L(r) = {}, lso endlich Induktionsnnhme: Seien r, s einfche reguläre Ausdrücke üer Σ mit L(r), L(s) endlich Induktionsschritt: Für t = (r + s) ist L(t) = L(r + s) = L(r) L(s) D L(r) und L(s) jeweils endlich sind, ist uch die Vereinigung L(r) L(s) = L(t) endlich 12
Mtrikelnummer: Nme: Für t = (r s) ist L(t) = L(r s) = L(r) L(s) D L(r) und L(s) jeweils endlich sind, ist uch die Konktention L(r) L(s) = L(t) endlich 13
Mtrikelnummer: Nme: Aufge 7 (Minimierung): (6 Punkte) Wir etrchten den folgenden DEA A: q 1 q 4 q 0 q 2 q 5, q 3 q 6 Bestimmen Sie mittels des Mrkierungslgorithmus die Pre nicht-äquivlenter Zustände von A und geen Sie dnn den reduzierten Automten A durch einen Trnsitionsgrphen n q 1 q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 Lösung: Telle des Mrkierungslgorithmus: 14
Mtrikelnummer: Nme: q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 1 1 - - - - - q 2 1 - - - - q 3 1 - - - q 4 1 2 1 1 - - q 5 1 3 1 1 - q 6 1 1 1 4 5 Aus der Telle ergit sich der folgende minimle DEA:, q 0, q 2, q 3 q 1, q 6 q 4, q 5 15