S.Beinlich & R.Garreis Inhaltsverzeichnis Trägheitsmoment Anfängerpraktikum 12/13 Simeon Beinlich und Rebekka Garreis 1.12.212 Universtität Konstanz Inhaltsverzeichnis 1
S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN 1 Ziel des Versuchs In diesem Versuch soll das Trägheitsmoment verschiedener geometrischer Körper ein Mal theoretisch über Geometrie und Masse, und ein Mal experimentell über die Frequenz einer Drehschwingung mittels einer Schneckenfeder bestimmt werden. 2 Grundlagen Im Folgenden werden die für den Versuch wichtigen physikalischen Gröÿen und Formeln hergeleitet und erläutert. Zentrale Begrie sind hierbei Trägheitsmoment, Trägheitssensor und Drehmoment: 2.1 Das Trägheitsmoment Die Rotation eines ausgedehnten Körpers hängt von seiner räumichen Verteilung seiner Gesamtmasse ab. Die Trägheit die der Körper einer Drehimpusänderung entgegensetzt wird durch das Tägheitsmoment Θ beschrieben. Die Massenverteilung des Körpers um die Rotationsachse ist von entscheidender Bedeutung. Betrachtet man einzelne Massenpunkte, so hat jeder Massenpunkt m i einen Abstand r i zur Rotationsachse. Dadurch ergibt sich für Θ: Θ = n m i ri 2 (1 i= Das Trägheitsmoment kann aber auch über die Geometrie eines Körpers berechnet werden. Hierzu verwendet man das Volumenintegral und erhält folgende Denition: Θ = ϱr 2 dv (2 Hierbei ist ϱ die Dichte des Körpers. Häug empehlt es sich das Volumenintegral in Zylinder- oder Kugelkoordinaten zu berechnen. Im folgenden Versuch wird ϱ als homogen angesehen und angenommen, dass die Drehachse durch den Schwerpunkt S verläuft. Des weiteren ergibt sich für die Rotationsenergie: E rot = 1 2 n m i vi 2 = 1 2 i= n m i ri 2 ω2 = 1 2 Θω2 (3 i= 2.1.1 Trägheitssensor "Dieser Trägheitstensor Θ ermöglicht es, das Trägheitsmoment für eine beliebige Achse durch den Schwerpunkt des Körpers zu ermitteln: Θ xx Θ xy Θ xz N yi 2 Θ + z2 i x i y i x i z i := Θ yx Θ yy Θ yz = m i x i y i x 2 i + z2 i y i z i (4 Θ zx Θ zy Θ zz i x i z i y i z i x 2 i + y2 i Θ = e T A Θ e A (5 Wobei e A der Einheitsvektor in Achsenrichtung und x, y, z die Koordinaten der einzelnen Massenteilchen sind."[?] 2
S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN Genauso kann man den Trägheitssensor auch in Komponentenschreibweise darstellen: Θ ab = Θ ba = i m i (r 2 i δ ab x ia x ib (6 Hierbei ist r i = x 2 1i + x2 2i + x2 3i und a und b sind Indizes, die entsprechend der drei Raumdimensionen von 1 bis 3 laufen. Genauso wie in (?? kann auch hier, unter Voraussetzung einer homogenen Massenverteilung, das Integral verwendet werden. Θ ab = ϱ (r 2 δ ab x a x b dv (7 "Wählt man als Rotationsachsen die Koordinatenachsen, setzt also e x, e y oder e z für e A ein, bleiben nur die jeweiligen Diagonaleinträge erhalten, sie entsprechen somit dem Trägheitsmoment bei Drehung um die Koordinatenachsen und werden als Trägheitselemente bezeichnet. Sind diese Trägheitselemente genau die Hauptträgheitsmomente des Körpers, so sind die anderen Elemente gleich null. (Jeder Trägheitstensor kann auf diese diagonalisierte Form gebracht werden. Ist dies nicht der Fall, die anderen Einträge ungleich null, werden diese als Deviationselemente bezeichnet, welche beschreiben, wie sich der Körper verhält, wenn er nicht um seine Hauptträgheitsachsen rotiert (also die Unwucht, die entsteht. Mithilfe des Trägheitstensors lassen sich nun alle Trägheitsmomente zu beliebigen Achsen durch den Schwerpunkt beschreiben."[?] Setzt man Gleichung (?? in (?? ein, so ist des weiteren leicht zu sehen, dass die Rotationsenergie eines sich um eine durch den Schwerpunkt verlaufende Achse rotierenden Körpers von allen Einträgen des Trägheitstensors abhängt. 2.1.2 Trägheitsellipsoid Der Trägheitsellipsoid ist eine geometrische Darstellung des Trägheitssensors. Er enthält alle Informationen über das Trägheitsmoment eines Körpers mit einer durch den Schwerpunkt verlaufenden Drehachse. Er wird deniert durch: r x = 1 (8 Θx r y = 1 Θy r z = 1 Θz (9 (1 Dabei ist r der jeweilige Abstand zum Ursprung des Systems entlang der entsprechenden Koordinatenachsen. Das Trägheitsmoment entspricht der Rotation um die Verbindungsachse zwischen dem Punkt und dem Ursprung des Systems. 2.1.3 Steiner'scher Satz "Nach dem Satz von Jakob Steiner gilt für das Trägheitsmoment Θ B eines Körpers mit Masse m zu einer Achse B, die parallel zu einer Achse A mit bekanntem Trägheitsmoment Θ A steht: Θ B = Θ A + a 2 m (11 3
S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN Was aus der Denition des Trägheitsmoment hervorgeht durch: Θ B = rbdm 2 = ( r A + a 2 dm = radm 2 + 2 a r A dm +a 2 V V V V } {{ } = V 1dm = Θ A + a 2 m (12 Jetzt können also Trägheitsmomente beliebiger Körper für beliebige Achsen berechnet werden."[?] 2.1.4 Trägheitsmomente der im Versuch verwendeter Körper Scheibe mit Polarer Drehachse, Zylinder Steht die Rotationsachse senkrecht zur Grundäche einer Scheibe, bzw. eines Vollzylinders, mit dem Radius r Scheibe, der Höhe h Scheibe und der Masse m Scheibe, so gilt für Θ: Θ Scheibe,polar = rscheibe 2π h ϱr 2 dz rdϕ dr (13 = 1 2 πϱhr2 Scheibe r2 Scheibe (14 = 1 2 m Scheibe r 2 Scheibe (15 Scheibe mit äquatorialer Drehachse Verläuft die Drehachse parallel zur Grundäche so ist das Rechnen im kartesischen Koordinatensystem geschickter. Hierbei wählt man die xy-ebene parallel zur Grundäche und r = x 2 + y 2 so ergibt sich für das Trägheitsmoment: Θ Scheibe,äquatoriell = r 2 dm = (x 2 + y 2 dm = x 2 dm + y 2 dm (16 Aus Symetriegründen müssen die beiden Summanden gleich sein, daher folgt: Θ Scheibe,äquatoriell = 1 2 Θ Scheibe,polar = 1 4 m Scheibe r 2 Scheibe (17 Vollwürfel In diesem Versuch wird das Trägheitsmoment eines Vollwürfels über zwei Achsen bestimmt. Die eine Drehachse verläuft durch die Raumdiagonale, die zweite durch die Mittelpunkte zweier Seitenächen. Der Würfel hat einen Kantenlänge a und eine Masse m W ürfel. Man verwendet also Formel (?? und integriert von a 2 bis a 2. Dadurch erhält man: Θ 11 = Θ 22 = Θ 33 = ϱ 1 6 a5 = 1 6 m W ürfel a 2 (18 Alle anderen Trägheitsmomente sind gleich Null. Der Trägheitssensor ist also diagonalisiert und die Einträge auf der Diagonalen sind identisch, daher ergibt sich: Θ = 1 1 6 m W ürfel a 2 1 (19 1 4
S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN Daraus folgt für das Trägheitsmoment des Vollwürfels, egal mit welcher Drehachse: Θ W ürfel = 1 6 m W ürfel a 2 (2 Kugel Hier ist es geschickter in Zylinderkoordinaten zu rechnen, dabei wählt man am besten r Kugel z c Abbildung 1: Skizze zur Berechnung des Trägheitsmoments einer Kugel [?] und ϕ 2π. Da r auÿerdem von z abhängt gilt, wie in Abbildung (?? zu sehen, r r 2 Kugel z2. Daraus folgt für Θ: Θ Kugel = = = 2 5 r Kugel r Kugel r Kugel r Kugel 4 3 πr3 }{{} V Kugel rkugel 2 z2 2π ϱr 2 r dϕdrdz 1 2 πϱ(r2 Kugel z2 2 dz ϱ }{{} m Kugel r 2 Kugel = 2 5 m Kugel r 2 Kugel (21 Hantel Die Hantel besteht aus einem Stab der Länge l, der Querschittsäche A und der Masse m Stab sowie zwei asymmetrisch angeordneten Zylindern mit jeweils der Höhe h Zylinder, der Masse m Zylinder und dem Radius r Zylinder. Des weiteren geht die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt sondern ist um d parallel zum Stab verschoben. Auÿerdem hat Zylinder 1 einen Abstand a 1 und Zylinder 2 einen 5
S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN Abstand a 2 zwischen dem jeweiligen Zylinderende und Drehachse. Zunächst muss das Trägheitsmoment des Stabes mit der Rotationsachse durch den Schwerpunkt berechnet werden. Θ Stab,Schwerpunkt = ϱa + l 2 l 2 x 2 dx = 1 12 ϱal3 = 1 12 m Stab l 2 (22 Mittels des Steiner'schen Satzes ergibt sich dann das eigentliche Trägheitsmoment des Stabes. Θ Stab = 1 12 m Stab l 2 + m Stab d 2 (23 Die beiden Zylinder rotieren liegend um die Drehachse. Da ihre Schwerpunktachse parallel zur Drehachse ist kann das Trägheitsmoment auch hier mit dem Steiner'schen Satz berechnet werden. Zunächst berechnet man das Trägheitsmoment eines Zylinders der um eines seiner Enden rotiert. l Θ Zylinder = ϱ 2π r (r 2 sin 2 (ϕ + z 2 dr rdϕ dz = m Zylinder ( r 2 Zylinder 4 Da die Zylinder asymmetrisch um die Drehachse angeordnet sind ergibt sich weiter: Θ Zylinder1 = m Zylinder ( r 2 Zylinder 4 Θ Zylinder2 = m Zylinder ( r 2 Zylinder 4 + h2 Zylinder 3 + h2 Zylinder 3 + a 2 1 + h2 Zylinder 3 Das Geasamtträgheitsmoment der Hantel setzt sich aus dem Trägheitsmoment der Stange und dem der beiden Zylinder zusammen. + a 2 2 (24 (25 (26 Θ Hantel = Θ Stab + Θ Zylinder1 + Θ Zylinder2 = 1 12 m Stab l 2 + m Stab d 2 + m Zylinder (2 ( r 2 Zylinder 4 + h2 Zylinder 3 + a 2 1 + a 2 2 (27 2.2 Drehmoment Greift eine Kraft F, die nicht durch den Schwerpunkt S an einen Körper an, so bewirkt diese ein Drehmoment M. Ist der Körper in S xiert, so bewirkt M, dass er um S beschleunigt wird, d.h. eine Rotation um S ausführt. Deniert ist das Drehmoment folgendermaÿen: M = ( r F (28 Dabei ist r der Abstand zwischen S und dem Punkt an dem die Kraft angreift. Man sieht also schnell, dass die Kraft, die aufgebracht werden muss um das gleiche Drehmoment zu erreichen, kleiner wird je gröÿer r ist. r wird auch als Hebel bezeichnet. In diesem Zusammenhang kennt man dieses Phänomen 6
S.Beinlich & R.Garreis 2 GRUNDLAGEN auch aus dem Alltag: Je gröÿer der Hebel, desto leichter ist es einen Gegenstand anzuheben. Das Drehmoment kann des weiteren auch über das Trägheitsmoment dargestellt werden. M = Θ ω (29 Des Weiteren erhält man über die Integration, wie bei einer Translationsbewegung auch, über das Drehmoment den Drehimpuls L mit L = M dt = Θ ω (3 Oder aber über das Kreuzprodukt in Gleichung??: 2.3 Drehschwingung L = ( r p (31 "Wird ein Körper in einem System durch eine äuÿere Kraft aus seiner Gleichgewichtslage entfernt, so tritt eine rücktreibende Kraft, auch Rückstellkraft genannt, auf. Dies Bewirkt, dass der Körper zur Ruhelage hin beschleunigt wird. Beim Durchlaufen der Gleichgewichtslage kehrt sich die Richtung der Rückstellkraft um, sodass der Körper erst abgebremst und dann wieder zur Gleichgewichtslage hin beschleunigt wird, dabei ist die erreichte Auslenkung betragsmäÿig gleich der Anfangsauslenkung. Das System wird durch die einmalige äuÿere Krafteinwirkung zu einem schwingenden System mit einer periodischen Bewegung. Ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung spricht man von einer harmonischen Schwingung, bzw. harmonischen Oszillation."[?] In diesem Versuch handelt es sich um eine Drehschwingung. Dabei sorgt eine Schneckenfeder dafür, dass ein Körper, der um einen Winkel ϕ ausgelenkt wurde um die Ruhelage herum eine Drehschwingung ausfürt. Dazu übt die Schneckenfeder ein Drehmoment M auf den Körper aus, dieses ist proportional zu ϕ. Die Proportionalitätskonstante D wird als Winkelrichtgröÿe bezeichnet und hängt von der Beschaenheit der Feder ab. Es gilt also: Es gilt für den ersten Versuchsteil: M = D ϕ (32 M = m g r (33 wobei m die montierten Massen, r den Radius der Schnurrille und g die Erdbeschleunigung sind. Somit gilt: D = m g r (34 ϕ Dadurch lässt sich analog zur Schwingung eines Pendels folgende Bewegungsgleichung aufstellen: Θ ϕ + Dϕ = (35 Durch Lösen dieser Gleichung erhält man eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer Θ T = 2π D. (36 Man kann das Trägheitsmoment also auch mittels der Periodendauer einer Drehschwingung bestimmen. Dabei gilt: Θ = T 2 D 4π 2 (37 7
S.Beinlich & R.Garreis 5 AUSWERTUNG 3 Versuchsaufbau Um das Trägheitsmoment der fünf gewählten Körper (Würfel, Scheibe, Kugel, Zylinder, Hantel, jeweils aus Vollmaterial theoretisch aus Geometrie und Masse zu bestimmen, liegen ein Maÿband und eine Waage bereit. Zur Bestimmung des Trägheitsmomentes über Drehschwingungen, werden die Körper an einer Metallachse in einem Gestell befestigt. Dieses besitzt eine kugelgelagerte Drehachse, die durch eine metallene Spiralfeder mit dem Gestell verbunden ist. Die Achse kann vertikal (zur Bestimmung der Trägheitsmomentes und horizontal (zur Bestimmung der Winkelrichtgröÿe befestigt werden. Hierzu ist auÿerdem eine groÿe Scheibe mit Winkelskala vorhanden, an welcher an eine Schnurscheibe verschiedene Gewichte gehängt werden können, wodurch ein Drehmoment auf die Feder ausgeübt wird. Die jeweils erzeugte Auslenkung kann dann an der Winkelskala abgelesen werden. Zur Messung der Periodendauer der Drehschwingungen der verschiedenen Körper wird eine Stoppuhr mit Zeigern verwendet. 4 Versuchsdurchführung Zuerst werden die für die theoretische Berechnung notwendigen geometrischen Vermessungen mithilfe des Maÿbandes durchgeführt. Dabei wurde statt dem Durchmesser der Kugel deren Umfang bestimmt, was eine genauere Messung zulässt. Die Massen der Körper (bei der Hantel sämtliche Teile einzeln werden per Digitalwaage festgestellt (siehe GUM - Messunsicherheitsberechnung im Anhang Zur Ermittlung der Winkelrichtgröÿe der verwendeten Spiralfeder wird die Winkelskala mit Schnurscheibe an der waagrecht gestellten Achse befestigt. Es werden je eine Messung in beide Drehrichtungen mit verschiedenen Massen (2g, 1g, 2g durchgeführt und die Auslenkungen abgelesen (siehe Messprotokoll im Anhang. Zur Beobachtung der Drehschwingungen der Körper wird die Achse vertikal positioniert und der Reihe nach die o.g. Körper auf der Achse befestigt. Diese werden etwa eine Viertelumdrehung ausgelenkt und dann frei schwingen gelassen. Um genauere Messwerte zu erhalten, wird jeweils fünf mal über N = 1 bzw. N = 5 Perioden gemessen. 5 Auswertung 5.1 Winkelrichtgröÿe Mithilfe der Formel (?? kann die Winkelrichtgröÿe D berechnet werden. Dazu werden die jeweils in und gegen den Uhrzeigersinn erzeugten Auslenkungen [rad] arithmetisch gemittelt. Dies ist sinnvoll, da auch die Schwingung symmetrisch in beide Richtungen erfolgt. Die Messdaten sind dem angehängten Messprotokoll und die Ergebnisse samt errechneter Messungenauigkeit der Winkelrichtgröÿe in Tabelle (?? zu nden. Als Erdbeschleunigung wurde g = 9, 81 m verwendet. Die Messungenauigkeit der s 2 Masse ist durch die Anzeigegenauigkeit der Digitalwaage gegeben, (δm = ±5 1 6 kg, die des Radius (δr = ±1 1 3 m wurde ebenso wie die der Auslenkung (δϕ = 1, 1745rad abgeschätzt. Die Messunsicherheit der Winkelrichtgröÿe wurden durch die Gaus'sche Fehlerfortpflanzung wie folgt ermittelt: (g δ D r 2 ( g m 2 ( m g r 2 = δm ϕ 2 + δr ϕ 2 + ϕ 2 ϕ 2 (38 Als arithmetischer Mittelwert ergibt sich D =, 21(1 N m rad, was im Folgenden als Winkelrichtgröÿe 8
S.Beinlich & R.Garreis 5 AUSWERTUNG Masse m [kg] mittlere Auslenkung ϕ [rad] Winkelrichtgröÿe D [ N m rad ],2136(5 2,83(2,196(7,9974(5 1,32(2,28(8,1997(5,24(2,224(18 Tabelle 1: Bestimmung der Winkelrichtgröÿe: Verwendete Massen, erzeugte mittlere Auslenkung und errechnete Winkelrichtgröÿe verwendet wird. 5.2 Trägheitsmoment Zur theoretischen Ermittlung des Trägheitsmomentes der körper wurden die Formeln aus dem Grundlagenteil verwendet: Für die Scheibe: polar:(??,äquatorial:(??; für den Würfel: (??; für die Kugel (?? und für die Hantel: (??. Die Ergebnisse sind in der nächsten Tabelle (?? aufgeführt. Zur Fehlerrechnung wurden folgende Formeln benutzt: Würfel diagonal bzw. senkrecht: (1 δθ W = Scheibe polar bzw. Zylinder: Scheibe äquatorial: Kugel: δθ Sp = δθ Sä = δθ K = (1 (1 (2 6 m 2 a 2 m 2 r 4 m 2 r 5 m 2 r 2 ( 1 δa 2 + 2 ( 1 δr 2 + 2 ( 1 δr 2 + 2 ( 2 δr 2 + 6 a2 2 r2 4 r2 5 r2 δm 2 (39 δm 2 (4 δm 2 (41 δm 2 (42 Wobei m die jeweilige Masse [kg] der Körper und a die Kantelänge des Würfels bzw. r der Radius der anderen Körper (jeweils in [m] ist. Der Radius der Kugel wurde aus dem Umfang durch r = U 2π berechnet, der Radius der Scheibe und des Zylinders aus dem Durchmesser über: r = d 2 (die Messunsicherheit entsprechend angepasst. Die Berechnung der Messunsicherheit der Hantel sowie die experimentelle Bestimmung der Trägheitsmomente samt Messunsicherheiten wurden mit der Software GUM Edu durchgeführt, wozu sich die jeweiligen Berichte im Anhang benden. 9
S.Beinlich & R.Garreis 6 VERGLEICH UND DISKUSSION DER MESSUNSICHERHEITEN Körper Trägheitsmoment theo.[kg r 2 ] Trägheitsmoment exp.[kg r 2 ] Würfel diag.,238(5,254(12 Würfel senkr.,238(5,26(2 Zylinder,8(2,87(4 Scheibe polar,539(5,56(3 Scheibe äquatorial,269(2,277(13 Kugel,738(5,774(37 Hantel,498(2,46(3 Tabelle 2: Theoretisch berechnetes und experimentell bestimmtes Trägheitsmoment, jeweils mit berechneter Unsicherheit 6 Vergleich und Diskussion der Messunsicherheiten In der folgenden Tabelle (?? sind die Beträge der Dierenzen zwischen experimentell und theoretisch bestimmtem Trägheitmoment (in [kg r 2 ] der verschiedenen Körper aufgeführt: Auÿer bei Zylinder Würfel diag.,16(17 Würfel senkr.,22(25 Zylinder,7(6 Scheibe polar,21(35 Scheibe äquatorial,8(15 Kugel,36(42 Hantel,38(32 Tabelle 3: Beträge der Dierenzen zwischen theoretisch berechnetem und experimentell bestimmtem Trägheitsmoment, mit addierten Messunsicherheiten und Hantel liegen die Beträge der Dierenzen im Bereich der berechneten Messunsicherheit. Die Abweichungen bei Zylinder und Hantel liegt nicht im Bereich der Standartmessunsicherheit mit dem normalen Erweiterungsfaktor 1, würde aber bei einem höheren Faktor, der eine höhere Überdeckung gewährleisten würde, innerhalb der Messunsicherheit liegen. Demnach stimmen die experimentell und theoretisch bestimmten Werte im Rahmen der Messunsicherheit gröÿtenteils überein. Beide Methoden zur Bestimmung des Trägheitsmomentes kommen also zu vergleichbaren Ergebnissen. Die Abweichungen können durch äuÿere Einüsse, wie Reibung ( - gerade bei der Hantel die hohe Luftreibung, die durch die schnelle Bewegung der auÿen liegenden Zylinder erzeugt wird - oder durch die Spiralfeder zustande kommen, welche keine gleichmäÿige Winkelrichtgröÿe in beide Richtungen besitzt. Wie aus den GUM-Protokollen hervorgeht, trägt die Messunsicherheit der Winkelrichtgröÿe einen groÿen Anteil zur Gesamtmessunsicherheit bei, wodurch schon kleine Ungenauigkeiten groÿe Eekte haben können. Durch die von uns gewählte Mittelung der Winkelrichtgröÿe in beide Richtungen, wurde dies aber oenbar ganz gut abgefangen. Auÿerdem kann die verzögerte Reaktionszeit bei der Zeitnehmung zu einem systematischen Fehler führen. Zusammenfassend kann aber gesagt werden, dass die Versuchsergebnisse den erwarteten Werten entsprechen. 1
S.Beinlich & R.Garreis 7 FRAGEN 7 Fragen 1 Berechnen Sie unter Verwendung von Θ Stab = 1 12 m StablStab 2 und des Steiner'schen Satzes (?? das Trägheitsmoment eines Stabes für den Fall, dass die Drehachse senkrecht zum Stab verläuft, aber nicht durch den Schwerpunkt, sondern durch einen der Endpunkte des Stabes geht. Verläuft die Drehachse senkrecht zum Stab, der Masse m und der Länge l durch den Schwerpunkt so gilt für das Trägheitsmoment: Θ S = 1 12 ml2 (43 Für das Trägheitsmoment Θ B mit einer Drehachse die am einen Ende des Stabes angreift gilt laut des Steiner'schen Satzes: ( l 2 Θ B = Θ S + m = 1 2 12 m l2 + 1 4 m l2 = 1 3 m l2 (44 2 Beweisen Sie, dass das Trägheitsmoment eines Würfels mit Kantenlänge a, Masse m W ürfel und homogener Dichte um jede Achse durch den Schwerpunkt den Wert Θ W ürfel = 1 6 m W ürfela 2 besitzt. Dies Wurde bereits in Kapitel (??, insbesondere mit den Gleichungen (?? und (?? gezeigt. 3 Falls Sie den Ausdruck für das Trägheitsmoment des Hohlwürfels nicht schon bei der Auswertung des Versuches hergeleitet haben, holen Sie das bitte nach. Ein Hohlwürfel der Kantenlänge s, der Masse m Hohlwürfel und der Dicke der Wände b. Des weiteren hat eine Seitenwand die Masse m Hohlwürfel 6. Für das gesammte Trägheitsmoment des Hohlwürfels gilt also: ( Θ Hohlwürfel = 2 Θ polar + 4 Θäquatorial + m ( Hohlwürfel s 2 (45 6 2 Um Θ polar zu berechnen muss man sich die Wände als gestauchte Vollwürfel vorstellen. Dies ist korrekt, da nur eine Änderung der Gewichtsverteilung entlang der Drehachse vorgenommen wurde, dadurch wird Θ nicht verändert. Θ polar = 1 6 m Hohlwürfel s 2 = 1 6 36 m Hohlwürfel s 2 (46 Θäquatorial wird analog zur Scheibe über das Volumenintegral berechnet, dadurch ergibt sich: b Θäquatorial = ϱ s 2 s 2 s s 2 2 x 2 dxdydz = ϱ b s 2 }{{} 1 12 s2 = 1 72 m Hohlwürfel s 2 (47 m Hohlwürfel 6 Setzt man nun die Gleichungen (??und (?? in (?? ein bekommt man: ( ( 1 1 Θ Hohlwürfel = 2 36 m Hohlwürfel s 2 +4 72 m Hohlwürfel + m ( Hohlwürfel s 2 = 6 2 5 18 m Hohlwürfel s 2 (48 11
S.Beinlich & R.Garreis Tabellenverzeichnis 8 Anhang Literatur [1] Beinlich, Simeon und Garreis, Rebekka: Protokoll Anfängerpraktikum Kreisel 3.12.12 [2] Runge, Bernd-Uwe: Trägheitsmoment aus Drehschwingungen. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. https://ap.physik.uni-konstanz.de/appublic/anleitungen/drehschwingungen.pdf, entnommen am 16.12.12 [3] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik1 Auage 5 28 [4] Sommerfeld, Arnold: Vorlesungen über Theoretische Physik Band 1, Mechanik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig, 8.Auage, 1968 [5] Beinlich, Simeon und Garreis, Rebekka: Gekoppelte Pendel: Protokoll Anfängerpraktikum 26.11.12 1 Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis 8.1 GUM Messunsicherheiten- Protokolle 12
S.Beinlich & R.Garreis Tabellenverzeichnis 13