1.1. Vorspiel bei den lten Griechen Die Mthemtiker der griechischen Antike wren ihrer Zeit und uch ihren Epigonen im "finsteren Mittellter" um Etliches vorus. Einige ihrer Entdeckungen werden wir im Lufe dieser Vorlesung kennen lernen. Zu den großen mthemtischen Denkern des Abendlndes gehören PYTHAGORAS, EUKLID und der vielleicht genilste Ingenieur ller Zeiten, ARCHIMEDES. Geometrie und Ingenieurprxis wren für ihn untrennbr verbunden - und sollten es uch für den modernen Ingenieur sein! Kreise und Dreiecke Wir beginnen mit ein pr (hoffentlich) wohlbeknnten Fkten us der elementren Geometrie: Gleichung des Einheitskreises in krtesischen Koordinten: in Prmeterdrstellung: x 2 y 2 = 1 x = cos t, y = sin t Allgemeine Kreisgleichung für Mittelpunkt m =, b und Rdius r : x 2 y b 2 = r 2 x = r cos t, y = b r sin t cos t t sin t Hier ist t der Winkel im Bogenmß, lso die Länge des Bogens uf dem Einheitskreis, der zu dem jeweiligen Winkel gehört. Beispiel 1: Pythgors uf dem Brodwy Nch einer Odyssee über den Atlntik gerät Pythgors in ds Großstdtgewimmel von New York. Der Stdtteil Mnhttn wird durch seine Strßen in Qudrte ufgeteilt - nur der Brodwy verläuft schräg durch ds entstehende Gittermuster. Wie lnge ist der Brodwy, wenn die Länge jedes Qudrtes eine Meile beträgt? ' 1
Die Antwort gibt der berühmte Stz des Pythgors: Ein Dreieck ist genu dnn rechtwinklig, wenn die Fläche des Hypotenusenqudrts gleich der Summe der Flächen der Kthetenqudrte ist: 2 b 2 = c 2 Im Flle des Brodwys ls Hypotenuse erhlten wir für die Kthetenlängen = 3 und b = 4 : c = 3 2 4 2 = 25 = 5. Geometrischer Beweis: Beispiel 2: Lndvermessung (schon im lten Ägypten, 2000 v. Chr.) Ein geschlossenes Seil wird durch Knoten in 12 gleich lnge Strecken ufgeteilt. Wählt mn drei Knoten im Abstnd 3:4:5, so entsteht nch Spnnen des Seils ein rechtwinkliges Dreieck. Dmit knn mn rechteckige Felder bstecken. 3 2 4 2 = 5 2 Pythgoräische Tripel = x 2 y 2, b = 2 x y, c = x 2 y 2 2 b 2 = c 2 2
Jedes Pythgoräische Tripel, b, c liefert für x y > 0 ein rechtwinkliges Dreieck, und zwr mit gnzzhligen Seitenlängen, flls x und y ntürliche Zhlen sind. Beispiel 3: Euklid im Amphitheter Zur Urufführung des Drms "Ingenius und Elektr" drängen sich die Zuschuer uf den Stufen des Amphitheters, um den besten Blickwinkel uf die Bühne zu ergttern. Euklid bleibt gelssen, weiß er doch, dß mn innerhlb einer kreisförmigen Reihe die Bühne stets unter dem gleichen Winkel sieht, völlig unbhängig vom gewählten Pltz. Der geometrische Hintergrund für diese Ttsche ist der Umkreiswinkelstz des Euklid: Eine Sehne eines Kreises wird von llen Punkten des Kreisrndes, die uf der gleichen Seite liegen, unter dem selben Winkel gesehen. D die Winkelsumme in einem Dreieck stets = 180 0 beträgt, ist in dem nchfolgenden Bild 2 2 2 = und 2 =, lso = 2 konstnt! Ein Sonderfll des Umfngwinkelstzes ist der Stz des Thles: Von jedem Punkt eines Kreisrndes us sieht mn den Durchmesser unter einem rechten Winkel. Eine Ergänzung zum Umfngswinkelstz müssen wir jetzt noch nchtrgen: Die Zuschuer, die nur uf der Rückseite der Bühne (im Bild unten) einen Pltz gefunden hben, sehen diese (ußer im Flle des Thleskreises) unter einem nderen Winkel ls die uf der Vorderseite (im Bild 3
oben); und zwr ergänzen sich die beiden Blickwinkel gerde zu = 180 0. Ds folgt us dem Stz von Thles und der Ttsche dß die Winkelsumme in jedem Viereck 2 = 360 0 beträgt. Allgemein ist die Winkelsumme in einem beliebigen n-eck n 2. Der Stz von Pythgors folgt us dem ebenflls von Euklid stmmenden Kthetenstz: Für rechtwinklige Dreiecke ist die Fläche eines Kthetenqudrts gleich der Fläche des Recktecks, ds von dem zugehörigen Hypotenusenbschnitt und einer weiteren Seite des Hypotenusenqudrts ufgespnnt wird. p c c Denn us der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke ergibt sich p = c, lso 2 = p c. Und von Euklid stmmt uch der Höhenstz: Für rechtwinklige Dreiecke ist ds Höhenqudrt gleich dem Produkt der Hypotenusenbschnitte. Dies ergibt sich wieder gnz leicht durch Betrchtung ähnlicher Dreiecke: 4
h h p q q h p = q h => h 2 = p q Die Kreiszhl Pi Während Buchstben meist Vriblen bedeuten, stehen einige Symbole der Mthemtik für feste Größen, z.b. die berühmte Kreiszhl, die ls Verhältnis vom Umfng zum Durchmesser eines Kreises definiert ist. Um Näherungen für die Kreiszhl zu bekommen, pproximierte Archimedes den Kreis durch ein- oder umbeschriebene regelmäßige n-ecke und berechnete deren Umfänge. Auf diese Weise gelngte er zu der guten Näherung ~ 22 7. Auf zehn Stellen genu ist = 3.141592654 22 7 = 3.142857143 ber selbst ds sind ntürlich nur (gute) Näherungswerte. (1) 5
Archimedes wußte uch, dß die Kreiszhl lterntiv ds Verhältnis der Kreisfläche zur Fläche eines Qudrtes über dem Rdius des Kreises beschreibt: F Kreis r = r 2 r r Um diese wichtige Ttsche zu begründen, fügen wir den vielen Anekdoten eine frei erfundene hinzu: Beispiel 4: Archimedes und die Pizz Der Pizzbäcker von Syrkus lieferte Archimedes eine besonders schön kreisrunde Pizz. Um die Pizz im Lieferkrton unterzubringen, zerschnitt der Bäcker sie in einzelne gleich große Stücke, die er dnn zur Pltzersprnis so neinnderlegte, dß bwechselnd die Spitzen nch oben und nch unten zeigten: 6
Und Archimedes erknnte sogleich: Die Gesmtfläche der Pizzstücke nähert sich immer mehr einem Rechteck der Höhe r (Kreisrdius) und der Breite r n. Der Flächeninhlt des pproximierten Rechtecks ist dher gleich r 2, und ds selbe muß für die Kreisfläche der Pizz gelten. Der Goldene Schnitt Wird eine Strecke so geteilt, dß der kleinere Abschnitt sich zum größeren verhält wie der größere zur Gesmtstrecke, so spricht mn von einem Goldenen Schnitt. Dieses Verhältnis tucht in vielen Bereichen der Mthemtik, Architektur, Kunst und Ntur uf, zum Beispiel bei den menschlichen Proportionen, ber uch bei den Bltt-, Blüten- und Fruchtständen vieler Pflnzen. Numerisch ist der Goldene Schnitt die positive Lösung der qudrtischen Gleichung x 1 x = 1 x bzw. x2 x 1 = 0, lso 5 1 x =. 2 1-x x x 1 Goldenes Rechteck, dessen Seiten sich nch dem Goldenen Schnitt verhlten Von diesem Rechteck knn mn bwechselnd rechts und oben immer wieder ein Qudrt bschneiden. Es läßt sich sogr zeigen, dß die einzigen Rechtecke mit dieser Eigenschft die goldenen sind. 7
Der Goldene Schnitt im regelmäßiges n-eck Wir zeichnen ein regelmäßiges n-eck mit einer wgerechten Oberknte. Die Winkel der Rdien zu den Eckpunkten luten (im Bogenmß): 2 k n n 1 2 (2) Und ds 7-Eck sieht so us: Nun wählen wir drei nebeneinnder liegende Seiten und verlängern die beiden äußeren zur Mitte hin um die gleiche Strecke. Durch die vier Endpunkte der zwei so durch Verdoppelung entstndenen Strecken geht ein Kreis. 8
Dieser Kreis schneidet us der wgerechten Gerden durch die mittlere Seite drei Strecken b, von denen sich die Länge der beiden kürzeren Teilbschnitte zur Länge des mittleren Abschnitts nch dem Goldenen Schnitt verhält. Der Beweis für diesen hübschen Schverhlt beruht wieder uf dem Umfngswinkelstz! b b b = b 9