! H W B - Bibliothek!nv.-Nr. p Institut für Strömungsmechanik und Elektron. Rechnen im Bauwesen der Universität Hannover BERICHT NR. 24/1987 Technische Universität Darmslacit Bibliothek Wasser und Umwelt Peterser.straße 13 D-64287 Darmstadt Telefon 06151 /163659 Fax,.~^u^ 06151 / 163758 Bibliothek des Fachgebietes- Hydraulik und Hydrologie Technische Hochschule Darmstadt D-6100 Darmstadt/Petersenstraße Siegfried Gärtner Zur diskreten Approximation kontinuumsmechanischer Bilanzgleichungen
- 9 - I N H A L T 1 Grundlagen I 15 1.1 Tensorrechnung 15 1.1.1 Tensoralgebra 15 1.1.2 Tensoranalysis 22 1.1.3 GAUSSscher Integralsatz 25 1.2 Ableitungen nach der Zelt 25 1.2.1 Lokale, materielle und konvektive Ableitung 26 1.2.2 Lokale, materielle und konvektive Beschleunigung 27 1.2.3 CORIOLISbeschleunigung 28 1.3 Deformation und Deformationsgeschwindigkeit 31 1.3.1 Deformationsgeschwindigkeit bei Fluiden 32 1.3.2 Geometrische Linearisierung bei Festkörpern 33 2 Bilanzgleichungen 35 2.1 REYNOLDSsches Transporttheorem 36 2.2 Massenbilanz 36 2.3 Allgemeine Bilanzgleichung 40 2.4 Massenbilanz bei Gemischen 43 2.5 Impulsbilanz 47 2.5.1 Kugelsymmetrischer Spannungszustand 49 2.5.2 NEWTONscher Spannungszustand 50 2.5.3 REYNOLDSscher Spannungszustand 52 2.5.4 HOOKEscher Spannungszustand 54 2.6 Energie- und Entropiebilanz 56 2.6.1 Energiebilanz 59 2.6.2 Entropiebilanz 62 2.6.3 Entropieungleichung 66 2.6.4 Restentropieungleichung 68 2.6.5 Wärmekapazitäten 68 2.6.6 Restenergiegleichung 70 2.6.7 Erweiterte Theorie der Wärmeleitung 73
- 10-3 Formulierung spezieller Probleme 77 3.1 Anfangs- und Randbedingungen 77 3.2 Zwei- oder eindimensionale Idealisierungen 81 3.2.1 Wärmeleitung 81 3.2.2 Plattenbiegung 82 3.2.3 Strbmung mit freier Oberfläche 83 3.2.4 Freistrahl 87 3.2.5 Substanztransport in Gemischen 88 3.2.6 Dispersion 90 3.3 Stationäre Probleme 92 3.3.1 Strömung In porösem Medium 93 3.3.2 Strömung In flachen Gewässern 94 3.3.3 Strömung viskoser Fluide 95 3.4 Instationäre Probleme 97 3.5 Charakteristiken 98 4 irundlagen II 4.1 Lineare Räume und lineare Abbildungen 4.1.1 4.1.2 4.1.3 1.1.4».l."5».1.6».1.7 i1.1.8».1.9 i1.1.10 4.1.11 4.1.12 Lineare Räume Unterräume, affine Räume Basis eines linearen Raumes Lineare Abbildungen Lineare Funktionale B1l1neare Funktionale Innere Produkte Normen Matrizen Projektionsoperatoren Differentialoperatoren Stetige Abbildungen 4.2 Elementare Funktionenräume 4.2.1 Funktionen auf Gebieten G t1.2.2 106 107 116 118 124 128 131 133 134 134 136 Stetige Funktionen 4.2.3 Die Menge C(G) sowie C k (G), < (G) 139 4.2.4 F1n1te Elemente JTgC^ 141 4.2.5 Die Menge D(G) sowie D k (E) 143
- 11-4.2.6 Die Menge L(G) 4.2.7 Die Menge L p (G) bzw. H(G) 4.2.8 Der Dual von L (G) 146 148 l5 4.3 Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) 154 4.3.1 Allgemeine Definition einer Distribution ^4 4.3.2 SCHWARTZsches Funktionalmodell 155 4.3.3 Reguläre und singuläre Distributionen 163 4.3.4 Integrationskonstanten bei singulären Distributionen ^4 4.3.5 Distributionen bei Biegebalken 165 4.3.6 Distributionen bei Platten 17 4.3.7 Distributionen bei Geschwindigkeitsfeldern i72 4.3.8 SOBOLEWsches Funktionalmodell :75 4.4 Funktionalgleichungen (Variationsgleichungen) ^ 4.4.1 Biegebalken 182 4.4.2 Substanztransport 188 4.4.3 Gerinneströmung 193 4.4.4 Ebene Strömung 199 4.4.5 Schwache Form einer Differentialgleichung 202 4.4.6 Starke und schwache Konvergenz 20^ 4.4.7 Diskrete Konvergenz 209 4.4.8 Konsistenz 213 4.5 Differenzengleichungen 4.5.1 Gitterfunktionen 218 4.5.2 Klassische Differenzenquotienten. 221 4.5.3 Gemittelte Differenzenquotienten 226 4.5.4 Verallgemeinerte Differenzenquotienten 232 5 Approximation und Defektabgleich 241 5.1 Methode gewichteter Residuen 242 5.2 Projektionsverfahren 246 5.3 Finitisierung von Funktionalgleichungen 252 5.4 Finite-Elemente-Schemata als Differenzengleichungen 258 5.4.1 Problemstellung in schwacher Formulierung 258 5.4.2 Diskretisierung 263 5.4.3 Diskrete Konvergenz 265 218
- 12-6 FEM-Approximationen von Randwertaufgaben 271 6.1 Eindimensionale Probleme 271 6.1.1 Allgemeine Problemstellung und Diskretisierung 271 6.1.2 BUBNOW-GALERKIN-Verfahren 274 6.1.3 GALERKIN-PETROW-Verfahren 275 6.2 Mehrdimensionale Probleme 280 6.2.1 Problemstellung 280 6.2.2 GALERKIN-PETROW-Verfahren 282 7 FEM-Approximationen von Anfangsrandwertaufgaben 287 7.1 Senidiskretisierung bei linearen Problemen 289 7.1.1 Problemstellung 290 7.1.2 FAEDO-GALERKINsche Gleichungen 292 7.1.3 CRANK-NICOLSON-Verfahren 293 7.1.4 Numerische Diffusion 294 7.1.5 Numerische Filter 297 7.2 Räumlich eindimensionale Transportgleichung 300 7.2.1 Problemstellung 301 7.2.2 Diffusion 303 7.2.3 Advektion 303 7.2.4 Advektion und Diffusion 307 7.3 Räumiich mehrdimensionale Transportgleichung 308 7.3.1 Problemstellung 308 7.3.2 Bilineare Viereckelemente 309 7.3.3 Lineare Dreieckelemente 316 7.4 Quasilineare hyperbolische Systeme 326 7.4.1 Problemstellung 326 7.4.2 Explizite Schemata 327 7.4.3 Implizite Schemata 329 Literatur 335