3 Differenzialrechnung

Differenzialrechnung 3 Differenzialrechnung 3.1 Ableitungsregeln Übersicht Beispiel Vorgehen Potenzfunktionen f(x) = x 4 f (x) = 4 x 3 f(x) = x f (x) = 1 x 0 = 1 f(x) = x Hochzahl f (x) = Hochzahl x Hochzahl 1 Exponentialfunktion f(x) = e x f (x) = e x einzige Funktion mit f(x) = f (x) Trigonometrische f(x) = sin(x) sin(x) Funktion f (x) = cos(x) f(x) = cos(x) cos(x) cos(x) sin(x) f (x) = sin (x) (im Uhrzeigersinn) Faktorregel f(x) = 5 x 3 f (x) = 5 3x 2 = 15 x 2 f(x)= 5cos(x) f (x) = 5sin(x) Konstanter Faktor bleibt erhalten. Additionsregel Kettenregel f(x) = 5 x 3 2x f (x) = 15 x 2 2 f(x) = 5cos(x) + 2 f (x) = 5sin(x) f(x) = e 1 2x f (x) = 2 e 1 2x f(x) = sin(4x) f (x) = 4cos(4x) f(x) = 6cos( x 3 ) f (x) = 6 ( 1 3 ) sin( x 3 ) = 2sin( x 3 ) Ableitungswerte kann man sich mit dem GTR anzeigen lassen, ohne f (x) zu berechnen Die Tangentensteigung anzeigen lassen: m t = f (x 0 ) Mit dy/dx zeichnet der GTR die Ableitungskurve. Konstanter Summand (Zahl) fällt weg. (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) f(x) = e ax + b f (x) = a e ax + b f(x) = sin(ax) f (x) = a cos(ax) f(x) = cos(ax) f (x) = a sin(ax) Zahl vor x als Faktor nach vorne 29

Differenzialrechnung 3.2 Tangente und Normale Aufgabentyp 1: Tangente und Normale in einer gegebenen Stelle anlegen Beispiel: Gegeben ist die Parabel K f von f mit f(x) = x 2. Berechnen Sie die exakten Gleichungen von Tangente und Normale an K f in x 0 = 1. Tangente im Kurvenpunkt P( x 0 f(x 0 )) Normale im Kurvenpunkt P( x 0 f(x 0 )) Vorgehen 1. y-wert des Berührpunktes bestimmen x 0 = 1 in f(x) einsetzen f(1) = 1 2 = 1 (= y 0 ) B(1 1) 2. Tangentensteigung bestimmen f (x) = 2x f (1) = 2 (= m t ) 3. Tangentengleichung aufstellen mit der Punkt-Steigungsform (PSF): y = m(x x 0 ) + y 0 y = 2(x 1) + 1 = 2x 1 Die Tangente hat die Gleichung y = 2x 1 Tangentengleichung mit GTR: Vorgehen 1. y-wert des Kurvenpunktes bestimmen x 0 = 1 in f(x) einsetzen f(1) = 1 2 = 1 B(1 1) 2. Tangentensteigung bestimmen f (x) = 2x f (1) = 2 ( = m t ) 3. Normalensteigung bestimmen m n = m 1 = 1 t 2 4. Normalengleichung aufstellen (PSF): y = m(x x 0 ) + y 0 y = 1 1 2 (x 1) + 1= 2 x + 3 2 Die Normale hat die Gleichung y = 1 2 x + 3 2 Normalengleichung mit GTR: 30

Integralrechnung 4 Integralrechnung 4.1 Integrationsregeln Übersicht Beispiel Vorgehen Potenzfunktionen f(x) = x 4 F(x) = 1 5 x 5 oder F(x) = 1 5 x 5 f(x) = x Hochzahl + c f(x) = x F(x) = 1 1 2 x 2 F(x) = Hochzahl + 1 x Hochzahl + 1 Exponentialfunktion f(x) = e x F(x) = e x einzige Funktion mit f(x) = F(x) Trigonometrische f(x) = sin(x) sin(x) Funktion F(x) = cos(x) f(x) = cos(x) cos(x) cos(x) sin(x) F(x) = sin(x) (gegen den Uhrzeigersinn) Faktorregel f(x) = 5 x 3 F(x) = 5 1 4 x4 = 5 4 x 4 f(x) = 5cos(x) F(x) = 5sin(x) Konstanter Faktor bleibt erhalten. Additionsregel f(x) = 1 5 x 3 2 1 F(x) = 20 x 4 2x f(x) = 5cos(x) + 1 F(x) = 5sin(x) + x Kettenregel f(x) = e 1 2x F(x) = 1 2 e 1 2x f(x) = sin(4x) F(x) = 1 4 cos(4x) f(x) = 6cos( x 3 ) F(x) = = 6 3 sin( x 3 ) = 18sin( x 3 ) Konstanter Summand (Zahl) erhält ein x: Zahl wird zu (Zahl x). f(x) = e ax + b F(x) = 1 a e ax + b f(x) = sin(ax) F(x) = 1 a cos(ax) f(x) = cos(ax) F(x) = 1 a sin(ax) 1 Zahl vor x in den Nenner: Zahl Bemerkung: Ist F eine Stammfunktion, so ist F* mit F*(x) = F(x) + Zahl eine Stammfunktion. 45

Integralrechnung Bemerkungen Integrationskonstante Eine Funktion hat nur eine Ableitungsfunktion, aber unendlich viele Stammfunktionen. Für eine Stammfunktion F von f gilt: F (x) = f(x) Rechnerische Erläuterung: Beim Ableiten von F fällt der konstante Summand weg, alle Stammfunktionen haben dieselbe Ableitungsfunktion F 1 (x) = x2 F 2 (x) = x2 + 1 F 3 (x) = x 2 2 Grafische Erläuterung: Verschiebt man das Schaubild von F in y-richtung, so bleibt die Steigung an einer Stelle gleich. Für alle Stammfunktionen gilt also F (x) = f(x). f(x) = 2x Der GTR kann das Schaubild von F zeichnen: 46

Integralrechnung 4.2 Flächenberechnung Fläche zwischen Schaubild von f und der x-achse Beispiel 1 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 + 1; x R. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen K f und der x-achse mithilfe einer Stammfunktion exakt. Lösung: Nullstellen von f: x 2 + 1 = 0 x 1 2 = ± 1 Die Fläche liegt oberhalb der x-achse. 1 Flächenberechnung: A = 1 f(x)dx 1 1 f(x)dx = 4 3 mit GTR Stammfunktion F mit F(x) = 1 3 x 3 + x (nur Angabe) exakt Merkregel: 1 Die Fläche liegt oberhalb 1 f(x)dx = [ 1 3 x 3 1 + x ] 1 der x-achse. = 1 3 1 + 1 ( 1 3 ( 1)3 + ( 1)) = 2 3 + 2 3 = 4 3 rechte Grenze A = linke Grenze f(x)dx Der Inhalt der Fläche beträgt 4 3. Beispiel 2 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 1; x R. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen K f und der x-achse. Lösung: Nullstellen von f: x 2 1 = 0 x 1 2 = ± 1 Die Fläche liegt unterhalb der x-achse. 1 Flächenberechnung: A = 1 f(x)dx Merkregel: 1 Die Fläche liegt unterhalb 1 f(x)dx = 4 3 ; also A = 4 3 der x-achse. Bemerkungen: Minuszeichen beachten, da das rechte Grenze A = linke Grenze f(x)dx Integral einen negativen Wert liefert, aber die Fläche A stets positiv sein muss. Bei dieser Aufgabenstellung dürfen alle Rechnungen mit dem GTR durchgeführt werden. Die Lösung muss dokumentiert werden. 47

Funktionen Funktionen Basisübung 1: Gegeben ist die Funktion f. Das Schaubild von f heißt K f. Aufgabe y-wert an der Stelle x = 2,5 Rechenansatz Schnittpunkt mit der y-achse x-wert für y = 4 Schnittpunkt von K f mit der x-achse Liegt R( 1,5 3) auf dem Schaubild von f? Schnittpunkt von K f mit der Gerade y = 6 Funktionswert an der Stelle 5 Basisübung 2: Formulieren Sie die mathematische Bedeutung in Worten. Gegeben ist die Funktion f. Das Schaubild von f heißt K f. Rechenansatz Formulierung in Worten f(x) = 5 f(0) = 0 f( 3) = f(x) = 0 f(3 ) = 0,5 f(x) = x f(12) = y f(x) = 1 für alle x f(10) = 0 52

Funktionen Basisübung 3: Geben Sie die Gleichungen der eingezeichneten Geraden an. A: B: C: D: E: F: Basisübung 4: Zeichnen Sie die Geraden ein. A: y = 3 2 x 2 B: y = 4x + 4 C: y = 1 3 x D: y = x E: y = x + 1 F: y = 0 Basisübung 5: Geben Sie jeweils die Gleichung einer möglichen Geraden g an. a) g verläuft parallel zur Geraden mit der Gleichung y = 2 5 x + 8. b) g verläuft senkrecht zur Geraden mit der Gleichung y = 2x + 3. c) g verläuft parallel zur Geraden mit der Gleichung y = 4,5. d) g verläuft senkrecht zur 1. Winkelhalbierenden. e) g schneidet die x-achse in 2 mit Steigungswinkel 60. f) g verläuft durch P( 1 4) parallel zur 2. Winkelhalbierenden. g) g verläuft durch P(3 4) und Q (1 0). 53

Differenzialrechnung Basisübung 13: Berechnen Sie die exakten Koordinaten der Extrempunkte und der Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild in ein geeignetes Koordinatensystem. a) f(x) = 1 2 x e x b) f(x) = 1 8 x 3 2 x 2 + 1 c) f(x) = 3cos(0,5x) 2; x [ 0; 12 ] d) f(x) = 1 4 x 3 (x 4) Basisübung 14: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = sin(x) + x; x R. Weisen Sie nach, dass das Schaubild von f in x = einen Sattelpunkt besitzt. Basisübung 15: Gegeben sind die Funktionen g und h durch g(x) = 2 3 e 0,5x mit x R; h(x) = 2x + 6 e 0,5x 6 mit x R. Berechnen Sie die exakte Nullstelle von g und die exakte Extremstelle von h. Basisübung 16: Skizzieren Sie das Schaubild der zugehörigen Ableitungsfunktion. Schaubild von f Schaubild von g Schaubild von f Schaubild von g Tipp: N E W 68

Differenzialrechnung Basisübung 17: Skizzieren Sie das Schaubild der zugehörigen Ableitungsfunktion. Schaubild von f Schaubild von g Schaubild von f Schaubild von g Tipp: N E W 69

Differenzialrechnung Basisübung 18: Die Abbildungen zeigen die Schaubilder K f, K g und K h und die Schaubilder der zugehörigen Ableitungsfunktionen. Ordnen Sie zu. a) b) Tipp: Steigung von K f = Funktionswert von f 70

Differenzialrechnung Basisübung 19: Gegeben ist das Schaubild der Funktion f. Entscheiden Sie, welche der nachfolgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Aussage Entscheidung Begründung f besitzt genau drei wahr Nullstellen falsch Das Schaubild von f hat genau einen Wendepunkt wahr falsch f hat eine doppelte Nullstelle wahr falsch Das Schaubild von f verläuft bei x = 0,5 oberhalb der x-achse wahr falsch f ( 1,5) > 0 wahr falsch f ( 1,5) > 0 wahr falsch Das Schaubild von f ist symmetrisch zum Ursprung. wahr falsch 71

Differenzialrechnung Basisübung 30: Ordnen Sie jeder Abbildung eine mögliche Zielfunktion zu. Der Punkt Q(u f(u)) liegt auf K f. 1. Q und der Ursprung sind Eckpunkte eines Rechtecks. Der Flächeninhalt soll möglichst groß werden. 2. Die Gerade x = u schneidet die x-achse in P und K f in Q. Für welches u wird der Inhalt des Dreiecks OQP maximal? 3. P(1 0), R(u 0) und Q bilden ein Dreieck. Welches Dreieck hat den größten Flächeninhalt? Zielfunktion: Zielfunktion: Zielfunktion: 4. Der Punkt P(u f(u)) liegt auf K g. Für welches u ist die Strecke PQ am längsten? 5. P(0 1), R(u 1) und Q bilden ein Dreieck. Welches Dreieck hat den größten Flächeninhalt? 6. Q und der Ursprung sind Eckpunkte eines Rechtecks. Der Umfang soll maximal werden. Zielfunktion: Zielfunktion: Zielfunktion: A: Z(u) = 1 2 (u 1)f(u) B: Z(u) = f(u) g(u) 1 C: Z(u) = 2 u ( f(u)) D: Z(u) = 1 2 u (f(u) 1) E: Z(u) = u f(u) F: Z(u) = 2 (u f(u)) 76

Integralrechnung Integralrechnung Basisübung 1: Bestimmen Sie eine mögliche Stammfunktion von f. a) f(x) = x 3 2 x 2 4x + 1 F(x) = b) f(x) = 1 2 x4 x + 3 F(x) = c) f(x) = 4 e 2x 3 5x F(x) = d) f(x) = 3 4 e 2x 5 e 1 x F(x) = e) f(x) = 7sin(3x) + 4 F(x) = f) f(x) = 10,2cos( x 5 ) 3 F(x) = g) f(x) = 3x 2sin( 2 x) F(x) = h) f(x) = 13 4 e 0,25x x 4 F(x) = i) f(x) = x2 5 4 5 x + 8 F(x) = j) f(x) = 3 16 (x3 x 2 x + 1) F(x) = k) f(x) =1,5x + 1 1,5 F(x) = l) f(x) = 3sin(0,5x) + 1 F(x) = m) f(x) = 2 5 x 4 + 2 x 2 F(x) = n) f(x) = x + 1 e 1 3 x F(x) = o) f(x) = (x + 1)(x + 2) F(x) = p) f(x) = 1 5 x 3 (x 1) F(x) = q) f(x) = sin( x 3 ) 3 F(x) = r) f(x) = 3 8 (x2 2x + 4) F(x) = s) f(x) = 1 32 x 3 9 2 x F(x) = t) f(x) = 1 4 x 2 (5 x) F(x) = u) f(x) = 1 48 x 4 7 2 x + 4 F(x) = v) f(x) = 3x 2cos(4x) F(x) = Basisübung 2: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 + 8x; x R Eine Stammfunktion F von f verläuft durch P(3 0). Bestimmen Sie F(x). 77

Lösungen - Funktionen Funktionen Basisübung 1: Gegeben ist die Funktion f. Das Schaubild von f heißt K f. Aufgabe Rechenansatz y-wert an der Stelle x = 2,5 f( 2,5) Schnittpunkt mit der y-achse f(0) x-wert für y = 4 f(x) = 4 Schnittpunkt mit der x-achse f(x) = 0 Liegt T( 1,5 3) auf dem f( 1,5) = 3 Schaubild von f? Schnittpunkt von K f mit der Geraden y = 6 f(x) = 6 Funktionswert an der Stelle 5 f(5) Basisübung 2: Gegeben ist die Funktion f. Das Schaubild von f heißt K f. Rechenansatz Formulierung in Worten f(x) = 5 An welcher Stelle beträgt der Funktionswert 5? f(0) = 0 K f verläuft durch den Ursprung. f( 3) = Funktionswert an der Stelle x = 3 f(x) = 0 An welcher Stelle beträgt der Funktionswert 0? Wo schneidet K f die x-achse? f(3) = 0,5 Der Punkt P(3 0,5) liegt auf K f. f(x) = x K f schneidet die 1. Winkelhalbierende. f(12) = y Funktionswert an der Stelle x = 12 ist y. f(x) = 1 für alle x K f ist die Parallele zur x-achse durch P(0 1). An jeder Stelle beträgt der Funktionswert 1. f(10) = 0 Der Punkt P(10 0) liegt auf K f. K f schneidet die x-achse in 10. Basisübung 3: Gleichungen der eingezeichneten Geraden A: y = 1 2 x + 3 B: y = 1 4 x + 1 C: y = x 3 D: y = 1,25 (Parallele zur x-achse) E: y = x (2. Winkelhalbierende) F: x = 1,25 (Parallele zur y-achse) 86

Lösungen - Funktionen Basisübung 4: Zeichnen Sie die Geraden ein. A: y = 3 2 x 2 B: y = 4x + 4 C: y = 1 3 x D: y = x E: y = x + 1 F: y = 0 (x-achse) Basisübung 5: Gleichung einer möglichen Geraden g bestimmen. a) g verläuft parallel: m = 2 5, also z. B. y = 2 5 x oder y = 2 5 x 4 b) g verläuft senkrecht zur Geraden mit y = 2x + b: m = 1 2 (negativer Kehrwert), also z. B. y = 1 1 2 x oder y = 2 x + 3 c) g verläuft parallel zur x-achse, z. B. y = 1 oder z. B. y = 5 d) g verläuft senkrecht zur 1. Winkelhalbierende (y = x): m = 1, also z. B. y = x + 8 oder y = x 3 e) N(2 0); tan 60 = m = 3 ; mit PSF: y = 3 (x 2) f) P( 1 4); parallel zur 2. Wiha: m = 1; mit PSF: y = (x + 1) + 4 = x + 3 g) P(3 4) und Q (1 0): m = 4 0 3 1 = 2; mit PSF: y = 2(x 3) 4 = 2x + 2 Basisübung 6: Zuordnung, Begründung a) B : f(x) = 2 x 2 1; Begründung: Symmetrie zur y-achse D : g(x) = x 2 + 4x 1; Begründung: S y (0 1), nach unten geöffnet A : h(x) = x 2 + 4x + 4; Begründung: h(x) = (x + 2 ) 2 ; Berührstelle x = 2 C : i(x) = ( x 2) 2 + 1; Begründung: Scheitelform S(2 1), nach oben geöffnet b) C: f(x) = (x + 3)(x + 1); Begründung: N 1 ( 3 0), N 2 ( 1 0) B : g(x) = 0,5x 2 2x ; Begründung: durch den Ursprung, nach unten geöffnet A: h(x) = x 2 + 5x + 5; Begründung: S y (0 5), nach oben geöffnet D : i(x) = 2( x + 2) 2 + 2; Begründung: Scheitelform S( 2 2), nach unten geöffnet 87

Lösungen - Differenzialrechnung Basisübung 14: f(x) = sin(x) + x; x R Es ist also zu zeigen, dass die Bedingungen f ( ) = 0; f ( ) = 0; f ( ) 0 erfüllt sind. Ableitungen: f (x) = cos(x) + 1; f (x) = sin(x); f (x) = cos(x) f ( ) = cos( ) + 1 = 1 + 1 = 0 wahre Aussage. f ( ) = sin( ) = 0 wahre Aussage. f ( ) = cos( ) = 1 0 Das Schaubild von f besitzt in x = einen Sattelpunkt. Basisübung 15 g(x) = 2 3 e 0,5x ; h(x) = 2x + 6 e 0,5x 6; h (x) = 2 3 e 0,5x Nullstelle von g Bedingung: g(x) = 0 2 3 e 0,5x = 0 e 0,5x = 2 3 Logarithmieren: 0,5x = ln( 2 3 ) Exakte Nullstelle: x = 2 ln( 2 3 ) Extremstelle von h Bedingung: h (x) = 0 2 3 e 0,5x = 0 Mit h (x) = g(x) ist x = 2 ln( 2 3 ) die exakte Extremstelle von h. (x = 2 ln( 2 3 ) ist einfache Nullstelle von g (= h ), also Extremstelle von h.) oder Nachweis mit h (x) = 1,5 e 0,5x : Wegen h (x) > 0 für alle x ist x = 2 ln( 2 3 ) eine Minimalstelle 112

Lösungen - Differenzialrechnung Basisübung 16 Schaubild von f Schaubild von g Tipp: N E W Extremstelle von f = einfache Nullstelle von f Wendestelle von f = Extremstelle von f 113

Lösungen - Differenzialrechnung Basisübung 17: Skizzieren Sie das Schaubild der zugehörigen Ableitungsfunktion. Schaubild von f Schaubild von g Tipp: N E W Extremstelle von f = einfache Nullstelle von f Wendestelle von f = Extremstelle von f 114

Lösungen - Differenzialrechnung Basisübung 18: Die Abbildungen zeigen die Schaubilder K f, K g und K h und die Schaubilder der zugehörigen Ableitungsfunktionen. Ordnen Sie zu. a) K h K f K g b) K g K f K h Tipp: Steigung von K f = Funktionswert von f 115